Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Дискретные модели гиперповерхностей 18
1.1. Элементы гиперсетей и полиэдров 19
1.2. Конструирование гиперсети с использованием метода конечных разностей 33
1.3. Дискретное моделирование замкнутых гиперповерхностей 54
1.4. Формирование линеаризованной дискретной модели условия пластичности 66
Выводы по первой главе 81
Глава 2. Аппроксимация замкнутых гиперповерхностей второго порядка описанными или вписанными полиэдрами 83
2.1. Параметризация и классификация замкнутых гиперповерхностей второго порядка в Еп пространстве 84
2.2. Конструктивный принцип отображения гипер-поверхностей второго порядка в, Упрост-ранстве 90
2.3. Аппроксимация замкнутых гиперповерхностей второго порядка вписанными полиэдрами 98
2.4. Двусторонняя оценка погрешности линейной апщюксимации гиперповерхности второго порядка 113
Выводы по второй главе 125
Глава 3. Автомтическая линеаризация выпуклых гиперповерхностей и несущая способность оболочек 126
3.1. Механическое поведение и несущая способность оболочек 128
3.2. Условия текучести оболочек и расчеты несущей способности 135
3.3. Линеаризация условий текучести произвольного вида 150
3.4. Расчет несущей способности жесткопластических оболочек 159
3.5. Оптимальный проект купольного покрытия 168
3.6. Пакет программ расчета на ЭШ несущей способности пологих оболочек 175
Выводы по третьей главе 181
Заключение 182
Список использованной литературы 185
Приложение 199
- Конструирование гиперсети с использованием метода конечных разностей
- Конструктивный принцип отображения гипер-поверхностей второго порядка в, Упрост-ранстве
- Аппроксимация замкнутых гиперповерхностей второго порядка вписанными полиэдрами
- Пакет программ расчета на ЭШ несущей способности пологих оболочек
Введение к работе
В период до 1990 года советскому народу предстоит претворить в жизнь генеральную стратегическую задачу, выдвинутую ХХУІ съездом КПССХ - завершить перевод народного хозяйства на преимущественно интенсивный путь развития, добиться неуклонного роста производительности труда, повышения эффективности производства и на этой основе - дальнейшего подъема материального и культурного уровня жизни народа. Партия указывает и на главное средство для решения этой задачи - всемерное ускорение научно-технического прогресса. "В одиннадцатой пятилетке, -подчеркивалось на ХХУІ съезде КПСС, - развитие науки и техники должно быть в еще большей мере подчинено решению экономических и социальных задач советского общества, ускорению перевода экономики на путь интенсивного развития, повышению эффективности общественного производства".
Внедрение в практику прогрессивных и высокоэффективных достижений науки и техники, повышение на этой основе производительности общественного труда являются не только социально-экономической, но и важнейшей политической задачей.
В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года" предусмотрено:
- улучшить проектно-сметное дело, осуществлять строительство по наиболее прогрессивным и экономичным проектам;
- расширить применение новых эффективных конструкций, обеспечить современные требования стоимости и трудоемкости;
- расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники.
На необходимость изыскания резервов в народном хозяйстве, в частности в строительстве, указывается также в материалах ноябрьского (1982 г,), декабрьского (I98S г.) и февральского (1984 г.) Пленумов ЦК КПСС.
Одним из эффективных путей реализации резервов в строительстве является уточнение методов расчета и расчетных схем конструкций и сооружений на всех стадиях проектирования, в результате чего обеспечивается экономия материалов при иохране-нии надежности и безопасности сооружений.
Трудоемкость расчетов строительных конструкций, естествен, но, удлиняет сроки проектирования, что в свою очередь отрицательно влияет на сроки ввода объектов строительства в эксплуатацию.
В связи с задачами, поставленными партией и правительством, в нашей стране разработаны и утверждены комплексные целевые программы в области улучшения проектно-сметного дела и совершенствования строительных конструкций, в частности, целевая научно-техническая программа Госстроя СССР на 11-го пятилетку.
Настоящая диссертация выполнена в соответствии с разделом 07.02.01 этой программы: "Разработать на основе теории пластичности, прочности и устойчивости предложения по выбору расчетных схем и рекомендуемых методов расчета зданий и сооружений массового применения".
