Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Исследование билокалыюй модели уравнения Гинзбурга-Ландау (Курамото-Цузуки) 14
1.1. Описание рассматриваемого класса дифференциальных уравнений 14
1.2. Простейшие автомодельные циклы
1.3. Противофазный цикл 27
1.4. Асимметричные циклы 39
1.5. Устойчивость и бифуркации асимметричных циклов 46
1.6. Два особых случая 53
1.7. Периодические решения двух слабосвязанных осцилляторов 62
ГЛАВА II. Бифуркация автоволп обобщенного кубического уравнения Шредингера в цилиндрической области 68
2.1. Постановка задачи. Бегущие волны 68
2.2. Нормальная форма в базисном случае 74
2.3. Анализ нормальной формы и основные результаты в базисном случае 80
2.4. Бифуркации бегущих волн в "несимметричпом"случае 88
Литература
- Простейшие автомодельные циклы
- Устойчивость и бифуркации асимметричных циклов
- Нормальная форма в базисном случае
- Анализ нормальной формы и основные результаты в базисном случае
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию двух задач, возникающих при рассмотрении широко известного уравнения Гинзбурга -Ландау, которое часто называют иначе: уравнением Курамото - Цузу-ки. Данное нелинейное уравнение, впервые было получено в работах В.Л. Гинзбурга и Л.Д. Ландау, а также Л.А. Абрикосова (см., например, [39 -- 41]) как одна из математических моделей в теории сверхпроводимости. Это уравнение возникло при моделировании различных физических процессов, возникающих при изучении плазмы, турбулентных режимов в гидродинамике, нелинейной оптике и т.д. (см.,например, [2,21-23,27,29]).
Второй вариант названия (уравнение Курамото - Цузуки) появился после работ японских физиков И. Курамото, Т. Цузуки [42 - 44], которые па физическом уровне строгости получили его при рассмотрении систем химической кинетики с учетом диффузии. Строгий математический вывод этого уравнения возможен при рассмотрении систем уравнений с частными производными типа реакция - диффузия, но лишь в том случае, когда коэффициенты диффузии пропорциональны малому параметру (см.,например, [1], а также библиографию, которая приведена в данной монографии).
Исследованию динамики решений различных краевых задач для уравнения Гинзбурга - Ландау посвящено достаточно большое число работ. Их обзор и библиографию можно найти в монографиях [1,2]. Следует отметить, что во введении и далее используется сокращенное название этого уравнения. Во многих источниках уравнение Гинзбурга - Ландау называют "временно зависимое уравнение Гинзбурга - Ландау"(quintic time -dependent Ginzburg - Landau equation). Далее везде будем пользоваться укороченным вариантом названия этого уравнения, тем более, что оно стало уже общепринятым.
В физических приложениях системы уравнений и, следовательно, уравнение Гинзбурга - Ландау изучаются очень часто сведением задачи к конечномерной с помощью разностных аппроксимаций или галеркииских приближений (см.,например, работы А.В. Гапонова - Грехова, М.И. Га-биновича [45,46] и Т.С. Ахромссвой, Г.Г. Малинецкого [47 - 49]), а также И.А. Магницкого и СВ. Сидорова [59]. Естественно, что выводы после анализа таких конечномерных систем имеют феноменологический характер, тем более, как правило, рассматриваются малоразмерные приближения. Но традиции, физические соображения позволяют считать такой подход достаточно убедительным или, по крайней мере, достаточно при-смлимым.
Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию би-локальной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, если это уравнение рассматривается вместе с краевыми условиями непроницаемости (однородными условиями Неймана) или периодическими краевыми условиями. Это означает, что каждая из краевых задач
ди . . .д2и . . \ і i2 /г, л\
— = [ах + га2)у^ + и + (а3 + гафЩ (0.1)
ди ди
(0.2)
Тх^ = дх~]х=1
/ ч , ,, Зи. ди. .„ „ч
u(t,0) = u(t,l), _|Ї=0 = _|І=/ (0.3)
заменяется на систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
І = dexp(-ia)D^ + - (1 + ісШ\2. (0.4)
7Г 7Г
Здесь аі,а2,аз,а4,с Є М,аі > 0,аз < 0»^ > О»0, Є [——; —]>їг — u(,ar)
комплекснозначная функция двух переменных t и х [0;/] (/ > 0). Наконец,
«-«"-Ш^-сі-і)'
a i(),&(0 - комплекснозначные функции. При этом і() = гі(і,з;і), &() = u(t,X2), a ^1,^2 Є (0;/). (Более детально см. 1.1.)
Для системы (0.4) в главе I рассматривается круг вопросов связанных с существованием и исследованием устойчивости простейших аттракторов : циклов и двумерных торов. Их существование выявлено аналитическими методами, а при исследовании их характеристик и свойств иногда применялся компьютерный анализ, но он сведен до возможного минимума. В данной диссертационной работе не рассматриваются вопросы связанные с компьютерным анализом системы (0.4) для определения таких характеристик как ляпуновская и фрактальная размерность аттракторов этой системы. Этому вопросу посвящено достаточно большое число исследований (см., например, [7,11,50 - 52,59j и другие). Особо следует отметить работы, посвященные тому же кругу вопросов, но, где конечномерный аналог уравнения Гинзбурга - Ландау выписывался с помощью метода Галеркина [47 - 49,52,59].
Перейдем к более детальному обзору содержания главы І. В 1.1 дано подробное описание рассматриваемого класса дифференциальных уравнений, а также постановка задачи, которая рассматривается в этой главе.
В 1.2 исследован вопрос об устойчивости и локальных бифуркациях простейшего автомодельного цикла, т.е. периодического решения уравнения (0.4) вида
= ( Л exp(-id).
