Формулы Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперанализе Панюнин Никита Михайлович

Супердифференцируемость

В качестве пространства Е ниже рассматривается гильбертово пространство Н = HQ ф Hi и предполагается, что банахова супералгебра Л наделена гильбертовой нормой. Суперпространство НА = Ло Й)#о Ф ЛіЛі над супералгеброй Л, соответствующее гильбертову пространству Н построено в параграфе 1.1. Доказывается, что это суперпространство удовлетворяет определению 0.4, а именно, доказывается, что оно является суперпространством над коммутативными супермодулями A(&HQ И

В параграфах 1.2, 1.3 определяются понятия супердифференцируемо-сти и супермеры в Н& В параграфе 1.4 дается определение суперпреобразования Фурье су пермер в Лл и рассматриваются его свойства. Основным здесь является свойство изометричности суперпреобразования Фурье супермеры на суперпространстве с нулевой четной частью.

Заключительный параграф главы 1 посвящен аналогу теоремы Мин-лоса-Сазонова для супермер. Здесь даются условия счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразований Фурье. Везде ниже в этой главе Л — банахова супералгебра над С, причем норма в Л — гильбертова. Вопрос существования банаховых супералгебр с гильбертовыми нормами рассматривался в работе [29]. Обозначим символом К такое положительное действительное число, ЧТО аЬл ВДАИА. Расмотрим гильбертово пространство Н. В тензорном произведении Л g) Н рассморим гильбертову норму (см. [43]). В его пополнении АН введем структуру коммутативного банахова супермодуля над Л. Проверим непрерывность операции умножения. Обозначим символом п S подпространство в A g H векторов вида h = J2 к 8 е&, где {е&} — fc=i ортонормирований базис в Н. Тогда для h Є S Значит умножение слева непрерывно на S1. Поскольку S плотно в АНУ то, продолжив его по теореме об ограниченном отображении (см. [43]) на пополнение, получим умножение слева на A g H. Проверим, что умножение слева четно. Прямыми вычислениями можно показать четность на подпространстве S. Покажем четность для элементов из замыкания. Проверим, что для Лі Є Лі и гаї Є АіН Літі Є AQ S H. Возьмем последовательность {min} элементов из Ai g H, такую что min - "гі- Тогда последовательность {Aimin} CAQH. Поскольку умножение слева непрерывно, эта последовательность фундаментальна и, следовательно, сходится к элементу из АоН. С другой стороны ясно, что эта последовательность сходится к элементу Літі. Таким образом Аігаї Є Ao S H. Похожими рассуждениями можно показать, что четность сохраняется для любых однородных элементов. Покажем, что умножение слева суперкоммутативно. Так же, как и в случае четности, прямыми вычислениями установливается суперкоммутативность элементов алгебры и элементов из S. Покажем, что это верно и для элементов из A g)H. Например, проверим, что элементы Аі Є Лі и mi Є Лі Й ії антикоммутируют. Возьмем последовательность тпіп Є Лі g) Я, такую что