Введение к работе
Актуальность темы исследования. Диссертационная работа относится к области нелокальных задач для уравнений с частными производными. В ней рассматривается новый класс линейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих в старшей части слагаемые со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции.
Теорияэллнптнческпх функционально-дифференциальных уравнений в ограниченных областях стала интенсивно развиваться в 1970-х годах. Интерес к пей был вызван многочисленными естественнонаучными приложениями, а также применением к эллиптическим задачам с нелокальными краевыми условиями (задача Бицадзе-Самарского ). В авиастроении и ракетостроении широкое применение находят многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем. В работе Г. Г. Онапова, А. Л. Скубачев-ского2 было показано, что упругую модель пластины с гофрированным заполнителем можно описать сильно эллиптической системой дифференциально-разностных уравнений. Сведение к дифференциально-разностным уравнениям позволяет получить ряд результатов для полутрупп Феллера. возникающих в теории многомерных диффузионных процессов.3 Систематическое исследование эллиптических функционально-дифференциальных уравнении было начато А. Л. Скубачевским 3'4 и продолжено в работах его учеников Ё. Л. Цветкова, В. В. Подъяпольского, М. А. Скрябина, В. А. Попова и
ДР-
С изучением сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнении
связано значительное продвижение в решении известной проблемы о квадратном корне из m-аккретивного оператора, которая была сформулирована Т. К ато в 1961 году.' Проблему Като в случае абстрактных операторов рассматривали Ж. Л. Лионе (19G2), А. Макинтош (1972). Дальнейшее развитие эти исследования в приложении к дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям получили в работах А. Макинтоша (с соавторами),0'7 А. Л. Скубачевского, Р. В. Шамипа.8'9
Вопросами спектральной устойчивости классических краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений занимались многие авторы, начиная с 1960-х годов. В'работах Дж. Хэйла, Э. Б. Дэвиса, В. И. Бурепкова, П. Д. Ламберти и др. были получены различные оценки изменения собственных значений, вызванного возмущением области и коэффициентов оператора. В то же время, для функштопалыю-
1Б1Ц!,„),„ А. П., Саятрскии А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. акад. паук СССР - ЮІЛ. - J85, № 4. - С. 73!)-740.
!0шг„8 Г. Г., Сч/йачмскш'і. А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами и стационарных задачах механики деформируемого тела// Прикл. мех. — 1Я79. — IS, № 5. — С. 39-47.
'SkulmchcvMi A. L. Elliptic Functional-Differential Equations and Applications, Operator Theory: Advances and Applications, 01. Basel: Birkhauser Vcriag, 1997.
1 Stubuchcvikii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference., equations; / J. of Differential
Equations. - 19Й0. - 03. - P. 332-3()1. o„-_o-j
'-Koto T. Fractional powers of dissipative operators// J. Math. Soc. Japan. - 1901. - 13, № 3. 1. .4(, 2,4
''Auscher P.. Hafmann S.. Mcintosh .4., Tchumitchian P. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on'»",'/ J. Evolution Equations. -2001. - 1. № 4. -P. 301-385.
7Aielsaon A.. Keith S., Mcintosh A. The Kato square root problem for mixed boundary value problems// J. London Matti. Чис — 2UUH. — 74. — P. 113-130.
"Sl;ubachevskii A. ., Shamin R. V. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation//
Functional Differential Equations. - 2001. 8, № 3-4. - P. 407-424.
»ДІ„,а p. в. О пространствах начальных данных дія дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, , Мат. сб. - 2003. - I'M. № 9. - С. 1411-1426.
дифференциальных уравнений вопросы, связанные с изменением собственных значений краевых задач при деформации обласги, оставались открытыми. В диссертации получены первые результаты такого сорта для функционально-дифференциальных уравнении.