Таким образом, тема диссертации, в которой рассмотрены геометрические аспекты прочностных расчетов и проектирования эффективных современных пространственных конструкций, весьма актуальна. Проблема надежности сооружений при одновременном снижении их материалоемкости, а следовательно, и стоимости, тесно связана с оценкой их несущей способности. Вопросы устойчивости и надежности зданий и сооружений приобретают особое значение при строительстве в районах с повышенной сейсмичностью, в частности, в республиках Средней Азии. Решению этой задачи в значительной степени способствует использование в современном строительстве проектов, в которых в качестве покрытий зданий предлагаются монолитные оболочки вместо обычных плоскостных покрытий. При этом стоимость 1 иг покрытия здания уменьшается на 8-Ю руб., расход стали - на 12-32 кг, масса покрытия до 40 % по сравнению с решениями в плоскостных конструкциях. Известно, что в сейсмических районах, особенно в Средней Азии, в связи с необходимостью обеспечения сейсмостойкости, стоимость здания и расходы строительных материалов увеличиваются [43 J . Поэтому ставится задача достижения заданной несущей способности с наименьшей затратой строительных материалов при увеличении сейсмостойкости покрытия.
В различных отраслях науки и техники нашли применение нелинейные функции многих переменных. Наиболее характерным примером являются разнообразные целевые функции оптимизационных задач. В общем случае решение их сводится к задаче нелинейного программирования, однако часто геометрический анализ нелинейных функций позволяет провести их линеаризацию с тем, чтобы далее использовать хорошо разработанные методы линейного программирования.
Обзор литературы по многомерной начертательной геометрии показал, что авторами, работающими в этой области, прямо не ставилась и не решалась сформулированная выше задача. Однако существуют многочисленные работы, связанные с аналогичной проблемой в трехмерном и двухмерном пространствах.
Б области дискретизации кривых линий и поверхностей можно выделить два направления:
1) дискретное моделирование поверхностей в виде сетей;
2) аппроксимация кривых линий и поверхностей линейными элементами.
Значительные исследования в первом из указанных направлений выполнены профессором Михайленко В.Е., доцентом Ковалевым С.Н. и их учениками [_4,5,25,30,37,39,45-52,64,66-68,80,96] . Дискретные точечные каркасы поверхностей в этих работах формируются с использованием метода конечных разностей или интерполирующего многочлена Лагранжа. Среди достоинств таких моделей следует отметить возможность учета наперед заданных требований, дифференциально-геометрического характера и статических свойств моделируемой конструкции.
Второе направление достаточно глубоко изучено в работах профессоров Осипова В.А., Павлова А.В. и их учеников 12,13, 14,27-29,64,73,76,77,92 . В этих исследованиях приведены как общие принципы линейной аппроксимации и паркетирования поверхностей, так и решения ряда оптимизационных задач линейной аппроксимации.
Основной целью работ как первого, так и второго направления была постановка и решение задач формообразования в архитектуре и технике. Эти работы не были связаны с проблемами прочностных расчетов строительных конструкций, оболочек покрытий. Поэтому указанные авторы не обобщали в своих работах многомерные пространства и в этих исследованиях не учитывались специфические требования, предъявляемые к аппроксимации гиперповерхностей с точки зрения теории предельного равновесия.
В основу решения задач в многомерных пространствах могут быть положены фундаментальные исследования ведущих специалистов в области многомерной начертательной геометрии.
Действительно, функции нескольких независимых переменных могут моделироваться соответствующими геометрическими образами (точка, линия, отсек поверхности, некоторый объем) в многомерном пространстве. Во многих случаях удается отобразить эти геометрические объекты в виде векторной каркасной гиперповерхности построением ряда ее сечений на чертеже.
Наиболее крупные практические успехи в этом направлении принадлежат школе физико-химического анализа акад. Курнакова Н.С., применяющей графические методы для изучения многокомпонентных систем _5б J .
Способ каркасного задания поверхности в голономных кибернетических системах, предложенный д-р. техн. наук проф. Павловым А.В. _76,77j , явился основой многих работ, связанных с многомерной начертательной геометрией каркасных поверхностей [29, По] .
Значительным вкладом в теорию многомерной начертательной геометрии поверхностей являются работы д-ра техн. наук проф. Первиковой В.Н. [_78,79J . В этих работах предложены общие ре-шения основных позиционных задач с линейными элементами с пространства без применения следов применительно к исследованию многокомпонентных систем, указано на возможность задания на аксонометрическом чертеже нелинейных образов Є пространства дискретным каркасом их сечений, встречающихся в соответ-ствующихся химических диаграммах и др. Первикова В.Н. дает теоретические обобщения основной теоремы центральной аксонометрии Є пространства _79 J .
