Содержание к диссертации
Введение
1 Взаимодействие струны с одним осциллятором . 10
1.1 Постановка задачи 10
1.2 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором ненулевой массы 13
1.3 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором нулевой массы 26
1.4 Точечный аттрактор 28
1.5 Достаточное условие сходимости каждой траектории к точке 34
1.6 Необходимое условие сходимости каждой траектории к точке 38
2 Взаимодействие струны с двумя осцилляторами. 43
2.1 Постановка задачи 44
2.2 Разрешимость задачи Коши. Свойства траекторий системы (2.1), (2.2). 46
2.3 Оценки функций yi(t). Локальная стабилизация осцилляторов 58
2.4 Стационарные решения. Сходимость траекторий к множеству стационарных точек 64
2.5 Сходимость траекторий к стационарным точкам 69
Литература
- Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором ненулевой массы
- Достаточное условие сходимости каждой траектории к точке
- Разрешимость задачи Коши. Свойства траекторий системы (2.1), (2.2).
- Стационарные решения. Сходимость траекторий к множеству стационарных точек
Введение к работе
Работа посвящена развитию теории аттракторов бесконечномерных гамильтоновых систем. Впервые теория аттракторов для бесконечномерных динамических систем возникла в рамках теории диссипа-тивных уравнений в частных производных: нелинейных параболических уравнений типа реакции-диффузии, системы Навье-Стокса и волновых уравнений с трением. Существование и свойства аттрактора для таких систем были подробно изучены в работах Р. Темама [13], А.В. Бабина и М.И. Вишика [1] и других работах. Для недиссипа-тивных волновых уравнений первые результаты по долговременной асимптотике были получены в линейной и нелинейной теории рассеяния. П. Лаке, Р. Филлипс [6], С. Моравец, В. Штраусе [12, 11] и другие доказали убывание локальной энергии при соответствующих условиях (выпуклость границы, неловушечность и т.д.). Эти результаты означают сходимость всех решений конечной энергии к нулевому решению в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Иными словами, аттрактор этих систем состоит только из одной точки 0 фазового пространства.
Для уравнений без диссипации существование нетривиальных аттракторов впервые было обнаружено в работах А.И. Комеча [3] - [5] для нелинейных систем Ламба. По-видимому, уравнения, рассмотренные в этих работах, появились в статье Г. Ламба [10] при изучении следующей механической системы. Бесконечная струна с постоянной
линейной плотностью у, и натяжением Т соединена с материальной точкой (осциллятором) массы m (рис. 1). На осциллятор действует сила F(y)> перпендикулярная струне. Здесь у обозначает смещение осциллятора. Колебания струны происходят в одной плоскости, которой параллельна сила F(y).
рис. 1
Малые колебания системы струна-осциллятор математически описываются двумя уравнениями: волновым уравнением для струны и уравнением Ньютона для осциллятора. В своей работе Г. Ламб рассмотрел линейный закон Гука F(y) = —ку. В этом случае всякое решение, обладающее конечной энергией, на каждом ограниченном интервале сходится равномерно к нулевому решению, которое является единственным равновесным состоянием системы.
А.И. Комеч [3,4] исследовал долговременную асимптотику решений системы Ламба для общей нелинейной функции F(y), а также системы
типа Ламба для произвольного конечного числа осцилляторов нулевой массы [8, 9] (рис 2). Эти системы являются гамильтоновыми, поэтому
рис.2
сходимости решений к стационарным состояниям в энергетической норме всего пространства нет. Соответственно, сходимость рассматривается в более слабой топологии локальных энергетических полунорм. Роль трения здесь играет излучение энергии в бесконечность. А.И. Ко-мечем при достаточно общих предположениях относительно силовых полей Fi установлена сходимость всех решений, обладающих конечной энергией, к множеству стационарных состояний относительно локальных энергетических полунорм. При этом множество стационарных решений может быть бесконечным (и даже континуальным).
