Содержание к диссертации
Введение
Глава I Аттракторы полулинейного параболического уравнения на прямой 11
1. Терминология 11
2. Теорема существования 15
3. Оценки старших производных 26
4. Существование аттракторов 38
5. Оценки погрешности приближенных решений 43
6. Оценка отклонения приближенных аттракторов 58
Глава II. Типичные свойства дискретизаций параболических уравнений 60
1, Построение динамических систем, порожденных дискретизациями 60
2. Регулярные значения и теорема трансверсальности 63
3. Гиперболичность неподвижных точек динамических систем 65
4. Спектр дифференциалов Dv
5. Характер и зация свойства трансверсальности пересечения инвариантных многообразий 73
6. Общий результат о трансверсальности 81
7. Применение общих теорем о трансверсальности 92
Глава III. Приложение 102
1. Весовые пространства 102
2. Дискретные весовые пространства 106
3. Свойства проекторов 114
4. Динамические системы, порожденные
дискретизациями параболического уравнения 123
Литература
- Оценки старших производных
- Оценка отклонения приближенных аттракторов
- Гиперболичность неподвижных точек динамических систем
- Дискретные весовые пространства
Введение к работе
В настоящее время изучение аттракторов динамических систем является хорошо развитой областью качественной теории динамических систем. Аттракторы изучаются во многих фундаментальных трудах, например, [1], |3], [25]. Такое изучение важно, так как именно аттракторы отвечают за поведение системы при больших временах.
В связи с развитием вычислительной техники все большее значение приобретает изучение динамических систем с помощью компьютера. С помощью компьютера оказывается возможным не только получить приближенные решения различных уравнений, но и построить приближенные аттракторы динамических систем, порождаемых ими. Соответствующие аттракторы являются аттракторами дискретных динамических систем, возникающих в результате дискретизации изучаемых уравнений. Отсюда естественно возникает интерес к изучению свойств динамических систем, порождаемых дискретизациями. В настоящее время изучение динамических систем, порожденных дискретизациями, превратилось в интенсивно развивающуюся область теории динамических систем (см., напр., [10], [15], [16]).
Основными двумя вопросами, связанными с динамическими системами, возникающими в результате дискретизации, являются следующие:
Насколько точно их решения, аттракторы и прочие объекты, связанные с динамикой, аппроксимируют соответствующие объекты исходного уравнения?
Каковы свойства этих дискретизованиых динамических систем? В этой связи особо важными представляются различные вопросы устойчивости этих систем, так как при их решении с помощью компьютера возникают различные погрешности, связанные с ошибками округления.
В настоящей работе исследуются эти вопросы для полулинейного параболического уравнения вида щ = Аи + f(x,u), и = u(t,x), х Є Q, t>0 (1) с граничным условием Дирихле и|^г = 0, где А — оператор, действующий из Соболевского пространства Н2(ІЇ) в пространство L2(S2), симметричный и положительно определенный относительно скалярного произведения {g,h) := f ghdx, a f — функция класса Сг(г > 1), глобально о липшицевая по переменной и.
В главе I исследуется уравнение (1) с оператором А = -^ на прямой (то есть, в случае fi = R), dtu{t, х) = uxx(t, х) - f{u(t, х)), t > 0, х є R; (2)
Вопросы сходимости "приближенных" решений и глобальных аттракторов полулинейных параболических уравнений на ограниченных областях к "точиымихорошо изучены для различных схем дискретизации по переменным х и і (например, в работах [17],[25],[26]). Однако изучение динамических систем на неограниченных областях началось сравнительно недавно. Препятствием для изучения таких уравнений является то, что оператор ихх на прямой обычно не является положительно определенным и не имеет компактной резольвенты. Толчок к изучению аттракторов для уравнения (2) дала работа Бабина и Вишика [9], где было предложено понятие аттрактора, соответствующего паре пространств. Подмножество I CTZ называется глобальным (7Z', 1Z)-аттрактором динамической системы Ф, если (і) / — компактное подмножество пространства %; (И) множество I инвариантно но отношению к действию системы Ф, то есть, Ф(, I) — І для і > 0; (ііі) множество / притягивает ограниченные подмножества пространства 7V в топологии пространства Л.