Этот цикл принято называть однородным [1,2,7], синхронным ([3 - 6[). В данной работе этот цикл будем называть циклом Андронова - Хопфа. В этом параграфе показано, что вопрос об устойчивости этого решения сводится к проверке неравенств. Пусть коэффициенты си и с таковы, что d\ = свта-cosa > 0. Тогда при d > d\ этот цикл орбиталыю асимптотически устойчив и он неустойчив при d < d\. В случае, когда оказывается, что величина d\ < 0, то цикл Андронова - Хопфа устойчив при любом выборе параметров задачи. Впрочем этот результат хорошо известен (см., например, [1,7]) и он приведен для полноты изложения. Можно назвать и другие работы, где этот факт упоминается. Недавно появилась статья [60], где этот результат отмечался еще раз. Основной результат этого параграфа относится к задаче о локальных бифуркациях от данного цикла. Положим
d = d\ — є,
где є - малый параметр. Используя широко известную технику построения нормальных форм в сочетании с приемами, использующими специфику уравнения (0.4), показано, что вопрос о бифуркациях от цикла Андронова - Хопфа сводится к нахождению состояний равновесия скалярного уравнения
p = exp + bf?, -(0.5)
где р — p(t) Є К, х, b - действительные постоянные. При исследовании уравнения (0.5) центральную роль играет величина Ъ (в первую очередь знак этого коэффициента). В 1.2 приведена формула, выражающая b через оставшиеся свободными параметры задачи, т.е. b = 6(а, с). Ввиду громоздкости этих формул приведены рисунки, дающие разбиения области параметров (а, с) на области сохранения знака b = b(a,c). Учитывая, что в нашем случае х > 0, в силу способа выбора бифуркационного параметра є понятно, что уравнение (0.5) может иметь два нетривиальных состояния равновесия, если 6 и є имеют разные знаки. Каждому состоянию равновесия соответствует цикл исходного уравнения (0.4). Точная формулировка результата содержится в теореме 1.1.
В 1.3 рассматривается аналогичный круг вопросов для цикла, кото-
рый естественно называть противофазным:
= Ра (_1)ехР(г''аО'
где р1= 1 — 2d cos а, а аа = 2d sin a + 2cd cos а —с. Этот цикл существует
7 1 , . , 7Г. 1
при а < (а Ф ±—). Он устойчив при а < и неустойчив при
2 cos а 2 4 cos а
d > . Как и в предыдущем параграфе вопрос об устойчивости и
4 cos а бифуркациях от этого цикла сводится к исследованию тех же вопросов,
но нулевого решения вспомогательного уравнения в С2. При этом показано, что если d\ > 0, то потеря устойчивости может происходить лишь колебательным образом. Следовательно, вопрос о бифуркациях от этого цикла сводится к вопросу о бифуркациях от нулевого состояния равновесия в случае близком к критическому пары чисто мнимых собственных значений, т.е. в итоге к применению классической теоремы Андропова -Хонфа. Для исходной системы (0.4) это означает, что от противофазного цикла бифурцирует двумерный инвариантный тор. В диссертационной работе (1.3) приведены рисунки областей сохранения знака ляпуновской величины в плоскости параметров (а, с), которая и в теореме Андронова - Хопфа и, естественно, здесь играет центральную роль. Явная аналитическая формула для ляпуновской величины в тексте 1.3 не приводится в виду ее громоздкости. По этой же причине затруднен анализ ее знаков. Выводы и рисунки сделаны с помощью численного анализа соответствующей формулы. В приложении 1 приведена программа па языке Pascal в среде Delphi 5.0, вычисляющая эту величину в зависимости от выбора параметров а и с. Тело программы содержит явный вид самой формулы для ляпуновской величины.
Центральную роль в главе I играет 1.4. В нем рассмотрен вопрос о существовании иных, отличных от цикла Андронова - Хопфа и противофазного цикла, автомодельных периодических решений. Напомним, что автомодельными периодическими решениями здесь и ниже называются решения, которые нредставимы в виде
(t) = r)Qxp{iat), г] Є С2. (0.6)
При щ = щ получаем цикл Андронова - Хопфа. При щ = —щ - понятно противофазный. В 1.4 рассматривается вопрос о существовании решений (0.6), для которых
Ы Ф М-
Такие циклы принято в физике называть асимметричными [3 - 6,54]. Первая попытка найти решения такого вида была предпринята в фундаментальной работе [4]. Там была отмечена важность этой задачи и предложен вариант ее решения в частном случае, когда а = 0. При этом окончательный ответ следует из анализа трапцендеитного уравнения, которое весьма сложно для исследования. В диссертационной работе (см. 1.4) эта задача решена при всех возможных а и вопрос о существовании асимметричных решений сведен к анализу квадратного уравнения. Последнее обстоятельство делает возможным по крайней мере точно ответить на вопрос о количестве автомодельных периодических решений. При этом все параметры таких решений достаточно легко восстанавливаются по формулам из 1.4.
В конце данного параграфа указана связь между асимметричными решениями и теми периодическими решениями, которые бифурцируют из однородного цикла (см. 1.2).
В 1.5 сначала исследуются асимметричные решения на устойчивость. Используя нелинейные замены, вопрос об их устойчивости, как и обычно, удается свести к вопросу об устойчивости состояний равновесия вспомогательной системы из трех действительных уравнений. В свою очередь, при анализе устойчивости этих состояний равновесия на основе критерия Рауса - Гурвица (см. приложение 2) с использованием компьютерной программы на языке Pascal в среде Delphi 5.0 удалось показать существование такой постоянной d$ = (1з(а,с) > 0, что при d > d% эти циклы устойчивы. При d < d% они становятся неустойчивыми и потеря их устойчивости происходит колебательным образом. Последнее означает, что при d = g?3 спектру устойчивости рассматриваемого состояния равновесия принадлежит пара собственных значений ±iu (и = v(a,c) > 0), а третье собственное число отрицательно. Отметим дополнительно, что компьютерный анализ из приложения 2 сводится к проверке четырех громоздких неравенств. Последнее обстоятельство, к сожалению, не дало возможности сделать этот анализ традиционным аналитическим способом. Результаты вычислений проиллюстрированы таблицами.
Пусть теперь d = d^ — є, где є - малый параметр. Понятно, что вопрос о бифуркациях от асимметричных решений сводится к вопросу о бифуркациях от соответствующего состояния равновесия в случае, когда применима классическая теорема Андронова - Хонфа и ответ зависит от коэффициентов (главную роль при формулировке ответа играет их знак) нормальной формы. Для этих коэффициентов нормальной формы получены рекуррентные формулы, которые приведены в теле программы из приложения 2. Результаты вычислений приведены в виде рисунков, где, как и ранее, при исследовании аналогичных вопросов, дано разбиение
плоскости параметров (а, с) на области сохранения знаков соответствующей ляиуновской величины. Все это вместе (замены и анализ вспомогательной системы) означает, что от асимметричных циклов бифурцируют двумерные инвариантные торы, устойчивые или дихотомичные, в зависимости от выбора параметров а, с и є.
Следующий параграф, т.е. 1.6, посвящен анализу двух частных, а можно сказать и особых случая, когда а = — и а = 0.
