Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Сведение задачи об аппроксимации области асимптотической устойчивости к экстремальной 8
I. Постановка задачи. Основные определения 8
2. Возможность аппроксимации области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров
3. Сведение исходной задачи к экстремальной
4. Использование линейных форм, заданных на гранях полиэдра, в качестве векторных функций Ляпунова 35
ГЛАВА 2. Решение экстремальной задачи методом последовательных приближений 39
5. О поведении траекторий на гранях полиэдра
6. Аппроксимация области притяжения на плоскости
7. Аппроксимация области притяжения в m -мерном пространстве 56
8. Построение нового симплициального разбиения ?
Заключение 93
Литература 95
- Возможность аппроксимации области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров
- Использование линейных форм, заданных на гранях полиэдра, в качестве векторных функций Ляпунова
- Аппроксимация области притяжения на плоскости
- Построение нового симплициального разбиения
Введение к работе
В современной теории дифференциальных уравнений большой интерес представляет задача устойчивости движения [I] . Она заключается в следующем. Пусть задана автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений правые части которой в области Ixskh, 8=^,...,^ удовлетворяют условиям существования и единственности решения задачи Коши, и (О, - . , СО = О , s =а ,. . ., m . Нулевое решение ocs(t) = 0 , te [о, cxs) , s= -і, . . . , m этой системы называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 6>0 существует такое Ъ> , что из неравенства l:xsiC»Uo следует |xs(t,X)l^ для всех t >0 , s= -I, . . .,m . Здесь Х = (х<(0'), ..., 3CS(0")')T Если найдется такое ^0 , что при |ccg(0)| *-Ъ соответствующее решение стягивается к нулю, т.е. |xsit,x)|-^0 , t —оо , s=i3...,m, (0.2) то нулевое решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову. Однако при исследовании конкретных физических или технических объектов бывает недостаточно установления факта существования того или иного динамического свойства (например, асимптотической устойчивости).
Огромное значение при исследовании конкретных систем имеет решение такой задачи, как получение [2, 3] оценок области асимптотической устойчивости (f\) - множества всех начальных отклонений, для которых выполняется условие (0.2). Таким образом, задача построения области асимптотической устойчивости или её приближенной оценки помимо чисто академического интереса имеет важное прикладное значение и является актуальной.
Несмотря на то, что В.И.Зубовым в [4] установлена теоретическая возможность получения точных оценок с помощью функций Ляпунова и найдено уравнение границы ЪЯ области асимптотической устойчивости, проблему и до настоящего времени нельзя считать закрытой. Она ждет своего полного решения. Дело в том, что метод Зубова приводит к уравнению в частных производных, для которого найти решение в замкнутой форме можно лишь в самых простых случаях. В связи с этим важное значение приобретает задача о построении оценок области асимптотической устойчивости. Этой задаче посвящены труды многих авторов [8-23, 25-28]. Очевидно, что простые способы дают грубые оценки и, наоборот, получение более точных оценок приводит к усложнению способа построения.
В диссертации предлагается аппроксимировать область асимптотической устойчивости при помощи полиэдров, имеющих заданное количество граней. При этом исходная задача приводит к задаче нелинейного программирования. Показано, что полиэдры, являющиеся решением экстремальной задачи, сколь угодно точно могут аппроксимировать область Я . Для решения экстремальной задачи предложен численный метод, являющийся по своей сути градиентным. Таким образом, предложен новый подход к решению задачи о построении области асимптотической устойчивости (или области притяжения), основанный на качественной теории дифференциальных уравнений, втором методе Ляпунова и многомерной геометрии.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения. Нумерация параграфов сквозная, нумерация теорем, определений и формул следующая: первая цифра означает номер па- раграфа, вторая - номер в данном параграфе.
В первой главе задача об аппроксимации области асимптотической устойчивости сводится к экстремальной. В I дается постановка задачи, обзор известных результатов по данному вопросу и основные сведения из многомерной геометрии, использующиеся в дальнейшем. В 2 рассматривается вопрос о существовании полиэдров, обладающих тем свойством, что траектории системы (0.1) пересекают их грани снаружи внутрь. Приводится способ построения полиэдра Р , обладающего указанным свойством, принадлежащего области притяжения и расположенного в некоторой малой окрестности начала координат.
