Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена решению начально-краевых задач для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих истечение идеачьного газа в вакуум.
Решение начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными в настоящее время считается актуальной проблемой общей теории дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты теоретических исследований находят важное применение при решении задач математической физики, в частности, газовой динамики. Среди краевых задач можно выделить задачи со свободными гранітами, на которых известны значеная некоторых искомых функций, но заранее неизвестно положение самих границ. К таким задачам газовой динамики относятся задачи: о распаде разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму.
Сформулируем задачу о распаде разрыва. Пусть в момент t = О замкнутая поверхность Г, граница области Q0, отделяет идеальный политропный гравитирующий по закону Ньютона газ от вакуума. При этом в момент / = 0 известны распределения параметров газа в Q0: й = й0(.?) -скорости газа; р=р0(.х) - плотности, s=.s(.x) - энтропии, х = {х,у,:}. Функции й0, р0, 50, а также функция /o(jc,f)=0, задающая поверхность Г, предполагаются аналитическими, а плотность газа всюду в fi0 больше нуля, в том числе pc(jc)!.>0. В момент / = 0 поверхность Г мгновенно
разрушается и начинается разлет части гравитирующего идеального газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного убирания поверхности Г, распространяются по газу в виде
волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г,, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны, волна разрежения примыкает к вакууму: р| =0, где Г0 - свободная поверхность,
отделяющая волну разрежения от вакуума. Требуется построить как фоновое течение, так и волну разрежения, а также.найти законы движения Г, и Г0. Для построения фонового течения необходимо решить задачу Коши с начальными данными i?u, р0, л„. Это решение позволяет найти закон распространения Г, и распределение газодинамических параметров на ней. Определив значения искомых функций на Г, можно решить характеристическую задачу Коши, построив тем самым течение в области между Г, и Г0, и найти закон распространения Г0. В дальнейшем эту задачу будем называть задачей о распаде разрыва.
Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму формулируется следующим образом. Пусть в момент времени t-t0 (в частности / = 0) известная замкнутая поверхность Г0 является границей, отделяющей область Q0, заполненную идеальным политропным гравитирующнм газом, от вакуума. В начальный момент времени t - tu (t = 0) известны распределения параметров газа в области Qa :й = й0(*), р = p0(Jt), s=s(x), х ~ \х,у\:} єСій. Функции й0, р0, s0 и уравнение поверхности Г0 являются аналитическими функциями, причем р! = 0. Требуется построить течение газа при / > /0
(t > 0) и найти закон движения свободной поверхности.
Задачи, близкие к поставленной, но без учета гравитации, рассматривались ранее. При помощи характеристических рядов в окрестности границы Г, были построены двумерные1 и трехмерные течения
1 Сидоров А Ф Приближенный метод решения некоторых задам о просгранствеїшом истечении газа в вакуум. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. ВЦ СО АН СССР. 1970. і 7 №5 с. 137-148
идеального газа примыкающие к области покоящегося газа. Рассмотрен2 распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля. На основе анализа первых членов некоторых асимптотических разложений сделан вывод3 о том, что свободная поверхность Г0 некоторое время движется с постоянной скоростью. Изучено4 течение, возникшее в результате схлопывания одномерной полости; при 1 < у < 3 решение построено в виде сходящихся характеристических рядов в области от Г! до Г0 включительно и доказано, что поверхность Г0 движется некоторое время с постоянной скоростью. Этот результат обобщен на случай двумерных и трехмерных течений5, и трехмерных течений в условиях действия внешних массовых сил6. Изучение закономерностей движения газа с учетом гравитационных сил возможно в трех случаях: движение в постоянном поле тяжести, во внешнем переменном поле тяжести и во внутреннем (собственном) поле тяжести. Большой астрофизический интерес представляет исследование движения газа во внутреннем (собственном ) иоле тяжести т.е. в условиях самогравитации. В этом случае гравитационный потенциал Ф связан с распределением плотности р уравнением
, АФ = -4кСр, здесь G - гравитационная постоянная, Д - оператор Лапласа, сила тяготения F определяется равенством F = grad Ф.
Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали
; Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности. ПМТФ. 1980. №2. с.126-133
3 Каждая Я.М. Сферический разлет газа к центру. Препринт №2 Институт прюсл. матем. 1969. 46 с.