Пусть а = —. Этот случай часто называют волновым, так как урав-
пение (0.4) имеет такой вид, если уравнение (0.1) рассматривается при а\ = 0. Т.е. уравнение (0.4) является билокалыюй моделью обобщенного нелинейного уравнения Шредингера. В свою очередь, нелинейное уравнение Шредингера служит квазинормальной формой при исследовании ряда краевых задач для нелинейного волнового уравнения [24,25]. Рассмотрение этого частного случая во многом повторяет построения ранее рассмотренных вариантов выбора а. Вместе с тем имеются и отличия, и упрощения. Именно на отличиях и делается акцент при разборе этого
частного случая [а— —).
В значительной мере, только что сделанные замечания, относятся и к другому особому частному случаю (а — 0). Именно анализу этого случая в значительной мере и посвящена работа [4]. Сразу отметим, что при а = 0 все асимметричные циклы заведомо неустойчивы, что означает их физическую нереализуемость. Видимо поэтому авторы работы [4] не придали большого значения наличию асимметричных циклов. Возвращаясь к общему случаю (т.е. а ф 0) можно заметить, что вывод о неустойчивости асимметричных циклов не является обязательным и возможны наоборот варианты выбора параметров задачи, когда они устойчивы (см. 1.6).
Возвратимся к особому случаю, когда а = —. Он более содержателен.
В 1.6 приведен рисунок, где плоскость параметров (с, d) разбита на области, где асимметричных цикла два (с/2 < с2) и соответственно четыре, или они вообще отсутствуют.
Детально рассмотрен лишь случай d2 < с2 и с > 0. При таком выборе параметров, показано, что существует такая положительная постоянная с?з(с) < с, что при d Є (dz(c),c) оба асимметричных цикла устойчивы, а при d Є (0;(/з(с)) они оба неустойчивы. Потеря устойчивости происходит колебательным образом и при d < d^(c) (\d — d^(c)\ « 1) от каждого асимметричного цикла бифурцирует двумерный асимптотически устойчивый инвариантный тор. Точные формулировки соответствующих утверждений приведены в теореме 1.6.
Особое место в главе I занимает последний ее параграф. В 1.7 рассмотрена задача о динамике двух слабосвязанных идентичных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга. Эта задача достаточно хорошо известна и рассматривалась в различных постановках. Например, когда рассматривались два слабосвязанных и близких к идентичным осциллятора. Различные постановки задачи можно найти в работах [3 - 6,21,28]. Тот вариант постановки, который будет рассмотрен в этом параграфе часто (см. [3 - 6]) называют симметричным. При этом следуя работам [3 - 0,54] будем предполагать наличие как диссипативной (диффузионной), так и инерционной связей. То что связь слабая проявляется в том, что ряд коэффициентов пропорционален малому параметру є. В 1.7 рассматривается следующая система:
х\ — 2ех\ + х\ + х\х\ + Ьх\ + є^{х\ — х2) + е(3{х\ — Х2) = 0,
(0.7) х2 - 2єх2 + х2 + х\х2 + Ьх\ + Є^(х2 - Х\) + є/З(±2 - &i) = 0.
Здесь 6,7 - произвольные действительные постоянные, Р > 0, Е (0;єо)> a q - достаточно малая положительная постоянная. При j = (3 = 0 система (0.7) представляет собой два идентичных генератора Ван дер Поля -Дуффинга, каждый из которых генерирует устойчивый цикл с амплитудой пропорциональной у/є (см.,например, [55,58]). Симметричность здесь проявляется в том, что замены х\ —> х2, х2 —У х\ не меняют систему.
Применяя метод нормальных форм, исследование структуры нулевого решения сводится к исследованию системы (0.4). Поэтому все грубые аттракторы, отмеченные у (0.4), имеют аналоги и у системы (0.7). Точные формулировки соответствующих утверждений можно найти в тексте 1.7. В частности, утверждения о наличие однородного, противофазного и асимметричных циклов. Понятно, что рассмотрен вопрос о бифуркациях от этих циклов. От противофазного и асимметричных циклов бифурци-руют, как правило, двумерные инвариантные торы. Отметим, что в иной постановке задача рассматривалась в работе [56].
Перейдем к содержанию главы П. В этой главе рассмотрено обобщенное кубическое уравнение Шредингера
ut = u- (I + ic)u\u\2 - id/\u. (0.8)
Здесь с, d Е Ж (d > 0), и = u(t,x,z) - комплексиозначная функция переменных t,x,z. Уравнение (0.8) является частным случаем уравнения (0.1), если в уравнении положить а\ = 0. Это уравнение возникает во многих физических приложениях (см.,например, [21 - 23,29]). С точки
зрения приложений это уравнение Гинзбурга - Ландау, в котором учтена дифракция, но отсутствует диффузионный член. Такая ситуация типична для лазерных резонаторов и других нелинейных оптических сред, поскольку световые лучи обладают поперечной дифракцией, но не диффузией. Само же уравнение описывает в этом случае пространственную эволюцию электромагнитного пакета в указанных средах.
В диссертационной работе рассматривается тот случай, когда пространственные переменные (х, z) принадлежат цилиндрической области, т.е. х Є [0;27г]тос?(27г),2: Є [0;/]. При этом уравнение (0.8) рассматривается вместе с краевыми условиями
u(t,x + 27Г, z) = u(t,x,z), (0.9)
Uz\z=Q = Uz\z=l = 0. (0.10)
Данная краевая задача ранее не рассматривалась. Уравнение (0.8), безусловно, уже изучалось в других областях и с другими краевыми условиями. Достаточно подробный обзор этих работ и библиографию можно найти в монографиях [1,10,16,25], а также работах [24,34,37,38,01].
Замена z\ — — сводит краевую задачу (0.8), (0.9), (0.10) к вспомогательной задаче
щ = и — (1 + ic)u\u\2 — idLu, (0-11)
u(t,x + 27г, z) = u(t,x, z), (0-12)
Uz\z=0 = Uz\z=tt = 0. (0.13)
Здесь индекс "l"y переменной z опускаєм,
ґ) 11 (j 11
Lu — — + eft —~2, 0 < x < 27г(шос?27г), 0 < z < 7Г.
В диссертационной работе рассматривалась задача (0.11), (0.12), (0.13), что немного удобнее с технической точки зрения. Эта краевая задача имеет решения в виде плоских периодических воли:
un(t, х, z) = exp(iant + inx),
где n Є Z (множеству целых чисел), ап = dn2 — с.