Способ исследования системы Ламба для одного осциллятора, предложенный А.И. Комечем, заключается в следующем. Разложение решения в сумму двух волн по методу Даламбера позволяет получить приведенное уравнение осциллятора. Существенным здесь является
то, что "приходящие" к осциллятору волны явно выражаются через начальные данные. Из исследования уравнения осциллятора вытекает конечность интеграла рассеяния fQ у2(т) dr> что является основным аналитическим средством для доказательства сходимости решений к стационарным состояниям.
В упомянутых работах в основном раематривались осцилляторы нулевой массы со скалярными значениями. Система Ламба для конечномерных осцилляторов размерности d > 1 ранее не изучалась. В настоящей диссертации дано обобщение и развитие результатов А.И. Ко-меча на нелинейные осцилляторы с ненулевой массой и векторными значениями произвольной конечной размерности.
В Главе I диссертации рассмотрено взаимодействие струны с одним многомерным нелинейным осциллятором размерности d > 1. Математической моделью такого взаимодействия является система дифференциальных уравнений
tidttu{x,t) = Tdxxu(x,t), (i,t) Є (К \ {0}) х R, (0.1)
my{t) = F{y{t)) + Г[вя«(0+, t) - 0^(0-, <)]. (-2)
Решения системы (0.1), (0.2) ищутся в классе непрерывных функций u(x, t), обладающих первыми (обобщенными) производными по ж и t класса ^^(Ш2). Множество таких решений обозначается . Предполагается, что начальные данные обладают конечной энергией, т.е. dxu(',0),dtu(-,0) Є Z-2(R). Силовое поле F предполагается потенциальным: F{y) = -W(y), V(-) C2(Kd; К), причем потенциал V(y) ограничен снизу.
При наложенных выше ограничениях доказаны существование и единственность решения системы (0.1), (0.2) класса . Кроме того,
выполняется закон сохранения энергии
т s j r^o + пдги(*,т dx+vm) + (о = const
(здесь и далее v(x,t) ~ dtu{x,t) — скорость точек струны). Асимптотическое поведение решений исследуется при дополнительном ограничении: V{y) —ь оо при \у\ —* со. При сделанных предположениях у рассматриваемой системы есть стационарные решения, которые соответствуют критическим точкам функции V. Из закона сохранения энергии следует, что в глобальной энергетической норме сходимость решений к стационарным решениям, вообще говоря, отсутствует. В фазовом пространстве вводится топология сходимости относительно локальных энергетических полунорм. Доказана сходимость всех траекторий к множеству стационарных точек в этой топологии (Теорема 5). При этом в зависимости от структуры множества стационарных точек траектории способны блуждать вблизи этого множества, не стремясь к определенному стационарному положению. Пример такого поведения траекторий является частью доказательства Теоремы 8. Поэтому следующий поставленный в диссертации вопрос — выяснить условия на поле F, которые гарантируют сходимость каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае необходимым и достаточным условием для такого поведения траекторий является то, что множество нулей функции F нигде не плотно (см. [15]). Однако в векторном случае при d > 1 это условие уже не является достаточным и должно быть усилено. В настоящей диссертации найдены новые необходимое (Теорема 8) и достаточное (Теорема 6) условия сходимости каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае при d = 1 каждое из этих условий эквивалентно условию [15], что множество нулей функции F нигде не плотно (Теорема 7).
