Введение к работе
Актуальность темы. Модель системы точечных вихрей интенсивно исследуется, начиная со второй половины XIX века. Лорд Кельвин (У. Том-сон) на её основе построил свою вихревую теорию атома. Несмотря на то, что эта теория была отвергнута, математическая модель выжила и приобрела новую актуальность в последнее время в связи с экспериментальными исследованиями вихрей в жидком гелии и электронных колонн в физике плазмы.
Движение системы точечных вихрей описывается гамильтоновой системой. Эта простейшая модель вихревой динамики кажется наиболее доступной для полного и глубокого исследования. Она изучалась многими авторами (лорд Кельвин, В. Гребли, Т. X. Хавелок, X. Ареф и др.) с разных точек зрения. Значительный прогресс в этой области достигнут в последние годы благодаря применению методов современной теории динамических систем. Здесь имеются в виду прежде всего вопросы качественной теории: интегрируемость, неинтегрируемость, устойчивость, бифуркации, возникновение и развитие хаотических движений и др.
Вместе с тем, многие классические конфигурации долгое время оставались и остаются недостаточно исследованными. Примером такой задачи является проблема Кельвина об устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности (томсоновский вихревой многоугольник). На протяжении долгого времени она исследовалась многими авторами (Дж. Дж. Томсон, Т. X. Хавелок, У. Мортон, Л. Г. Хазин, Г. Т. Мерц, X. Е. Кэбрал, Д. С. Шмидт и др.), а решена в точной нелинейной постановке лишь сравнительно недавно в работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича.
Имеются обобщения проблемы Кельвина на случаи вихрей внутри и вне круговой области. В линейной постановке они были решены Т. X. Ха-велоком (1931 г.). Случай внутри круга был исследован в нелинейной постановке методами КАМ-теории в недавних работах Л. Г. Куракина. Что касается случая вне круга, такой анализ проведен только для случая том-соновского вихревого треугольника (2011 г.).
Таким образом, в настоящее время актуален нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области.
Цели работы. Получить математически строгие результаты в задаче
устойчивости томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области в точной нелинейной постановке.
Провести анализ устойчивости или формальной устойчивости по Раусу такого вихревого многоугольника в нерезонансных случаях с привлечением методов как линейного, так и нелинейного анализа устойчивости равновесий гамильтоновых систем. Найти все резонансы до четвертого порядка включительно и исследовать их в точной нелинейной постановке методами КАМ-теории.
Основные положения, выносимые на защиту. Анализ устойчивости томсоновского вихревого n-угольника вне круга:
-
Доказательство утверждения Т. X. Хавелока об экспоненциальной неустойчивости томсоновского вихревого n-угольника вне круга для нечетного п = 2к + 1 ^ 7.
-
Доказательство необходимого и достаточного условия устойчивости по Раусу в случае четного числа вихрей п = 2, 4, 6.
-
Формулировка и доказательство условий устойчивости для всех критических случаев устойчивости двукратного нулевого корня, встречающихся в задаче при п = 2, 4, 5, 6.
-
Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника в нерезонансных случаях: условия устойчивости по Раусу или формальной устойчивости по Раусу в зависимости от параметра задачи.
-
Исследование устойчивости правильного вихревого пятиугольника во всех резонансных случаях, встречающихся в задаче: резонансы 1:1, 1:2, 1:3, 1:1:2.
Научная новизна и практическая значимость. Все результаты диссертации являются новыми.
Вместе с результатами линейного анализа Т. X. Хавелока и результатами Л. Г. Куракина об устойчивости вихревого треугольника проведен нелинейный анализ устойчивости правильного вихревого n-угольника вне круговой области для всех возможных значений параметров задачи.
Полученные в диссертации результаты об устойчивости конфигураций точечных вихрей относятся к давно поставленным, но ранее не решенным,
проблемам гидродинамики. Их решение поможет при изучении устойчивости других вихревых конфигураций для случая вихрей вне круга и для других моделей точечных вихрей: внутри кольцевой области, на сфере, в стратифицированной жидкости и др. Результаты диссертации также могут быть востребованы в физике плазмы, при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости, в задачах геофизической гидродинамики.
Методы исследований. При исследовании устойчивости томсонов-ского вихревого многоугольника применялись следующие методы теории устойчивости равновесий систем обыкновенных дифференциальных уравнений: прямой метод Ляпунова, теория нормальных форм гамильтоновых систем, теория Рауса об устойчивости равновесий гамильтоновых систем с циклической переменной, теоремы А. Д. Брюно о формальной устойчивости равновесий гамильтоновых систем, результаты А. Г. Сокольского и А. П. Маркеева об устойчивости равновесий гамильтоновых систем в резонансных случаях.
Научная достоверность результатов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в случаях, когда таковые имеются в литературе.
Апробация. Результаты, полученные в диссертации представлялись на научном семинаре «Математические вопросы гидродинамики» кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009), международных конференциях «Современные проблемы Механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010, 2011); «Крымской осенней математической школе симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам», (Севастополь 2009); International Workshop on Partial Differential Equations and Application (Morelia, Mich. Mexico, 2010).
На разных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№№ 07-01-92213-НЦНИЛ_а, 08-01-00895-а, 09-01-92504-ИК_а, 11-05-01138-а), аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/554, федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (соглашения № 14.А18.21.0873, № 8832).
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 статей [1-10]. Основные результаты отражены в 3 публикациях в журналах списка ВАК [1-3]. В совместных статьях с Л. Г. Куракиным постановки задач и окончательная редактура текста принадлежат Л. Г. Куракину, а автору диссертации, Островской И. В. — основные результаты и их доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 108 страниц, включая 13 рисунков, 5 таблиц. Список литературы содержит 125 наименований.