Во второй части 2.1 рассмотрен вопрос об их устойчивости в норме фазового пространства решений краевой задачи (0.11), (0.12), (0.13).
При этом на основе принципа самоподобия [33 - 34] и связанных с ним замен задача сводится к исследованию устойчивости нулевого решения вспомогательной краевой задачи
Wt = -idLw -(1 + ic)(w + w) — (1 + ic)(2ww + w2 -f w2w),
где комплекснозпачная функция w(t, х, z) удовлетворяет тем же краевым условиям, что и функция u(t,x, z).
Достаточно стандартный анализ вспомогательной краевой задачи показал, что при
О -min(l,a)
ее нулевое решение теряет устойчивость (как, естественно, и решение un(t,x,z) исходной краевой задачи).
При с = -min(l,ao) реализуется критический случай в задаче об
устойчивости нулевого решения вспомогательной краевой задачи. Отметим, что при aQ = 1 спектру устойчивости этой задачи принадлежит нулевое собственное значение кратности четыре, которому отвечают четыре линейно независимых собственных функции.
Далее в работе рассматривался именно этот случай: ац = 1, а, также случай, когда uq « 1. Первый из них (базисный) рассмотрен в 2.2 и 2.3. Изучение второго, когда |ао — 1| << 1, во многом повторяют построения применяемые при изучении базисного случая, хотя результаты, естественно, несколько разнятся.
В 2.2, 2.3 на основе применения принципа самоподобия и метода нормальных форм при d — 2с — є построена система двух обыкновенных дифференциальных (амплитудных) уравнений, динамика которых в грубых случаях индуцирует динамику исходной краевой задачи. После перенормировок она приобретает вид
р'\ -Р\ -Pi(aiPi + 6i/72),
(0.14)
P2=P2-P2(&lPl+aiP2)>
где pi = P\{j) > 0) 92 — Pi(j) > 0, т - медленное время, а штрихом обозначена производная по т. Наконец,
30с4 - 9с2 +1 2 2
ai = -с , h = 4с2 1 - с2).
Понятно, что а\ > 0, а\ + Ь\ > 0 при всех рассматриваемых значениях коэффициента с.
Система (0.14) имеет три нетривиальных состояния равновесия:
Е\: р\ = —, р2 = 0; Е2: р\ = 0, р2 = —;
a\ а\
Ез Р\ = Р2 = ——г-
CL\ +Oi
,,.9/ 33±V873,
Состояние равновесия Е^ изолировано, если а\ ф Ь\ (с ^ — j.
108 Именно этот случай рассматривается в работе. При этом состояния равновесия E\,E2 асимптотически устойчивы, если выполнено неравенство
ах < h (0.15)
и неустойчивы, если
ai > &!. (0.16)
Состояние равновесия Е$ асимптотически устойчиво, если выполнено неравенство (0.16) и неустойчиво при выполнении неравенства (0.15). Напомним, что d > 0, а следовательно, в критическом случае и с > 0. Откуда элементарно проверяется, что неравенство (0.15) выполнено, если
с Є (сі;с2),
а неравенство (0.16) выполнено, если
с Є (0;ci)U(c2;oo),
/33-\/873 Л1„Л /33 + ^873 ПГ7ПЛ
где сі = \ и 0.179, с2 = \/ « 0.761.
V 108 ' V 108
В заключительной части 2.3 показано, что состоянию равновесия Е2
соответствует счетное число циклов, а состояниям равновесия Е\,Е^ соответствует уже счетное число двумерных инвариантных торов исходной краевой задачи. Построенные циклы и торы наследуют устойчивость (неустойчивость) соответствующих состояний равновесия. Развернутые, математически более строгие утверждения сформулированы в виде теорем 2.2 - 2.4 и следствий из них.
Последний параграф посвящен тому случаю, когда \uq — l| << І. В 2.4 исходная краевая задача рассматривается, когда
(% = І — гє, d — 2с — є.
Построения, в которых основные моменты повторяют построения двух предыдущих параграфов, приводят как и там, задачу о бифуркации плоских воли к исследованию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, подобной системе (0.14),
Pi = Pi- Pi{a\Pi + bip2),
(0.17) h = 9P2 - Р2{Ь\р\ + aip2),
где д = 1 + 2сг. При I = 7г (ао = 1) получаем, что g = 1 (г = 0).
Эта система может иметь нетривиальные состояния равновесия трех типов
Eig : р\ = —, Р2 = 0; 2fl : pi = 0,/ = —, если р > 0;
ai ai
ai - 61^7 a^ - &i ai - otf a^ - h
Ец Pi = ——7T, P2 = —o—To"» ссли T > > Г" > -
af — of af — of ai — &i ai — oi
В 2.4 выведены условия их устойчивости и показано, что состоянию равновесия Е2д соответствует счетное число циклов, а состояниям равновесия Е\д, Езд - двумерные инвариантные торы. Как и раньше в 2.3 свойства устойчивости наследуются.
Наконец, диссертация содержит два приложения. Каждое из них содержит компьютерную программу на языке Pascal в среде Delphi 5.0 [57]. Первое из них относится к 1.3 и программа предназначена для вычисления ляпуновских величин для нормальной формы при исследовании бифуркационной задачи этого параграфа. В 1.3 не приводится явный вид формул для подсчета этих величин, так как они слишком громоздки и вдобавок не поддаются аналитическому исследованию даже на знак. Это сделано численно, в циклах по а и с. Сами формулы в виду громоздкости записаны рекуррентно и имеются в теле программы. Здесь автор следует традиции вычислений ляпуновской величины (см. приложение 5, стр. 346 - 349 из монографии [14]).
В приложении 2 приведена программа для численного анализа условий устойчивости асимметричных циклов, а также подсчета и, в частности, определения ляпуновских величин. Схематически структура этого приложения примерно такая же как и приложения 1.
Основные результаты диссертации докладывались на семинаре для аспирантов на кафедре математического моделирования; на Всероссийской конференции посвященной 200 - летию образования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (2003 г.); на международной конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы"(Н. - Новгород, 2006 г.); на Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения", посвященная 100 -летию со дня рождения заслуженного деятеля науки РСФСР, профессора И.П.Макарова (Рязань, 2006 г.).
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 8 работах [62 - 69].
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А.Ю. Колесову за руководство работой и помощь.