В Главе II диссертации рассмотрена система типа Ламба
Hdtiu(x,t) — Tdxxu(xyt), хфхі (0.3)
гпіШ = Fi{yi(t)) + T[dxu(xi + 0,0 - дхи{*і - 0,0]. » = 1,2, (0.4)
с двумя нелинейными осцилляторами ненулевой массы {ті > 0). Такая система с одномерными осцилляторами изучалась в работе [16]. В настоящей диссертации рассмотрены осцилляторы произвольной размерности d > 1. Рассматриваются решения с начальными данными из пространства Е2. Требуется, грубо говоря, чтобы в момент времени t = 0 первые производные по х и t решения и(х, t) были функциями класса .H^IR) (более точное определение фазового пространства Е2 системы (0.3), (0.4) дано на стр. 46). На систему накладываются следующие требования: Fi{z) = —V Vi(z), потенциалы Vi(-) принадлежат классу C2(]Rd,]R), ограничены снизу и max(Vi(2), V-jfz)) —У оо при \z\ —> +оо. Для начальных данных из множества Е2 доказана теорема существования и единственности решений системы (0.3), (0.4) и сохранение энергии вдоль ее траекторий:
fj.v2{x,t) T{dxu(x,t)f
н«) s /
-co
dx +
2 Г ,2
+
= const
v,Mt)) + ^
t=l
(Теорема 9). Далее в диссертации изучается вопрос о сходимости траекторий к множеству стационарных состояний «S2 и к отдельным стационарным точкам. В Лемме 10 дано описание множества стационарных состояний и доказано, что при наложенных на систему ограничениях оно непусто. Стационарными являются те траектории системы, которые отвечают критическим точкам потенциальной энергии. Как и в случае одного осциллятора, в глобальной энергетической норме
сходимости траекторий к множеству S2, вообще говоря, нет. Чтобы изучить асимптотическое поведение траекторий в локальных энергетических полунормах, привлекается понятие локальной стабилизации, введенное А.И.Комечем в работе [8]. Центральным местом в исследовании является доказательство конечности интеграла рассеяния
[ (уЦт) + $(т))<1т, 1=1,2 Jo
(Леммы 8 и 9). Из полученной оценки интеграла рассеяния вытекает локальная Н1 - стабилизация осцилляторов. С учетом ограниченности траекторий это позволяет найти в фазовом пространстве конечномерное притягивающее множество, содержащее множество S2. Основным результатом Главы II является Теорема 11, утверждающая, что каждая траектория системы (0.3), (0.4) стремится при t —> ±оо к множеству неподвижных точек относительно локальных энергетических полунорм.
Вопрос о сходимости каждой траектории системы к одной из стационарных точек рассмотрен для случая размерности d — 1. В этом случае доказано, что сходимость к отдельным стационарным точкам имеет место, если силовые поля Fi осцилляторов — вещественно-аналитические функции.
Таким образом, для случаев одного и двух осцилляторов в диссертации найден точечный аттрактор всех решений конечной энергии. Исследование системы типа Ламба с п нелинейными осцилляторами ненулевой массы остается открытой проблемой при п > 3.
Системы типа Ламба допускают эффективное исследование для широкого класса нелинейных функций F(y). Это позволяет обнаружить ряд новых интересных закономерностей в теории аттракторов нелинейных волновых уравнений, что и делает актуальным их исследование.
Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором ненулевой массы
Решения системы (0.1), (0.2) ищутся в классе непрерывных функций u(x, t), обладающих первыми (обобщенными) производными по ж и t класса (Ш2). Множество таких решений обозначается . Предполагается, что начальные данные обладают конечной энергией, т.е. dxu( ,0),dtu(-,0) Є Z-2(R). Силовое поле F предполагается потенциальным: F{y) = -W(y), V(-) C2(Kd; К), причем потенциал V(y) ограничен снизу.