Д-р техн. наук проф. Филиппов П.В. на разработанных игл новых моделях Є пространства I01-106J решает в широком диапазоне ряд практических задач, в частности, транспортных и физико-химического анализа. Особое внимание в этих работах уделено применению современной вычислительной техники при решении задач начертательной геометрии многомерных пространств. Так, в работе _I05J используются методы интерактивной машинной графики. Применению ЭВМ для решения задач многомерной начертательной геометрии посвящены также работы Валькова К. И. _I6 J и Волкова В.-Я. [191 .
Среди исследований за последние два десятилетия отметим работы Гумена Н.С., в которых на основе графоаналитического отображения многомерных поверхностей предложены рациональные методы решения ряда многопараметрических задач технологии и конструирования [27,28,29, ПО J .
В указанных работах, посвященных многомерной начертательной геометрии поверхностей, рассматриваются только криволинейные поверхности, вопросы их линейной аппроксимации не затрагиваются.
В большинстве работ, связанных с исследованием линейных многопараметрических систем, в частности, физико-химического анализа (Буке [lI8 J , Радищев В.П. [84J , Курнаков Н.С. [_56J , Очеретный В.А. [75J и др.), для изображения диаграмм состояний линейных систем применяются правильные геометрические фигуры: правильные треугольники, прямоугольные трехгранные призмы, пирамиды с квадратным основанием и правильными треугольниками в качестве боковых граней, из четырехмерных фигур - политопы, тлеющие в качестве трехмерных граней те или другие из предыдущих фигур и т.д.
При применении для изображения диаграмм состояний линейных систем политопов их изображают в аксонометрии или перепроектируют на грани или же на плоскости проекций, и переходят к эпюру Скоуте [ 123 I . Подобные соответствия между политопом и совокупностью состояний системы возможно провести только в случае линейных зависимостей между переменными.
В случаях с нелинейными зависимостями между п - переменными совокупность состояний системы может быть описана лишь нелинейными поверхностями в многомерном пространстве.
В большинстве работ авторы не связывают линейные многопараметрические системы с гиперповерхностями, за исключением, где указано, что политопы могут быть использованы при линейной аппроксимации в качестве аппроксимирующих элементов. Однако указанная возможность в анализируемых работах нигде не исследовалась, так как практической потребности в этом у авторов не возникало.
В настоящее время можно выделить класс инженерных задач, которые в математической постановке сводятся к исследованию систем линейных и нелинейных уравнений, а также линейных неравенств со многими переменными, К этим задачам относится расчет прочности оболочек из идеально жесткопластического материала, построение диаграмм состояния, отражащих зависимость ряда переменных величин, отыскание конструкций наименьшей условной стоимости (массы) при заданной несущей способности.
В теории предельного равновесия жесткопластических оболочек условия текучести в общем случае являются функцией шести независимых переменных. Для куполообразных осесимметричных оболочек такая функция включает только четыре независимые переменные. Поэтому в настоящей работе особое внимание уделяется пространствам шести и четырех измерений.
Кроме перечисленных выше работ, в диссертации использованы также отдельные результаты ряда работ в различных областях:
- в области многомерной геометрии 11,3,6,7,16,19,23,26-29, 36,40,42,55,56,57,62,63,69-71,76,78,79,82-84,91,94,95,97-107, 112,110,117-128] ; - в области прикладной геометрии поверхностей 2,4,5,6,12-15,20,22,37,39,40,42,45-53,58,64,66-69,73,76,77,80,90-92,111, 112,116,117,123];
- в области исследований несущей способности оболочек покрытий [8,17,18,21,31-35,38,41,54,61,65,68,72,81,85-89,93, 109,113,114,122];
- в области методов линейного программирования примени -тельно к использованию современной вычислительной техники 112, 14,24,35,44,48,51,59-61,81,86,88,96,101-103,105,108,ИЗ,114, 115,122] .
В настоящей работе поставлена следующая цель: на основе геометрии многомерных пространств создать геометрический аппарат линеаризации замкнутых гиперповерхностей пршленительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий.
На основании изучения теоретических вопросов, связанных с прочностными расчетами оболочек покрытий и учета требований практики в работе поставлены следующие теоретические и прикладные задачи:
1. Разработать теоретические основы конструирования гиперсетей с использованием методов конечных разностей.
2. Предложить способ дискретного моделирования замкнутых гиперповерхностей.