В 3 задача об аппроксимации области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров, имеющих заданное число граней, сводится к экстремальной. Введены два определения сходимости последовательности полиэдров - поточечно и по мере. Доказано, что последовательность полиэдров, каждый из которых является решением экстремальной задачи при фиксированном числе граней N , сходится при N-*-oo к границе области притяжения по мере. В случае, если область асимптотической устойчивости ограничена, имеет место и поточечная сходимость. Приводится способ построения начального приближения при помощи выпуклых многогранников.
В 4 вводится класс векторных функций Ляпунова, компонентами которых являются линейные функции, заданные на гранях полиэдра. Приводятся достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы дифференциальных уравнений и необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости. Показана связь между построением указанных векторных функций и решением экстремальной задачи.
Вторая глава посвящена решению предложенной экстремальной задачи численными методами. Так как область притяжения аппроксимируется при помощи полиэдров, обладающих тем свойством, что траектории пересекают их грани снаружи внутрь, то возникает вопрос об изучении поведения траекторий системы на гранях полиэдра. Исследование этого вопроса составляет содержание 5.
В б излагается численный способ решения экстремальной задачи для случая двумерного фазового пространства. Построения делаются при помощи замкнутых многоугольников. Показано, что последовательные приближения сходятся к оптимальной точке в пространстве многоугольников. В 7 численный способ, приведенный в предыдущем параграфе, обобщается на случай многомерного фазового пространства.
Как указывалось выше, в многомерном случае область асимптотической устойчивости аппроксимируется при помощи полиэдров. Полиэдр Р считается заданным, если задан какой-либо его симп-лициальный комплекс К . Однако при решении экстремальной задачи симплициальное разбиение полиэдра Р может быть нарушено. Вопросу построения нового симплициального комплекса посвящен 8. С теоретической точки зрения этот вопрос не является проблемой, но простое теоретическое решение приводит к решению большого числа линейных неравенств. Предложенный в 8 способ построения нового симплициального разбиения удобен на практике. Однако в ряде случаев он может привести к нежелательному росту числа симплексов, входящих в симплициальный комплекс.
В заключении обсуждаются результаты исследований и их значимость .
Приложение содержит описание и текст программы на языке ФОРТРАН ІУ, реализующей полученный в диссертации алгоритм аппроксимации области притяжения на плоскости. Вычислительные аспекты оценки области притяжения рассмотрены на конкретных примерах.
На защиту выносится: обоснование возможности аппроксимации области асимптотической устойчивости с любой наперед заданной точностью при помощи полиэдров, обладающих тем свойством, что траектории системы пересекают их грани снаружи внутрь; численный метод решения экстремальной задачи с ограничениями для построения оценки области притяжения.
Основные результаты диссертации докладывались на заседании семинара кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления, на семинаре по дифференциальным уравнениям и математической физике в ЛГПИ им. А.И.Герцена, на ІУ Четаевской Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43-47] .
Возможность аппроксимации области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров
Прежде чем перейти к построению полиэдров, аппроксимирующих область асимптотической устойчивости, докажем теорему существования таких полиэдров.
Определение 2.1. Будем говорить, что полиэдр Р обладает свойством I, если траектории системы (I.I) пересекают его грани снаружи внутрь.
Теорема 2.1. Пусть нулевое решение системы (I.I) асимптотически устойчиво с областью притяжения Я и правые части системы дважды непрерывно дифференцируемы. Тогда для любой точки X є Я существует полиэдр Р с Я » обладающий свойством I, такой, что Х є Р .
Доказательство. Из асимптотической устойчивости нулевого решения системы (І.І) следует существование функции V ( УЛ , удовлетворяющей условиям теоремы І.І, причем можно считать, что она дважды непрерывно дифференцируема (см. замечание I). Предположим, что такая функция построена, и воспользуемся геометрической интерпретацией теоремы Зубова.