При наложенных выше ограничениях доказаны существование и единственность решения системы (0.1), (0.2) класса . Кроме того, выполняется закон сохранения энергии (здесь и далее v(x,t) dtu{x,t) — скорость точек струны). Асимптотическое поведение решений исследуется при дополнительном ограничении: При сделанных предположениях у рассматриваемой системы есть стационарные решения, которые соответствуют критическим точкам функции V. Из закона сохранения энергии следует, что в глобальной энергетической норме сходимость решений к стационарным решениям, вообще говоря, отсутствует. В фазовом пространстве вводится топология сходимости относительно локальных энергетических полунорм. Доказана сходимость всех траекторий к множеству стационарных точек в этой топологии (Теорема 5). При этом в зависимости от структуры множества стационарных точек траектории способны блуждать вблизи этого множества, не стремясь к определенному стационарному положению. Пример такого поведения траекторий является частью доказательства Теоремы 8. Поэтому следующий поставленный в диссертации вопрос — выяснить условия на поле F, которые гарантируют сходимость каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае необходимым и достаточным условием для такого поведения траекторий является то, что множество нулей функции F нигде не плотно (см. [15]). Однако в векторном случае при d 1 это условие уже не является достаточным и должно быть усилено. В настоящей диссертации найдены новые необходимое (Теорема 8) и достаточное (Теорема 6) условия сходимости каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае при d = 1 каждое из этих условий эквивалентно условию [15], что множество нулей функции F нигде не плотно (Теорема 7). с двумя нелинейными осцилляторами ненулевой массы {ті 0). Такая система с одномерными осцилляторами изучалась в работе [16]. В настоящей диссертации рассмотрены осцилляторы произвольной размерности d 1. Рассматриваются решения с начальными данными из пространства Е2. Требуется, грубо говоря, чтобы в момент времени t = 0 первые производные по х и t решения и(х, t) были функциями класса .H IR) (более точное определение фазового пространства Е2 системы (0.3), (0.4) дано на стр. 46). На систему накладываются следующие требования: Fi{z) = —V Vi(z), потенциалы Vi(-) принадлежат классу C2(]Rd,]R), ограничены снизу и max(Vi(2), V-jfz)) —У оо при \z\ — +оо. Для начальных данных из множества Е2 доказана теорема существования и единственности решений системы (0.3), (0.4) и сохранение энергии вдоль ее траекторий: (Теорема 9).
Далее в диссертации изучается вопрос о сходимости траекторий к множеству стационарных состояний «S2 и к отдельным стационарным точкам. В Лемме 10 дано описание множества стационарных состояний и доказано, что при наложенных на систему ограничениях оно непусто. Стационарными являются те траектории системы, которые отвечают критическим точкам потенциальной энергии. Как и в случае одного осциллятора, в глобальной энергетической норме сходимости траекторий к множеству S2, вообще говоря, нет. Чтобы изучить асимптотическое поведение траекторий в локальных энергетических полунормах, привлекается понятие локальной стабилизации, введенное А.И.Комечем в работе [8]. Центральным местом в исследовании является доказательство конечности интеграла рассеяния
Из полученной оценки интеграла рассеяния вытекает локальная Н1 - стабилизация осцилляторов. С учетом ограниченности траекторий это позволяет найти в фазовом пространстве конечномерное притягивающее множество, содержащее множество S2. Основным результатом Главы II является Теорема 11, утверждающая, что каждая траектория системы (0.3), (0.4) стремится при t — ±оо к множеству неподвижных точек относительно локальных энергетических полунорм.
Вопрос о сходимости каждой траектории системы к одной из стационарных точек рассмотрен для случая размерности d — 1. В этом случае доказано, что сходимость к отдельным стационарным точкам имеет место, если силовые поля Fi осцилляторов — вещественно-аналитические функции.
Таким образом, для случаев одного и двух осцилляторов в диссертации найден точечный аттрактор всех решений конечной энергии. Исследование системы типа Ламба с п нелинейными осцилляторами ненулевой массы остается открытой проблемой при п 3.
Системы типа Ламба допускают эффективное исследование для широкого класса нелинейных функций F(y). Это позволяет обнаружить ряд новых интересных закономерностей в теории аттракторов нелинейных волновых уравнений, что и делает актуальным их исследование.
Достаточное условие сходимости каждой траектории к точке
Начиная с этого пункта и до конца главы I все утверждения доказываются для т 0. Соответствующие утверждения остаются справедливы и при га = 0. Чтобы избежать дублирования, мы здесь отметим лишь те изменения, которые необходимо сделать в формулировках и доказательствах всех утверждений в этом случае. Вместо пространства Е нужно рассматривать і?0, вместо Ej? — полинормированное пространство Е (оно определяется так: точками Ер являются точки множества Е, полунормы ЦФЦву задаются формулой (1.37), где p — 0), вместо Er — пространство Е с полунормой ФІо (см. также Замечание 3).
