Содержание к диссертации
0.1 Введение 3
1 Нелокальная разностная схема с параметром 7
1.1 Спектр и собственные функции основного разностного оператора в случае вещественного 7 22
1.1.1 Решение спектральной задачи в разностном случае 23
1.1.2 Решение спектральной задачи в дифференциальном случае 27
1.2 Примеры решения спектральной задачи для различных значений граничного параметра 7 28
1.2.1 Случай 7 = 0 29
1.2.2 Случай 0 7 1 30
1.2.3 Случай 7 = 1 30
1.2.4 Случай 7 1 31
1.2.5 Случай -К 7 0 33
1.2.6 Случай 7 = -1 34
1.2.7 Случай 7 -1 35
1.3 Собственные и присоединенные функции в случае 7 = — 1 36
1.3.1 Сопряженный оператор при 7 = —1 39
1.3.2 Биортонормированность и базисность систем собственных и присоединенных функций 40
1.4 Устойчивость схемы в случае
1.4.1 Критерий устойчивости схемы при 7=-1
1.4.2 Представление собственных и присоединенных функций через ортонормированный базис 46
1.4.3 Теоремы об оценках оператора нормы 48
2 Разностная схема с произвольным параметром 7- 51
2.1 Свойства спектра в случае І7І 1 51
2.1.1 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 1- • 52
2.1.2 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 —1- 55
2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в Нц при І7І 1 61
2.2.1 Необходимое условие устойчивости в случае І7І 1 61
2.2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в случае 7 —1 67
2.2.3 Устойчивость дифференциальной задачи в случае І7І 1 68
2.3 Оценки оператора нормы в случае
2.3.1 Сопряженный оператор в случае
2.3.2 Разложение собственных функций по ортонормированному базису. 78
2.3.3 Теорема об оценках оператора нормы 79
3 Устойчивость схемы в случае комплексного граничного параметра. 86
3.1 Спектр основного разностного оператора в случае комплексного 7 86
3.1.1 Вычисление = arccos 7, когда 7-комплексное число 87
3.1.2 Спектр основного разностного оператора 90
3.1.3 Спектр пространственного оператора в дифференциальном случае. 96
3.2 Необходимое и достаточное условие устойчивости схемы в случае комплексного 7 98
3.2.1 Необходимое условие устойчивости схемы 98
3.2.2 Устойчивость дифференциальной задачи, когда 7- чисто мнимое число. 101
3.2.3 Достаточное условие устойчивости схемы 102
3.3 Сопряженный оператор и оценки энергетической нормы в случае комплексного 7 107
3.3.1 Задача на собственные значения для сопряженного оператора 107
3.3.2 Связь собственных функций с решением задачи с условиями периодичности 110
3.3.3 Оценки оператора энергетической нормы 112
Список публикаций по теме диссертации 117
Литература
Введение к работе
1. При численном решении задач математической физики важным аспектом является построение разностной схемы. Одним из главных факторов выбора схемы является ее устойчивость. Теория устойчивости разностных схем стала отдельной областью исследования в середине прошлого столетия. Исследованиям посвящено огромное количество работ, значительная часть которых основана на применении спектральных методов, а также на использовании метода энергетических неравенств.
Одним из наиболее перспективных направлений стала теория, разработанная А.А. Самарским, которая легла в основу настоящей диссертации. В его работах [1], [2] поставлена и во многом решена задача построения общей теории устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем как операторно-разностных уравнений в гильберторовом пространстве.
А.А. Самарский вводит систему разностных уравнений как самостоятельный объект, не зависящий от исходной дифференциальной задачи. В общем случае, разностная схема понимается как операторное уравнение, может быть нелинейное, с операторами, действующими в функциональном пространстве. Вводится единая каноническая форма записи двуслойных и трехслойных разностных схем и общие для данного класса схем условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств, связывающих операторы схемы. При этом исследование устойчивости каждой определенной разностной схемы сводится к приведению ее к канонической форме и затем к проверке выполнения соответствующих операторных неравенств. Подробное изложение теории можно найти в монографии [3] и в обзорной статье [4].
В работах [5]-[7] развита теория так называемых симметризуемых разностных схем, где исследование устойчивости сводится к проверке критериев в терминах операторных неравенств. В основу положено исследование соответствующих самосопряженных разностных задач. При рассмотрении схем с несамосопряженными операторами такая теория дает только необходимые условия устойчивости, хотя основной интерес представляют достаточные условия и априорные оценки. Таким образом, исследование устойчивости несамосопряженных разностных схем сталкивается с принципиальными трудностями, поэтому приходится выделять более узкие классы схем по сравнению с общими схемами, рассмотренными в [2].