3. Разработать алгоритм формирования линеаризованной дискретной модели условия пластичности.
4. Изучить вопросы параметризации гиперповерхностей второго порядка.
5. Сформулировать принципы дискретизации гиперповерхностей. 6. Разработать способы и алгоритмы аппроксимации гиперповерхностей второго порядка вписанными и описанными полиэдрами.
7. Создать пакет программ для расчета несущей способности оболочек на основе автоматической процедуры оптимальной линеаризации условия пластичности.
8. Осуществить внедрение результатов теоретических исследований при проектировании реальных объектов.
В первой главе рассматриваются вопросы дискретного моделирования гиперповерхностей. Исследованы элементы гиперсетей, их взаимопринадлежность. Изучены условия замкнутости и выпуклости дискретных моделей гиперповерхностей. Исследованы возможности конструирования гиперсетей методом конечных разностей с использованием ЭВМ в автоматическом режиме. Разработан способ конструирования замкнутых гиперсетей на основе координатного преобразования.
Во второй главе изучены аналитические возможности дискретизации гиперповерхности в целях ее линеаризации. Проведена параметризация гиперповерхностей второго порядка на основе исчислительных методов геометрии. Дано обобщение способа отображения четырехмерных геометрических фигур на ортогональном чертеже. Детально изучены возможности аппроксимации гиперповерхности второго порядка вписанными и описанными полиэдрами.
Третья глава посвящена вопросам практического использования теоретических исследований первых двух глав для решения задач, связанных с определением несущей способности оболочек покрытий. В ней приведена геометрическая интерпретация задачи предельного равновесия конструкций. Решена задача линеаризации условия пластичности произвольного вида для жесткопластических оболочек. Поставлена и решена задача выбора оптимального числа граней аппроксимирующего полиэдра с наперед заданной точностью аппроксимации.
Научная новизна. На основе синтеза методов многомерной, аналитической и вычислительной геометрии с использованием современной вычислительной техники получены следующие новые теоретические и практические результаты:
- теоретические основы конструирования гиперсетей, являющихся дискретными моделями выпуклых замкнутых гиперповерхностей;
- алгоритм автоматического решения задачи оптимальной аппроксимации выпуклых, замкнутых гиперповерхностей второго порядка полиэдрами с наперед заданной точностью;
- методика, алгоритмы и пакет программ для расчета несущей способности пологих оболочек с применением линейного программирования.
Практическая ценность работы состоит в комплексе разработанных на базе математического моделирования алгоритмов и пакета программ, ориентированных на применение в задачах оптимального проектирования и позволяющих получать нижние оценки несущей способности пологих оболочек.
Внедрение разработанного комплекса программ по линеаризации условий пластичности в Республиканском проектном институте Узгипросельстрой и в Проектно-экспериментальной мастерской при Самаркандском архитектурно-строительном институте позволило получить заданную точность вычислений несущей способности оболочек при наименьших затратах машинного времени. На защиту выносится:
- обобщение теории дискретного моделирования поверхностей на случай многомерных пространств;
- координатный способ конструирования гиперсетей по наперед заданным условиям;
- условия выпуклости и замкнутости дискретных моделей гиперповерхностей ;
- параметризация гиперповерхности второго порядка методом исчислительной геометрии;
- графоаналитические принципы отображения гиперповерхностей второго порядка;
- алгоритмы аппроксимации замкнутых гиперповерхностей второго порядка вписанными и описанными полиэдрами;
- методика, алгоритмы и пакет программ для расчета несущей способности пологих оболочек с применением линейного программирования.
Апробация работы. Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, доложено и обсуждено на 45-й, 44-й, 45-й научно-технических конференциях Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института (1982, 1983, 1984 гг.), на ХУТ научно-теоретической конференции Самаркандского государственного архитектурно-строительного института и Самаркандского областного правления НТО Стройиндустрии (1983 г.), на УН научно-теоретической конференции Бухарского технологического института пищевой и легкой промышленности (1984 г.).