Выберем число ol є to, і") таким образом, чтобы область \\± = {Kfl : -1 + \/()0 л} содержала точку Х . Обозначим буквой G множество полиэдров, все грани которых касаются поверхности Fl= = { X с Д : \+\J (V) L \ . Диаметром грани Г назовем число d? = -may. р ( ,У) . Очевидно, что если диаметры всех граней полису є г эдра р удовлетворяют неравенству & .% р ( } R. = -ь х\ У) , (2.1) -го то полиэдр Р содержит точку X как внутреннюю. В дальнейшем будем считать, что неравенство (2.1) выполняется. Покажем, что если диаметры всех граней любого полиэдра Рс G будут меньше некоторого достаточно малого числа Є Л , то траектории системы (І.І) пересекают грани такого полиэдра снаружи внутрь. Указанное свойство траекторий является предельным при с?—"О , поэтому наша задача - установить существование полиэдров с диаметрами граней отличными от нуля. Функция где і ( X") - вектор-функция, компонентами которой являются правые части системы (I.I), описывает поведение траекторий системы (I.I) на поверхности R- . Действительно, если Ц 1УЛ , то траектория системы (І.І) в точке х є R- заходит внутрь области Н , При IV 0 траектория покидает НЛ и при JU") = = О траектория системы (І.І) в точке X касается поверхности
Функция (М непрерывна на ЯЛ , так как она является скалярным произведением непрерывных функций (о непрерывности с а6} V (X") см. замечание I). Функция описывает поведение траекторий системы (І.І) на касательной плоскости = {УеЕт: 1 -У , $%ac8vu)) = О} . Так как х ) непрерывна по совокупности аргументов при xeR , У є "YCX") 9 т0 из неравенства glfc.x KO следует существование такого ЬО , что для всех точек єіНХ4), удовлетворяющих неравенству р (Х, ") , выполняется t , -О . Другими словами, в касательной плоскости "X С X) существует такая окрестность точки X , которую траектории системы (I.I) Пересе -гі кают в направлении траектории, проходящей через точку X. є R . Обозначим символом W радиус наибольшей такой окрестности ЗеТГСЛ %(М =о причем СЮ о для любого % Є R. .
Функция (Ю , вообще говоря, может быть разрывной. Пусть = Lnj- стО . Покажем, что 0 . С этой целью дока-жем, что для любой точки х е Я.л и любой последовательности { Хк} е R f такой, что J) С УД УО - z , О , справедливо неравенство tr Схк) CXV (2.2) К-»оо Возьмем монотонно возрастающую последовательность положительных чисел {Л — - сх и обозначим М tp=i76lfCp . jKJ,«2) e} - множество точек в касательной плоскости tf Ср , 1 е R. , удаленных от точки не более, чем на е . По любому S 0 найдется такой номер кв = v 0cS, ) , что для всех к к0 и любой точки г є MeUK) выполняется pt4»Met« , (2.3) где р(.0,МоШ)= -ъ$ РСо,Н})
Использование линейных форм, заданных на гранях полиэдра, в качестве векторных функций Ляпунова
Рассмотрим векторную функцию Vм , компонентами которой являются линейные формы i)-L = ( сс ,р, L = i,..., w » где с;, еЕт. При помощи такой векторной функции можно судить об устойчивости нулевого решения системы (1 1) Будем считать, что правые части системы дважды непрерывно дифференцируемы в Em .
Продифференцируем линейную форму -&. вдоль траекторий системы (ІД): : « = с, ЧЛ Обозначим символом S2 t множество, лежащее в гиперплоскости "tfi = { ї є Em . с с-с,! to st} , такое, что \ \ о при Определение 4Л. Если объединение множеств S. образует границу некоторого полиэдра и ct. есть внешний вектор нормали к грани 1\ ( с. = nt- ),то будем говорить, что V и есть линейная векторная функция с областью задания на гранях полиэдра ЪРЫ
Теорема 4,1. . Если для любого 0 существует линейная векторная функция \/N с областью задания на Ъ9и , такая, что О є р = С), то нулевое решение системы (І.І) устойчиво по Ляпунову.
Доказательство этой теоремы следует из определения устойчивости по Ляпунову. Однако условия теоремы недостаточны для того,чтобы гарантировать асимптотическую устойчивость нулево-го решения. Действительно, система (І.І) может иметь последовательность точек {У К}К Г4 » таких, что і) Яхк) = 0; (например, х =-x5cosai ).
Теорема 4.2. Для того чтобы нулевое решение систе-мы (І.І) было асимптотически устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой полиэдр р , обладающий свойством I, что для любой точки ХєР найдется линейная векторная функция Чи с областью задания на "dPN , причем X е;ЭРм , Q)6PN с Р .
Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 2.1. В 6 и 7 дан конструктивный метод построения линейных векторных функций Ляпунова, заданных на гранях полиэдра Р . Эти полиэдры удовлетворяют условию PN с fl , т.е. являются оценкой области притяжения нулевого решения системы (I.I). Более того, область притяжения с любой точностью может быть аппроксимирована при помощи полиэдров, являющихся решением экстремальной задачи (3.2).