В настоящей работе будут рассмотрены системы дифференциальных и разностных уравнений с нелокальными граничными условиями из класса несамосопряженных задач. К изучению нелокальных разностных схем приводят математические модели для ряда прикладных задач в области биологии, физики, моделирования процессов переноса химически активных элементов [8], загрязнений рек [9], генерирования [10]. Нелокальные задачи возникают в квазистатической теории термоэластики [11] и для систем терморезисторов [12], [13]. Примером нелокальной задачи является процесс распространения тепла в стержне при задании соотношения потоков тепла на обоих концах стержня или процесс диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нормировки числа частиц. Применение метода разделения переменных к таким нелокальным задачам приводит к необходимости изучения спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных и разностных операторов, особенностью которых является неполнота систем их собственных функций. Эти функции пополняются присоединенными функциями, которых может быть как конечное, так и бесконечное число.
Свойства пространственного оператора задачи (0.3)-(0.4) при 7 = 1 изучалась в работах В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их учеников [17]-[20]. Вопрос о базисности совокупности собственных и присоединенных функций был решен В.А. Ильиным [17], [18]. Было показано, что для операторов вида (0.5) (7 = 1) существует базис Рисса, состоящий из собственных и присоединенных функций. Опираясь на разложение по такому базису, в упомянутых работах доказано существование и единственность ряда задач с нелокальными граничными условиями — найдены точные условия, гарантирующие разрешимость нелокальных краевых задач и устойчивость их решения, построены и исследованы разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи.
В работе Н.И. Ионкина [23] проведено подробное изучение устойчивости и сходимости разностных схем с весами для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями (0.6)-(0.7). Здесь предложен также вычислительный алгоритм нахождения численного решения, основанный на модификации метода прогонки. Используя разложение искомого решения в биортогональную сумму по собственным и присоединенным функциям разностного оператора, а также двусторонние неравенства для коэффициентов биортогоналыюго разложения, Н.И. Ионкин получил (при определенных условиях на шаги сетки) априорные оценки решения разностной задачи через начальные условия и правую часть уравнения. Из этих априорных оценок следует устойчивость разностной схемы и сходимость ее к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью 0(r+h2).
Разностные схемы для задачи (0.3)-(0.4) при — 1 7 1 изучались А.В. Гулиным и В.А. Морозовой - в [24] был приведен пример, в определенном смысле имитирующий задачу с переменными коэффициентами и допускающий построение точного решения в аналитическом виде. Было замечено, что спектр рассматриваемого разностного оператора является простым и только в случае 7=1 переходит в кратный. Также показано, что при при І7І 1 схема (0.3)-(0.4) является симметризуемой, что позволило получить критерий устойчивости в терминах параметров схемы и построить норму, в которой имеет место устойчивость по начальным данным. В работе А.В. Гулина, Н.И. Ионкина, В.А. Морозовой [25] исследовалась устойчивость разностных схем с весами, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями двух типов. В случае краевых условий первого типа система собственных функций основного разностного оператора не образует базиса в пространстве сеточных функций (7 = 1). Показано, что в этом случае не существует нормы, в которой явная схема была бы устойчивой при обычном условии т 0.5h2. Найдено близкое к указанному условие, необходимое и достаточное для устойчивости в специально построенной норме. В случае краевых условий второго типа ([7I 1) система собственных функций является базисной и найдены достаточные условия устойчивости на шаги сетки.
Двумерный вариант задачи (0.3)-(0.4) был рассмотрен А.В. Гулиным, Н.И. Ионкиным, В.А. Морозовой в [26]. Исследование устойчивости разностных схем проведено методом разделения переменных. С помощью него был получен критерий устойчивости и построены оценки, выражающие устойчивость разностных схем по начальным данным.
В случае 7 Є (0,1) принципиальным отличием от случая 7 = 1 является базисность системы собственных функций пространственного оператора. В статье [24] найден явный вид спектра и собственных функций оператора (0.11). Доказано, что все собственные значения являются простыми и собственные функции образуют базис в //. Определена матрица М как матрица, столбцами которой являются собственные векторы оператора А. Для исследования устойчивости схемы (0.10) использована теория симметризуемых разностных схем. Доказана лемма о том, что разностная схема (0.10) симметризуема.