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения списка использованной литературы наименований и приложения ( страниц). Работа содержит страницы машинописного текста, рисунков, таблицы•
Конструирование гиперсети с использованием метода конечных разностей
На практике часто возникает задача интерполяции функции многих переменных по ее отдельным значениям, полученным экспериментальным путем. Если экспериментальные значения приняты в качестве краевых условий, то интерполяция многих переменных может быть осуществлена способом конечных разностей. Конечно-разностное уравнение в этом случае может быть составлено как многомерное обобщение зависиглости между координатшж группы смежных элементов упругой сети [46,49] . При составлении конечно-разностного уравнения зависимости между координатами узлов гилерсети -необходимо учитывать численную зависимость взаимной црішадлежности элементов гиперсетей. Зависимости взаимной принадлежности I - мерных клеток размерности /? , где 2 I = А? , изложенные в первом параграфе, позволяют определить численные характеристики принадлежности q - мерных клеток р --мерным клеткам в С пространстве и наоборот, т.е. А/„ Є & АЛ или &"/\/р в/\ , где (В -коэффициент. пространстве одной т- мерной клетке принадлежит клеток размерности (/77-/) и 2 (/7-/77-/) клеток размерности (rrr+4). В част-нооти, в t пространстве каждой 0-мерной клетке принадлежит десять одномерных клеток (табл.1.3). Множество узлов и связей упругой п -мерной гиперсети, между которыми устанавливается функциональная зависимость в виде конечно-разностного уравнения, является звездой упругой гиперсети. Такая звезда может быть получена как совокупность &"= -(/7-1) ломаных, состоящих из 0-мерных клеток и одномерных клеток, где /7- размерность пространства.
Рассмотрим представление конечно-разностной зависимости между координатами узлов звезды п - мерной гиперсети как совокуп-ность конечно-разностных уравнений для с -мерных ломаных в к пространстве, где ]_1 п]є і Пусть задается ломаная ABCDE Є в пространстве (рис.1.5а). Требуется определить координаты данных точек обвода с наперед заданным шагом. Координаты узлов (0-клеток) определяются при решении системы линейных уравнений [46 J в Е пространстве по направлению по направлению j Если дискретный каркас поверхности представить в виде двух семейств ломаных с общими узлами, расположенными в вертикальных плоскостях, то можно построить дискретную геометрическую модель упругой сети с четырехугольной ячейкой. Для получения координат произвольного узла CL сети с четырехугольной ячейкой (рис.1.56) в Е пространстве необходимо определить среднюю арифметическую координат соответственных узлов ломаных по направлениям L и j , т.е. Тогда в соответствии с (1.12) и (ІЛЗ) координаты произвольного узла ц,- сети с четырехугольной ячейкой определяются в результате решения следующей системы уравнений: Если ломаную Я представить в Е пространстве, то в соответстыии (1.10) можно вычислять число &" направлений, проходящих через центральный узел звезды. Например, в " пространстве &? — 3 . Эти направления обозначаются индексами , j t к . Средние арифметические значения координат по направлениям L , j , к определяются по следующим формулам: Для определения координат произвольного узла С гиперсети в Е пространстве с четырехугольной ячейкой необходимо решить следующую систему уравнений:
Аналогичным образом можно записать конечно-разностное уравнение зависимости узлов звезды гиперсети в Е пространстве. Для этого с помощью уравнения взаимной принадлежности /7- мерных клеток в Є пространстве (1.10) вычисляется значение &" — r?-i . Это означает, что через центральный узел звезды проходит (/?- ) ломаных С?., где [/,0--/0] Є L . Для составления конечно-разностного уравнения находится средняя арифметическая координат центральных узлов ломаных, направленных по каждой переменной
Конструктивный принцип отображения гипер-поверхностей второго порядка в, Упрост-ранстве
В работах [іОІ-ІОб] было предложено моделирование точек любого числа измерений при помощи векторов, параллельных координатным осям декартовой системы с различными сочетаниями проекций векторов в трехмерном пространстве.
Принцип отображения, предложенный профессором П.В.Филипповым [102] , дает ряд преимуществ для конструирования сетчатого каркаса гиперповерхности t пространства по сравнению с другими способами [102,104] . Эти преимущества заключаются в наглядности изображения и возможности графического решения позиционных и метрических задач.
Рассмотрим аналитический и конструктивный аспекты предложенного в работе [102] принципа моделирования точек, расположенных на сетчатом каркасе гиперповерхности второго порядка.
Моделирование точки шестимерного пространства тремя векторами трехмерного пространства, выходящими из одной точки этого пространства параллельно одной из осей прямоугольной системы координат, рассматривается как результат последовательного ортогонально-параллельного проецирования точки пространства шести измерений на координатные подпространства. При этом размерность подпространств постепенно уменьшается на единицу до трехмерного координатного подпространства.
Рассмотрим сечение некоторых фигур гиперплоскостями.
