Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Уравнения динамики голономной системы с сингулярной матрицей якоби и сингулярной матрицей инерции 13
1.1 Постановка Задачи 13
1.2. Построение уравнений движения голономных систем 17
1.2.1. Определение ускорений и множителей Лагранжа 19
1.3. Выводы 29
Глава 2 Стабилизация динамических систем с сингулярной матрицей якоби и сингулярной матрицей инерции 31
2.1. Постановка Задачи 31
2.2. Основные понятия теории устойчивости 34
2.2.1. Прямой метод Ляпунова 33
2.2.2. Косвенный метод Ляпунова 37
2.3. Стабилизация связей динамической системы 40
2.3.1 Модификация метода стабилизации связей Баумгарта 40
2.4.Модификация уравнений Лагранжа для стабилизации связей 42
2.5.Выводы 55
Глава 3. Неголономные системы и динамика мобильного робота 53
3.1. Неголономные системы и управляемость 53
3.2. Двухколёсный мобильный робот и его связи. 55
3.3. Кинематические уравнения двухколёсного мобильного робота. 59
3.4. Приведение уравнений динамики связанной динамической системы к уравнениям управляемой системы . 61
3.5. Уравнение дунамики двухколёсного мобильного робота. 63
3.6. Выводы 72
Глава 4. Управление программным движением неголономной системы второго порядка вдоль траектории 74
4.1.Постановка задачи 74
4.2.Уравнения динамики системы с неголономными связями высшего порядка 76
4.3.Управление программным движением по траектории слежения 79
4.4. Выводы 90
Основные результаты работы 92
Список литературы
- Построение уравнений движения голономных систем
- Определение ускорений и множителей Лагранжа
- Стабилизация связей динамической системы
- Приведение уравнений динамики связанной динамической системы к уравнениям управляемой системы
Построение уравнений движения голономных систем
Рассмотрим механическую [1], [2] систему, конфигурация которой описывается вектором обобщённых координат q = ( q± ,q2 , — ,qn )тєЖ. Здесь Ж - n-мерное пространство конфигураций. Обобщённые скорости в точке траектории q(t) є Ж определяются вектором q =? принадлежащим пространству, касательному к пространству Ж. Движения механической системы обычно непрерывно ограничиваются связями во все время движения. Связи имеют форму алгебраических соотношений между положениями и скоростями точек системы. Иначе говоря, связи ограничивают набор путей, по которыми система может следовать [2]. Известно, что существует [2], [3], [4], [ 5] два типа связей, которые называются голономными и неголономными связями.
Голономные связи могут быть естественными, то есть ограничениями со стороны внешних условий или могут быть наложены на механическую систему искусственно [2], [5] в качестве цели управления. Они определяются аналитически в виде соотношений, накладываемых на координаты системы:
Если система подвергается т голономным независимым связям, п — т обобщенных координат являются достаточными для обеспечения полного описания конфигурации системы. То есть, т обобщенные координаты могут быть устранены и степень свободы системы становится равной п - т. В этом случае матрица Якоби, приведённая ниже, имеет полный ранг,
Общая форма представления неголономных связей обсуждаются в последующих главах. Здесь мы вводим линейные неголономные связи первого порядка.
Линейные неголономные связи первого порядка представлены [2], [5] аналитическими соотношениями между координатами q и скоростями q: и ограничивают мгновенное допустимое движение механической системы, уменьшая набор обобщённых скоростей, которые могут соответствовать каждой конфигурации. Связи, зависящие т скоростей. в классической механике делятся на две части: геометрические связи и кинематические связи. Определение 1.1. Связи (1.2), которые могут [1], [2] быть проинтегрированы, чтобы получить ограничения на положения системы, то есть ограничения могут быть приведены к виду (1.1), являются геометрическими связями. Связи, для которых интегрирование невозможно, называются кинематическими связями, и соответствующая система является неголономной системой.
Моделирование движения механической системы может быть сделано несколькими эквивалентными методами. Например, метод множителей Лагранжа и метод нуль - пространства (nullspace) являются некоторыми из них [6], [7], [8]. Каждый из этих методов приводит к множеству дифференциально-алгебраических уравнений. Множество дифференциально-алгебраических уравнений, связывающих координаты и скорости системы, и учёт этих ограничений при решении уравнений движения приводят к проблеме устойчивости и стабилизации связей. Для решения этих проблем обычно используются различные стратегии: метод разделения координат [7], метод стабилизации Баумгарта [9] и масс -ортогональные проекции положений и скоростей векторов [10].
В дополнение к задачам устойчивости связанных механических систем, возникают проблемы, связанные с особыми матрицами Якоби и с особыми матрицами инерции, что также является актуальным при решении конкретных задач.