Простейшие автомодельные циклы
Как уже отмечалось в постановке задачи, в первую очередь, исследованию подлежит вопрос о существовании решений вида (1.4). Некоторые из них указываются элементарно. Очевидно, что уравнение (1.2) допускает решение &( ) = (J) cxp(-irf), (1.6) 1G которое принято называть [l,2,7j однородным циклом или циклом Андронова - Хопфа. В физической литературе чаще используют термин синхронный цикл (см., например, [3 - G]). В данной работе будем использовать термин цикл Андронова - Хоифа. Этот термин мотивирован тем, что каждая компонента вектор - функции (1.6) удовлетворяет скалярному уравнению і = z — (1 -H c)2:z2 - нормальной форме, возникающей при изучении бифуркации Андронова - Хопфа. Для исследования устойчивости цикла Андропова - Хоифа в уравнении (1.2) положим №) = &(%о+ «( )], (1-7) где до = I ) , а, как уже отмечалось, при записи представления (1.7) использована операция покоординатного умножения. Подстановка-(1.7) в уравнение (1.2) приводит нас к уравнению для v(t) вида v = dexp(—ia)Dv — (1 + ic)[v + v + 2vv + v2 + v2v). (1.8)
Следовательно, вопрос об устойчивости периодического решения (1.6) сводится к исследованию устойчивости пулевого состояния равновесия уравнения (1.8). Поэтому, как обычно, следует рассмотреть линеаризованное в нуле уравнение (1.8): v = dexp(—ia)Dv — (1 + ic)[v + v]. (1.9)
Лемма 1.2. Пусть d\ = csina — cosa 0. При d d\ нулевое решение дифференциального уравнения (1.9) асимптотически устойчиво и неустойчиво, если d d\. Если постоянная d\ 0, то нулевое решение (1.9) асимптотически устойчиво при всех рассматриваемых значениях параметра d. При d = d\ спектр устойчивости уравнения (1.9) содер-oicum двукратное пулевое собственное значение.
Из леммы 1.2, в силу замены (1.7), немедленно вытекает, что в случае, когда постоянная d\ 0 цикл Андронова - Хоифа орбиталыю асимптотически устойчив. Если же оказалось, что d\ 0, то при d d\ опять же однородный цикл орбиталыю асимптотически устойчив и он неустойчив, если d Є (0;с?і). Наконец, при d = d\ имеет место критический случай в задаче об устойчивости как цикла Андронова - Хопфа так, конечно, и нулевого состояния равновесия системы (1.9). Утверждения аналогичные лемме 1.2 имеются, например, в работе [7], а также в работе автора диссертации [64]. Доказательство этой леммы проводится стандартным способом. Напомним его.
Пусть v\ = Wi + іиіз, V2 = W2 + iw\. Сформируем четырехмерную вектор - функцию с действительными компонентами w = colon(w\,W2, WZi іщ), Wi = Wi(t), W2 = W2(t), W2, = Ws(t), W4 = Wi(t). Для w = w(t) имеем стандартную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получена из (1.9) выделением действительных и мнимых частей w = Aw, (1.10) где ( — 2 — d cos a dcosa —с? sin о; d sin а \ . dcosa —2 —dcosa dsma — ds ma A = —2c -f- dsina — dsma —dcosa dcosa у -dsina — 2c + dsina; d cos a —dcosa J Характеристический многочлен этой матрицы Ра(Л) = Л(Л + 2)[Л2 + (4dcosa + 2)А + 4d(d - di)], у которого есть корни Лі = 0, Лг = —2, а собственные значения A3, А4 находятся как корни квадратного уравнения A2 + (Ad cos а + 2) A + 4d(d - dx) = 0. Здесь при всех рассматриваемых значениях d и а справедливо неравенство 4d cos а 4- 2 0, а свободный коэффициент квадратного уравнения 4d(d — d\) 0 при всех рассматриваемых d и а, если d\ 0, и может менять знак, если d\ 0. В первом случае, конечно ЯеАз,4 0, а во - втором случае есть собственное число А4 0 (Аз 0). После исследования нулевого решения системы дифференциальных уравнений (1.10) на устойчивость его результаты переносятся на аналогичный вопрос для цикла Андронова - Хопфа с помощью теоремы Андропова - Витта (см., например, 20 из [8]).
При d = di (d\ 0) у матрицы А есть два отрицательных собственных числа Аг = -2, Аз = — 2 — 4 icosa, а также двукратное нулевое собственное значение. Ему отвечают два линейно независимых собственных вектора eo / 0\ О 1 v-v еі / COS /Л — cost/? — sin У simp J где вспомогательный угол /? определяется равенством tg /? = —, Ь\ = с cos a + sin a, (1.11) а величина G?I была определена і)ансе.
Положим d = d\ — є. Простые вычисления показывают, что при таком выборе d у матрицы А появится собственное число А,й di diCosa + 0.5 є + о(є).
При малых є реализуется случай близкий к критическому в задаче об устойчивости цикла Андронова - Хонфа и, следовательно, может быть поставлена и решена задача о бифуркациях от этого цикла. В свою очередь, основная тяжесть исследования бифуркационной задачи, как обычно, переносится на построение нормальной формы.
Лемма 1.3. Существует такая достаточно малая положительная постоянная єо, что при всех є Є (—єо єо) динамика решений уравнения (1.8) в окрестности цикла Андропова - Хопфа описывается системой двух действительных уравнений Р = Хр + Ьр3 + ..., ф = Рр2 + ..., (1.12) где точками обозначены слагаемые, заменяющие функции р и є, которые допускают оценку М(ер2 + \р\4 + є2\р\). Доказательство леммы в целом повторяет содержание п.З работы [G4]. Введем в рассмотрение линейный оператор L\v = d\ exp(—ia)Dv -(1 + ic)(v + v), у которого два собственных числа отрицательны, а также имеется двукратное нулевое собственное число.