Из условия Итак, пусть m 0. Найдем стационарные точки системы (1.1), (1.2). Они имеют вид Ф = (гі( ),0,0). Подставляя и(х) в (1.1), получим и"(х) = 0, откуда находим и(х) = а±х + &±, ±ж 0.непрерывности решения при х — 0 заключаем, что Ь- = Ь+ = 6, а из требования « () Є іг(1К) Определения 4 получим а± = 0. Окончательно u(x) = 6. Теперь из уравнения (1.2) имеем F(b) = 0. Обратно, пусть F(b) = 0. Тогда функция и(х} t) = b, очевидно, является решением системы (1.1), (1.2). Таким образом, Ф — стационарная точка системы (1.1), (1.2) в том и только том случае, когда Ф — (6,0,0), причем F(b) = 0. Множество стационарных точек обозначим через S.
Наложим дополнительное ограничение на потенциал V векторного поля F. Потребуем, чтобы Из этого условия вытекает, в частности, условие (1.5). Кроме того, функция V достигает своего минимума и, следовательно, множество S непусто. Основной результат этой главы состоит в том, что всякая траектория системы (1.1), (1.2) стремится при t —» ±оо к множеству S стационарных точек относительно локальных энергетических полунорм. Определение 6 г) Через Ег будем обозначать пространство Е, наделенное полунормой Щ\ЕТ = Мг + МР + КО)] + р, 0 г оо, (1.37) а через pr — соответствующую полуметрику. и) Пространство Е с топологией, определяемой системой полунорм (1-37), будем обозначать Е?,
Отметим, что пространство Е? является отделимым. Это обеспечивается наличием полунорм со сколь угодно большими номерами г. Поясним, как понимается сходимость к множеству в пространстве Е?.
Определение 7 Пусть М — подмножество Е. Траектория ЩФ сходится при t — +00 (t - —00) к множеству М в пространстве
Ниже формулируются теоремы, описывающие поведение решения u(x,t) при t — +00 и — — оо. Как и в Теореме 1, мы будем доказывать все утверждения лишь для случая t —ї +00. Их справедливость при будет немедленно вытекать из доказанного и того факта, что задача (1.1), (1.2), (1.11) (или (1.1), (1.2), (1.12) при т = 0) переходит в аналогичную задачу при замене
Теорема 5 Для любого Ф Є Е траектория / Ф системы (1.1),(1.2) сходится к S в пространстве Е? при t — ±00.
Доказательство теоремы проведем в два этапа. Сначала установим существование конечномерного притягивающего множества в пространстве Ер. Затем, используя специфику этого множества, докажем Теорему 5.
Обозначим через V множество элементов Ф Є Е вида Ф = (и(-),0,р), где и{х) = у Є Kd. Отображение Ф t (г/,р) задает изоморфизм линейных пространств V и Rd х Rd. Отсюда следует, что V — 2с-мерное подпространство Е. С другой стороны, S С V. Далее, "Р замкнуто в Е. Для исследования других свойств множества V удобно ввести понятия ш-пределышй точки и w-предельного множества траектории.
Определение 8 Пусть Т — топологическое пространство, w : Точка называется предельной для функции w, если существует последовательность моментов времени tj — +00 такая, что w(tj) —tweT при j —У со.
Везде далее в этой главе под ш-предельными точками мы понимаем w-предельные точки в топологии пространства Ер. Множество всех w-предельных точек для данной траектории ЇУ Ф называется сопредельным множеством этой траектории и обозначется ш(Ф). Пусть М — подмножество фазового пространства Е. Введем обозначение
Доказательство. Пусть Ф — w-предельная точка траектории С/Ф. Возьмем последовательность {tj} из Определения 8. По Лемме 3 имеем Ut Ф — + "Р при j — со. Отсюда в силу замкнутости 73 в пространстве Е? заключаем, что Ф V, что и требовалось. Лемма 4 При всех г, t 0 отображение Ut непрерывно из Er+at в Ег.