Ранг матрицы Якоби становится дефицитным в случае, когда: некоторые из уравнений связей [7], [10] зависят от остальных. число уравнений связей больше чем число неизвестных, и уравнения связей зависимы между собой, особенно в прямоугольных координатах. механическая система достигает [7], [10] конфигурации, в которой происходит резкое изменение числа степеней свободы (увеличение степени свободы системы). Например, кривошипно-шатунный механизм достигает сингулярной конфигурации, когда два звена находятся в вертикальном положении. Сингулярные1 матрицы инерции могут также появиться, когда для определения положения твёрдого тела в IR3 используется более шести координат [7], [10]. Далее будет показано, что случай, когда матрица Якоби и матрица инерции не имеют полного ранга, не так уж редко встречается в реальности. Таким образом, становится очевидной необходимость разработки методов исследования проблем, связанных с изменением числа степеней свободы при решении системы уравнений движения механической системы. В случае особых матриц инерции и особых матриц Якоби определение ускорений и решение уравнений динамики может оказаться невозможным.
Поэтому главной целью этой главы является исследование различных методов решения задач, связанных с особыми матрицами инерции и с особыми случаями матрицы Якоби. Кроме того, сформулированы необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений динамики относительно ускорений и множителей Лагранжа в сингулярных случаях.
Определение ускорений и множителей Лагранжа
Выражение (2.28) является модифицированным уравнением Лагранжа. Преимущество модифицированного уравнения Лагранжа состоит в том, что матрица коэффициентов (М + 0qB0q) всегда положительно определена, включая случай, когда матрица Якоби и матрица инерции не обладают полным рангом . Это обстоятельство позволяет избежать проблему стабилизации вблизи особых точек. Вопрос о стабилизации системы при использовании равенства (2.28) решается путём соответствующего выбора элементов матриц KD и Кр.
Пример 2.1.Рассмотрим манипулятор, состоящий из двух звеньев, L-L = l,L2 = 1/2,т2 = т,т1=2т2 = 2т, как показано на Рис.2.1. Предположим, что точка Р движется из положения х = х0 по горизонтальной прямой у = 1/2 с постоянной скоростью v вдоль оси ОХ по направлению, противоположному направлению оси. ТС
Очевидно, что в случае q± = - и q2 = л, матрица Якоби системы становится сингулярной. Для моделирования движения точки Р используем два метода, описанные выше, которые определяются равенствами (2.20) и (2.28). В этом примере проверяется, что, моделирование методом модифицированных уравнений Лагранжа (2.28) осуществляется без разрыва, включая точки сингулярности: q± = 7г/2 и q2 = и (см. рис.2.5). Однако, модификация методом Баумгарта стабилизации связей, определяемая равенством (2.20), не может осуществить моделирование в точках сингулярности (см. рис.2.2).
Моделирование модифицированным методом стабилизации связей Баумгарта. Применяем уравнение (2.20), представив уравнения динамики в виде, разрешённом относительно производных:
Начальное угловое положение для звеньев 1 и 2 примем соответственно ,.»»- и з.»»„. Следовательно Начальные угловые скорости выбираются: 0.358620 1/с и -0.867745 1/с. Рассмотрим следующие случаи:
На рисунке 2.2 видно, что решение имеет разрыв при t= 4.067105е +0, свидетельствующий о том, что модифицированный метод стабилизации связей Баумгарта не в состоянии обеспечить моделирование вблизи особых точек.
Моделирование посредством модифицированного уравнения Лагранжа Для моделирования используем уравнение (2.28), (В = а!) представив в виде, системы, разрешённой относительно производных:
Результат вычислений показывают, что система асимптотически устойчива по отношению к уравнениям связей и моделирование допускает наличие особых точек в отличие от модифицированного метода стабилизации связей Баумгарта.
Результаты моделирования с коэффициентами h = 20; г = 10; р = 100; s = 025; а = 10 представлены на рис.2.3.