Устойчивость и бифуркации асимметричных циклов
Для исследования этих вопросов можно и удобно перейти к новым переменным. Положим 6W = Pi(t) expfajW) 0 = 1,2). Ф( ) = ЧЖ) - ipi{t), (л т (L77) Pl(t) = JW) sin( + ), p2(t) = у/Щ (Ш + l)t 7Г 7Г S где p Є (—; —). После замены t = - и преобразований для переменных p(s) 0, (p(s), (s) получим замкнутую систему трех дифференциальных уравнений: (1.78) р = [(1 — dcosa) + d cos a cos ф cos ф\р — [1 + sin2 ]p2, ip = d sin a sin — d cos a sin cos ф — p sin ip cos /?, sin ф = cpsimp — dsin a tg cp cos V — G?cos a COSif Здесь штрихом обозначена производная по s. Система (1.78) имеет состояние равновесия Ді : р = 1, у = 0, = О, которое соответствует циклу Андронова - Хонфа. Состояние равновесия і?2 : р = 1 — 2с? cos а, ср = 0, ф = к соответствует противофазному циклу. Напомним, что противофазный цикл существует, если справедливо неравенство 1 — 2d cos cv 0, что необходимо, естественно, и для существования состояния равновесия R2.
Остальным автомодельным периодическим решениям соответствуют состояния равновесия R$, чьи координаты восстанавливаются по формулам: d т] + 4 2 . y/r] p = -—===, COS if = —===, sin (f = ± (1.79) , y/rf+4di . rjhdi cosip = —=====, smtp — ± y/(l + c2)ri + 4d{ V/(1 + C2)T/ + 4 В формулах для определения sin у, sin фигурируют два варианта выбора знака. Это отражает тот факт, что каждому подходящему решению уравнения (1.71) соответствует два асимметричных цикла. При этом один из другого получается заменами р\ - /) Pi Рь что является отражением симметрии исходного уравнения (1.2). При исследовании устойчивости состояний равновесия Лз достаточно рассмотреть один из вариантов выбора знака (либо оба раза знак плюс, либо оба раза знак минус).
Понятно, что исследование устойчивости выбранного состояния равновесия сводится к исследованию устойчивости системы трех дифференциальных уравнений х = Dx, где D - матрица Якоби системы (1.78), вычисленная в точке, чьи координаты находятся по формулам (1.79): 2d d2 /v(w + 4) с?п = 1 — cfcosa-f —-(dicosa — 2 — rj), dyi = — {d\ cos a + 2), F\ 2ґ1 d2di h y/rjy/rfT4 cos a y/fj d da = _""-v/vr, dn = _2_ __ = __ (4+MiC0Sa_4) dd\ ,. .. . . N . \Щ i iv/ M У x +4 d23= , 7((y/+ 4) sin a + ту/і cos a), азі = c 32 = —77 —(4c-di(T]+4) sin a-dir]h cos а), с?зз = ——(Дт/sin a-(//+4) cos a), 4ri lt\ где Fl = у/(1 + с2)г] + Ы[. Рассмотрим теперь характеристический полином матрицы D : р? + Рц2 + Q/z + R = 0. (1.80)
Понятно, что коэффициенты характеристического уравнения (1.80) зависят от с, a, d : Р = P(d, с, a), Q = Q(d,с, а), Я = Я( і, с, а). Вопрос об устойчивости нулевого решения сводится к исследованию расположения корней характеристического уравнения (1.80). Ввиду громоздкости выражений для коэффициентов Р, Q, R явный вид их приводить не будем. Тем более расположение корней (1.80) изучалось с помощью критерия Рауса - Гурвица численно, на основе компьютерного анализа условий устойчи вости: Р 0, 2 0, R 0,F = PQ-R 0. (1.81) 7Г Оказалось, что при всех а Є (0;—) и с Є (0; со), d Є (0;cfo), где CQ,CIQ - достаточно большие положительные постоянные, первые три из нера венств (1.81) выполнены. При рассмотрении знака функции F(d,c,a) на блюдалась иная картина: при любых (а, с) из указанных диапазонов су ществует такая постоянная d = d$(c, си), что при d Є (0; з) справедливо неравенство F(d,c,a) 0, а при d Є {d do) имеем уже неравенство F(d,c,a) 0 и, конечно, F(d (c, а), с, а) — 0. Все это вместе означает, что при d Є (0; а?з) соответствующий асимметричный цикл неустойчив и он устойчив при d Є ( із; do). Смена устойчивости происходит колебатель ным образом, так как при d = dz{c,a) спектру матрицы D принадлежит пара чисто мнимых собственных значений ±г (и = и(с, а) 0), а тре тья точка спектра лежит в левой полуплоскости комплексной плоскости {v — уЧ с с, а),с, а)). Случаи, когда а — 0, а = — рассмотрены отдельно.
Следует добавить, что при тех (с,а) Є III (см. рис. 1.1), т.е. когда ляиуиовская величина в задаче о бифуркациях от однородного цикла отрицательна, то можно отметить справедливость следующего неравенства dz(c,а) d\(c,a). Отметим также, что при (с, а) Є 77 (см. рис. 1.1) и d = d\ + є (є 0) оказалось, что вес эти циклы неустойчивы.
Все сформулированные выше утверждения не объедепены в утверждение тина теоремы или леммы лишь по той причине, что они проверялись численно. Для этого была составлена компьютерная программа на языке Pascal в среде Delphi 5.0. Текст программы и соответствующие материалы можно найти в приложении 2 к диссертации.
В таблицах 1.1 - 1.3 приводятся некоторые результаты вычислений ds = d (c,a) и v — р(с,а). Таблицы носят чисто иллюстративный характер, так как содержат лишь очень малый объем проделанных вычислений.
Положим d = (1$—є, где \є\ « 1. При таком способе выбора d в задаче об устойчивости выбранного состояния равновесия Лз реализуется случай близкий к критическому пары чисто мнимых собственных значений. Следовательно, можно рассмотреть задачу о бифуркации автоколебаний в системе трех дифференциальных уравнений (1.78), ответвляющихся от данного состояния равновесия. Для исследования бифуркационной задачи возникает стандартная ситуация, когда возможно применение бифуркационной теоремы Андронова - Хоифа. Хорошо известно, что в ситуации общего положения ответ на этот вопрос следует из анализа нормальной формы (см. [1,14 - 15]). z\s) = є(а3 + І/УФ) + (hi + ih2)z(s)\z{s)\\ (1.82) где є, Qf3, Д}, /зі, /з2 Є К. При этом особую роль приобретает сочетание знаков двух постоянных аз и hi лянуновской постоянной. При предложенном выборе введения параметра є постоянная о?з 0. Так что центральную роль играет задача определения знака лянуновской величины hi- В свою очередь для решения этой задачи достаточно построить нормальную форму (1.82) при є = 0. Это можно сделать применяя ставшими уже общепринятыми алгоритмы построения нормальных форм. В работе применялся немного адаптированный, но в общем стандартно применяемый алгоритм, изложение которого можно найти на с. 346 - 349 из монографии [14] (см. также работы [17 - 20]). Понятно, что ввиду громоздкости, явное выражение для hi выписать трудно и практически безнадежно. Поэтому величина /зі вычислялась рекуррентно. Полученные таким образом формулы были проанализированы численно. На рис. 1.5 приведено разбиение плоскости параметров (а, с), а Є (0; —), с 0 на области сохранения зна ка ляпуновской величины hi- Область А на этом рисунке образуют пары (а, с), для которых невозможна колебательная потеря устойчивости. При (а; с) Є 5з справедливо неравенство hi 0, а в области Сз наоборот /зі 0. Численный анализ знака ляпуновской величины проводился на компьютере с помощью программы на языке Pascal в среде Delphi 5.0. Эту программу можно найти в приложении 2 к диссертации.