Доказательство. Если Ф = (uj( )i4/( )iPj) B Дч-af, то мы можем подобрать такие Ф Е что рг+а((Ф ,Ф ) = 0иФ - Фв про-странстве Е. Из п.2 Предложения 2 следует тогда, что /(Ф - —У С Ф, а значит, / Ф — Ї7(Ф. Пусть, далее, Uj(xtt) — решение задачи (1.1), (1.2), (1.11) при начальных данных Ф . Значение функций Uj(xtt) и их производных на интервале х] г в момент t полностью определяется заданием начальных данных на интервале \х\ г + at. Поэтому pT(Ut &j, Ut$ j) = 0 и, значит, Ut&j -+ ЇЛФ в Ег. Лемма доказана.
Следствие 3 При каждом і О отображение Ut непрерывно из Ej? еЕТ. Доказательство Теоремы 5. Проведем доказательство от противного. Предположим, существует такой элемент Ф Є Е, что выполняется для некоторых положительных чисел г и є и некоторой последовательности tj +00. Из закона сохранения энергии (1.30) с учетом условия (1.36) следует ограниченность траектории 6 Ф в Е.
Выберем для каждого натурального п такой элемент Ф„ V и такой номер jn) что pn(Utjn$, Фп) 1/п) причем jn jk при п к. Это можно сделать согласно Лемме 3. Переходя если нужно к подпоследовательности, можем считать, что этому условию удовлетворяет сама последовательность {tj}. А поскольку pi pj при г j, для любого г будем иметь
По определению множества V элементы последовательности {Ф } имеют вид Фj = (uj(-),0,pj), где щ{х) = иj Є ]Rd. Из (1-41) и ограниченности траектории Г7(Ф в Е следует ограниченность последовательности {uj,pj) в Жа х Md. Вновь переходя к подпоследовательности, получим, что (UJ,PJ) — (й,р) при j - 00 для некоторй пары (й,р) Rrf х Md. Обозначим Ф = (й,0,р) Є V и покажем, что Ф Є 5, Отображение (w,p) - (и, 0,р) непрерывно из M.d х №.d в I?, поэтому Ф — Ф при j -4 00 в пространстве І? .
Разрешимость задачи Коши. Свойства траекторий системы (2.1), (2.2).
Доказательство. С учетом группового свойства отображений Ut достаточно все утверждения доказать для t Є (— і )- Для определенности мы рассмотрим интервал t Є (0; ), для отрицательных t доказательство аналогично.
1. Непрерывность траекторий системы (2.1), (2.2) в силу Замечания 5 и представления (2.7) сводится к непрерывности /г (- — at) и g[{- + at) как функций аргумента t со значениями в Я1(Д ). Последнее выполняется, так как в пространстве Li сдвиг есть непрерывное преобразование.
Характеристики уравнения (2.1), проходящие через точки (XJ,0), разбивают прямую t — т на, два множества. Одно — это множество точек, для которых ГЕГ — гггд ат при некотором г, обозначим его Пі, другое — дополнение к нему ГІ2- Рассмотрим отдельно вклад каждого множества в (2.22).
Аналогичные оценки справедливы для интервалов {xi,x\ + ат)7 (х2 ат,хъ) и (х2,Х2 + ат). Вместе с неравенствами (2.23), (2.26) и (2.27) это доказывает (2.22). 3. Установим непрерывность отображений Ut в топологии Е . Как и раньше
Первые производные функции и(х, t) оценены в (2.22). При этом справа в неравенстве (2.22) вместо нормы пространства Е можем взять более сильную норму Е2. Остается оценить вторые производные. В обозначениях п. 2 имеет место неравенство
Чтобы доказать это, рассмотрим уравнения (2.16) для наших двух траекторий. Вычитая из одного другое, получим:
Оценим каждое слагаемое в правой части неравенства. Имеем в силу ограниченности уц{-) (Замечание 6), непрерывной дифференцируемое Fi{-) и неравенств (2.26), (2.27). Вспоминая, что hi(t) — 2T[g i+1(xi + at) — /ЦХІ — at)] и выражая Д{х) и g i+l(x) из формул (2.12) и (2.13)
В области 0,2 аналогичная оценка вытекает непосредственно из (2.7). 4. Докажем вначале закон сохранения энергии (2.21) для элементов Фо = (щ,ъа) таких, что uOyv0 Є С(А{)У і = 1,2,3, «о, v0 є C0(R). (2.30)
Полоса П0 разбивается характеристиками ХІ± at = 0 и прямыми х — Х{ на несколько областей. При начальных данных вида (2.30) решение u(x,t) имеет в каждой такой области производные всех порядков, непрерывные в замыкании этой области. Это позволяет нам дифференцировать Н(С/(Фо) по і. Рассмотрим вначале интеграл
Здесь использовался тот факт, что при условиях (2.30) функция и удовлетворяет (2.1) в области (xf t) Г в классическом смысле. Помимо этого, мы воспользовалась непрерывностью первых производных функции и при X ф Xi. Так же выводится равенство
Складывая (2.31), (2.31) и (2.33), получим откуда следует (2.21) для 0 t и начальных данных вида (2.30). Множество элементов, удовлетворяющих (2.30), плотно в Е2. Так как при фиксированном t Є [0,//2a) значение H(UtQ) непрерывно зависит от Ф Є Е2 , получаем #(/(Ф) = const для любого Ф Є Е2, что и требовалось.