Во второй главе решается задача стабилизации связей методом Баумгарта применительно к уравнениям движения в форме уравнений Лагранжа. Одна из проблем применения метода стабилизации связей по Баумгарту состоит в использовании параметров стабилизации для ограничения всех связей путём замены 0 выражением:
Здесь KD и Кр - постоянные положительно определённые симметричные матрицы. Доказано, что, (2.16) может быть сделано асимптотически устойчивым путём соответствующего выбора элементов матрицы KD и К Р. Модификация состоит в использовании выражения: п = -(.очч)чч - 20qt i - ви - KD0 - кРе , (2.19) которое уравнение (2.8) приводит к виду: Mq = 5 - в;(в,М-ів/)+(в,М-і5 - П). (20а) В случае {0qM 10q ) = (0qM 10q ) уравнение (2.8) принимает вид: Mq =Q-0Tq(0qM-10qTy1(0qM-1Q-n) . (20б) Уравнение (2.20) соответствует модифицированному методу стабилизации связей Баумгарта. Одно из преимуществ использования модификации метода Баумгарта стабилизации связей заключается в том, что позволяет решать задачу дифференциально-алгебраическими уравнениями, составленными из уравнений (2.1) и (2.2). То есть, так как уравнение (2.20) является обыкновенным дифференциальным уравнением, мы можем использовать любой из стандартных численных методов для решения дифференциального уравнения, например, метод Рунг-Кутта. Другое преимущество, заключается в том, что он использует различные параметры коррекции для различных ограничений в случае необходимости: это может помочь уменьшить все нарушения ограничений. Проблема применения модифицированного метода стабилизации связей Баумгарта состоит в том, что метод не может быть применён, когда масса инерции системы является сингулярной. Для того, чтобы решить эту проблему уравнения движения модифицируется следующим образом: (М + 0TqB0q)q = Q- 0TqB{KD0 + КР0 - J), (2.28) Выражение (2.28) называется модифицированным уравнением Лагранжа. Матрица коэффициентов, (М + 0TqB0q) всегда положительно определена, включая сингулярных случаях. Следовательно, применение выражения (2.28) применимо в сингулярных случаях. Оба метода, разработанные в этой главе, а именно модифицированный метод стабилизации связей Баумгарта и модифицированные уравнения Лагранжа имеют эквивалентные преимущества за исключением сингулярных случаев. Можно полагать, что модифицированные уравнения Лагранжа имеют более высокую скорость сходимости.
Стабилизация связей динамической системы
В этом разделе рассматриваются модели управления, которые используются для отслеживания траектории программного движения. Модель управления, разработанная на основе концепции нулевого пространства, обсуждалась в главе 3, и динамические модели обсуждались в разделе 4.2. В этом разделе ограничимся неголономными связями уровня ускорения, заданными линейными относительно ускорений q выражениями:
В разделе будем различать два вида связей: Программируемая связь является нематериальной связью, удовлетворяющей условиям, описываемым алгебраическими или дифференциальными уравнениями любого порядка, ограничивающим движения механической системы.
Естественная связь - классические голономные и неголономные материальные ограничения, вызванные взаимодействием рассматриваемой системы с другими системами. Программируемые движения - это движения системы, которые удовлетворяют уравнениям программируемых связей [75], [76], [51].
Замечание 4.1. Программируемая связь также может быть голономной или неголономной. В этом разделе предполагается, что связи, описываемые выражениями (4.7), могут включать оба вида связей: программируемые и естественные связи. Теперь с учётом уравнений динамики системы (4.14), уравнений (4.7) и рассуждения, проведённые в разделе 3.4, имеем:
Для управления движением по траектории отслеживания программного движения, динамическая модель должна быть преобразована. Концепция нуль-пространства, рассмотренная в третьей главе, используется для устранения множителей Лагранжа из правых частей уравнений (4.15). Уравнение (4.13) может быть записано в виде:
Аналогичное рассуждение было проведено в разделе 3.1. Пусть 5-пх (п — d) матрица полного ранга, построенная из базисных векторов нуль -пространства матрицы Y в выражении (4.16): Тогда существует такой вектор скорости u(t) = [щ, и2,..., un_d ]т, что: Преимущество выражения (4.19) заключается в том, что оно не содержит сил реакции и, следовательно, удобно для решения задачи отслеживания траектории. Другим преимуществом выражений (4.19) является то, что оно включает в себя оба вида связей: программируемые и естественные связи. Уравнение (4.19) используется для определения динамически возможной траектории системы, соответствующей программированному движению. Рассмотрим следующий пример.
В дополнение к естественным связям предположим, что мобильный робот должен двигаться вдоль плоской кривой, кривизна которой равно 5. То есть мобильный робот требуется переместить вдоль программированного движения, удовлетворяющего уравнению связи:
Динамическая модель управления строится с учётом естественных связей (не включая программные связи). Используя рассуждения, изложенные в разделе 3.4, уравнения динамики (3.19) и уравнения естественных связей (3.1), получаем: {M(q)q + P(q. q)q + N(q) = E(q)x - JT(q)X где / - обычная матрица Якоби, полученная из уравнений естественных связей. Далее, используя понятие нуль-пространства, (см. раздел 3.4) выражения (4.25) перепишем в виде:
Уравнения (4.26) составляют динамическую модель управления. Для управления программным движением по траектории слежения используем оба уравнения (4.19) и (4.26). Кроме того, с целью стабилизации траектории используем модификацию метода стабилизации связей Баумгарта, разработанного в главе 2. Для того, чтобы применить модификацию метода стабилизации связей Баумгарта, рассмотрим общий х = x(M(q), C(q, q) , N(q), q, q, q, xf,xf, xf). Учитывая настоящее положение и скорость системы, будем искать вектор-функцию управления т в следующем виде:
Таким образом, если начальное положение и скорость (х(0) = xf(0),x(0)= xf(0)) двухколёсного мобильного робота соответствует требуемому положению и скорости, движение двухколёсного мобильного робота будет следовать заданной траектории. Но этот закон управления не будет [50] соответствовать заданной траектории, если начальные условия не удовлетворяют уравнениям траектории х(0) Ф Xf(0) и ее производной.
