Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию бесконечномерных дифференциальных уравнений и построению операторного исчисления Р. Фейнмана континуальных семейств некоммутирующіїх операторов в банаховых пространствах (см. [1]). В частности, в ней изучаются задачи Коши для бесконечномерных эволюционных уравнений, являющихся либо эвклидовыми аналогами уравнения Шредингера для ангармонического осциллятора, либо супераналогами этого уравнения для гармонического осциллятора.
Теория бесконечномерных дифференциальных уравнений, являющаяся центральным разделом бесконечномерного анализа, активно развивается начиная с 60-х годов. Интерес к таким уравнениям связан с их применением как в различных разделах математической физики (в частности, в квантовой теории поля, статистической физике, гидродинамике), так и в нелинейном функциональном анализе и теории случайных процессов (см. [2] и имеющиеся там ссылки). Основы этой теории были заложены в работах С. В. Фомина, Ю. М. Березанского, Ю. Л. Далецкого, О. Г. Смолянова, Л. Гросса, Р. Камерона, В. Мартина. Следует отметить также пионерские работы П. Леви, написанные в 20-х годах и посвященные изучению бесконечномерного дифференциального оператора, называемого сейчас лапласианом Леви. Дальнейшее развитие теория бесконечномерных дифференциальных уравнений (в том числе в суперпространствах) получила в работах С. Альбеверио и Р. Хег-Крона, И. М. Виши-ка, Б. Гаво, Ю. Г. Кондратьева, И. Купша, П. Малявэна, М. Обаты, М. Пич, Е. М. Полищука, Дж. де Праго, А. Роджерс, А. В. Угланова, А. 10. Хренникова, Т. Хилы, Е. Т. Шавгулидзе, Г. Е. Шилова и других математиков. Исчислению функций от некоммутирующих операторов, тесно связанному с представлением решений различных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений, посвящены многие работы В. П. Маслова и М. В. Карасева.
[l] Feynman R. P. An operator calculus, having applications in quantum electrodynamics // Physical review. 1951, oct.l. Vol. 84, N8 1.
(2] Da Prato G., Zabezyk J. Stochastic equations in infinite dimension - Cambridge Uniniversity Press, 1992.
Таким образом, актуальность темы диссертации определяется как важностью рассмотренных в ней задач для функционального анализа и его приложений, так и вниманием, которое эти задачи привлекают сейчас в России и за рубежом.
Цель работы. Решить задачу Коши для эвклидова аналога уравнения Шредингера для бесконечномерного ангармонического осциллятора в классе борелевских мер;
найти явный вид решения задачи Коши для уравнения Шредингера для бесконечномерного гармонического осциллятора в классе функций на суперпространстве;
развить теорию ядерных операторов на суперпространстве;
построить операторное исчисление Фейнмана для континуальных семейств операторов.
Методы исследования. В работе используются преобразование Фурье, а также некоторые методы суперанализа и теории линейных операторов в банаховых пространствах.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Приведем их:
-
Найдена явная формула (являющаяся обобщением формулы Ме-лера), представляющая фундаментальное решение задачи Коши для эвклидова аналога уравнения Шредингера для бесконечномерного гармонического осциллятора. Решение задачи Коши для аналогичного уравнения (относительно борелевских мер) для бесконечномерного ангармонического осциллятора записано с помощью интеграла по мере, соответствующей бесконечномерному процессу Орнпгтейна — Уленбека.
-
Развита теория ядерных операторов на суперпространстве и теория бесконечномерного суперопределителя, в частности доказан бесконечномерный супераналог теоремы Лиувилля.
-
Найден явный вид решения задачи Коши для бесконечномерного супераналога уравнения Шредингера гармонического осциллятора.
-
Построено исчисление функций от упорядоченных континуальных семейств операторов. Фактически оно содержит значительный фрагмент исчисления, предложенного Р. Фейнманом на эвристическом уровне.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях в области эволюционных уравнений относительно мер и функций на бесконечномерных (супер-) пространствах, а также в теории линейных операторов на суперпространствах.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара по бесконечномерному анализу кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, на конференции молодых ученых МГУ 1988 года, а также на научном семинаре кафедры теории функций механико-математического факультета ННГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, содержащих по пять параграфов. Списки литературы содержат 64 названия. Общий объем работы — 157 страниц.