В работе [9] было показано, что уравнение (2) имеет аттрактор, соответствующий паре, состоящей из весового соболевского пространства и его же, но со слабой топологией. В дальнейшем появились и другие работы, посвященные существованию аттракторов, соответствующих различным парам пространств (см. напр. [21], [10]). В работе [21] изучалось уравнение Гинзбурга-Ландау и было показано, что у него есть глобальный аттрактор, соответствующий паре пространств с сильной топологией в обоих, а именно, паре пострапств {Hi^, 71^(11)), где 7^i,7(R) есть банахово пространство таких функций и : R —> R, что квадрат нормы
1145л = [ P{x){u\xf + u{xf)dx Jr (с весовой фунцией р = (1+х2)7, 7 < —1/2) конечен, а пространство "H,]U — это такое подмножество пространства "Hli7(R), что для всех функций " fii,it норма І|и||і,и = вир||Гии||іі7 J/ЄП. конечна и выполнено соотношение \\и(- + у) — u(-)\\itU —> 0.
Одним из основных результатов главы I является следующая теорема о существовании глобальных аттракторов для уравнения (2), соответствующих той же паре пространств, что и в работе [21]. Теорема 1.
Пусть нелинейность f в уравнении (2) удовлетворяет условию дис-сипативпости /(«)«> А0|и|2- Лі. (4)
Тогда уравнение (2) порождает непрерывный полупоток в пространствах "Hi,7(R) и %!,„ и у этого полупотока есть глобальный (7iiiU, Тіі^(В-))-аттпрактор.
Другой основной результат главы I связан с дискретной динамической системой, порождаемой уравнением {ип+1 - un)/h = д+д-ип+1 + J(un+1), (5) (где ип — {ufyktz и un+1 = {u^+1}kez — последовательности вещественных чисел, оператор д+д- — это дискретный аналог оператора Лапласа, а отображение / действует на последовательности по формуле (f(u))i = /(щ)) возникающим в результате дискретизации уравнения (2) по неявной схеме с шагом h по времени и d — по пространственной переменной. Известно ([10]), что уравнение (5) порождает поток в пространствах Hi
Введенное нами пространство Щ^ естественным образом вкладывается в пространство 7{]i7(R) так, что последовательность {uk)ke7. #i,d,7 соответствует функции и(х) = іік+ів + ик(1 — 9), х — kd + 9, к Є Z, 9 Є [0,1). Соответствующий оператор вложения обозначим через Т&. Сформулируем теперь другой основной результат главы I. Теорема 2.
1. Пусть St,t>0— полупоток, порожденный уравнением (2), а$h,d — гомеоморфизм, порожденный уравнением (5). Тогда для любых функции v Є 7ііЛ(И) и числа Г > 0 верна оценка sup \\TdSl4{TalVdv)-VdSnhv\\ln->b при М-Ю, где Va ~~ ортогональный по отношению к скалярному произведению (u,w) = f p(x)u(x)w(x)dx проектор на образ оператора Td о прострап- стве 7^i)T(R.).
2. Пусть А — глобальный {'Hi,M,Hii7(R))-ammpaKmop уравнения (2), aA(h,d) — глобальные (і/і,і,«, Яід?) -аттракторы уравнения (5). Тогда аттракторы A(h,d) сходятся к аттрактору А в следующем смысле: dev(TdA(h,d),A) := pup inf \\а— &||i,7 -> 0 npuh,d -> 0. (6) aeTdA(h,d) ьеА
Заметим, что для параболических уравнений на ограниченных (по х) областях были получены явные оценки погрешности на конечном интервале по времени, например, в работе [20]. Однако эти оценки неравномерны по времени и ухудшаются при малых временах. В нашем случае тоже могут быть получены такие оценки, если немного изменить использованный метод.
Следует также заметить, что утверждение теоремы 2 легко распространяется на случай произвольной размерности с помощью метода, использованного в работе [10].
Оценки старших производных
В этом параграфе мы рассмотрим частный случай уравнения (2.1)-(2.3); мы предположим, что / = f(u) и П = R: В дальнейшем в этой главе нелинейность / будем считать липши це-вой и удовлетворяющей условию (2.5). Будем также предполагать, что Щ Є o,7(R) С7 -1/2.