Закон управления может быть улучшен путём добавления обратной связи, сформированной с учётом модификации метода стабилизации Баумгарта приведённого в главе 2. Это достигается заменой равенства (4.29) выражением:
Приведение уравнений динамики связанной динамической системы к уравнениям управляемой системы
Большинство выше приведённых результатов имеют решающее значение для разработки решение задачи управления программным движением вдоль заданной траектории с учётом связей более высокого порядка, которая является объектом исследований следующей главы. Кроме того, основные результаты этой главы заключаются в следующем:
1. Во многих научных трудах связи, накладываемые на двухколёсный мобильный робот, просто используются без учёта их происхождения. В этой главе, автор проанализировал понятие связей, накладываемых на двухколёсный мобильный робот и обсудил способы получения выражений связей.
2. В этой главе динамическая модель двухколёсного мобильного робота разработана по отношением к различным переменным (рис 3,1), таких как: а. Координаты центра масс, б. угловые скорости колёс, в. линейная скорость и угловая скорость двухколёсного мобильного робота. г. положение средней точки А относительно колес двухколесного мобильного робота.
3. Доказано также, что для любой точки (х,у,в) двухколёсного мобильного робота угловые скорости колёс связаны со скоростью точки соотношением:
Понятие нулевое пространство применяется для преобразования связанной динамической системы к уравнению управления динамической системы. Модель управления, (см. уравнение (3.20) не содержит сил реакции и множителей Лагранжа, следовательно, оказывается удобным для управления проектированием в общем и, для отслеживания траектории управляемого программного движения, в частности. Глава 4
В четвертой главе рассматривается аналитическое решение задачи управления программным движением по траектории, зависящей от неголономной системы высшего порядка. На основе динамических уравнений предлагается метод построения модели планирования управления и динамической модели управления неголономной системой второго порядка для управления движением по траектории слежения. Для подтверждения эффективности предлагаемого в работе подхода приводится пример. Результаты моделирования изображены на графике.
Эйлер открыл неголономные системы при исследовании качения твёрдых тел. Термин "неголономная система" был предложен Герцем в 1894 году. [60], [61], [62]. Герц был первым, кто объяснил различие между голономной системой и неголономной системой. Разделение связей на голономные и неголономные не включает все виды известных в литературе связей, и их применение в моделировании динамической системы ограничивается идеальными голономными и линейными неголономными связями первого порядка [63].
В зависимости от источника воздействия cвязи делятся на естественные связи (материальные) и программируемые связи [63], [64], [65], [66]. Действительно, если ограничения на координаты и скорости системы накладываются по природе связей, они называются естественными связями. Понятие естественные связи основано на предположении, что неголономные связи возникают тогда, когда два или более тел находятся в контакте друг с другом и катятся без проскальзывания [43].
Связи могут быть наложены на скорости, ускорения или любые другие показатели системы, таких как, например, производительность или дизайн. Эти ограничения называются программируемыми (нематериальными) связями. Этот тип связей может иметь формы, включающие высшие производные координат. Задачи управления, которые будут выполняться динамической системой, являются примерами нематериальных ограничений [63], [65], [51].
Роботы предназначены для выполнения различных условий [63], которые могут быть описаны с помощью программируемых связей. Условия, которые могут быть заданы с помощью алгебраических или дифференциальных уравнений, могут быть поставлены в качестве задач, выполняемых с помощью роботов. Поэтому исследование программируемых связей высших порядков имеет важное значение.
Управление траекторией слежения включает в себя отслеживание запланированного движения, описываемого [67], [51] алгебраическими или дифференциальными уравнениями связей. Управление траекторией слежения неголономных систем первого порядка осуществляется с помощью динамических моделей в замкнутой форме [34]. Решение задачи управления движением по траектории неголономных систем более высокого порядка требует построения соответствующей динамической модели [61], [67].
Поэтому, целью этой главе является формирование механизма управления траекторией слежения неголономной системы, на котоую наложены связи, зависящие от производных второго порядка. Управление траекторией слежения программного движения неголономной системы высшего порядка — это стратегия отслеживания траектории программного движения, учитывая соответствующие уравнениями связей.