Введение к работе
з
Актуальность и степень разработанности темы. В настоящее время велика востребованность такого раздела современной математики, как теория обратных и некорректных задач. Основы теории и практики исследования таких задач были заложены учеными-пионерами в этих областях А.Н. Тихоновым, В.К. Ивановым, М.М. Лаврентьевым.
Большой вклад в развитие теории некорректных задач внесли А.Л. Агеев, О.М. Алифанов, В.Я. Арсенин, А.Б. Бакушин-ский, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, В.А. Винокуров, A.M. Денисов, СИ. Кабанихин, А.С. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, А.И. Прилеп-ко, В.Г. Романов, В.П. Танана, А.Г. Ягола, Е. Giusti, C.R. Vogel, О. Scherzer и многие другие.
Вероятно, по числу приложений класс обратных задач для краевых задач математической физики, в которых требуется определить априори неизвестные коэффициенты, правые части или краевые условия, является одним из самых востребованных. При этом зачастую восстанавливаемые функции могут иметь особенности (например, изломы, разрывы, близкие пики).
При решении некорректных задач часто применяется метод регуляризации Тихонова. Однако для качественного восстановления функций с особенностями требуется конструирование специальных стабилизирующих функционалов. Этими вопросами занимались В.В. Васин, А.Л. Агеев, А.С. Леонов, G. Chavent, К. Kunish, C.R. Vogel и другие.
Во многих научных и прикладных разработках возникают задачи реконструкции неизвестных характеристик управляемых динамических систем синхронно с развитием исследуемого процесса. В этом случае требуется разработка так называемых динамических алгоритмов восстановления. Адекватный методологический подход к динамической регуляризации — принцип регу-ляризованного экстремального сдвига с моделью — был предложен Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским1. Однако классический вариант метода не дает удовлетворительного приближения для функций с особенностями.
1 Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С 51 - 60.
В исследованиях В.В. Васина и др.2'3 были предложены модификации методов статической и динамической реконструкции неизвестных параметров в обратных задач для операторных уравнений первого рода и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной диссертационной работе эти модификации адаптированы и обоснованы для задачи восстановления априори неизвестных управлений, функционирующих в управляемой динамической системе, описываемой краевой задачей для параболического уравнения в частных производных.
Цели и задачи исследования. Разработка статического и динамического методов восстановления распределенных и граничных управлений в обратных задачах для динамических систем параболического типа, дающих усиленную (по сравнению со среднеквадратичной) сходимость приближенных решений к точному; разработка и реализация на ЭВМ соответствующих алгоритмов, позволяющих с приемлемой точностью восстанавливать как гладкие, так и негладкие модельные управления.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Основные результаты», являются новыми для параболических динамических управляемых систем.
Теоретическая и практическая значимость работы. Получены и теоретически обоснованы статический и динамический методы восстановления распределенных и граничных управлений в параболических системах, которые дают, в частности, кусочно-равномерную сходимость регуляризованных приближений к искомому управлению. Восстановленные управления могут быть использованы для оперативной оценки характеристик управляемого объекта или более адекватного моделирования. Метод динамической регуляризации может применяться как метод декомпозиции в случае, если реализация метода статической регуляризации затруднена из-за большой размерности задачи, требующей большого объема машинной памяти. Однако есть основания считать, что метод статической регуляризации позволяет точнее получать приближенные решения обратной задачи.
Методы исследования. При работе над диссертацией применялись методы функционального анализа, теории некор-
2Васин В.В., Сережникова Т.И. Об одном алгоритме решения уравнения Фредгольма- Стилтьеса // Известия вузов. Математика. 2001. № 4. С. 3 - 10.
3Vasin V.V., Korotkii М.А. Tikhonov regularization with nondifferentiable stabilizing functional // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. Vol. 15, № 8. P. 853 - 865.
ректных задач, вычислительной математики и теории управления. Использовались понятия и результаты математической физики и теории дифференциальных уравнений. Численное моделирование было реализовано на языке программирования высокого уровня C++. Результаты обрабатывались в пакете прикладных программ Matlab.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами, а также соответствием теории результатам численного моделирования. Основные результаты работы опубликованы в виде
и докладывалось
статей в рекомендованных ВАК изданиях [1-5 на ряде всероссийских и международных конференций [6-15 совместных работах [2-4, 6, 7] научному руководителю А.И. Короткому принадлежат постановка задачи и идеи некоторых доказательств; основное исследование, конкретные доказательства утверждений и численное моделирование принадлежат автору работы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, заключение, списки обозначений, литературы, публикаций автора и приложение. Общий объем диссертационной работы составляет 160 страниц, библиография содержит 93 наименования.