Предшествующие исследования функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями либо растяжениями аргумента касались преимущественно одномерного случая. Рассматривались вопросы разрешимости начальной задачи, асимптотического по-ведепиея решении па бесконечности, существованием периодических и почти периодических решении и т.д., п основном для уравнений первого порядка (уравнение пантографа у = ay(\t) + by{t) и различные его обобщения). Такие уравнения, начиная с 1970-х годов, изучались в работах Т. Като, Дж. Б. Маклеода,10 А. Мзерлеса11 и других авторов. Уравнение пантографа, возникает в самых разных областях: астрофизике (В.А. Амбарнумян, 1914, поглощение света межзвездной матерней), технике (Дж. Р. Окепдои, A. Б. Тай-лер, 1971, математическая модель динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава), биологии (А. Дж. Холл, Г. С. Уэйк, 19S9, моделирование процесса роста и деления клеток).
Отметим, что в пион постановке эллиптические фупкпиоиальпо-дііффереіщпальньїе уравнения рассматривались А. Б. Аптоневичем, А. В. Лебедевым,12 А. Ю. Савиным. Б. Ю. Стерннным.13 В работах этих авторов была построена эллиптическая теория (теорема о фредго.тьмовости, формула индекса) фупкпиопальпо-дифферепциа.тьных уравнений, ассоциированных с диффеоморфизмами области или гладкого -.замкнутого многообразия на себя.
Цель работы. Целью работы является построение теории краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями аргументов искомой функции в старших производных, включая вопросы разрешимости в различных функциональных пространствах, регулярности решений и спектральные свойства.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Подробное изучение краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнении с растяжениями и сжатиями аргументов в старших членах проводится впервые. Построенная для указанного класса уравнений теория существовала, в аналогичной общности лишь для дифференциально-разностных уравнений. При этом вопрос о спектральной устойчивости для функционально-дифференциальных операторов прежде вообще не рассматривался.
Важной отличительной особенностью рассматриваемых задач является то, что область U, где задано уравнение, содержит неподвижную точку для операторов сжатия и растяжения (начало координат). При этом под действием преобразовании аргумента внутри области S> оказывается счетное число сдвигов границы дії. стягивающихся к началу координат. Это создает принципиальные трудности в исследовании по сравнению со случаем дифференциально-разностных уравнений. С другой стороны, уравнения со
л"К«іо Т., Mi:LikI J. В. Fumtional-difjcrcHtial equation у - щ:(\І) + b:,(t) '. Bull. Amur. Mat її Sor. - 1471 - 77 » Ч -
Г. Л91-Я37. .......
"/«cries A. On the Keticralizc.l pantosrap!i functional-(Inferential equation// European J. Appl. Matli. — ШИ. — 4. -
1-Лнтопстіч .1. В.. ЛсЫш .4. О. О нстеронооі и функшгамалыю-диффереппиалыюю оператора с чип ними производными, содержащего линейное преобразование аргумента',/ Дифферент уравнения. - №2. - 14. - С. IKT-WC.
Оатт А. Ю., Стернин В. Ю. ОГ. индексе эллиптических операторов для rpv л растяжений ' / Матем со — 2011 —
202, № 1U. — С. UU-130. " -
сжатиями и растяжениями обладают рядом новых свойств. Так, ядро краевой задачи для эллиптического уравнения со сжатием аргументов может быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции. Гладкость решения краевой задачи во многих случаях равносильна его единственности. Имеет место и следующий интересный эффект: свойства краевой задачи в основном определяются значениями, которые коэффициенты при нелокальных членах (т.е. членах, содержащих преобразованные аргументы) принимают лишь в начале координат.
Среди представленных результатов выделим следующие.
-
Для модельного эллиптического функционально-дифференциального уравнения найдены необходимые и достаточные условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи с условиями Дирихле, а также исследована гладкость обобщенных решений; показано, что задача может иметь бесконечномерные ядро или коядро, а гладкость обобщенного решения может нарушаться всюду в области.