Следствие 5 Для решения u(x,t) задачи (2.1), (2.2), (2.10) при всех t6t справедлива оценка \yi(t)\ const, і = 1,2, причем, если М — ограниченное подмножество Е2, то константа может бить выбрана одна для всех начальных условий (UQ VQ) М.
Доказательство. Из (2.21) следует, что V y t)) Н(Ф0) и значит, функции Vi(yi( )) ограничены сверху константой, общей для начальных данных из множества М. В силу условия (2.6) получаем требуемое утверждение.
Цель настоящей главы — доказать, что всякая траектория С Ф системы (2.1), (2.2) при t — ±оо стремится к множеству стационарных точек. Определим в фазовом пространстве Е2 ту топологию, относительно которой и будет исследоваться сходимость. Определение 12 г) Для (u, v) Є Е2 полагаем \\{u,v)\\r = IK lLa(-r,r) + iblU2(-,(r)+ (2.34) + МяОІ + МїОІ + Кхг)!, 0 г оо. и) Через Е2 будем обозначать линейное пространство Е2, снабженное полунормой г а через рг — соответствующую полу метрику. ш) Множество Е2 с топологией, определяемой системой полунорм (2.34), будем обозначать Ej?.
Лемма 7 При всех t 0 и г TQ отображение Щ непрерывно из E2r+at в El Доказательство. Если то мы можем подобрать такие Ф - Є Е2, что рг+аі(ФрФ = 0 и Ф , — Ф в простран Е2 2 Теоремы 10 следует тогда, что Ut j -? С Ф, а значит, Ut$ j -4 С Ф для каждого г 0. Далее, значение функций Uj(x,t) и их производных на интервале х г в момент t полностью определяется заданием начальных данных на интервале \х\ г + at. Поэтому рг(С/(Ф ,[/(Ф ) = 0 и значит, / ф - —ь- Ї7(Ф в Е%. Лемма доказана.
Оценки функций УІ(І). Локальная стабилизация осцилляторов.
Для исследования качественной асимптотики траекторий системы (2.1), (2.2) мы используем понятие локальной стабилизации, введенное в [9]. Определение 13 Будем говорить, что функция у локально стабилизируется к функции г/(-) в пространстве Li, если для любого
Это соотношение выполняется, в частности, для всякой функции у( ) Є Й(К+), если положить y(i) 0. Множество локально стабилизирующихся в Li функций, очевидно, образует линейное пространство. Наша цель сейчас — установить локальную L - стабилизацию функций Уі(-) и УІ(-). Этому посвящены следующие две леммы. Лемма 8 Еслии(х ) —решение задачи (2.1), (2.2), (2.10) с начальными данными (uotvo) Є Е2, то
Стационарные решения. Сходимость траекторий к множеству стационарных точек
Последовательность {С?Ф } ограничена в R2 по Следствию 5. Выберем в ней подпоследовательность {СФ }, имеющую в М.2 предел (Ьі,Ьг) Обозначим Ф := Gf-1(6l,62)- В силу гомеоморфности отобра-жен и я G имеем Ф —Ц- Ф при п — со. Таким образом, Ф является и -предельной точкой для траектории с/ Ф относительно полуметрики /?г, и значит, Ф Є S2 (Лемма 12). Полученное противоречие с (2.49) завершает доказательство при t — +оо.