Обозначим через S = Е — тВ 1А оператор перехода схемы (0.9). Разностная схема называется симметризуемой, если существует обратимый оператор К : Н — Н такой, что оператор S = KSK l является самосопряженным.
В работе [27] доказана теорема об устойчивости схемы (0.8)
Теорема 5. Если схема (0.8) с 7 Є (0,1) устойчива в каком-либо пространстве IID, то справедливо неравенство (0.14). Обратно, если выполнено (0.14), то схема (0.8) с 7 Є (0,1) устойчива в пространстве Нр, где D — оператор (0.13), а М — матрица, столбцами которой являются собственные векторы оператора (0.11).
Также доказана эквивалентность построенных норм сеточной Ьг-норме. Исследованы спектры сопряженных операторов А к оператору А при 7 = 1 и 7 Є (0,1). Доказана биор-тонормированность систем собственных (собственных и присоединенных в случае 7 = 1) функций операторов А а А . Сформулирована лемма, справедливая для любых биорто-нормированных систем векторов.
Различные аспекты теории разностных схем с нелокальными граничными условиями также рассматривались в работах В.Л. Макарова [30], Д.Г. Гордезиани [31], М.П. Сапаго-васа и Р.Ю. Чегиса [32], Sun Zhi-Zhong [33], [34]. В частности, в [31] исследуются одномерные уравнения колебания среды нелокальных с интегральными нелокальными условиями и строятся их решения с применением итерационного метода. Поставленные нелокальные задачи сводятся к интегральным уравнениям специального вида. В работе В.Л. Макарова [30] изучаются разностные схемы для квазилинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Бизадзе-Самарского u(0,t) — 0, u((,t) = u(l,t), 0 1. Получены теоремы существования и единственности обобщенных решений, построены и исследованы чисто неявные разностные схемы, получены оценки их скорости сходимости. В работе Sun Zhi-Zhong [33] разностное решение для одномерной нелокальной задачи теплопроводности выражается через конечную сумму синусов, что позволяет автору доказать устойчивость по начальным данным построенной им разностной схемы четвертого порядка точности.
3. Приведем краткое изложение основных частей диссертации. Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении подчеркивается актуальность задачи, дается обзор работ, непосредственно относящихся к предмету диссертации, приводится краткое содержание диссертации.
В Главе 1 проводится исследование спектра основного оператора схемы с весами (0.8) при вещественных параметрах а и j, причем в отличие от [23]-[25] рассматриваются случаи 7 —1 и 7 1- Показано, что случай 7 = —1 является особым, как И7 = 1, поскольку, как у дифференциального, так и у разностного операторов система собственных функций не образует базис при І7І = 1 — ее необходимо пополнять присоединенными функциями. Затем здесь подробно изучается случай у = —1.
В §1 Главы 1 получено решение спектральной задачи для основного разностного оператора схемы в общем виде:
Замечено, что в дифференциальном, как и в разностном случаях собственное значение, равное нулю, появляется только в случае 7 = 1- Из вида выражений для собственных функций очевидно, что дифференциальное и разностное решения совпадают в точках сетки. Однако собственные значения в дифференциальном и разностном случаях не равны. При небольших номерах к они будут близки, но с ростом индекса к собственные значения (при І7І 1 и 7-комплексном вещественные части собственных значений) разностной задачи существенно отличаются от собственных значений дифференциальной задачи.
В §2 Главы 1 рассмотрены частные случаи решения спектральной задачи для различных значений параметра 7 Для всей вещественной оси. Результаты этого параграфа используются далее для исследования спектра основного разностного оператора. Получили, что при І7І = 1, собственные функции не образуют базис. Случай 7 = 1 уже был рассмотрен [23]. В следующих параграфах подробно изучается случай 7 = — 1 В §3 Главы 1 для особого случая 7 = — 1 составлен базис из собственных и присоединенных функций в Н. Доказаны леммы о виде собственных и присоединенных функций в случае нечетного и четного N. Показано, что в случае 7 = —1 в отличие от 7 = 1 не существует собственного значения, равного нулю. При четном N все собственные значения являются кратными с алгебраической кратностью 2. При нечетном N имеется одно простое собственное значение, остальные кратные.
2. Получены критерии устойчивости разностных схем с весами, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с параметром 7 в нелокальных граничных условиях.
3. Построена энергетическая норма, не возрастающая на решении разностной задачи и эквивалентная среднеквадратичной норме.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Гулину Алексею Владимировичу за постановку задачи и постоянную помощь при выполнении работы.
