Введение к работе
Актуальность темы. Двумерная система Навье-Стокса вероятно является наиболее известным и популярным примером дифференциального уравнения математической физики, обладающее аттрактором в подходящем фазовом пространстве. Более того, ббльшая часть теории аттракторов бесконечномерных динамических систем зародилась и получила свое развитие с исследования именно этой системы уравнений, математическая теория которой (глобальное существование, единственность, регулярность решений и т.д.) была к тому времени достаточно хорошо разработана в известных монографиях Ладыженской, Лионса, Вишика и Фу рейкова, Темама и многих других.
Существование предельного инвариантного множества, характеризующего при больших значениях времени поведение всех решений системы Навье-Стокса в ограниченной двумерной области с гладкой границей было доказано Ладыженской. Затем Бабиным и Вишиком было замечено, что это множество при больших значениях времени является притягивающим. Это множество получило название аттрактора, причем Бабин и Вишик ввели термин максимальный аттрактор (подчеркивая этим, что оно максимально среди строго инвариантных компактных множеств). Ладыженская, напротив, назвала его минимальным .В-аттрактором (подчеркивая этим, что оно минимально среди строго инвариантных множеств, притягивающих в фазовом пространстве любые ограниченные множества). Использовались также названия универсальный, глобальный и т.д. Речь же шла об одном и том же объекте.
Пусть в гильбертовом пространстве Н действует полугруппа непрерывных операторов St ' Н —> Н, t > 0, Sq — Id, St+T — St о ST. Полугруппа St, как правило, является семейством разрешающих операторов SiUq = u(i), соответствующих автономному дифференциальному уравнению
dtu = F(u), u(0) = щЄ Н.
Определение 1. Компактное множество А (<= Н называется глобальным аттрактором полугруппы St, если оно
-
строго инвариантно: StA = A, t > О,
-
притягивает ограниченные множества в Н: limt-^oodist(StB,A) = 0, где
dist(X, Y) := suPl6^ Ыу& \\х-у\\н-
Доказательство существования аттрактора следует следующей схеме, которую приведем для компактных (или параболических) полугрупп, перево-
дящих ограниченные множества В в компактные: StB <ё Н, t > 0. (Разрешающие операторы системы Навье-Стокса обладают этим свойством.) Сначала доказывается существование в Н поглощающего шара B(Rq):
StB(R) С B(Rq), Ш > T(R, RQ).
Тогда множество Bq = SiB(Rq) является компактным поглощающим множеством, и аттрактор Л есть ил-предельное множество компактного поглощающего множества Bq:
изд>
т>0
В работе Фояша и Темама было также установлено, что аттрактор системы Навье-Стокса имеет конечную хаусдорфову размерность. Эта важнейшая геометрическая характеристика аттрактора сразу привлекла к себе большое внимание.
Определение 2. Хаусдорфовой размерностью компактного множества X в Н называется число
сіітя X = inf {d\ цн (X, d) = 0},
где iJ.H(X,d) = ІІЩГ.+0+ nn(Xyd,e), fj.H(X,d,e) - infXcUVd(U). Инфимум здесь берется по всем покрытиям U множества X шарами В(хі,гі) с центрами в Хі и радиусами г* < є, а
Определение 3. Фрактальной размерностью X в Н называется число
iog2№())
dim^ X = lim sup ——^—j~-, -+0+ log2(l/e)
где Nx{e) есть минимальное число шаров радиуса є, необходимых для покрытия X.
Из этих определений следует, что всегда dim#X < dini^-AT, причем в бесконечномерном пространстве несложно построить пример множества X, для которого dim# .X = 0, a dim^ X — оо.
Первоначальные оценки размерности использовали технику работы Малле-Паре и были очень грубыми (экспоненциальными по параметру v~l, где и коэффициент вязкости). Затем в работах Дуади и Эстерле и Ильяшенко для оценки хаусдорфовой размерности была предложена техника, основанная на
анализе поведения d-мерных объемов переносимых уравнением, линеаризованном на решении, лежащем на аттракторе.
В основополагающих работах Бабина и Вишика, Ладыженской, Фояша и Темама, Константина и Фояша исследовался характер притяжения к аттрактору, его регулярность, и были получены оценки хаусдорфовой размерности аттрактора в терминах безразмерного числа
г 11/11
названного в работе Фояша, Темама, Мэнли и Трева числом Грасгофа (здесь /- правая часть, Ai - первое собственное число оператора Стокса). А именно, для системы в ограниченной области Q с условием прилипания было доказано, что
dimH
Дальнейший прогресс в оценках хаусдорфовой размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса связан с спектральными оценками и интегральными неравенствами Либа-Тирринга. Идея использования неравенств Либа-Тир-ринга для оценки размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса была впервые высказана Рюэллем, а затем некоторые нестрогие утверждения физического характера из этой работы были строго обоснованы Либом. Используя эти идеи, Темам получил принципиальное улучшение оценки размерности аттрактора в задаче в ограниченной области с условием Дирихле:
діти Л < с(П)С
Для задачи с периодическими краевыми условиями (система Навье-Стокса на двумерном торе) в работе Константина, Фояша и Темама эта оценка была значительно улучшена:
сптяД < cG2'3(ln(G + 1))1/3,
причем было также высказано утверждение, что эта оценка логарифмически точна. Строгое доказательство этого (т. е. оценка dim# Л > c'G2^) было получено значительно позже в работе Лиу.