Пусть заданы на ортогональном чертеже гиперцилиндр Ф и гиперплоскость Q . Требуется построить гиперсечение гипер f-6 цилиндра с заданной гиперплоскостью в t пространстве. Представим уравнение гиперцилішдра г с осью, проходящей через начало координат О в пространстве: (2.7) можно трактовать как уравнение гиперсферы в пространстве. Известно [44] , что любое уравнение с двумя переменными в прямоугольной системе координат в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна координатной оси (той, которая отсутствует в уравнении). Аналогично можно представить гиперцилиндрическую поверхность 7 в пространстве, т.е. любое уравнение с пятью г-6 переменными в пространстве определяют относительно некоторой прямоугольной системы координат гиперцилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна координатной оси (той, которая отсутствует в уравнении). Рассмотрим эллиптический гиперцилиндр в Е пространстве. В целях вычисления значения координат точек гиперповерхностей с помощью ЭВМ, рассмотрим переход от неявного задания к параметрическому, для чего воспользуемся формулами преобразования координат (1.26) м Подставка (I.2I а,б,в) , (2.9) в (2.7) и (2.8) дает уравнение соответственного кругового и эллиптического гиперцилиндров в параметрической форме: Аналогично можно получить уравнение эллиптического сечения в параметрической форме Сечением семимерного гиперцилиндра гиперплоскостью является шестиосный гиперэллипсоид, который можно наглядно изобразить с помощью методов начертательной геометрии многомерного пространства. Пусть гиперповерхность второго порядка задана уравнением После некоторых преобразований уравнение (2.13) можно записать в следующем виде Применяя векторное моделирование ", можно отобразить гиперэллипсоид графически. Используя методику исследования, принятую в [l02J , можно доказать, что поверхность (2.15) на ортогональном чертеже моделируется фронтальной, горизонтальной, горизонтально-векторной, двумя фронтально-векторными проекциями, каждая из которых в проекциях эллипсом. Уравнения: - фронтальной проекции На рис.2.1 представлены гиперсечения х у = Q+ горизонтально-векторной проекции, центр которой в точке 02 , х -=/ и х у- /j , горизонтально-векторные проекции центрами в точках , 02z . Вое эти проекции симметричны относительно центра и # Аналогично можно построить гиперсечения /"= o.s и х" = ае. Кривые, огибающие горизонтально-векторные, фронтально-векторные проекции рассматриваемых сечений, являются эллип-сом - проекций на координатную 3 - плоскость х х х На координатную 4 - плоскость х х х"х , на координатную 5 - плоскость х-х- х - х- х- , совокупности сечений х = гг , На рис.2.2, 2.3, 2.4 для сравнения сложности изображений (графических построений) показаны проекции сферы в /Г и гиперсферы в пространствах Е , , Е . На основе теории изложений [94,102] гипершар в пространстве можно наглядно изобразить в координатном трехмерном подпространстве х х х- } который моделируется шаровым объемом радиуса R и тремя объемами эллипсоида вращения, большая ось которого равна величине 2f? Jz f а малая ось - 2R . Координаты же центров названных тел являются одними и теми же параметрами положения для гипершара.
Аппроксимация замкнутых гиперповерхностей второго порядка вписанными полиэдрами
Под оптимальной дискретизацией понимается перезадание гиперповерхности дискретным точечным каркасом с минимальным числом точек и наперед заданной допустимой погрешностью при линейной аппроксимации.
Для оценки точности задания гиперповерхности дискретным точечным каркасом, необходимо ее аппроксимировать полиэдром с вершинами в точках каркаса гиперповерхности. Тогда погрешность дискретного задания гиперповерхности совпадает с погрешностью ее аппроксшлации полиэдром. Абсолютная погрешность аппроксимации гиперповерхности полиэдром может быть оценена как максимальное отклонение по нормали точки гиперповерхности от соответствующей точки главной грани аппроксимирующего полиэдра. Вопросы оценки точности линейной аппроксимации кривых линий и поверхностей в пространствах с та с достаточно подробно освещены в литературе [4,12,13,14,37,77,96] , что позволяет сделать выводы и обобщения на пространствах высших измерений.
В результате таких обобщений можно сформулировать ряд обстоятельств, влияющих на точность линейной аппроксимации гиперповерхностей. 1. Число главных граней аппроксшлирующего полиэдра. 2. Функциональная зависимость переменного шага дискретизации от кривизны гиперповерхности. 3. Выбор начала отсчета параметров дискретизации, 4. Ориентация одномерных клеток полиэдров относительно главных кривизн гиперповерхности.