J Баутин СП Схлопывание одномерной полости. ПММ. 1982. т.46. Выл 1. с 50-49
1 Баупш СП., Дерябин СЛ. Истечение идеального газа в вакуум. Докл АН СССР. 19S3. т.27.1. Л1>4.
с.817 820. ,
6 Дерябин СЛ. Трехмерное истечение в вакуулі неоднородного движущегося газа в условиях действия
внешних массовых сил. Динамика сплошной среды. Новосибирск. Институт гидродинамики СО АН СССР.
1987. Выл.83. с.60-71
фигуры равновесия прощающейся идеальной несжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А.Пуанкаре, Дж.Дарвина, Дж. Джинса, А.М.Ляпунова, Л.Лихтенштейна и др.
Движение гравитирутощего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях Л.И.Седова7, К.П.Сташокопича8. Движения газа в поле тяжести изучались в работе А.Ф.Сидорова9, в которой построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с политропным уравнением состояния.
В работе О.И.Богоявленского10 рассмотрена динамика адиабатических движений гравитиругошего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид.
В диссертации содержится исследование одномерной задачи о сферически-симметричном истечении самогравитирующего идеального газа в вакуум, решается задача о распаде разрыва и строятся точные решения начально-краевых задач нелинейной иитегро-дифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся рядов. В работе исследуются одномерные и многомерные задачи о гладком примыкании газа к вакууму, при этом используются основные уравнения газовой динамики как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа.
Цель работы
-
Решение задачи о распаде разрыва для сферически-симметричных течений самогравитирующего идеального политропного газа.
-
Решение задачи о гладком примыкании гравитирутощего газа к вакууму для сферически симметричных течений и исследование транспортных уравнений для определения границ применимости данного решения.
7 Седов Л.И Методы подобия и размерности в механике. - М, «Наука», 1987 430 с.
8 Станюкович К П. Неустановившиеся движения сплошной среды - М., «Наука», 1971. 856 с.
J Сидоров А.Ф. О некоторых течениях газа в поле тяжести. ППМ, т 42. 1978. Выл. с.
'" Богоявленский О.И. Динамика гравитирующего газового эллипсоида. ППМ, т 40, 1976 Вып.2. с 270-280
-
Построение решения задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму в общем трехмерном случае.
-
Исследование эволюции гравитирующего газового шара, который в начальный момент времени вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью.
Методы исследования
В работе использованы аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, в частности метод представления решения в виде степенных рядов. Доказательство существования и единственности решений нелинейных систем уравнений с частными производными и представление их в виде степенных рядов опирается на классическую теорему Коши-Ковалевской и ее аналоги.
Научная новизна и теоретическая ценность работы заключается в следующем:
-
Доказаны теоремы существования и единственности локально-аналитического решения задачи Коши для интегро-дифференциалыюй системы уравнений, описывающей сферически-симметричные течения гравитирующего идеального газа с разрывными начальными данными.
-
Исследована задача о непрерывном примыкании гравитирующего газа к вакууму для сферически-симметричных течений и доказана теорема существования и единственности решения для рациональных показателен адиабаты.
-
Получены и исследованы системы транспортных уравнений, описывающие поведение выводящих производных из свободной поверхности.
-
Проведены аналитические исследования задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений в форме Эйлера и Лагранжа, описывающих течения идеального самогравитирующего газа в трехмерном пространстве.
-
Исследована задача Коши для системы иитегро-дифференциальных уравнений в форме Эйлера, описывающей движение идеального самогравитирующего газа при условии, что в начальный момент времени газ имеет форму шара, вращающегося вокруг оси как твердое тело с постоянной угловой скоростью. Получен приближенный закон движения свободной поверхности в виде эллипсоида вращения.
Практическая ценность работы состоит в том, что доказанные теоремы и построенные решения применяются к решению актуальных задач газовой динамики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах «Нелинейные задачи математической физики» в Институте математики и механики УрО РАИ, председатель семинара академик РАН А.Ф.Сидоров; на 1-й Всесоюзной (в 1992 г.) в г. Екатеринбурге, 2-й Международной (1994 г.) в г. Арзамасе, 3-й Всероссийской (1996 г.) в г. Москве - школах-семинарах «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа»; на научно-технических конференциях Уральской государственной академии путей сообщения в 1995, 1996 годах.
Публикацші-По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из оглавления, введения, двух глав, семи параграфов, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 98 страниц машинописного текста, включая 20 рисунков, 10 таблиц. Библиография включает 42 наименования работ.