m\n — гп\. Тогда Aimi + гаїАіЦ ЦАігаї — АігаїтгІІ + — 7Пі„Аі + гаїАїЦ. Слагаемые в правой части можно сделать сколь угодно малыми, воспользовавишись непрерывностью умножения. Таким образом, Ai?ni = —гаїАі. Аналогично можно показать суперкоммутативность любых однородных элементов. Суперкоммутативность и непрерывность умножения справа устанав ливается похожими рассуждениями. Введя градуировку: АН = АоН AiH, получим структуру коммутативного банахова супермодуля на пространстве АН. Таким образом, было доказано следующее предложение. Предложение 1.1. Пространство А&Н с операцией умнооїсения на элементы А является коммутативным банаховым супермодулем над А. Возьмем пару гильбертовых пространств Но и Ні со скалярными произведениями (,)о и (,)і соответственно. Рассмотрим их гильбертову прямую сумму Н = Щ ф Н\ и обозначим символом (, ) = ()")O + ( J")I скалярное произведение в Н. Рассмотрим коммутативные банаховы супермодули над Л: М — A S HQ и N = Л Й #і. Над парой этих супермодулей получаем суперпространство X = AQ&HQ ф Лі Й .#і и накрывающий модуль Lx — АЩ фЛ(8)Яі, которые будем обозначать соответственно НА и НА. На суперпространстве НА введем структуру гильбертова суперпространства. Определение 1.1. Супер скалярным произведением на суперпространстве НА называется сужение на НА Х НА непрерывного А-билинейного отображения Ъ : НА х НА —У А (НА х НА наделено топологией произве-дениия), обладающего следующими свойствами: суэюение Ь на Щ х Щ является обычным скалярным произведением; сужение Ъ на Н\ хН\ — это невырожденная антисимметричная вещественная форма; сужения Ъ на Щ х Hi и на Hi XHQ равны 0. Определение 1.2. Пара (Яд5 ( 5 )л); г е НА - банахово суперпространство, а (, )л - суперскалярное произведение в НА, называется гильбертовым суперпространством. Введем на суперпространстве НА суперскалярное произведение. Будем предполагать, что пространство Hi имеет либо четную размерность, либо бесконечномерно. Продолжим (, )o Д Л-билинейного отображения на Н$, а , i до Л-билинейного отображения на Н±. Для Л, /І Є Л и х, у єНо положим (Л х, /л g /)ол = А/І g (а;, /)о- Обо п значим через 5о подпространство в АНо векторов вида h = Л/г 8 е , fc=i где {e J — ортонормированый базис в Яо. В SQ XSQ рассмотрим топологию произведения. Продолжим (, )ол на So х So по линейности. Получившееся отображение Л-билинейно и непрерывно на SQ х «So-Остается продолжить его по теореме об ограниченном отображении на все A S HQ х A S HQ. Получившееся отображение также является Л-билинейным. Аналогично продолжим скалярное произведение (-,-)і в Hi до Л-билинейного отображения (, )іл на Л(Й Яі х A g Hi. Продолжим теперь J : Hi — Hi до JA : Л()Яі — Л()Яі. Для x ви n n да iikek положим JAI( ) — 2 № S J(ek) Тогда JAX Л-линейно и k=\ ft=l непрерывно на векторах такого вида. Остается продолжить его по теореме об ограниченном отображении на АНі. Это продолжение будет Л-линейным и непрерывным.