Влияние перечисленных обстоятельств на точность аппроксимации можно наглядно проследить в пространствах и . Так, первое обстоятельство учитывается во всех работах, связанных с линейной аппроксимацией кривых линий и двумерных поверхностей [14,77,96] . Влияние кривизны поверхности на точность ее линейной аппроксимации (второе обстоятельство) в пространстве Є исследовано в работах [12,13,14] и представляет собой нелинейную задачу. В пространствах высших измерений нелинейность этой задачи существенно возрастает.
Учет третьего обстоятельства, влияющего на точность аппроксимации, в литературе не встречается. Поэтому для нагляд Г-2. ности рассмотрим простейший пример в пространстве и . Рассмотрим ромб ABCD и прямоугольник PQRS, аппроксимирующие один и тот же эллипс (рис.2.5)
В первом случае за начало дискретизации принята точка А и вписан ромб, все стороны которого имеют одну и ту же погрешность аппроксимации &t . Погрешность &, можно определить как расстояние между стороной АВ ромба и касательной t//AB к эллипсу.
Во втором случае за начало дискретизации принята точка Q эллипса так, чтобы сторона Q R прямоугольника аппроксимировала дугу эллипса с той же погрешностью Si = &г . Определим абсциссу точки R из условия пересечения прямой Q R с эллипсом
Отсюда видно, что при выборе начала отсчета в точке Q погрешность S3 неравна погрешности д . Следовательно, при аппроксимации эллипса прямоугольником, соблюдение равенства погрешностей $2 = &3 возможно лишь в случае д . Таким образом, при заданном числе сторон вписанного многоугольника погрешность аппроксимации зависит от выбора начала дискретизации.
Влияние ориентации одномерных клеток относительно главных кривизн поверхности на точность ее аппроксрімации (четвертое обстоятельство) можно наглядно проследить в пространстве на поверхностях эллиптического и гиперболического параболоидов [37] .
Определение несущей способности оболочки связано с многократным решением задачи линейного программирования, что требует соблюдения условия быстродействия создаваемого алгоритма дискретизации и линейной аппроксимации замкнутой гиперповерхности второго порядка, моделирующей условие пластичности. Быстродействие алгоритма существенно зависит от степени сложности способа дискретизации гиперповерхности и резко падает при наличии нелинейных задач. Все обстоятельства, влияющие на точность линейной аппроксимации гиперповерхности, за исключением первого, могут быть аналитически описаны только в виде сложных нелинейных функций. Поэтому представляется целесообразным получать желаемую точность аппроксимации только за счет изменения числа аппроксимирующих главных граней полиэдра.
Аппроксимируемые гиперповерхности второго порядка, моделирующие условия пластичности, имеют практический смысл только в положительной части пространства (в части пространства, имеющей только положительные значения всех координат). Поэтому в дальнейшем рассматриваются вершины аппроксимирующих полиэдров только с положительными координатами.
В работе принят наиболее просто формализуемый способ дискретизации, основанный на многомерном обобщении радиально-кольцевого разбиения эллипсоида.
Пакет программ расчета на ЭШ несущей способности пологих оболочек
Цель расчета несущей способности пологих оболочек состоит в вычислении предельной нагрузки, при которой конструкция теряет способность сопротивляться внешним воздействиям и превращается в механизм с одной степенью свободы. Возможности программы 0В0/-0/У Программа предназначена для расчетов несущей способности безмоментной оболочки из материала, обладающего пластическими свойствами. Программа позволяет рассчитывать оболочки с любой срединной поверхностью и допускает неравномерное распределение нагрузки на всей и на части ее поверхности. По программе 0В010ІЇ вычисляется нижняя граница предельной нагрузки, для чего используется статический метод и обычные предпосылки теории предельного равновесия. Программа написана на алгоритмическом языке 4LG0/- -GZ /P для ЭВМ БЭСМ-6 и предусматривает использование только оперативного запоминающего устройства. В программе реализовано линеаризованное условие пластичности, представляющее собой выпуклый полиэдр. Таким образом, решение нелинейной задачи математического программирования сведено к решению последовательного ряда задач линейного программирования. Аппроксимация гиперповерхности пластичности производится рядом вписанных и описанных многогранников, что позволяет даже при небольшом числе главных граней полиэдра получать ряд решений, сходящихся к искомому решению сверху и снизу. Все характеристики оболочки (толщина, нагрузка, усилия) представлены множествами узловых значений. Блок-схема пакета показана на рис.ЗЛО. Подпрограмма Л00/?27 , используемая программой, обеспечивает формирование координат Л - , Х -\ х" вершин вписанного и описанного многогранников, используя данные о параїлетрах поверхности текучести (трехосного эллипсоида).