Сходимость траекторий к стационарным точкам.
В этом пункте более подробно исследуется поведение траекторий системы (2.1), (2.2) в случае размерности d = 1. Здесь существует простое достаточное условие сходимости каждой траектории к одной из стационарных точек — аналитичность функций i .
Отображение G, введенное в доказательстве Теоремы 11, устанавливает изоморфизм линейных пространств V2 и R2. Рассмотрим образ множества S2 при этом изоморфизме.
Лемма 13 Пусть d — 1. Если -Fi(-) и (-) — вещественно-аналитические функции, то всякое ограниченное в R2 подмножество множества G(S2) конечно.
Доказательство. Пусть (ЬьЬг) Є G(S2), то есть выполняются условия (2.44) и (2.45). Выразим &2 из (2.44) и подставим в (2.45): Fi(bi) + F2 (bi - -F b,)) = 0. (2.50) Наоборот, для всякого решения ї і уравнения (2.50), полагая f 2 — &i — —Fi(bi), получим, что (Ьі,6г) удовлетворяет (2.44), (2.45) и значит, (bj, Ьг) Є G(52). Таким образом, С(52) = (ЬьЬз) bL Є 5?, Ь2 - б! - (ьА, (2.51) где S2 — множество корней уравнения (2.50).
Покажем, что множество Sf не имеет в R предельных точек. Предположим, это не так. Тогда в силу аналитичности левой части (2.50) имеем Sj = R. В этом случае G(S2) — гладкая кривая в R2. В точках этой кривой VW = 0, Здесь W — функция, введенная в доказательстве Леммы 10. Значит, W = const на этой кривой. Однако из условий (2.5) и (2.6) вытекает, что W(bitb2) —У +оо при 6f + Ь " - Получили противоречие.
Итак, множество «S2 не имеет предельных точек, и, значит, ограниченные подмножества $1 конечны. Поскольку по каждому Ьі «S2 пара (Ьх, Ь2) Є G(S2} восстанавливается однозначно, всякое ограниченное подмножество множества G(S2) также оказывается конечным. Лемма доказана. Из доказанной леммы и Теоремы 11 вытекает следующий результат.
Теорема 12 Пусть d = 1 и Fj( ), і = 1,2, — вещественно-аналитические функции. Тогда для любых начальных данных («о( ),г;о( )) Є Е2 существует стационарная точка (гг(-), 0) Є S2 системы (2.1), (2.2), к которой траектория Ut(uo(-), VQ(-)) задачи (2.1), (2.2), (2.10) стремится при t — +оо в пространстве Е . Аналогичное утверждение справедливо и при t — — оо. Доказательство. Рассмотрим произвольную траекторию ЩФ, Ф Е2, системы (2.1), (2.2). Ей соответствует кривая (уі( ) ї/2(0) ограниченная в R2 по Следствию 5. Пусть Км — круг с центром в нуле радиуса М, содержащий множество {(з/і(0»ЇЛг()) }- силу Теоремы 11 имеем (г/і (t), г/2 ()) — ?(2) в R2 при і — ±оо. По Лемме 13 круг ІС2М содержит лишь конечное число точек множества G(S2). Поэтому найдутся (sf,sf) Є G( S2), для которых (yi(t),j/2( )) — (sf,.s ) в IR2 при t - ±оо. Положим 5± = G 1(s ,S2) Є S2. Пусть г 0. Из того, что Ї/(Ф — "Р2 при (Лемма 11), и определения множества Т 2 получаем, что /$Ф — S± при t —» ±оо. Так как это справедливо для каждого г 0, сходимость имеет место в топологии EJ:. Теорема доказана.