Аналог теоремы Минлоса-Сазонова для супермер

Доказательство Пусть Є KerFs, тогда для любого t Є Щ функция S.((F/i)(t)), определенная на Н , тождественно равна нулю. Значит \\S.((F/j,)(t)) \\F(HA ) = 0 и, в силу теоремы 1.1, при каждом t из Щ норма меры (F/j,)(t) также равна нулю: ІК- УОООІІлблЯї = є 0, то означает, что [і принадлежит ядру KerF классического преобразования Фурье супермеры \i. В силу того, что в HQ выполнено аппроксимацион-ное свойство (см. [44]), ядро классического преобразования Фурье равно нулю. Значит /а = О и следствие доказано. В этом параграфе формулируется и доказывается аналог теоремы Мин-лоса-Сазонова для супермер.

Определение 1.6. Цилиндрической супермерой в суперпространстве Н\ называется Л 2 (Д Н{)-значная цилиндрическая мера в пространстве HQ (см. [46]). Определение 1.7. Функцию f из F(H\) назовем суперцилиндрической, если суэюение (Df) () на пространство HQ является цилиндрической функцией. Функция ег(у )л : Н\ — - Л является суперцилиндрической, поэтому для цилиндрических супермер суперпреобразование Фурье корректно определяется равенством (1.5). Напомним определение топологии Сазонова, ассоциированной с сильной топологией гильбертова пространства. Пусть (, ) — скалярное произведение в гильбертовом пространстве и норма в нем задается равенством = (, )s. Тогда топология Сазо-нова задается семейством преднорм вида ps( ) = \\S -\\, где S пробегает совокупность всех неотрицательных операторов Гильберта-Шмидта. Доказательство аналога теоремы Минлоса-Сазонова для супермер использует результат работы [32], где были даны достаточные условия счетной аддитивности цилиндрических мер, принимающих значения в пространствах, не содержащих подпространств, изоморфных CQ. Следующая лемма является непосредственным следствием этих результатов, а также результатов книги [33], где были даны необходимые условия счетной аддитивности вещественнозначных цилиндрических мер. Лемма 1.1. Пусть Н — гильбертово пространство, X — локально выпуклое пространство up,— цилиндрическая Н-значная мера на X. Тогда для счетной аддитивности р необходимо и достаточно непрерывности ее преобразования Фурье р, : X — Н в топологии Сазонова, ассоциированной с топологией в X. Доказательство Достаточность сразу следует из теоремы 2.1 из работы [32] и того факта, что гильбертово пространство не содержит подпространств, изоморфных Со Необходимость. Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям при доказательстве теоремы 1.2 из книги [33], где рассматривался случай вещественно-значных мер, можно показать, что из непрерывности преобразования Фурье вариации /І следует непрерывность преобразования Фурье fi. Далее доказательство полностью повторяет доказательство теоремы 1.2 из [33]. Теорема 1.2. Для счетной аддитивности цилиндрической супермеры /и, в гильбертовом суперпрострапстве Н\ необходимо и достаточно непрерывности в топологии Сазонова (ассоциированной с топологией в Но) отображения t — Д(, ) : Щ - F ). Доказательство Достаточность. Пусть \л — цилиндрическая супермера в Лд и отображение t —ь Д(, ) непрерывно в топологии Сазонова. Покажем непрерывность в топологии Сазонова классического преобразования Фурье цилиндрической супермеры ц. Для ti, t i Є Но рассмотрим здесь первое равенство следует из теоремы 1.1, второе из линейности S, а третье из равенства (1.12). Из (1.16) сразу следует непрерывность jl в топологии Сазонова. Остается применить лемму 1.1. Необходимость. Пусть /І — счетно-аддитивная супермера. Из леммы 1.1 следует, что ее преобразование Фурье непрерывно в топологии Сазонова. Непрерывность ее суперпреобразования Фурье следует из равенств (1.16).И Замечание 1.3. Рассматривая различные топологии в тензорном произведении в определении суперпространства, будем получать различные суперпространства. В этих суперпространствах аналогичным образом можно определить понятие супердифференцируемости, супермеры, интеграла по супермере и суперпреобразования Фурье. Для суперпреобразования Фурье также будет иметь место представление вида (1.12). В этих суперпространствах также возникает задача о поиске условий счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразований Фурье. Глава 2 посвящена представлению решений эволюционных (супер)псевдодифференциальных уравнений функциональными интегралами. Доказывается теорема о существовании решения задачи Коши для таких уравнений, строятся представления этих решений функциональными интегралами по траекториям в фазовом суперпространстве (формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана). Первыми работами, в которых строились представления решений уравнений с антисимметрическими переменными функциональными интегралами были работы Дж. Л. Мартина [22, 23], выполненные на физическом уровне строгости. Первыми работами, выполненными на математическом уровне строгости, были работы Ф. А. Березина [1, 3], там получены представления символов псевдодифференциальных операторов функциональнвми интегралами по фазовому суперпространству в рамках алгебраического подхода к суперанализу.

Распределение Фейнмана на фазовом суперпространстве и псевдодифференциальные операторы

В классическом анализе формулой Фейнмана-Каца называют представление решения эволюционного псевдодифференициального уравнения функциональным интегралом по траекториям в фазовом пространстве. Таким образом, равенство (2.16) естественно называть формулой Фейнмана-Каца для уравнения (2.5).

Формулой Фейнмана в классическом анализе называют представление решения эволюционного псевдодифференициального уравнения в виде предела конечнократных интегралов по фазовому пространству.