Как было показано в параграфе 2, путем замены переменных и := и + с уравнение (4.1) можно свести к уравнению того же типа, по с функцией / = /(к — с), удовлетворяющей неравенству (2.4). Так как вопросы, изучаемые в этом параграфе, не зависят от такой замены, мы будем считать, что функция / удовлетворяет неравенству (2.4). Тогда из результатов параграфа 2 следует, что уравнение (4.1)-(4.2) порождает непрерывный полупоток {t}j o в пространстве Hin(R).
Установим некоторые свойства полупотока {St}, которые вытекают из результатов параграфа 2. Введем оператор сдвига Tv : "Hif7(R) — Hi,7(R): (Туи)(х) := и(х + у). Тогда выполнено следующее утверждение. Лемма 4.1. Для всех чисел t 0 и у є R верно равенство StTy = TySt. Доказательство. Выберем произвольную функцию и0 Є iif7(R). Тогда отображение u(t,x) := StUa(x) является решением уравнения (4.1)-(4.2). Рассмотрим отображение v(t,x) := Ty(SiUo)(x) — (Stuo)(x + l/).
Выполнены следующие равенства: &«( ,х) = ад«о(ж + у) = (Д5еи0)(яг4-у) - f{StuQ{x + у)) = = Ax(Stu0{x + у)) - /(5,ио(г + у)) = Ди(і,х) - /(t)(t,ar)). Следовательно, отображение и является решением уравнения (4.1)-(4.2) с начальным значением и(=0 = Тущ. Значит, по единственности, V = StTyU0. Лемма 4.1 доказана. Определим пространство с нормой ЦІІ]І,« := suplTjiiiii7. sea Заметим, что для любой функции щ Є "Hi R) С Hi,7(R) решение и(і,х) уравнения (4.1)-(4.2) удовлетворяет всем оценкам лемм 2.1 — 2.5 с нормами I)U вместо норм i,7. Например,
Следовательно, полупоток {5(}f o также является непрерывным полупотоком в пространстве i,u(R).
У полупотока {St} єсть ограниченное поглощающее множество А\ (определение можно найти в [25]} в пространстве %ii7(R) и непустое ограниченное положительно инвариантное поглощающее множество Аи\ в пространстве 7-Li,u(R). Доказательство.
По лемме 2.3 существует такое число R Є R, что множество А := {v nln(R) : \\ь\\щМщ Щ является положительно инвариантным поглощающим множеством для полупотока {St} в пространстве К\}1(И). Аналогично, множество является положительно инвариантным поглощающим множеством в пространстве %i,u(R). Множества Лі := Si Л и Аи\ := S\AU также поглощающие в соответствующих пространствах. Докажем, что они ограничены в этих пространствах.
Тогда отображение u(t,x) := S({Si)-1ii0(x) является решением уравнения (4.1). Следовательно, из леммы ЗЛ вытекает, что і N1,011?,7 с J Ит, -)?,7 dr С«(0, -)IIL CR (4.3) о (мы применили неравенства (3.5) сі = 1ип = 1и (2-7))-Если функция щ также принадлежит множеству Ли], то оценка (4.3) выполнена, как обычно, для норм [ \\\iU вместо Ц Таким образом, оба множества Лі и Ли[ ограничены в соответствую щих пространствах. Лемма 4.2 доказана. D Введем пространство %,u(R) = {« Є П2п(К) : \\и\\2,и := sup ЦТ Ц2і7 +оо}. Лемма 4.3. Пространство "H2,u(R) является подпространством пространства %1 7(R) и соответствующий оператор вложения компактен. Доказательство. Пусть последовательность {и„} ограничена в пространстве ft2,«(R), то есть, sup7 „2,7 M. п 1 Пусть фіі — срезающая функция, введенная в доказательстве теоремы 2.1. Тогда последовательность { i"rt} ограничена в пространстве Н2[ 1; 1]. Так как интервал [—1; 1] является звездным множеством, из теоремы вложения Соболева следует, что существует подпоследовательность {фііГп }n=i последовательности {t/ iun}n:% сходящаяся в пространстве //1 [—1; 1].