Техника получения оценок снизу размерности аттракторов основывается на следующей конструкции, предложенной Бабиным и Вишиком. Из строгой инвариантности аттрактора следует, что точка и принадлежит аттрактору тогда и только тогда, когда через нее проходит полная траектория, ограниченная при t —» —со. Отсюда следует, что аттрактор содержит неустойчивое многообразие любого стационарного решения, т. е. многообразия, вдоль
которого решения экспоненциально стремятся к стационарным точкам при t —> —со. Итак, с помощью теоремы об инвариантном многообразии задача об оценке снизу сводится к нахождению стационарного решения с неустойчивым многообразием максимально возможной размерности.
Заметим также, что конечномерность динамики на аттракторе характеризуется не только его размерностью. Оценки сверху для асимптотического числа степеней свободы, выраженного в терминах различных определяющих проекций были получены в работах Фояша, Проди, Ладыженской, Темама, Тити, Чуешова и др.
Работы упомянутых выше авторов, а также многих других были подытожены в известных монографиях и обзорных статьях Бабина и Вишика, Ладыженской, Вишика, Чуешова, Темама, Константина и Фояша, Константина, Фояша и Темама, Хейла, Доринга и Гиббона, Фояша, Роза, Мэнли и Темама, Робинсона, Селла и Ю, Бабина. Разумеется, эти монографии посвящены не только уравнениям Навье-Стокса, но во всех из них аттракторы уравнений Навьс—Стокса занимают центральное место. Любопытно отметить, что цитированную выше работу Темама (1985) и недавний обзор Бабина (2003) разделяет почти двадцать лет, а обе работы имеют одинаковое название, совпадающее с названием настоящей диссертации.
В связи с важными приложениями к геофизической гидродинамике зна.-чительное внимание было уделено уравнениям Навье-Стокса на двумерных римановых многообразиях, причем в центре внимания, конечно, было исследование аттракторов системы на двумерной вращающейся сфере. В работах Гидальи, Марион и Темама получена оценка
<іітя Л
для системы на двумерном римановом многообразии.
Итак, в перечисленных выше работах была развита общая теория оценивания размерности аттракторов, одним из главных результатов которой было доказательство того, что хаусдорфора размерность строго инвариантного множества (аттрактора) полугруппы St непрерывных отображений оценивается сверху ляпуновской размерностью, вычисленной в терминах глобальных показателей Ляпунова, соответствующих St- Вычисление (точнее оценка сверху) самих показателей Ляпунова является достаточно сложной аналитической задачей, требующей, конечно, учета специфики конкретного дифференциального уравнения.
Для фрактальной размерности был доказан более грубый результат, типичным следствием которого являются, например, следующие оценки раз-
мерности аттрактора системы Навье—Стокса в ограниченной области І7 (Темам):
dirntf Л < c(Q)G, dimF Л < 2c(U)G.
Это относится и ко всем приведенным выше примерам: оценка фрактальной размерности получается из оценки хаусдорфовой размерности умножением последней на коэффициент два. О величине постоянной c(Q), зависящей от геометрии области, не было известно ничего, и в рамках имевшихся методов вывода этих оценок никакой информации об этих постоянных получить было нельзя. Это относится ко всем без исключения примерам оценок размерности аттракторов системы Навье-Стокса в различных постановках (да и других диссипативных параболических уравнений), включая и задачу Колмогорова о системе Навье-Стокса на двумерном вытянутом торе (принципиально новые результаты в которой были не так давно получены Зианом).
Поэтому весьма актуальной является во-первых задача об оценки фрактальной размерности аттрактора через ляпуновскую размерность, т. е. доказательство общих формул типа Каплана-Йорка для фрактальной размерности, а во-вторых задача о "вычислении" глобальных показателей Ляпунова.
Что касается первой проблемы, то частичные результаты в этом направлении имеются. В работе Ханта доказаны формулы типа Каплана-Йорка для фрактальной размерности в конечномерном случае. В работе Ильяшенко и Влинчевской соответствующий результат доказан для диффеоморфизма в бесконечномерном случае. Однако, для аттракторов уравнений с частными производными применение этих результатов весьма затруднительно. При выполнении одного (не очень ограничительного) условия выпуклости один результат (применимый для аттракторов уравнений с частными производными) доказан недавно Вишиком и Чепыжовым, а также Чепыжовым и автором.