Из определения меры Фейнмана (2.15) следует, что равенство (2.16) является одновременно и формулой Фейнмана для уравнения (2.5). Действительно, оно является представлением решения в виде предела конечнократных интегралов по фазовому суперпространству. При этом в (Q X Р)п берутся сужения меры Фейнмана на пространстве траекторий в фазовом суперпространстве. В общем случае, однако, в формуле Фейнмана не подразумевается существование пространства траекторий и меры на нем. Можно было получать формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца по-другому. Покажем, что при доказательстве теоремы 2.2 фактически была доказана формула Сначала необходимо показать, что на подпространстве J-{Q) пространства W (R, A(Q)) корректно определена композиция п псевдодифференциальных операторов с символами е»а. Для этого достаточно проверить, что (епЛ щ Е D(ena) и (єпЛщ Є W(R,A(Q)). Рассмотрим случай п = 2. Из предложения 2.1 следует, что компактов KQXP С Q x P и іСр С P, определяемых с помощью леммы 2.2. Ст и Cfj, — некоторые константы, также определяемые с помощью леммы 2.2. Из оценок (2.23) следует, что ряд в правой части (2.22) сходится в пространстве W (R, A(Q)) и смена порядка суммирования в (2.22) корректна. Покажем теперь, что коэффициент при tm в правой части ряда (2.22) (обозначим его символом s J совпадает с S : Аналогично можно показать, что для любого п определен (є»") / — \ п что уепа\щ совпадает с правой частью (2.17). Следовательно, предел Ит (є»" то в силу теоремы 2.2 равен еіащ и равенство (2.21) есть фор-мула Фейнмана. Таким образом, можно было, не вводя заранее пространство траекторий и меры на нем, получить формулу Фейнмана, а уже потом, заметив, что меры на (Q х Р)п суть сужения некоторой меры на пространстве траекторий, получить формулу Фейнмана-Каца. Замечание 2.6. В работе [39](см. таксисе [42]) представление решений эволюционного псевдодифференциального уравнения интегралом Фейн-мана (в классическом случае) также строятся с помощью формулы (2.21) (понимаемой, конечно, иначе). Там эта формула является следствием теоремы Чернова. В случае рассматриваемых пространств условия теоремы Чернова не выполняются, поэтому формула была доказана непосредственно. Кроме того, в указанной работе в предположении существования решений псевдодифференциальных уравнений с помощью формулы (2.21) строятся их представления в виде ряда по степеням t. Условия существования решений рассмотренных там уравнений мооюно получить из теорем о возмущении генераторов полугрупп. В случае рассматриваемых пространств таких теорем автору не известно, поэтому сначала было получено решение (в виде ряда по степеням t), а уже потом его представление интегралом Фейнмана. Заключение В главе 1 диссертации рассматривается модель бесконечномерного суперпространства, предложенная О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе. Показана связь этой модели с моделью, предложенной А. Ю. Хренниковым. Получен критерий счетной аддитивности цилиндрических супер-мер в гильбертовом суперпространстве в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье (супераналог теоремы Минлоса-Сазонова). Кроме того, рассмотрены некоторые свойства суперпреобразования Фурье супермер на гильбертовом суперпространстве. В главе 2 в модели бесконечномерного суперпространства, предложенной А. Ю. Хренниковым рассмотрены эволюционные псевдодифференциальные уравнения в пространстве компактно супераналитических функций. Доказана теорема существования слабых решений задачи Копій для таких уравнений. Построены представления этих решений функциональными интегралами по траекториям в фазовом суперпространстве (формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана). Кроме того, для эволюционного оператора доказана формула аналогичная формуле Чернова.

Формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана

Для супермодуля М рассмотрим супермодули Li r(M, Л) и Lij(M, Л). В работе [11] показано, что между ними существует канонический изоморфизм, устанавливающий взаимнооднозначное соответствие между отображениями М в Л Л-линейными справа и Л-линейными отображениями слева. Супермодулем алгебраически сопряженным к М называется супермодуль М — Li r(M, A) = Li r(M, Л). Сужение канонического изоморфизма на непрерывные отображения является изоморфизмом между супермодулями і)Г(М, Л) и С\ {М, Л). Топологически сопряженным супермодулем к М называется супермодуль М = С\!Г(М, Л) = і;Г(М, Л).

