Введение к работе
Актуальность темы. Важное место в теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимают управляемые динамические системы. Исследование таких систем представляет большой интерес для приложений. Управляемые системы и задачи оптимального управления стали предметом изучения математической теории оптимальных процессов, научной дисциплины, оформившейся в середине XX столетия. Центральным результатом этой теории является принцип максимума Л.С. Пон-трягина. Значительное место в теории занимают задачи оптимального управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые линейно зависят от управления (диссертация посвящена исследованию некоторых таких задач). Этот класс управляемых систем и задач включает такие важные объекты, как билинейные управляемые системы, системы с инвариантной нормой, системы с интегральным инвариантом и т. д. Получение новых результатов для них представляет интерес с теоретической точки зрения. Линейные по управлению системы обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно часто встречаются и в приложениях: в экономике и экологии, биологии и медицине, технике и производстве. Поэтому разработка точных и приближенных методов решения задач оптимального управления для таких систем является актуальной проблемой.
Цель работы.
1. Построение точного решения нелинейной задачи оптимального
управления на бесконечном полуинтервале времени при отсутствии огра
ничений на управление в случае, когда в интегральном критерии каче
ства подынтегральная функция является полной квадратичной формой
относительно фазового вектора и управления с коэффициентами, завися
щими от фазовой переменной.
2. Получение точного решения некоторых задач оптимального упра
вления для нелинейных управляемых систем с интегральным инвариан
том.
3. Разработка программного обеспечения для численного решения
задачи синтеза для нелинейной задачи быстродействия размерности 2 с
линейным входом по управлению. Выполнение расчетов для некоторых
конкретных задач.
4. Получение аналитическими средствами выражения для критиче-
ского момента времени, после которого множество достижимости из заданной начальной точки для одной плоской билинейной управляемой системы с гладкой областью управления теряет свойство выпуклости.
Научная новизна работы определяется полученными в ней результатами:
1. В 1-ой главе для нелинейной задачи оптимального управления с
неограниченным управлением, на полупрямой t Є [0, +со), вида
і = /(і) + В(х)и, /(0) = 0, х(0) = х0, х(+оо) = 0, х, / Є R", и Є Rr,
L(u) = +F[xTQ(x)x + 2uTH(x)x + urR(x)u] dt -f min
рассмотрен случай полной "квазиквадратичной" формы относительно вектора (хт, ит) в интегральном критерии качества: Н{х) ф 0. В более ранних работах1 рассматривался случай Н(х) = 0. При определенных предположениях построено оптимальное управление в форме обратной связи с привлечением вспомогательного матричного алгебраического уравнения Риккати, найдено оптимальное значение функционала и доказана теорема о существовании и единственности оптимального решения.
2. Во 2-ой главе построено оптимальное управление и найде
но оптимальное значение интегрального критерия качества в терминах
опорной и дистанционной функций выпуклой области управления в ря
де задач для управляемых систем с интегральным инвариантом. Эти
системы характеризуются аддитивным вхождением управления и согла
сованностью формы области управления с динамической нелинейностью
и подынтегральной функцией в интегральном функционале. Ранее ана
логичные задачи были рассмотрены в более частном случае, для систем
с инвариантной нормой, в работах М. Атанса, П. Фалба, Р. Лакосса2 и
1 Banks S.P., Mhana K.J. Optimal Control and Stabilization for Nonlinear Systems. // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 1992. N 9. P. 179 - 196;
Rchbock V., Teo K.L., Jcnnigs L.S. Suboptimal Feedback Control for a Class of Nonlinear Systems using Spline Interpolation. // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 1995. Vol. 1. N 2. P. 223 - 236;
Киселев Ю.П. Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных управляемых систем. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. ыатем. и киберп. 1997. N 2. С. 28 -31.
3Лтаис М-, Фалб П. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 1968;
Athans М., Falb P.L., and Lacoss R. Т. Time-, Fuel-, and Energy-Optimal Control of Nonlinear Norm-Invariant Systems // IEEE, Transactions on Automatic Control. 1963. Vol. 8. N 3. P. 196 -202;
Athans M., Falb P.L. Time-Optimal Control for a Class of Nonlinear Systems // IEEE, Transactions on Automatic Control. 1963. Vol. 8. N 4. P. 379.
A.M. Летова3; задача быстродействия была исследована Ю.Н. Киселевым4. 3. В 3-ей главе
а) дано описание работы графического пакета СИНТЕЗ-2.0 для реше
ния задачи синтеза по быстродействию для нелинейной 2-мерной системы
с линейным вхождением управления, перед которым стоит зависящая от
фазовой переменной матрица-множитель В(х). Этот пакет появился в
результате проделанной автором диссертации программистской работы
над пакетом СИНТЕЗ-1.0, ранее разработанным на кафедре оптимально
го управления факультета ВМиК МГУ и позволявшим исследовать толь
ко системы с постоянной матрицей В;
б) для конкретной плоской билинейной управляемой системы с глад
кой областью управления получена точная формула для первого момента
времени, после которого множество достижимости из заданной ненулевой
начальной точки для одной плоской билинейной управляемой системы с
гладкой областью управления становится невыпуклым.
Общая методика исследования. При обосновании содержащихся в диссертации утверждений используются факты из теории оптимального управления, обыкновенных дифференциальных уравнений, выпуклого анализа, линейной алгебры.
Практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертации, носят в основном теоретический характер и могут найти применение при аналитическом исследовании задач оптимального управления. Диссертационный материал может быть частично использован в спецкурсах для студентов вузов, обучающихся по специальности "прикладная математика". Описанный в 3-ей главе графический пакет СИНТЕЗ-2.0 хорошо зарекомендовал себя при численном исследовании плоских задач синтеза по быстродействию. Результаты расчетов на пакете представляются в удобной графической форме: имеется 2- и 3-мерная графика, возможность масштабирования изображения, на экране можно рисовать до четырех графиков. Пакет позволяет пользователю получать изображение, как всех расчитываемых экстремальных по быстродействию траекторий в целом, так и изображение каждой такой траектории по отдельности; в ряде случаев удается нарисовать границу множества управля-
3JIemoe A.M. Динамика полета и управление. - М.: Наука, 1969.
4 Киселев Ю.Н. Системы управления с иптегральвым инвариантом. // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 4. С. 477 - 483.
емости. Результаты расчетов хранятся в виде таблицы чисел, которую пользователь может просмотреть, сохранить на диске или распечатать на принтере. По сравнению с предыдущей версией пакета (СИНТЕЗ-1.0) расширился круг задач, которые можно исследовать с его помощью.
Апробация работы. По результатам диссертации делались доклады на специальных семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ "Линейная теория управления" под руководством к.ф.м.н. доцента Ю.Н. Киселева, "Дифференциальные игры" под руководством д.ф.м.н. профессора М.С. Никольского и д.ф.м.н. профессора Н.Л. Григорснко, на Международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-96" (Москва, МГУ, 1996 г.); были представлены тезисы докладов на 8-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 1996 г.), на Понтрягинских чтениях-VIII Воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1997 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах автора, две из которых являются совместными. Список этих работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 171 машинописная страница, из которых в общей сложности 13 страниц отведены на 25 рисунков и 8 страниц - на список литературы, содержащий 87 названий работ.