Что же касается второй задачи о вычислении показателей Ляпунова (точнее о нахождении их явных оценок сверху), то помимо проблем связанных со спецификой конкретного дифференциального уравнения (выбор фазового пространства, получение хороших апроирных оценок и т. д.) возникают сложные задачи о нахождении хороших мажорант (или даже точных значений) для использующихся и играющих ключевую роль различных постоянных в оценках для спектра оператора Стокса, в спектральных оценках и интегральных неравенствах Либа-Тирринга, а также в неравенствах для производных в многомерном случае. Решение этой задачи позволит также достичь значительного прогресса в оценивании асимптотического числа степеней свободы (определяющих мод, узлов и пр.), а также других задач, связанных с описанием качественного поведения решений.
В последнее время был проявлен значительный интерес к изучению аттракторов неавтономных диссипативных уравнений с частными производными. Более чем десятилетний цикл исследований Вишика и Чепыжова был подытожен в их монографии. Если аттракторы основных автономных уравнений математической физики (заданных в ограниченных областях, например, системы Иавье-Стокса) являются конечномерными, то с аттракторами неавтономных уравнений ситуация не является таковой, и в общем случае аттрактор неавтономного уравнения с почти периодической правой частью общего вида является бесконечномерным. Если к тому же явно зависящие от времени члены уравнения (нелинейные коэффициенты взаимодействия или правая часть) быстро осциллируют (с частотой cj), то естественным образом встает задача об аппроксимации при и> —У со возможно бесконечномерного аттрактора исходного уравнения конечномерным аттрактором автономного уравнения, т. е. задача глобального усреднения. Такого сорта результаты будут весьма интересным обобщением теорем Бабина, Вишика, Хейла, Рожель и других о полунепрерывной сверху зависимости глобальных аттракторов от параметра.
Цель работы. Развитие теории глобальных аттракторов бесконечномерных динамических систем, порожденных дифференциальными уравнениями с частными производными с уделением особого внимания уравнениям Навье-Стокса. Получение явных (и по возможности оптимальных) оценок фрактальной размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса в различных постановках. Эта задача влечет за собой изучения ряда вопросов, связанных с нахождением точных постоянных (или их явных мажорант) в оценках спектра оператора Стокса, интегральных неравенствах Либа-Тирринга и их обобщений, а также неравенствах для производных (неравенства Соболева, Гальярдо-Ниренберга, Ладыженской).
Получение общих результатов о глобальном усреднении диссипативных уравнений с быстро осциллирующими членами с приложениями к уравнениям Навье-Стокса и другим основным диссипативным уравнениям математической физики.
Общие методы исследования. В работе используются методы теории нелинейных уравнений с частными производными, теории функциональных пространств и спектральной теории.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальней-
цшх исследованиях глобального поведения решений диссипативных систем, в частности, в математической и геофизической гидродинамике.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах в Институте прикладной математики им М.В.Келдыша РАН в 1998-2004гг.;
в Московском государственном университете на механико-математическом факультете на семинаре под руководством проф. М.И. Вишика, на семинаре под руководством проф. В.М. Тихомирова и на семинаре под руководством чл.-корр. РАН B.C. Кашина в 1996-2005гг.;
в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН на семинаре под руководством академика СМ. Никольского и на семинаре под руководством академика Д.В.Аносова в 2005г.;
в Институте вычислительной математики РАН на семинаре под руководством академика В.П. Дымникова, проф. А.В. Фурсикова и проф. Г.М. Кобелькова в 2005г.;
в Институте проблем передачи информации РАН на семинаре под руководством проф. М.И. Вишика в 2004г.;
в Московском энергетическом институте на семинаре под руководством проф. К).А. Дубинского в 1998-2005гг.;
на семинарах математических факультетов различных университетов Великобритании (Imperial College London, Universities of Surrey, Sussex, Wales, Warwick) в 1995-2004ГГ.;
на семинарах в Калифорнийском университете (Ирвайн, США) и в Центре нелинейных исследований (Лос-Аламос, США) в 2002 и 2005гг.;
в университете Чикаго (США) на семинаре под руководством проф. П. Константина в 2005гг.;
в университете Южной Калифорнии (Лос Анджелес, США) на семинаре под руководством проф. И.Кукавицы в 2005гг.;
на семинаре университета г. Пуатье (Франция) в 2003г.;
на международной конференции "Нелинейный анализ, функциональные пространства и приложения" в Праге (Чехия) в 1994г.;
на международном семинаре "Физические свойства диссипативных уравнений с частными производными и функциональный анализ" в Гилфорде (Великобритания) в 1997г.;
на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященных И.Г. Петровскому, в МГУ в 1998, 2001 и 2004гг.;
на международной конференции "Дифференциальные и функционально дифференциальные уравнения" в МАИ в 2002г.;
на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию академика С.М.Никольского в Математическом институте им. В.А.Стеклова в 2005г.;
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 20 статьях в рецензируемых журналах, 5 из которых написаны в соавторстве.
Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти глав (первая из которых является введением), которые разбиты на 12 параграфов и содержат четыре рисунка. Диссертационная работа изложена на 23-1 страницах. Библиография включает 149 наименований.