Определение 0.6. Отображение f : U — Y, где U — открытое подмножество банахова суперпространства X, a Y — банахов супермодуль, называется ограниченно супердифференцируемым в точке х Є X по Фреше справа(слева), если УїіЄХ: x + hE U имеет место представление где отображение А принадлежит супермодулю r(Lx,Y) (Ci(Lx,Y)). И - —) 0, t — 0 равномерно по h на любом ограниченном множестве. А-линейный справа(слева) оператор А называется правой(левой) суперпроизводной. Таким образом, функция является супердифференцируемоей по Фреше справа(слева), если она дифференцируема по Фреше и ее производная принадлежит супермодулю Л-линейных справа(слева) отображений между супермодулями. Компактная супердифференцируемость отображений определяется аналогично, при этом пространство непрерывных отображений заменяется на пространство отображений непрерывных на компактных множествах, а равномерная сходимость на ограниченных множествах — на равномерную сходимость на компактных множествах. Замечание 0.1. Можно показать, что функция супердифференциру-ема в точке по Фреше справа тогда и только тогда, когда она супер-дифференцируема по Фреше слева. Определение 0.7. Топологические коммутативные супермодули М и N называются двойственными, если существует непрерывная на компактных множествах билинейная форма , : М х N —у А, разделяющая точки М и N и для любых X,j3,aEAumGMunGN удовлетворяющая равенству Ага/3, па = X т, (Зп а. Суперпространства X = MQ ф N\ и Y = R0 (& Si над парами двойственных коммутативных супермодулей называются двойственными суперпространствами. Форма двойственности между суперпространствами определяется через формы двойственности между супермодулями: Перейдем теперь к краткой сводке результатов диссертации. В главе 1 рассматривается модель бесконечномерного суперпространства, предложенная О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе в работах [9, 10]. Эта модель обобщает на бесконечномерный случай конечномерную модель В. С. Владимирова и И. В. Воловича. Суперпространство, обозначаемое Н\, соответствующее 2-градуи-рованному гильбертову пространству Н = Щ Щ над банаховой супералгеброй Л = Ло Лі, определяется так: #л = Ло Й Яо Ф А\Н\. Предполагается, что супералгебра Л наделена гильбертовой нормой, тензорное произведение "" также наделяется гильбертовой нормой. Доказывается, что это суперпространство удовлетворяет определению 0.4, а именно, доказывается, что оно является суперпространством над коммутативными супермодулями A S)HQ и A S)Hi. В суперпространстве Яд вводится суперскалярное произведение, обозначаемое через (, )л и структура гильбертова суперпространства. Суперскалярное произведение строится с помощью продолжения по Л-линейности скалярного произведения в пространстве Щ на супермодуль Л Й Яо и некоторой антисимметричной формы в пространстве Н\ на супермодуль АН\. В главе 1 рассматриваются супердифференцируемые функции, суперпроизводные которых принадлежат более узкому классу, чем тот, который предполагается определением 0.6. Именно, для гильбертова пространства G = GQ Ф G\ рассмотрим супермодуль GA = A S GQ ф A S G\. Пусть функция / : Яд — GA ограниченно супердифференцируема в точке х. Ее производной в этой точке сопоставляется матрица V4io Ли) ЛюЄ /:(ЛоЯ0,Л0(8)С), А01Є (Лі(8 Яі,Ло 8)С), AWG (A0H0,AiG), Апє ЦАг&НиАі&С). Доказывается, что имеют место вложения: Ло(8 (Яо(?) в пространство (Л0 Й Яо,Ло 8 С), Ai(HiG) в ДЛ ЯьЛо С), Лі 8 (#0 8 7) в (А0Шо, M&G) и A0(HiG) в (Лі 8 #і,Лі 8 3). В главе 1 рассматриваются такие ограниченно супердифференцируемые функции, что А0о Є ЛО 8 (ЯО 8 СГ), AQI Є Лі(Яі), Aw Є Ai(Ho g G), Ац Є Ao g (Hi g)G). Такое определение супердифференци-руемости было предложено О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе в статье [9]. Для суперпроизводных порядка п справедливо следующее предложение.

Похожие диссертации на Формулы Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперанализе

Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений над полем -адических чиселБелошапка, Ольга Валериевна

Формулы Фейнмана для эволюционных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентамиПляшечник Андрей Сергеевич

Эвклидов и супераналоги уравнения Шредингера длябесконечномерного осциллятора и операторное исчисление ФейнманаГалкин, Олег Евгеньевич

О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностямиТулькубаев Ринат Закирович

Решения и формулы Варинга для системы n алгебраических уравнений от n неизвестныхКуликов Владимир Русланович

Квадратурные формулы для интегралов со сдвигом и численное решение сингулярных интегральных уравненийШакиров, Искандер Асгатович

Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных уравненийХазириши Энвер Османович

Формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера, порождаемых самосопряженными расширениями операторов второго порядкаТолстыга, Диана Сергеевна

Формулы для числа решений уравнений марковского типа в конечных поляхБаулина Юлия Николаевна

Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингульярными линиямиОрипов Турдикул Сафарович