Аналогично, мы можем выбрать из последовательности {uh, }t=i такую подпоследовательность [un }t=n что последовательность {ір2іьі }t=i сходится в пространстве Я [—2; 2]. Действуя далее аналогично, мы приходим к последовательности {«и } т=1- Обозначим vn := Un , п Є N. Очевидно, последовательность {и„} является подпоследовательностью последовательности {«п}п=ї) и для любого числа R 1 последовательность {ФнУп} сходится в пространстве
Докажем, что последовательность {«„} сходится к функции v в пространстве IIі(R). Фиксируем число є 0. Существует такое положительное число 0, что р(х) 1/2 на интервале (—0; в). Следовательно, для любого числа к Є N, из леммы 1.1 иытекают следующие неравенства: (с2) полупоток {St}t Q имеет непустое ограниченное положительно инвариантное поглощающее множество В в пространстве Zu; (сЗ) для любого множества I? С В существует такое число г О, что множество ST(B) предкомпактио в пространстве Zp. Тогда у полупотока {St}t o существует (Zu; Zp)-аттрактор. Эта теорема доказана в работе [21]. Теорема 4.2. В наших условиях полупоток {St}t o имеет { i,u(R.); Wi,7(B-)) am трактор, и этот аттрактор лежит в пространстве "H2,u(R)-Доказательство. Условия (сі) и (с2) теоремы 4.1 установлены в леммах 4.1 и 4.2. Условие (сЗ) теоремы 4.1 также выполнено, так как согласно следствию леммы 3.3 отображение Si действует непрерывно из пространства "Wi,a(R-) в пространство "H2,„(R-)- Следовательно, из леммы 4.3 вытекает, что для любого ограниченного подмножества В С Hi,„(R) множество Si(B) предкомпактио в пространстве "Hi]7(R). Таким образом, по теореме 4.1 существует ("H1 u(R); Hli7(R))-aTTpaK тор полупотока 5. То, что он лежит в пространстве 7І2,и(Щ, вытекает из упоминавшихся ранее свойств ограниченности отображения S\ и инвари антности аттрактора.
Оценка отклонения приближенных аттракторов
В этой главе мы сформулируем общую теорему трансверсальности, которая будет применяться далее.
Начнем с нескольких определений. Если L : X -л Z (X, Z- банаховы пространства} - линейный оператор, то L обозначает сопряженный к L оператор. Далее, ограниченный линейный оператор L : X —у Z называется фредгольмовым, если его образ R(L) замкнут и конечны размерность его ядра, dimKer(L), и коразмерность образа, codim R{L). Заметим, что замкнутость образа R(L) требовать не обязательно, так как она вытекает из остальных условий (см., напр., [5]). Индексом фредгольмова оператора L называется число ind(L) := dim Ker(L) - codim7?(L).
Пусть X, Z — банаховы многообразия и Ф : X —У Z — отображение класса С1. Точка z Z называется регулярным значением отображения Ф (обозначаем: Ф{ }), если для всех точек х Є Ф-1(г) производная ОФ(х) — сюръскция (на касательное пространство T X)Z) и ее ядро имеет замкнутое дополнение в пространстве ТХХ. Все остальные точки многообразия Z называются критическими значениями отображения Ф. Далее, пусть У-топологичсское пространство. Его подмножество называется подмножсстіїом второй категории, если оно представимо в виде не более чем счетного пересечения открытых плотных в У подмножеств. Отображение о:: У — W (W- топологическое пространство) называется собственным, если прообраз всякого компакта в W под его действием — компакт в Y. Отображение /?: У — W называется сг-собственным, если пространство Y представимо в виде счетного объединения таких своих подмножеств У = [J Vi, что сужение Дул- собственное для всех п Є N. к=1 Теорема 2.1. Пусть X, У и Z — банаховы многообразия, Ф : X х У -+ Z -отображение класса С, г 1 и — точка многообразия Z. Предположим, что выполнены следующие условия: а) для любой точки (х.у) Є Ф-1() оператор ВХФ : ТХХ -у T Z (частная производная по переменной х) фредголъмов и его индекс мень ше г; б) для любой точки (х,у) Є Ф_1(0 оператор ПФ : ТХХ х ТУУ — T Z сюръектиеен; в) выполнено одно из двух следующих условий: el) отображение (х, у) у \ Ф-1() — У — и -собственное; в2) X и У — сепарабельные метрические пространства. Тогда множество таких точек у Є У, что Ф(-, у) — второй категории в пространстве у. Теорема 2.1 приведена Б [13] (ее доказательство можно найти в [19]).
