Введение к работе
Актуальность темы исследования. Диссертационная работа относится к области нелокальных задач для уравнений с частными производными. В ней рассматривается новый класс линейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих в старшей части слагаемые со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции.
Теория эллиптических функционально-дифференциальных уравнений в ограниченных областях стала интенсивно развиваться в 1970-х годах. Интерес к ней был вызван многочисленными естественнонаучными приложениями, а также применением к эллиптическим задачам с нелокальными краевыми условиями (задача Бицадзе-Самарского1). В авиастроении и ракетостроении широкое применение находят многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем. В работе Г. Г. Онанова, А. Л. Скубачев-ского2 было показано, что упругую модель пластины с гофрированным заполнителем можно описать сильно эллиптической системой дифференциально-разностных уравнений. Сведение к дифференциально-разностным уравнениям позволяет получить ряд результатов для полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов.3 Систематическое исследование эллиптических функционально-дифференциальных уравнений было начато А. Л. Скубачевским 3'4 и продолжено в работах его учеников Е. Л. Цветкова, В. В. Подъяпольского, М. А. Скрябина, В. А. Попова и
ДР-
С изучением сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений связано значительное продвижение в решении известной проблемы о квадратном корне из m-аккретивного оператора, которая была сформулирована Т. Като в 1961 году.5 Проблему Като в случае абстрактных операторов рассматривали Ж. Л. Лионе (1962), А. Макинтош (1972). Дальнейшее развитие эти исследования в приложении к дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям получили в работах А. Макинтоша (с соавторами),6'7 А. Л. Скубачевского, Р. В. Шамина.8'9
Вопросами спектральной устойчивости классических краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений занимались многие авторы, начиная с 1960-х годов. В работах Дж. Хэйла, Э. Б. Дэвиса, В. И. Буренкова, П. Д. Ламберти и др. были получены различные оценки изменения собственных значений, вызванного возмущением области и коэффициентов оператора. В то же время, для функционально-
1 Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач//
Докл. акад. наук СССР. — 1969. — 185, № 4. — С. 739-740.
2 Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных
задачах механики деформируемого тела// Прикл. мех. — 1979. — 15, № 5. — С. 39—47.
3Skubachevskii A. L. Elliptic Functional-Differential Equations and Applications, Operator Theory: Advances and Applications, 91. Basel: Birkhauser Verlag, 1997.
4 Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations// J. of Differential Equations. — 1986. — 63. — P. 332-361.
5Kato T. Fractional powers of dissipative operators// J. Math. Soc. Japan. — 1961. — 13, № 3. — P. 246—274.
6 Auscher P., Hofmann S., Mcintosh A., Tchamitchian P. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on Rn// J. Evolution Equations. — 2001. — 1, № 4. — P. 361-385.
7Axelsson A., Keith S., Mcintosh A. The Kato square root problem for mixed boundary value problems// J. London Math. Soc. — 2006. — 74. — P. 113-130.
8 Skubachevskii A. L., Shamin R. V. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation//
Functional Differential Equations. — 2001. — 8, № 3-4. — P. 407-424.
9 Шамин P. В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве//
Мат. сб. — 2003. — 194, № 9. — С. 1411-1426.
дифференциальных уравнений вопросы, связанные с изменением собственных значений краевых задач при деформации области, оставались открытыми. В диссертации получены первые результаты такого сорта для функционально-дифференциальных уравнений.
Предшествующие исследования функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями либо растяжениями аргумента касались преимущественно одномерного случая. Рассматривались вопросы разрешимости начальной задачи, асимптотического по-ведениея решений на бесконечности, существованиея периодических и почти периодических решений и т.д., в основном для уравнений первого порядка (уравнение пантографа у = ay(Xt)-\-by(t) и различные его обобщения). Такие уравнения, начиная с 1970-х годов, изучались в работах Т. Като, Дж. Б. Маклеода,10 А. Изерлеса11 и других авторов. Уравнение пантографа возникает в самых разных областях: астрофизике (В. А. Амбарцумян, 1944, поглощение света межзвездной материей), технике (Дж. Р. Окендон, А. Б. Тай-лер, 1971, математическая модель динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава), биологии (А. Дж. Холл, Г. С. Уэйк, 1989, моделирование процесса роста и деления клеток).
Отметим, что в иной постановке эллиптические функционально-дифференциальные уравнения рассматривались А. Б. Антоневичем, А. В. Лебедевым,12 А. Ю. Савиным, Б. Ю. Стерниным.13 В работах этих авторов была построена эллиптическая теория (теорема о фредгольмовости, формула индекса) функционально-дифференциальных уравнений, ассоциированных с диффеоморфизмами области или гладкого замкнутого многообразия на себя.
Цель работы. Целью работы является построение теории краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями аргументов искомой функции в старших производных, включая вопросы разрешимости в различных функциональных пространствах, регулярности решений и спектральные свойства.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Подробное изучение краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов в старших членах проводится впервые. Построенная для указанного класса уравнений теория существовала в аналогичной общности лишь для дифференциально-разностных уравнений. При этом вопрос о спектральной устойчивости для функционально-дифференциальных операторов прежде вообще не рассматривался.
