Введение к работе
Актуальность темы. Изучение траекторных п глобальных аттракторов пространств траекторий играет важную роль в задачах математической физики и, в частности, гидродинамики. Теория аттракторов динамических систем была перенесена на уравнения математической физики во второй половине прошлого века в работах нескольких математиков; в частности, О. А. Ладыженская, получила классический результат о существовании глобального аттрактора двумерной системы Навье—Стокса. Однако эта теория оказалась неприменима уже к трёхмерной системе Навье—Стокса, для которой не удаётся построить динамической системы в силу отсутствия результатов о глобальном существовании слабых решений начально-краевой задачи или единственности слабых. В обход этих трудностей в конце прошлого века в работах М. И. Вишика, В. В. Чепыжова, а также Дж. Селла была развита теория траекторных и глобальных аттракторов пространств траекторий. В этих теориях пространство траекторий является развитием понятия динамической системы, а глобальный аттрактор является аналогом аттрактора полугруппы. С помощью этой теории удалось доказать существование траєкторного и глобального аттракторов трёхмерной системы Навье—Стокса. Приложение теории аттракторов пространств траекторий к другим задачам гидродинамики потребовало обобщения этой теории на случай трансляцнонно нешшариантных пространств траекторий, поскольку такие пространства естественно возникают во многих приложениях. Такое обобщение было сделано в работах В. Г. Звягина и Д. А. Воротникова. Именно этот вариант теории аттракторов используется в настоящей работе.
В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются приложения теории траекторных и глобальных аттракторов к задачам гидродинамики.
Целью работы является доказательство существования и изучения свойств аттракторов некоторых задач неньютоновой гидродинамики.
Методика исследований. Использовались методы теории аттракторов пространств траекторий, а также топологические методы нелинейного анализа и методы и идеи теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно отмстить наиболее важные:
-
Доказано существование минимального траєкторного и глобального аттракторов слабых решений для модели движения слабо-концентрированных водных растворов полимеров в автономном случае, а также сходимость минимальных траскторпых и глобальных аттракторов аппроксимациошюй задачи к аттракторам исходной задачи.
-
Доказано существование минимального траєкторного и глобального аттракторов слабых решений регуляризовашюй системы уравнений движения жидких сред с памятью при условии определённого ограничения на параметры системы.
-
Построена визуализация аттракторов возмущений течения Пуа-зёйля в модели Джеффриса.
Достоверность полученных результатов подтверждается математическими методами исследований. Вес результаты диссертации доказаны.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при исследовании различных течений вязкоупругих жидкостей и сред.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях проводимых в научных коллективах Российского университета дружбы народов, Московского, Санкт-петербургского, Воронежского и Ярославского государственных университетов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на воронежской зимней математическая школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воропеж, 2011); международной научной конференции, посвященной 70-лстию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадпсва Эр-гашбоя Мнрзоевнча (Душанбе, Таджикистан, 2011); семинаре под руководством профессора В. Г. Звягина (ВГУ, 2011); семинаре под руководством профессора А. Л. Скубачсвского (РУДН, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[6]. Из совместных работ [1], [2] в диссертацию вошли только принадлежащие С.К.Кондратьеву результаты. Работы [2], [4] соответствуют перечню ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на 20 параграфов, и списка литературы, включающего 35 источников. Общий объём диссертации 139 страниц.