Нормальная форма в базисном случае
В этом параграфе рассмотрим так называемый базисный случай, когда ао = 1. Напомним, что при d = 2с в задаче о устойчивости бегущей волны реализуется критический случай и, именно, при ао = 1 кратность нулевого собственного значения максимальна (равна 4). Замена u(t, х, z) = exp (i(ant + nx))v(t, x, z) (2.22) после введения новых независимых псремешплх t = t, у = х + 2dnt, z = z (2.23) сводит задачу (2.С), (2.7), (2.8) к рассмотрению краевой задачи vt = {l + ic)(l-\v\2)v-idAv, (2.24) v{t,y + 2ir,z) = v{t,y,z), (2.25) vz\z=Q = vz\z=7r = 0. (2.26)
Здесь учтено то обстоятельство, что при ао = 1 имеем Lv = Av.. В соответствии с принципом самоподобия и, конечно, с учетом замен (2.22), (2.23) для краевой задачи (2.24), (2.25), (2.26) первоочередной проблемой представляется исследование окрестности состояния равновесия v( ,y, ) = l. (2.27)
Сразу же отметим, что наряду с состоянием равновесия (2.27) краевая задача (2.24), (2.25), (2.26) имеет семейство состояний равновесия vh(t, у, z) = ехр(г Д) (h Є R). Положим теперь d = 2с — є, где є малый параметр и рассмотрим вспомогательную задачу vt = (l + ic)(l - \v\2)v - i(2c - e)Av, (2.28) UJ,J,=O = Уу\у=ж = 0, vz\z=0 = vz\z=n = 0, (2.29) где временно считаем у Є [0; 7г]. Понятно, что и вспомогательная задача (2.28), (2.29) имеет состояние равновесия (2.27), а также семейство V}t{t,y,z) = exp(i/i), (h Є R). Но спектр устойчивости состояния равновесия v(t, y,z) = 1 теперь устроен проще, чем спектр устойчивости этого же решения, но для краевой задачи (2.24), (2.25), (2.26). Рассмотрим при є = 0 оператор Av = AxfiV = -2cAv -(1 + ic)(v + її), определенный, как и ранее, на достаточно гладких функциях, по удовлетворяющий уже граничным условиям (2.29). В этом случае оператор Av имеет трехкратное собственное число Л = 0, которому отвечают собственные функции eo(y,z) = i, ei(y,z) = (-c + i)cosy, es(y,z) = (-с +і)COSz. Остальные собственные числа этого оператора лежат в полуплоскости комплексной плоскости, выделяемой неравенством ReX -70 0.
Кстати, в нашем случае постоянную 70 можно вычислить и в явном виде, хотя принципиальной необходимости в этом пет. Напомним, что, конечно, здесь с 0. Итак, при с Є (0; —-р) имеем 7о — 1 — \/1 — 8с2, а если 2у2 с —-р, то 7о — 1- Из этих замечаний вытекает, в частности, что цен 2\/2 тральное многообразие [14,15] для задачи (2.28), (2.29), а следовательно, ее нормальная форма состоит из трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения на этом инвариантном многообразии представляется возможным искать в следующем виде: v(t, у, z; є) = exp(iip(t))[l + w(t, у, z; є)], (2.30) а функцию w(t,y,z;e) следует (см. [1]) искать в следующем виде: w(t, у; z\ є) = wi(r]h %; 2/, z) + w2{r]h щ; у, z) + «73(771, т/2; у, z)+ (2.31) +W0(rji,ri2]y,z) + ....
В формулах (2.30),(2.31) - p(t) - действительная функция, w\, wo - линейные формы относительно функций 771,772; W2, W3 - соответственно квадратичная и кубическая форма по переменным 771,772» а точками обозначены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости но совокупности переменных 7i, 772,є. Все слагаемые суммы (2.31) - достаточно гладкие функции переменных у, z и удовлетворяют краевым условиям (2.29). Наконец, самое главное предположение состоит в том, что действительные функции ip(t), Tji(t),rj2(i) удовлетворяют системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений Ф = Рт21+Р2Г]22 + ..., гц = т + Vi{9nVi + 912V2) + (2-32) 772 = єа2т + т{92\г]\ + 922 1) + где точками, как обычно, обозначены слагаемые, имеющие по переменным г]1,г]2 и параметру є более высокий порядок малости. Для этих слагаемых справедлива оценка м{е2Ы + Ы) + vi + 4 + ФА2 + Ы2)}, где, в свою очередь, М - некоторая положительная постоянная.
Для того, чтобы определить коэффициенты нормальной формы (2.32), выпишем сначала уравнение для функции w(t,y, z,s) : wt + гф(1 + w) = Aw — is Aw -(1 + ic)(2ww + и/2 + w2w), (2.33) которое следует рассматривать вместе с условиями (2.29). Используя, в свою очередь, (2.31) для нахождения первых четырех слагаемых необходимо решить четыре краевые задачи. Для wi(rji,ri2,y, z) получаем следующую краевую задачу: Ami = 0, (2.34) wiy\y=o = wiy\y=v = WIZ\Z=Q = w\z\z=% = 0. (2.35) Решение этой краевой задачи целесообразно взять в виде: т(т, Ш\ У, А = Уі( с + г) cos у + т72(-с + г) cos z. Для функций w2{r)hm\y,z), w3(r]hr]2;y,z), w0(r]hг]2]у,z) получаем три неоднородные краевые задачи. Сначала выпишем краевую задачу для W2 = w2(r]hm;y,z) Aw2 = гфхт]\ + /32г)22) + (1 + гс)(2«лШі + w2), (2.36) 2y\y=0 = W2y\y=n = 2z\z=0 = W2z\z=it = 0. (2.37)
Приравнивая кубические слагаемые по щ, щ, формируем неоднородное уравнение для комплекспозиачной функции w% = w (i]i,r]2]y,z) Прежде чем приступить к анализу этих трех краевых задач, можно заметить следующее: замена у — z, z - у ничего в принципе не меняет. Отмеченная симметрия сразу позволяет сделать вывод, что дц = д\2, #21 — 922, Pi — 02, От = а?2. Введем обозначения а = 9п= 922, Ь = дп = 921, /3 = 01 = 02, а = а\ = а2. Приступим к анализу неоднородных краевых задач, рассматривая их последовательно. Краевая задача (2.3G), (2.37) разрешима, если для неоднородности выполнены условия леммы 2.1.