Важной отличительной особенностью рассматриваемых задач является то, что область П, где задано уравнение, содержит неподвижную точку для операторов сжатия и растяжения (начало координат). При этом под действием преобразований аргумента внутри области П оказывается счетное число сдвигов границы дП, стягивающихся к началу координат. Это создает принципиальные трудности в исследовании по сравнению со случаем дифференциально-разностных уравнений. С другой стороны, уравнения со
10Kato Т., McLeod J. В. Functional-differential equation у = ay(Xt) +by(t)// Bull. Amer. Math. Soc. — 1971. — 77, № 6. — P. 891-937.
11 Iserles A. On the generalized pantograph functional—differential equation// European J. Appl. Math. — 1993. — 4. — P. 1-38.
12Антоневич А. В., Лебедев А. В. О нетеровости функционально-дифференциального оператора с частными производными, содержащего линейное преобразование аргумента// Дифференц. уравнения. — 1982. — 18. — С. 987—996.
13 Савин А. Ю., Стернин В. Ю. Об индексе эллиптических операторов для группы растяжений// Матем. сб. — 2011. — 202, № 10. — С. 99-130.
сжатиями и растяжениями обладают рядом новых свойств. Так, ядро краевой задачи для эллиптического уравнения со сжатием аргументов может быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции. Гладкость решения краевой задачи во многих случаях равносильна его единственности. Имеет место и следующий интересный эффект: свойства краевой задачи в основном определяются значениями, которые коэффициенты при нелокальных членах (т.е. членах, содержащих преобразованные аргументы) принимают лишь в начале координат.
Среди представленных результатов выделим следующие.
-
Для модельного эллиптического функционально-дифференциального уравнения найдены необходимые и достаточные условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи с условиями Дирихле, а также исследована гладкость обобщенных решений; показано, что задача может иметь бесконечномерные ядро или коядро, а гладкость обобщенного решения может нарушаться всюду в области.
-
Получен ряд необходимых условий и достаточных условий выполнения неравенства типа Гординга для функционально-дифференциального оператора 2т-го порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старших производных; в случае постоянных коэффициентов найденные условия являются одновременно необходимыми и достаточными.
-
Доказана фредгольмова разрешимость общей краевой задачи в пространствах Соболева для эллиптического уравнения 2т-го порядка со сжатиями аргументов в старших производных и переменными коэффициентами.
-
Для эллиптического функционально-дифференциального уравнения 2т-го порядка без младших членов и с постоянными коэффициентами получены достаточные условия однозначной разрешимости в Шп в весовых пространствах В. А. Кондратьева; показано, что если часть оператора, отвечающая слагаемым без преобразований аргументов, эллиптична, то подбором показателей дифференцируемости и веса всегда можно добиться однозначной разрешимости в соответствующей паре весовых пространств.
-
Исследован вопрос спектральной устойчивости задачи Неймана для эллиптического уравнения с растяжениями и сжатиями аргументов в случае симметрического оператора: получены оценки изменения собственных значений при малых внутренних деформациях области.
Все полученные в работе результаты являются конструктивными, условия теорем выражаются непосредственно через коэффициенты уравнений и легко проверяются для конкретных примеров.
Методы исследования. Общие методы, известные для эллиптических уравнений и систем, потребовали существенной модификации. В работе широко используются современная теория функциональных пространств, теория Гельфанда коммутативных банаховых алгебр и теория псевдодифференциальных операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. В ней изучаются краевые задачи в принципиально новой ситуации: преобразования аргументов присутствуют в старших производных, могут отображать точки границы внутрь области и порождают внутри области бесконечные орбиты, при этом область содержит точку сгущения орбит. Результаты диссертации и разработанные в ней методы имеют существенное значение при построении общей теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечной неизометриче-
ской группой сдвигов. Кроме того, выделен новый класс операторов, удовлетворяющий гипотезе Т. Като о квадратном корне.
Апробация. Результаты диссертации докладывались в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН на семинаре под руководством С. М. Никольского, Л. Д. Кудрявцева, О. В. Бесова, С. И. Похожаева; в Санкт-Петербургском отделении Математического института на семинаре под руководством Н. Н. Уральцевой; на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством В. А. Кондратьева, под руководством А. А. Шкаликова, под руководством В. А. Са-довничего; в Московском энергетическом институте на семинаре под руководством Ю. А. Дубинского; в Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН на семинаре под руководством С. Ю. Доброхотова; в Российском университете дружбы народов на семинаре под руководством А. Л. Скубачевского; в Технионе (Хайфа, Израиль) на семинаре под руководством Ш. Райха, в университете г. Хайдельберга (Германия) на семинаре под руководством В. Егера, в Свободном университете г. Берлина на семинаре под руководством Б. Фидлера; на Международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 1994, 1999, 2005, 2011); на Пятой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (Севастополь, Украина, 1994); на Втором Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины, Греция, 1996); на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1998); на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 1998); на международном симпозиуме по дифференциальным уравнениям в Математическом институте Обервольфаха (Германия, 1999), на международном симпозиуме „Открытые проблемы комплексного анализа и динамических систем" в ОРТ Колледже им. Брауде (Карми-ель, Израиль, 2008); на Российской Школе-конференции „Математика, информатика, их приложения и роль в образовании" (Москва, 2009); на Международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной И. Г. Петровскому (Москва, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 14 печатных работах, опубликованных в рецензируемых журналах [1-14], а также 8 тезисах конференций
[15-22].
Структура и объем диссертации. Диссертация, изложенная на 223 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 88 наименований, включая основные работы автора по теме диссертации.
Похожие диссертации на Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со стажем и растяжением аргументов неизвестной функции