Для проверки условия б) теоремы 2.1 нам понадобится следующий факт: Лемма 2.1. Пусть X, Y, Z — банаховы пространства, X х У — открытое подмножество пространства X х Y, (яо,Уо) — произвольная точка множества X х у. Пусть Ф : X х У —У Z — такое отображение класса С1, что оператор ПхФ(х$,уо) фредголъмов. Тогда если оператор ОФ(х,у) : X х У —» Z сюръектиеен при (х,у) = (х0,у0), то то Dice верно для всех точек (х, у) Є X хУ, достаточно близких к точке (х0,уо).
Лемма 2.1 приведена в [13] (ее доказательство приведено в [19], в доказательстве теоремы 5.4, хотя явно в этой работе она не сформулирована). где векторы Vk, Vfc+i принадлежат пространству R", параметр / — элемент пространства (s, s 1, в котором топология порождена вложением ts CS(Q х R) и топологией Уитни [2] в пространстве CS(Q х R), где П — область в пространстве Rft; отображение (р принадлежит классу С1(Ип х S,R") и таково, что при любом фиксированном параметре / отображение tp( if) — диффеоморфизм.
Сделаем несколько замечаний. Во-первых, в соответствии с общей схемой, здесь и далее мы будем рассматривать диффеоморфизмы ipSj, 4 іе и Фіт ((1- )-(1-9))) зависящие от функции /, как от параметра в отображении F. Во-вторых, свойство динамической системы вида (3.1) будем называть типичным, если ему удовлетворяют все динамические системы, соответствующие некоторому множеству параметров / второй категории. Также будем говорить, что это свойство выполнено для типичной системы (3.1).
Неподвижная точка v системы (3.1) называется гиперболической, если спектр оператора Dv(p(v,f) не пересекается с окружностью {z С : г = 1}.
Кроме того, в этом параграфе мы будем обозначать через / : Rra х -л R" оператор проекции па первую координату. Заметим, что тогда соотношение v — (p(v,f) равносильно соотношению v Є (/ — fi) l(0).
Основным результатом этой главы является следующая теорема. Теорема 3.1. У типичной системы (3.1) в случае, когда ц = tpsi, ipie или ріт, все неподвижные точки гиперболичны. Мы начнем с общего утверждения: Теорема 3.2.
Пусть для всякой пары (v, /) Є (І — v)"1 ) выполнены условия: а) матрица оператора Dvtp(v, f) представимо, в виде произведения двух симметричных положительно определенных матриц; б) оператор Dfip(v, /) : s - R" сюръективен. Тогда у типичной системы (3.1) все неподвижные точки гиперболические. Доказательство, Переформулируем доказываемое утверждение. Пусть, согласно условию а), при фиксированных (и, /) Є (I — )_1(0) верно равенство где An В — симметричные положительно определенные матрицы. Тогда матрица A ll2Dvtp{v, f)A1!2 — A ll2BA xt2 — тоже симметричная и положительно определенная, так как (А- ВА-1?2) = (А- УВ А-1 ) = A- BA-V2 и {А-Ч2ВА-1 Ч,ь)п = (B(A- 2v);A- 2v)n- О для любого вектора v 6 R", где (-,-)1 — скалярное произведение в пространстве R. Следовательно, спектр матрицы A 1/2Dv(p(v, f)A 1/ 2, а значит, и спектр матрицы Dvip(v, f) лежит на положительной части R. Тогда с окружностью {z Є С : \z\ = 1} спектр матрицы Dvip(v,f) может пересекаться лишь в точке 1, и пересекается тогда и только тогда, когда матрица / — Dv p(v,f) вырождена, т.е., когда v — критическая точка отображения I — p(-,f). Это возможно только если 0 — критическое значение этого отображении.