Анализ нормальной формы и основные результаты в базисном случае
Доказательство лемм 2.4, 2.5, 2.6 стандартно. Существование состояний равновесия приводит к необходимости исследования системы алгебраических уравнений (aipi+bip2)pi = ри {hpi + aip2)p2 = 9Р2, у которой следует искать неотрицательные решения.
Для проверки условий устойчивости каждого из найденных состояний равновесия следует линеаризовать систему дифференциальных уравнений (2.62) на исследуемом состоянии равновесия и у полученной матрицы второго порядка найти ее собственные значения.
Как и в базисном случае (д = 1) полезно отметить, что система дифференциальных уравнений (2.62) диссипативна. Доказательство этого замечания практически дословно повторяет соответствующий фрагмент для базисного случая.
Наконец, как и в базисном случае можно сформулировать утверждения аналогичные теоремам и следствиям из них предыдущего параграфа.
Теорема 2.5. Существует такая достаточно малая полоэ/ситель-иая постоянная 5Q, что при є Є (0;"о) и d = 2с — є состоянию равновесия Е\д соответствует счетное число двумерных инвариантных торов краевой задачи (2.53), (2.54), (2.55). Для решений на них справедливы асимптотические формулы (2.48).
Каоїсдьій из этих торов асимптотически устойчив, если выполнено неравенство (2.63) и каэ/сдый из них является дихотомичпым, если имеет место неравенство (2.64).
Доказательство теоремы предусматривает как и ранее предварительное рассмотрение вспомогательных краевых задач (2.56), (2.57), (2.58) и (2.56), (2.58), (2.59).
Теорема 2.6. Сг ществует такая достаточно малая полоэ/сигпель-иая постоянная Єо, что при є Є (0; Q) и d = 2с — є состоянию равновесия E2g соответствует счетное число циклов, для которых справедливо асимптотическое представление un(t, х, z; є) = cxp(i(ant + nx + (32get))[l ± \/ёу/ъд(-с + і) cosz+ +72#(Т20 + 721 cos 2г) + о(є)], где (32g = Pig, а постоянные 720, 721 введены в соответствующей асимптотической формуле из следствия 2.2. Каэ/сдый цикл un(t,x,z;e) орбиталъио асимптотически устойчив, если выполнено неравенство (2.65) и он неустойчив, если выполнено неравенство (2.66).
Понятно, что доказательство теоремы 2.6 аналогично доказательству теоремы 2.3 и как и в случае теоремы 2.5 предусматривает рассмотрение двух вспомогательных краевых задач: краевой задачи (2.5G), (2.57), (2.58), а также (2.56), (2.58), (2.59).
Теорема 2.7.При аналогичных прсдполооїссниях (см. условия теорем 2.5, 2.6) на малость є и при d = 2с — є каждому состоянию равновесия Ezg соответствует счетное число двумерных инвариантных торов, решения на которых задаются следующими асимптотическими формулами
Каждый из этих торов асимптотически устойчив, если выполнено неравенство (2.68) и соответственно неустойчив (дихотомичен), если имеет место неравенство (2.69). Доказательство последнего утверждения аналогично ранее сформулированным теоремам. Нетрудно заметить, что и в 2.3 и далее было положено d = 2с — є, где є Є (0;о). Пусть теперь є Є (—Єо;0). Рассмотрение этого случая практически дословно повторяет уже рассмотренный случай и нормальная форма (2.60) будет, понятно, той же самой. Наконец, ясно, что и система для амплитудных переменных 771, %, т.е. система (2.61) остается без изменения. Но переход от системы дифференциальных уравнений (2.61) к системе аналогичной (2.62) должен измениться, если є отрицательно. Положим теперь г/1 = y/ ecyfpl, Щ = У/ У/РЧ, т = -2ect, (2.70) где, как и ранее, считаем, что щ, щ 0. При этом полезно напомнить, что ранее и здесь рассматривается лишь случай с 0, а при с 0 задача о локальных бифуркациях неправомерна, так как все бегущие волны будут заведомо устойчивы. После замены получим систему аналогичную системе (2.62):
В 2.3, когда рассматривался симметричный случай (д = 0), изучение системы (2.71) бессодержательно и поэтому было пропущено. Используя функцию Ляпунова V{pi,p2) = Р1 + Р2, можно показать, что единственным аттрактором системы (2.71) будет нулевое состояние равновесия. Действительно, здесь производная в силу системы (2.71) (при д = 1) DtV = -[(pi + р2) + alP\ + 2bplP2 + alPl] 0 при всех pi, р2 0 и pi +Р2 ф 0. Такая же ситуация воспроизводится при д 0. Но случай д 0 уже содержательнее (д — 1 + 2сг 0 означает, что г 0, где г был ранее введен как произвольный параметр). Итак, пусть теперь д 0. Система дифференциальных уравнений (2.71) имеет состояние равновесия Е2д :pi = 0,p2 = -— (д 0, ai 0), которое асимптотически устойчиво, если выполнено неравенство big - ai 0 (2.72) и это состояние равновесия неустойчиво, если выполнено неравенство big - ai 0. (2.73) Попятно, что при, например, &i 0 выполнено первое из неравенств, что означает, что существует такой выбор параметров задачи, когда д О и одновременно с этим состояние равновесия Eig существует и асимптотически устойчиво. Этому состоянию равновесия соответствуют два цикла исходной краевой задачи (см.теорему 2.3), которые наследуют свойства устойчивости состояния равновесия Е2д. При выполнении неравенства (2.72) они оба устойчивы (орбиталыю асимптотически устойчивы) и неустойчивы при выполнении неравенства (2.73).