Линейные векторные функции с областью задания на гранях полиэдра являются принципиально новым классом функций Ляпунова по сравнению со знакопеременными скалярными функциями Ляпунова [iJ или векторными функциями, предложенными в [37, 38"] . К каждой компоненте векторной функции Ляпунова в этих работах предъявляются более слабые требования, чем в соответствующей теореме об одной функции Ляпунова. Развитие метода векторных функций Ляпунова (например, [39-41] ) шло по пути построения векторных функций с размерностью меньше размерности фазового прост ранства. Теоремы 4.1 и 4.2 показывают эффективность исследования систем дифференциальных уравнений при помощи указанных векторных функций размерности больше размерности фазового пространства. Следует отметить, что идея использовать линейные формы в качестве функций Ляпунова принадлежит С.К.Персидскому [42] . Однако, если от линейных форм, предложенных в [42] , требуется знакоопределенность, то линейные компоненты векторной функции \JN могут быть знакопеременными. Пример. Система дифференциальных уравнений
Аппроксимация области притяжения на плоскости
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений д (6.1) = Q etc, i , где Р(эс, ") и Qiac, )- голоморфные в а функции. Предположим, что система (бЛ) имеет нулевое решение, асимптотически устойчивое по Ляпунову. Обозначим символом N\n w многоугольник, имеющий U сторон, Vi - сторону многоугольника 1 и, наконец
Наилучшим среди N -угольников приближением области Я -46 будем считать многоугольник Мп , являющийся решением экстремальной задачи sup ju (MnN) =ju (Mn ) , (6.2) где GN - множество N -угольников, принадлежащих области Я , имеющих ненулевую площадь, и обладающих свойством I, G„={MnN с Я : JM 1Мп 0 , (п. , f Сзс. О, Сос. еГ. , 1=4,..., N}.
Многоугольник MnN можно рассматривать как замкнутый контур, натянутый на вершины Ял, Я N , т.е. Мп(Я ,.. .7ЯК = MnN . Пусть этот контур ориентирован против часовой стрелки, т.е. при обходе контура по вершинам fli с ростом индекса і область, ограниченная этим контуром, остается слева. Вектор внешней нормали к стороне 1\ вычисляется по формуле n=Cau,-2t ,-xi+,+x JT (6 3)
Площадь, ограниченная этим контуром, вычисляется по формуле (Мп =_ (хс5Г х 21( L+fV (б#4) я,...я„я, l=- Здесь С ос , \ Г) - координаты точки fl L . Направлением наискорейшего роста функции ju (Mn jutft .. . . . , А ц") является і где fl. CMn = u,-4t-, , " u, + і-У- (6.5) Сравнивая формулы (6.3) и (6.5), легко заметить, что вектор a%ad? CMnN ) совпадает с нормалью к прямой, проходящей через точки fll+, и fl L_, .
Предположим, что построено начальное приближение М n J] , т.е. заданы вершины Я,... , Я , причем замкнутый контур, проходящий через эти точки, ориентирован против часовой стрелки. Решение экстремальной задачи (6.2) разобьем на два этапа. На первом этапе из внутренней точки Мп множества GN выйдем на границу dGN={MnNcfl : j4(MnN) 0 , 3 С еГ. ,( ., , =0,1=-1,... } . а затем, на втором этапе, будем решать задачу (6.2) вдоль границы множества GN . Каждое последовательное приближение будем строить таким образом, чтобы контур, натянутый на вершины многоугольника, был ориентирован против часовой стрелки. 1-й этап. Если уже построено к -е приближение Мп = = Мп(Д , ... , Я ) є GN ,К=0,1,2,... , ТО ( К + Г) -Є приближение строим следующим образом. Поочередно двигаем вершины Я , l=i,..., N вдоль векторов $ = ST fl. ju t Mn до тех пор, пока функция ju СМп возрастает и \Апи е. G-N В качестве С к+ Л -го приближения берем получившийся многоугольник. Обозначим ВI - Я . Движение вершин flL, L = 4., ... , N осуществляется по формулам Bfl = BJ + KL- $«, (6.6) где индекс ] означает, что вершина Я продвинулась раз вдоль вектора S . В формуле (6.6) не определена величина шага к у вдоль вектора 5 .С этой целью введем определение. Определение 5.1. Допустимым значением шага вдоль вектора Ь будем назьгеать величину т , для которой выполняются два неравенства: І) е,Нх, 0 , (х, Ге , Є = 4,..., N , (6.7) где ле - внешний вектор нормали к стороне Ге многоугольника
Отметим, что неравенства (6.7) характеризуют поведение траекторий системы (6.1) на сторонах многоугольника Mn j} , а неравенства (6.8) означают, что функция ju tMn возрастает вдоль векторов g,e=i,...,N .