Гиперболичность неподвижных точек динамических систем
Пусть имеется динамическая система, порожденная диффеоморфизмом (р пространства R" класса С1. И пусть и+ и и - две ее различные гиперболические неподвижные точки. Нас интересует достаточное условие того, что неустойчивое многообразие Wu(u ) точки и и устойчивое многообразие Ws(u+) точки и+ пересекаются трапсверсально. Пусть щ есть произвольная точка из пересечения W(u ) Л W (u+). Напомним, что трансверсальность пересечения многообразий Wu(u ) и W(u+) в точке щ означает, что TUoWu(u ) +TUoWs(ii+) = R" (символом ТиМ, где М — гладкое многообразие, мы обозначаем касательное пространство многообразия М в точке и Є М). Вообще же два многообразия пересекаются трансверсально, если они пересекаются трансверсально в каждой точке своего пересечения.
Обозначим через {iik}kt=z траекторию, проходящую через точку и0 и введем семейство {Фк}кег изоморфизмов пространства R" по формуле
Мы докажем утверждение леммы для подсемейства {Ф } о, так как для другого подсемейства оно доказывается аналогично. Введем семейство изоморфизмов Фй :— Dip{u+), к 0. Из стандартных оценок следует, что оно - гиперболично, причем соответствующие проекторы можно выбрать равными спектральному проектору оператора Dtp(u+), соответствующему части спектра {z Є С; \z\ 1}.
Пусть где произвольный интервал, суть два произвольных семейства изоморфизмов пространства Rn, причем семейство Ф - гиперболическое, и соотношения (5.2) выполнены с заданными константами М, 7 и семейством проекторов {Qk}keJ- Пусть также (3 - произвольное число, удовлетворяющее неравенству 0 /3 7- Тогда существует такое полоэюительное число SQ, зависящее лишь от констант (5, "у и М, и числа L и N, зависящие лишь от констант 7 и М, что если для всех гтдексов k G J выполнено неравенство (Ф& — Ф& 5 $о, то семейство Ф также является гиперболическим, причем соотношения (5.2) для семейства Ф выполнены с константами М : L и у := {З и проекторами {Pk}keJ удовлетворяющими неравенству \\Qk-Fk\\ NS. (5.3)
Так как в нашем случае Ф — Фк\\ — 0, из этого утверждения fc- +00 вытекает, что если число а достаточно велико, то подсемейство { &fc}fce[a;+oo) является гиперболическим. Отсюда нетрудно получить, что гиперболическим является и подсемейство {Фк}кф,+оо) Для этого доста точно определить проекторы Рк, к Є [0; а) так, чтобы выполнялось соот ношения а) из определения гиперболичности. Лемма 5.1 доказана. ОбоЗНаЧИМ Проекторы ИЗ СВОЙСТПа ГИПербоЛИЧНОСТИ СеМеЙСТВ {Фк}к 0 и {Ф } о через {Рї)к о и { t+}fc o, соответственно. Лемма 5.2.
Верны равенства Т !7"(гГ) = Я(РА"), к 0 и TVhW{u+) = R(I Pk)i & 0, где через R{P) обозначен образ оператора Р. Доказательство.
Мы снопа докажем лишь второе равенство, TVkWs(u+) = R(I — Рк+), так как первое доказывается аналогично. Известно (см., например, [14]), что касательное пространство TVkWs(u+) состоит из тех и только тех векторов h е R", для которых существует такая ограниченная последовательность {hj}j Q, что hj+i = D p(uj)hj, j Q и hk — h (в упомянутой статье это утверждается только для локального устойчивого многообразия, но так как последовательность {vk}k o с какого-то момента попадает в локальное устойчивое многообразие, этот результат легко распространить и на все устойчивое многообразие). Отсюда с учетом оценок уже установленной нами гиперболичности семейства
Дискретные весовые пространства
Тогда найдется такое подмножество второй категории Г С Лі о пространстве Лі, что при всех значениях параметра А Є Г все гетеро-клинические траектории отображения р(-, А) - трапсверсалъни.
Мы будем доказывать эту теорему следующим образом. Сначала мы построим семейство множеств Гд До значений параметра А, для которых все гетероклинические траектории, удовлетворяющие определенным условиям трансверсальны. Эти множества будут открыты и плотны и некоторых маленьких окрестностях точек Ао из пространства Лі, но доказательство этого факта мы проведем после доказательства теоремы, чтобы не загромождать его. Потом, путем объединения этих множеств, соответствующих разным точкам А0, мы получим открытые и плотные множества во всем пространстве Лі, пересечение которых и будет давать требуемое множество второй категории. Заметим, что условия (Е), (F) и (S) нам понадобятся лишь при доказательстве плотности множеств Гддо Для этого мы применим теорему 2.1, причем условие (F) будет необходимо для проверки фредгольмовости, a (S) - «объективности отображений в формулировке этой теоремы.