В результате работы подпрограммы /Ї00Я-Р формируются три массива Х-\ х\ x,JF. Подпрограмма ABCD предназначена для вычисления коэффициентов уравнений граней вписанного многогранника по формулам (3.43)...(3.48). Подпрограмма ABCDKS предназначена для вычисления коэффициентов уравнений граней описанного многогранника согласно формуле (2.30). В результате работы подпрограмм АВСЛ и ABCDKS формируется массив Л0 г/Г , в котором вычислены коэффициенты уравнений граней. Подпрограмма RA VPR 0 обеспечивает формирование уравнений равновесия оболочки с заданной срединной поверхностью с различными граничными условиями контура. Подпрограмма использует данные о геометрии оболочки и о безмоментной нагрузке во всех узлах сетки. Все перечисленные подпрограммы служат для описания задачи, то есть для ввода исходной информации. Теперь рассмотрим подпрограммы, участвующие в решении задачи. Подпрограмма служит для формирования симп лекс-таблицы в виде массива MA , а также параметров этой таблицы. В этой же подпрограмме производится обращение к подпрограмме SIM PL EX , которая предназначена для решения задачи линейного прогреммирования. В результате работы подпрограммы FORMA Т распечатывается значение предельной нагрузки и узловые усилия , , Ку .
Исходной информацией для программы 0B&L0H являются сведения о геометрии и прочностных свойствах оболочки, а также узловая нагрузка. _ параметры трехосного эллипсоида, описывающего условие пластичности; А7", ЛР - максимальные числа вершин и граней вписанного и описанного многогранников, аппроксимирующих условие пластичности; /СХ, К У - главные кривизны оболочки; /1/ - число узлов сеточной области в каждом направлении с учетом законтурных узлов; М - массив нумерации узлов сетки; р - массив узловой нагрузки. Возможности программы 0В0/06 следующие. Как и в программе 0В0/0// , здесь вычисляется нижняя граница предельной нагрузки для моментной оболочки, с использованием статического метода теории предельного равновесия. Программа также написана на алгоритмическом языке А/&0/ &DR для ЭВМ-БЭСМ-6 и предусматривает использование только оперативной памяти. Силовые факторы оболочки, используемые как варьируемые переменные - это А/х , А/у, Ау, Мх , Му, Мху, Условие пластичности, связывающее внутренние факторы с константой материала, в общем (случае) виде описывается уравнением (3.16) или (3.39). Конкретная форма условия пластичности, используемая в программе, имеет вид (3.40). Условие равновесия имеет вид (3.27). В программе &В0/06 имеется ряд подпрограмм, служащих для описания и ввода исходной информации о задаче. К ним относятся подпрограммы A00RD , АВСД6 ,ABC/J/XSe f R/[У PR 06 . Подпрограмма формирует параметры и симплекс-таблицу задачи, а также обращается к подпрограмме S TMP/ ВХ. Результат - предельная нагрузка и узловые усилия //к , А/у} А/ку , МХ1 My tMxy распечатываются. Программы 0B010/Y и 0В0/06 перед началом счета в целях контроля печатают всю исходную информацию в виде отдельных чисел и двумерных массивов. Результаты вычислений, реализованные в рамках ОС "ДУБНА." на ЭВМ БЭСМ-6 приведены в табл. 3.6. 1. На основе обобщения теории полиэдров разработана методика линеаризации условий текучести произвольного вида для пластических оболочек вписанными и описанными полиэдрами. Методика позволяет получать полиэдры с произвольным числом граней. 2. Методика линеаризации использована для построения алгоритма и программы автоматического приближения выпуклых гиперповерхностей вписанными и описанными полиэдрами с любым числом граней. 3. Автоматическая линеаризация условий пластичности жесткопластических оболочек позволила построить эффективную методику и программу расчета нижних оценок несущей способности пологих оболочек, прямоугольных в плане. Методика основана на применении методов линейного программирования. 4. Результаты решения контрольных примеров подтвердили достоверность методики и программы расчета несущей способности оболочек. Получена возможность повышения эффективности программ за счет оптимального выбора числа граней полиэдров -отыскиваются полиэдры с минимальным числом граней, приводящие к оценкам несущей способности с заданной точностью.