Пусть г - наибольшее значение допустимого параметра х на интервале [О, I] , тогда d , если г = ±. - допустимо V г - , если t л і . Здесь - некоторая достаточно малая постоянная. Значение коэффициента {{ легко определяется методом половинного деления [36] .
В качестве ( к+ О -го приближения возьмем многоугольник, натянутый на вершины Я + = ъ\ , 1 = 1,...,4 , где jo такой номер, что для любого I - 1 t ... , w не существует числа о . 2-й этап. Предположим, что при некотором к оказалось, что в= О . Это означает, что KiQ г , где Є - точность вычислений ( L = ±,.. . , N ). Следовательно, малое изменение вершин Я вдоль векторов $ выводит многоугольник Mn JJ за пределы множества GN
Построение нового симплициального разбиения
Если то аналогичное переразбиение нужно сделать для симплексов из таблицы Т » содержащих граниГт+ , после чего перейти к модифицированной таблице Т/ . Пространство Em . Ситуация, когда в нуль обращаются объемы нескольких симплексов
Предположим, что при движении вершины А., вдоль вектора С., одновременно в нуль обращаются объемы к симплексов, т.е. выполняется условие (8.1). Обозначим, как и прежде, символом Г. ту грань симплекса 1=-1,. ... к , которая не содержит вершину fl . Вначале рассмотрим случаи, когда грани VA, Гк лежат в одной гиперплоскости "tf .
Случай 4. Пусть симплексы $.,,.. .,к не имеют других общих точек, кроме fl., : (следовательно, rL с\ Г. = 0 при L=j ). о
Как и в трехмерном пространстве, легко показать, что для каждого симплекса $t разбиение можно делать как и при к =i . Случай 5. Любые два симплекса $-L и S: не имеют об о щей (m-i) -мерной грани.
Предположим, что $LD$-=r при Я =ЯН . Здесь V К-мерная грань, к Ст-О, причем Гкс L , Гк ; при fl, = Я.,-",. Тогда найдется симплекс $s , содержащий грань Гк для любого fl , такой, что ( = 0 при ft =K . Для простоты можно считать, что {($ п к)/АД0» аким образом, переразбиение для симплекса $а породит переразбиение симплексов $L и $: . Иначе говоря, для симплексов $ ,...,$кпереразбиение можно делать последовательно, каждый раз считая, что в нуль обращается объем только одного симплекса.
Случай 6. Любые два симплекса имеют общую только (т-4) -мерную грань \ , натянутую на вершины Рассмотрим два способа построения нового симплициального разбиения.
1-й способ. Он является простым обобщением трехмерного случая. По очереди варьируем вершины Bt: 1 -:=5..-6-:8 таким образом, чтобы в нуль обращался объем только одного симплекса. Переразбиение для этого симплекса делаем так, как это предполагалось в п. 3 настоящего параграфа.
2-й способ. Обозначим S2L. - множество точек пересечения ребра [fl Bj;] с ст-2 -мерными гранями вида Г : ВxL в xl т- к. Как и в трехмерном случае, нетрудно убедиться, что [ВЦ)В]сиг. для любого Бей-.. Обозначим символом С- такую точку, что рСС-- fl = mCn рСЬЖ) . J Ll i ЬЄ62.. J -92, Если все точки с- принадлежат одной грани Г , то ребра [fl Bu] ,J=V- ч"1 можно "сломать" в точках с- . При этом все точки С- будут лежать в гиперплоскости Ч , параллельной век о Т0РУ , Таким образом, 2-й способ также является простим обобщением трехмерного случая. Случай 7. Пусть ju ( = ju С $ = О при fl = f\[, причем грани Г и Гг лежат в разных гиперплоскостях ( Г\ с L , і =4,. ). Если S., О &г = Я при fl = Д., , то переразбиение симплексов $А и $ можно делать независимо. Предположим, что {снп ЗдИ = Г . Тогда найдется симплекс 5 , содержащий грань гк » такой, что ju($") = 0 при РІЛ fl/ . Иначе говоря, разбиение для симплекса % порождает разбиение для симплексов
Остальные случаи являются комбинациями вышеизложенных. Следует отметить, что предложенный подход к построению НОВОГО симп-лициального разбиения полиэдра PN обладает тем недостатком,что иногда приводит к полиэдру, содержащему большое число симплексов с малым объемом.