Пусть BcR"- замкнутое ограниченное множество. Обозначим через ЛИ множество таких значений параметра А Є Лі, что все неподвижные точки отображения лежащие в множестве В, - гиперболические. Лемма 6.1. Множество Ав открыто. Доказательство. Мы докажем, что множество ЛДЛд замкнуто в пространстве Л Пусть {Afc} — последовательность точек множества ЛДЛд, сходящаяся к точке Асо є Лі. Тогда найдется такая последовательность (} С В, что vk суть гиперболические неподвижные точки отображений р(-, Afc) при всех номерах к 1. Множество В компактно, следовательно, из последовательности (} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Можем считать, что последовательности {Ajt} и (} выбраны так, что vk — і;м, где г — некоторая точка множества В.
Переходя в соотношении vK = (p(vk,\k) к пределу, получаем, ЧТО Uoo — неподвижная точка отображения (р(; Аоо). Далее, в силу гладкости отображения tp, верно соотношение нис с окружностью {z Є С : \z\ = 1}, т.е., точка Х не принадлежит множеству Ав.
В дальнейшем для удобства мы будем считать, что В есть замкнутый шар с центром в пуле, хотя все дальнейшие результаты (после минимальной переформулировки) верны для произвольного компактного множества В С R". Для произвольного положительного числа а обозначим аВ:= {ахЄЯп;хЄВ}. Лемма 6.2.
Пусть Х0 - произвольная точка множества Лзв, а {е } - все неподвижные точки отображения ( , AQ), лежащие в множестве В (их конечное число, так как все они - гиперболические, а значит - изолированные). Тогда существуют такие окрестность Vo С Л3я точки и окрестности Д и Щ точек е,-, г = 1.. .1, что
Мы не будем доказывать эту лемму, так как в пей перечислены стандартные утверждения. В самом деле, утверждение пунктов а)и в) вытекает из теоремы о неявной функции и непрерывности спектра дифференциала Dvtp(ei(X), А). Утверждение пункта б) - это известная теорема об окрестности седловой точки. Единственное отличие — это то, что мы утверждаем непрерывную зависимость констант С и а от параметра Л. Это легко получается, если в доказательстве упомянутой теоремы проследить за зависимостью от параметра. Утверждение же пункта г) легко доказывается от противного.
В дальнейшем, чтобы подчеркнуть зависимость от множества В и параметра Л0, окрестности V0, А и С/,-, і = 1.. .1 из леммы 6.2 мы будем обозначать через VB,\0, DB,\0,i и ІІВ,\О,І, соответственно. Кроме того, обо i значим через DBj\0 объединение (J DB,X0,U и пусть для любого целого неотрицательного числа т множество Г Ла есть множество таких значений параметра Л Є VB,\0 ЧТ0 всякая гетероклиническая траектория {uk}kez С В отображения (, А), удовлетворяющая условию трансверсальна. Сформулируем две леммы о множествах Г До, которые из-за громоздкости доказательства, мы докажем далее. Лемма 6.3. Множества Г Ло открыты в пространстве VB,X0-Лемма 6.4. Множества Г Ло плотни в пространстве VB,X0 Доказательство теоремы 6.1. Перейдем теперь к доказательству теоремы 6.1, считая леммы 6.3 и 6.4 доказанными.
Пусть В С R" - замкнутый тар с центром в нуле, а А0 - произвольная точка из множества Лзв- Тогда для любого номера т О множество ГдЛо в силу лемм 6.3 и 6.4 открыто и плотно в пространстве VB,\0-Нетрудно убедиться, что f] Tg1 Л есть множество таких точек ц Є Уя,д0, что всякая гетероклиническая траектория и С В отображения p(%li) трансверсальна. Следовательно, множество У р ГдА есть множе АеЛзв meN ство таких точек \і Є Л3в, что всякая гетероклиническая траектория и С В отображения p(-,fi) трансверсальна.