-
Получен ряд необходимых условий и достаточных условий выполнения неравенства типа Гордипга для функционально-дифференциального оператора. 2то-го порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старших производных; в случае ностоянньїх коэффициентов найденные условия являются одновременно необходимыми и достаточными.
-
Доказана фредгольмова разрешимость общей краевой задачи в пространствах Соболева для эллиптического уравнения 2т-го порядка со сжатиями аргументов в старших производных и переменными коэффициентами.
-
Для эллиптического функционально-дифференциального уравнения 2тл-го порядка без младших членов и с постоянными коэффициентами получены достаточные условия однозначной разрешимости вГв весовых пространствах В.А. Кондратьева; показано, что если часть оператора, отвечающая слагаемым без преобразований аргументов, эллиптична, то подбором показателей дифференцируемое и веса всегда можно добиться однозначной разрешимости в соответствующей паре весовых пространств.
5) Исследован вопрос спектральной устойчивости задачи Неймана для эллиптиче
ского уравнения с растяжениями и сжатиями аргументов в случае симметрического
оператора: получены оценки изменения собственных значений при малых внутренних
деформациях области.
Все полученные в работе результаты являются конструктивными, условия теорем выражаются непосредственно через коэффициенты уравнений и легко проверяются для конкретных примеров.
Методы исследования. Общие методы, известные для эллиптических уравнений и систем, потребовали существенной модификации. В работе широко используются современная теория функциональных пространств, теория Гельфаида коммутативных банаховых алгебр и теория псевдодпфферепциальных операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. В пей изучаются краевые задачи в пршщшшалыю повой ситуации: преобразования аргументов присутствуют в старших производных, могут отображать точки границы внутрь области и порождают внутри области бесконечные орбиты, при этом область содержит точку сгущения орбит. Результаты диссертации и разработанные в ней методы имеют существенное значение при построении общей теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечной пеизометриче-
ской группой сдвигов. Кроме того, выделен новый класс операторов, удовлетворяющий гипотезе Т. Като о квадратном корне.
Апробация. Результаты диссертации докладывались в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН па семинаре под руководством С. М. Никольского, Л. Д. Кудрявцева, О. В. Бесова, С. И. Похожаева: в Санкт-Петербургском отделении Математического института на семинаре под руководством II. Н. Уральдевой; па семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством В. А. Кондратьева, под руководством А. А. Шпаликова, под руководством В. А. Са-довппчего; в Московском энергетическом институте на семинаре под руководством Ю. А. Дубипского; в Ипстигуге проблем механики им. А. Ю. Пшлппского РАН па семинаре под руководством С. Ю. Доброхотова: в Российском университете дружбы пародов па семинаре под руководством А. Л. Скубачевского; і! Техииопе (Хайфа, Израиль) па семинаре под руководством Ш. Рапха, в университете г. Хайдельберга (Герма-пня) на семинаре иод руководством В. Егера, в Свободном университете г. Берлина па семинаре иод руководством Б. Фпдлера: па Международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 1994, 1999, 2005, 2011): на Пятой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (Севастополь, Украина, 1994): па Втором Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины, Греция, 1996): на совместных заседаниях семинара им. II. Г. Петровского п Московского математическою общества (Москва, 1993): па Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Поптрягппа (Москва. 199S); па международном симпозиуме но дифференциальным уравнениям в Математическом институте Обервольфаха (Германия, 1999), на международном симпозиуме „Открытые проблемы комплексного анализа и динамических систем" в ОРТ Колледже им. Брауде (Карми-ель, Израиль, 2008); па Российской Школе-конференции ..Математика, информатика. их приложения н роль в образовании" (Москва, 2009): па Международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной II. Г. Петровскому (Москва, 2011).
Публикации. Основные результати диссертации представлены в 11 печатных работах, опубликованных в рецензируемых журналах І1-1 1|. а также S тезисах конференции [15-22].
Структура и объем диссертации. Диссертация, изложенная па 223 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы, («держащего 89 наименований, включая основные работы ангара по теме диссертации.
Похожие диссертации на Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции
