Содержание к диссертации
Введение
1 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на спектр разностной задачи 25
1.1 Постановка задачи и предварительные сведения 26
1.1.1 Постановка задачи 26
1.1.2 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий первого рода 27
1.1.3 Аппроксимация исходной задачи в случае граничных условий второго рода 30
1.2 Оценка спектра оператора второй разностной производной 32
1.2.1 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода 33
1.2.2 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода 38
1.2.3 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода 41
1.2.4 Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода 48
1.2.5 Квазиравномерные сетки 50
1.3 Численное исследование спектра 51
1.3.1 Численное исследование спектра разностного оператора Л, записанного на сетках щ{а) и («,/3) 51
1.3.2 Численное исследование спектра разностного оператора А, записанного на квазиравномерных сетках 58
1.3.3 Выводы 60
2 Влияние неравномерности сетки вблизи концов отрезка на границу устойчивости разностной схемы 62
2.1 Основные понятия теории устойчивости 63
2.1.1 Сведения о теории устойчивости 63
2.1.2 Разностная схема и ее граница устойчивости 66
2.2 Исследование устойчивости явной схемы 67
2.2.1 Устойчивость явной разностной схемы на сетках щ{сх), u)h{a,j3) и C)h(x) 68
2.2.2 Результаты численного исследования 70
2.3 Исследование устойчивости схемы с весами 73
2.3.1 Оценка сверху спектра задачи AfiAy = —ХАу 73
2.3.2 Результаты численного исследования разностных схем, близких к абсолютно устойчивым 77
2.3.3 Результаты численного исследования разностных схем с переменными весовыми множителями 80
2.3.4 Краткие выводы главы 83
3 Граница устойчивости разностной схемы для уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях 85
3.1 Оценка спектра двумерного разностного оператора Лапласа 86
3.1.1 Способы введения сеток, покрывающих непрямоугольные области 86
3.1.2 Свойства разностного оператора Лапласа 91
3.1.3 Тестовый пример 95
3.1.4 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейном треугольнике 97
3.1.5 Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейной трапеции 101
3.2 Граница устойчивости для двумерной задачи 104
3.2.1 Разностная схема 104
3.2.2 Численное исследование устойчивости явной разностной схемы 106
3.2.3 Оценки сверху спектра задачи АцАу = —ХАу 112
3.2.4 Численное исследование устойчивости разностной схемы с весами 115
3.2.5 Краткие выводы 116
Литература 118
Список работ автора по теме диссертации 121
- Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода
- Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода
- Результаты численного исследования разностных схем с переменными весовыми множителями
- Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейной трапеции
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности в случае неравномерных пространственных сеток, которые покрывают одномерные и двумерные области
Известно, что некоторые модели физических процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений, для которых не всегда можно выписать решение в явном виде В этом случае решение определяется приближенно строится разностная схема, которая аппроксимирует исходную дифференциальную задачу, решение, полученное с помощью разностной схемы, есть приближенное решение исходной задачи Наряду с построением схем возникает задача об исследовании данной схемы на устойчивость, те определение условий на параметры схемы, при которых численно полученное решение является корректным При исследовании устойчивости необходимо решить ряд вопросов Это связано с тем, что устойчивость зависит как от аппроксимации основного уравнения, так и от введенной сетки Устойчивость влияет па количество ресурсов (машинное время, количество памяти и тд), которые нужно затратить для достижения необходимого результата Поэтому при ослаблении условий устойчивости появляется возможность добиться уменьшения затрат для нахождения численного решения поставленной задачи
В работах А А Самарского1,2 получены необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем Эти условия пишутся как операторные неравенства, где операторы порождены исходной задачей В некоторых случаях операторные неравенства сводятся к решению задачи на собственные значения
Представляет интерес исследование вопросов, которые относятся к теории разностных схем с операторными весовыми множителями, записанными на неравномерных сетках Такими схемами можно аппроксимировать достаточно широкий класс задач математической физики Что касается неравномерных сеток, то они применимы для более детального получения решения в некоторой части исходной области Также можно использовать квазиравномерные сетки (Самарский А А , Калиткин Н Н) Квазиравномерные сетки легко адаптируются для широкого класса задач в неограниченных областях и позволяют использовать возможности метода сгущения сеток За счет сгущения таких сеток удается получить оценку погрешности и повысить порядок точности
При написании разностной схемы в двумерных областях появляются проблемы с покрытием области сеткой, т к не для каждой непрямоугольной
1 Самарский А А Классы устойчивых схеч//ЖВиМФ 1967 Т 7 Л5 С 1096-1133
2Самарский А А О регутяризации разностных схем//ЖВи\1Ф 1967 Т7 JM С 62-93
области существует равномерная прямоугольная сетка
Предметом настоящей работы являются вопросы, связанные с исследованием схем на устойчивость Рассматриваемые схемы - это схемы, записанные на неравномерных сетках, и схемы с операторными весовыми множителями Исследовать на устойчивость - значит отыскать границу устойчивости данной схемы Под границей устойчивости понимается такое значение какого-то сеточного параметра, который разделяет области устойчивости и неустойчивости Для некоторых схем таким параметром является шаг по времени т Можно определить, что граница устойчивости - это такое значение tq, что при 0 < т ^ 7 схема устойчива, а при т > То схема неустойчива Ввиду множественности сеточных параметров получаем, что граница устойчивости является функцией многих переменных Под термином увеличение запаса устойчивости будем понимать увеличение значения границы устойчивости разностной схемы
В диссертации исследуются схемы, записанные на сетках с двумя и тремя различными шагами, т е имеющие неравномерность вблизи одного или двух концов отрезка Строятся границы устойчивости для схем с различными распределениями весовых множителей Также рассматриваются схемы для двумерных уравнений, записанных в непрямоугольных областях, и изучается устойчивость этих схем
Цель работы Целью работы является построение таких сеток, неравномерных вблизи концов отрезка, чтобы разностная схема, записанная на данных сетках, обладала наибольшим запасом устойчивости (наибольшей границей устойчивости) Также целью работы является выяснение влияния на устойчивость весовых множителей совместно с неравномерностью сеток
Для схемы, которая аппроксимирует двумерное уравнение теплопроводности в непрямоугольной области, цель работы состоит в исследовании устойчивости в зависимости от геометрии области и от введенной сетки, покрывающей область Предметом исследования является обоснование выбора сеток с точки зрения увеличения запаса устойчивости
Научная новизна:
Получены оценки спектра разностного оператора второй производной в зависимости от рассматриваемых неравномерных сеток
Найдено множество одномерных неравномерных сеток, на которых разностная схема обладает ббльшим запасом устойчивости по сравнению со схемами, записанными на равномерной сетке с тем же числом узлов
Для разностной схемы, которая аппроксимирует двумерную задачу в непрямоугольной области, найдена оценка снизу границы устойчивости
Апробация работы Результаты работы докладывались на научной конференции "Тихоновские чтения" в г Москве, 2004г, 2005г, на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "ЛОМОНОСОВ 2005" в г Москве, 2005г, "ЛОМОНОСОВ 2006" в г Москве, 2006г, на международной конференции "Тихонов и современная математика" в г Москве, 2006г, а также на семинарах кафедры Вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им М В Ломоносова
Публикации Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата
Содержание, структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, используемой автором, и содержит 121 страницу
Каждая глава разбита на параграфы, которые состоят из разделов В разделах приводятся описание и вывод результатов диссертации
Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями первого рода
Далее ведется изучение границ спектра введенного разностного оператора на конкретных неравномерных сетках. Рассматриваются три вида сеток: сетка, имеющая два различных шага, сетка с тремя различными шагами и квазиравномерная сетка. Основной результат этого параграфа - нахождение оценки границы спектра и доказательство того факта, что минимальное собственное значение оператора второй разностной производной на некоторых неравномерных сетках меньше, чем на равномерной сетке с тем же числом шагов. Начнем с рассмотрения сеток, имеющих неравномерность на одном конце отрезка (0, /). Пусть N - количество шагов и ho = -гг. Зададим параметр а Є (О, N). Введем сетки щ{а), шаги которых определяются следующим образом: Лі = ah0, h2 = ... = hN= N _ . (1.13) Заметим, что в данном случае все шаги hi, где і = 1,2,..., N, зависят от параметра а. Случаи, когда а = 0 или a = N, рассматриваться не будут, т.к. при а = 0 сетка о)/і(0) переходит в равномерную сетку с числом шагов, равным N—1, а при а = N все шаги сетки LJh(N), за исключением h\, равны нулю, a h\ равен длине отрезка. Значит сетка Uh{N) состоит из одного шага. На рисунке 1.1 изображены сетки Cbh(ot) с различными значениями параметра а. Значение параметра а, равное 1, соответствует равномерной сетке (верхняя сетка). Две другие сетки являются неравномерными. Средняя сетка имеет первый шаг, который меньше остальных, а у последней сетки наибольший шаг является первым. Известно, что условием устойчивости явной разностной схемы для уравнения теплопроводности является выполнение неравенства на шаг по времени г го = т т-тг, где Атах(А) - максимальное собственное Лпах(- 4) значение разностного оператора А. Целью дальнейшего исследования является выяснение зависимости максимального собственного значения разностного оператора А, определенного в разделе 1.1.2, от значения параметра а. В нижеследующей лемме найдена оценка сверху Д(а) максимального собственного значения Атах(аО разностного оператора А, записанного на сетке cj/,,(a). Оценка сверху (1.7) является грубой оценкой по сравнению с полученной А (а). Лемма 1.3. Для максимального собственного значения Атах(а:) оператора А, записанного на сетке uJh{a), справедлива оценка Атах(а) ( ) = max \-j-j-]—1 ц) . Доказательство.
Используя тождество (1.6), получим что и требовалось доказать. Нижестоящее следствие показывает, что оценка сверху (1.7) максимального собственного значения Атах(о;) разностного оператора А, записанного на сетке &h{a), является грубой по сравнению с оценкой А(а) из леммы 1.3. Следствие 1.1. Справедливо неравенство: Рассмотрим поведение функции А (а) при изменении параметра а от О до N, т.е. найдем области возрастания, убывания и при каких значениях параметра а достигается наименьшее и наибольшее значение А (а) и т.д. Обозначим через /і (а) и /2(a) функции —— — и - о соответственно (напомним, что все шаги hi зависят от параметра а). Покажем, что при a = a(N) = —=- значения функций /і (а) Решая относительно неизвестной 7 уравнение (1.14), получаем, что при котором выполняется равенство значений функций /і (а) и /2(a). В следствиях 1.2 - 1.7 отражены свойства функций /і(а), /г(а) и А (а). Эти свойства понадобятся для доказательства основной леммы этого раздела. Следствие 1.2. Параметр a = a(N) не зависит от длины отрезка I. Следствие 1.3. При 0 а а функция /і (а) = hih\ h\ + /12 является убывающей функцией параметра а, а при а а N функция 4 /г(а) = 72 является возрастающей функцией параметра а. Обозначим через «о абсциссу точки пересечения функции у = /і (а) с прямой у = Amax(l), принадлежащей полуинтервалу (0, a(N)] (см. рис. 1.2). При 0 а a(N) имеем относительно а уравнение до /і(а) Amax(l) по параметру о; имеет решение а = йо (см. рис. 1.2).
Теорема 1.1 доказана. Из приведенных лемм, следствий и теоремы можно сделать следующие выводы: 7Г/ 1. Значение дії = i(N) = N—(N—1) cos-1 —- меньше 1. Следовательно, неравенство Хтах{а) Атах(1) выполняется при а 1. 2. Значения 5о находится из уравнения (1.16). 3. Функция a(N) - значение параметра а, при котором функция А (а) достигает минимального значения, убывает по N и ограничена сверху и снизу значениями 0.7511 и 1/\/2 « 0.707 соответственно. 1.2.2 Сетка с двумя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода Перейдем к оценке спектра разностного оператора А, который аппроксимирует дифференциальную задачу (1.2) с граничными условиями второго рода, а также случай задания смешанных граничных условий. В отличии от задачи с граничными условиями первого рода (см. раздел 1.2.1) данная задача распадается на три случая записи разностного оператора А на сетке (bh(ct): 1. На левом конце пишется условие второго рода, на правом конце задано условие первого рода и неравномерность сетки наблюдается на правом конце, т.е. разностный оператор А записывается на сетке шъ(а) с шагами h = 2. На левом конце пишется условие второго рода, на правом конце задано условие первого рода и неравномерность сетки наблюдается на левом конце, т.е. разностный оператор А записывается на сетке uih(oi) с шагами h = (hi, h2,.. , /12) 3. На левом и на правом концах заданы граничные условия второго рода. Первый случай По аналогии с разделом 1.2.1 сформулируем лемму об оценке сверху максимального собственного значения разностного оператора А. Лемма 1.4. Для максимального собственного значения Атах(а) разностного оператора А, записанного на сетке щ(а), справедлива оценка
Сетка с тремя различными шагами, оценка спектра оператора А с граничными условиями второго рода
Найдем оценку сверху спектра разностного оператора А, который аппроксимирует краевую задачу второго рода или задачу с заданием различных граничных условий на обоих концах отрезка. Разностный оператор А записывается на сетке щ(а,(3), которая введена в разделе 1.2.3. Рассмотрим два случая. 1. На левом конце пишется условие второго рода, а на правом конце задано условие первого рода. 2. На левом и на правом концах пишутся условия второго рода. Для первого случая справедлива следующая лемма об оценке сверху максимального собственного значения Атах(о;, (3) разностного оператора А. что и требовалось доказать. Для второго случая справедлива следующая лемма об оценке сверху максимального собственного значения (доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1.7) Лемма 1.8. Для максимального собственного значения Атах(а, (3) разностного оператора А, записанного на сетке LUh(a,P), справедлива оценка Доказательство. Аналогично лемме 1.7. Рассмотрим еще одно семейство неравномерных сеток - квазиравномерные сетки, введенные в [9], [10]. Обозначим через Сои = неравномерную сетку. Введем вспомогательную переменную , принадлежащую отрезку [а, (3]. Рассмотрим преобразование х(0 обладающее на отрезке [а, /5] следующими тремя свойствами: Построим по переменной на [а, (3] равномерную сетку щ, состоящую в-а из N интервалов: N. Равномерной сетке ми преобразование х(0 ставит в соответствие некоторую сетку о , где ЖІ = ХЙ), = Если преобразование х(0 обладает свойствами (1.21) - (1-23), то сетка щ, порожденная равномерной сеткой щ, называется квазиравномерной. Квазиравномерную сетку определяет преобразование х(0- Далее будем обозначать через &н(х) квазиравномерную сетку, порожденную преобразованием х(). Сформулируем лемму об оценке сверху границы спектра разностного оператора А, записанного на квазиравномерной сетке щ{х)- Лемма 1.9.
Для максимального собственного значения Атах(х) разностного оператора А, записанного на квазиравномерной сетке йн(х) справедлива оценка Доказательство. Оценка Дх выводится по аналогии с выводом оценок из лемм 1.3, 1.6. Видно, что функция Ах зависит от вида и свойств функции х() которая определяет вид квазиравномерной сетки, т.е. величины шагов h{. eat - 1 Так, в [9] предлагается использовать функцию х() = —-—-. Сетка щ{х) характерна тем, что она сгущается вблизи одного из концов отрезка [0, 1]. Характер сгущения зависит от параметра а. Заметим, что в отличии от сеток u)h{ci) и и д(а,/?), сетка щ{х) не имеет одинаковых шагов. При стремлении а к нулю функция %() стремится к , т.е. сетка шн(х) стремится к равномерной сетке. Данный параграф посвящен численному определению границы спектра разностного оператора А в зависимости от граничных условий и от введенных сеток. Рассматриваемый разностный оператор А определен в параграфе 1.1, а неравномерные сетки введены в параграфе 1.2. В силу того что не представляется возможным аналитически найти спектр разностного оператора Л, записанного на введенных сетках (за исключением случая, когда сетка является равномерной), применяем численные методы нахождения собственных значений. Для каждой из введенных сеток находится численно максимальное собственное значение разностного оператора А и сравнивается с найденной оценкой сверху. Также находим значения параметров, при которых достигается минимальное значение максимального собственного значения. Такие значения параметров будем называть наилучшими. Например, для сетки с двумя различными шагами рассматриваются конкретные значения параметра а из интервала (О, ЛГ), где N количество шагов сетки.
Для каждого а находится максимальное собственное значение Атах(а:) Спектр оператора А с граничными условиями первого рода Рассмотрим результаты, относящиеся к сеткам с двумя различными шагами. На рисунке 1.6 приведены три графика. Каждому из графиков а), Ь) соответствует фиксируемое число точек разбиения отрезка N = 10, 20 соответственно. Сами графики отображают зависимость Лтах(о;) и А (а) разностного оператора А от величины параметра а. Параметр а во всех случаях меняется от значения 0.2 до 3 с шагом 0.01 (численные исследования показывают, что при а 3 функция Лтах(о;) монотонно возрастает). На третьем графике с) приведена зависимость a(N) от N, где a(N) - значение параметра а, при котором функция Атах(#) достигает минимального значения при фиксированном значении N. График строится следующим образом: для каждого N = 5,6,..., 100 и а Є (0, N) численно находятся значения Лтах(а), далее выбирается значение параметра а = а, при котором достигается наименьшее значение Атах(а;). Более точные результаты для N = 20 приведены в таблице 1.1, где определяются значения шагов h\ и Дг, найдены значения Атах(а:) и оценки сверху при конкретных значениях параметра а.
Результаты численного исследования разностных схем с переменными весовыми множителями
Поставим следующие вопросы: 1. За счет изменения весовых параметров получить явное выражение для границы устойчивости. 2. За счет выбора весовых параметров увеличить запас устойчивости, т.е. увеличить значение границы устойчивости то . Рассмотрим первый из поставленных вопросов. Хорошо известно, что задача на собственные значения, возникающая при исследовании устойчивости разностной схемы с чередующимися весовыми множителями на равномерной сетке, для уравнения теплопроводности решена в явном виде. В данном случае аппроксимируем задачу (2.8) разностной схемой с весами на неравномерной сетке. Покажем, что за счет подбора весовых множителей удается решить в явном виде возникающую задачу и увеличить запас устойчивости для схемы, записанной на сетке Соь(а), где Если предположим, что значение о\ = 0.5, а остальные в{ = 0, то, используя критерий устойчивости А + ТА\ІА 0, имеем задачу на собственные значения решение которой в силу равенства нулю всех элементов первой строки матрицы /І = о — О.ЬЕ находится в явном виде: минимальное собственное значение есть 0, а остальные N — 2 собственных значений равны В общей форме Для наилучшего а = а = получаем значения TQ = 1.29627 и Посмотрим, как меняется значение 7 при изменении значения о\ в интервале [0, 1], а остальные о\ = 0, где і = 2,3,.. . ,iV — 1. Результат вычисления отображен на рисунке 2.3, где для фиксированного N — 20, 40 изображены графики, на которых по оси абсцисс откладываются значения т\ с шагом 0.01, а по оси ординат - значения границы устойчивости 7. Граница устойчивости в данном случае является монотонно возрастающей функцией относительно параметра о\. В случае N = 20 и равномерной сетки значение fo( 7i) возрастает от 1.25774 до 1.2587 при изменении (Ті на отрезке [0, 1]. Для N = 20 и сетки с a = a(N) = 0.71817 значение то(сті) возрастает от 1.289555 до 1.29633 при изменении о\ от 0 до 1. Из рисунка 2.3 а) видно, что значение т постепенно возрастает с увеличением о-!, а для сетки а)д(й) основной рост значения г происходит при а Є [0, 0.3] (рисунок 2.3 &)). Аналогично рассмотрим сетку с тремя различными шагами (см. раздел 1.2.3). При ті = стдг = 0.5 и jj = 0, где і = 2,3,.. .,N — 1, имеем задачу на собственные значения, разрешимую в явном виде. Собственные значения равны А& = -г sin ( —р-—-г максимальное собственное значение (к = N — 3), получаем выражение для границы устойчивости TQ = 1. За счет введения одного весового множителя в первом узле сетки LJh(a) удалось увеличить границу устойчивости разностной схемы. 2.
Найдены значения весовых параметров, при которых граница устойчивости определяется в явном виде. 2.3.4 Краткие выводы главы В данной главе исследовались на устойчивость разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности. Разностные схемы записывались на неравномерных сетках u h{ot) и 2 /i(a,/3), введенных в главе 1. Рассматривались схемы с весовыми множителями, записанные на этих же сетках. Цель главы - доказательство того факта, что за счет изменения параметров а, /3 и введения весовых множителей а І удается увеличить границу устойчивости разностной схемы по сравнению с границей устойчивости схемы на равномерной сетке. Значения параметров а и (3, при которых достигается наибольшее значение границы устойчивости, будем называть наилучшими. Рассмотрим случай, когда аппроксимируем уравнение теплопроводности с граничными условиями первого рода. Результаты для явной разностной схемы Рассматриваются явные схемы, записанные на неравномерных сетках.
Показано, что при определенном задании значений а и (а, (5) удается увеличить границу устойчивости. 1. Максимальное значение границы устойчивости достигается на неравномерной сетке. 4. Значение границы устойчивости увеличивается в пределах 5, 10 процентов. Результаты для разностной схемы, близкой к абсолютно устойчивой Рассматривались схемы со следующим распределением весовых множителей: о\ = 0, o i = аз = 1. Максимальное значение границы устойчивости достигается на неравномерной сетке. 2. Значение наилучшего параметра а = а в основном зависит от значения весового параметра. Расчеты показали, что значение а превосходит единицу в несколько раз. 3. Значение границы устойчивости увеличивается в несколько раз (см., например, таблицы 2.3, 2.4). Результаты для разностной схемы с некоторым распределением весовых множителей Следующие результаты относятся к схемам с ненулевым весовым множителем о-! и с нулевыми множителями Т2, (73,.-.,0 -1- В данном случае вес а\ меняется от 0 до 1. Схемы записываются на сетке щ(а), здесь а = 1, а, а. 1. При а = а, а наблюдается скачок увеличения границы устойчивости при изменении а\ Є [0, 0.3]. При дальнейшем изменении о\ Є [0.3, 1] наблюдается плавное увеличение границы устойчивости. 2. Удалось увеличить границу устойчивости на несколько процентов. Во всех рассмотренных случаях наблюдается увеличение границы устойчивости, что связано с введением неравномерности на концах сетки и с введением весовых множителей. Для схемы, которая аппроксимирует уравнение теплопроводности с граничными условиями второго рода, также удалось увеличить границу устойчивости за счет введения неравномерности сетки.
Задача на собственные значения для разностного оператора Лапласа в криволинейной трапеции
Рассмотрим случай, когда область Q есть прямоугольная трапеция. Построим в Q равномерную по каждому направлению сетку ). Для получения равномерной прямоугольной сетки в трапеции Q необходимо выбрать шаг по первому направлению так, что точка (/, 0) является узлом сетки, а количество шагов по второму направлению равно количеству шагов на отрезке [/, її]. - множество всех узлов сетки в области Q, ujh - множество внутренних узлов, a 7/i = uh/uh - множество граничных узлов. Если область Q - криволинейная трапеция, то ее можно покрыть сеткой первого или второго рода. Зададим значения параметров /, 1\ и 12, т.е. определим конкретную трапециевидную область, и зададим конкретные значения для N\ и #2-В полученной области найдем численно границы спектра разностного оператора А. В таблицах 3.8, 3.9 и 3.10 приведены результаты вычислений собственных значений разностного оператора А, записанного на сетке, которая покрывает трапециевидную область. Рассматриваем три вида трапеций. Трапеция с основаниями /і = 1, I = 0.1 и высотой l2 = 1 соответствует таблице 3.8. Следующая таблица 3.9 соответствует трапеции с основаниями 1\ = 1, / = 0.5 и высотой /2 = 1- Третья таблица 3.10 относится к трапеции с основаниями 1\ = 1, I = 0.9 и высотой /2 = 1- В каждой из областей строится равномерная прямоугольная сетка. Значения количества шагов приведены в первых двух столбцах каждой из таблиц.
Следующие три столбца соответствуют значениям Amin, Amax и Amin + Amax. В последнем столбце приводится значение оценки сверху максимального собственного значения разностного оператора Лапласа. Обратим внимание, что с большой точностью выполнено равенство где h\ и hi - шаги сетки. Выводы, сделанные для треугольной области в разделе 3.1.4, справедливы для данного случая (с некоторыми изменениями в полученных результатах). А именно, при увеличении количества шагов значение Атах неограниченно возрастает, а значение Amin незначительно увеличивается и остается ограниченным. Из таблиц 3.8, 3.9 и 3.10 видно, что минимальное собственное значение меньше минимального собственного значения для треугольника с катетами \х = 1, І2 = 1 и больше минимального собственного значения для прямоугольника со сторонами 1\ = 1, І2 = 1. В этом параграфе исследуется устойчивость разностной схемы, которая аппроксимирует уравнение теплопроводности в непрямоугольной области. Дифференциальное уравнение аппроксимируется на неравномерных сетках, введенных в параграфе 3.1. Вводится понятие границы устойчивости. Численно строится граница устойчивости явной разностной схемы. Для разностной схемы с весовыми множителями выявляются наборы весов, на которых аналитически находится оценка снизу границы устойчивости. Первый раздел посвящен определению разностной аппроксимации задачи и определению понятия границы устойчивости в данном случае, так как определение, данное в работе [8], не подходит ввиду множественности сеточных параметров.
Следующие разделы относятся к численному построению границ устойчивости. Рассматриваются примеры различных непрямоугольных областей. В отдельный раздел вынесен вопрос об увеличении запаса устойчивости за счет введения весовых множителей. Весовые множители вводятся в узлах, где наблюдается неравномерность сетки или где наименьшие шаги. Рассматривается задача о применении численных методов к отысканию решения u(x\,X2,t) уравнения теплопроводности в непрямоугольных областях где G = {х = (#1,22) : 0 жі /і, 0 а?2 F(xi)} - непрямоугольная область, ограниченная осями Ох\, 0x2 и кривой Х2 = F(x{), Г - граница области G. Предполагаем, что F(x\) - непрерывная, убывающая функция. Прямолинейные стороны области имеют длины l\ = _1(0), где F 1(x2) - функция, обратная к F(x\), и /2 = - (0) соответственно. Более подробно данные области и сетки, покрывающие эти области, рассматривались в параграфе 3.1. Также в параграфе 3.1 исследовалось поведение границ спектра разностного оператора Лапласа, что необходимо для изучения границ устойчивости схемы. Будем рассматривать двуслойную разностную схему с переменными ВеСОВЫМИ МНОЖИТеЛЯМИ CTjj 6 [0, 1] которая аппроксимирует задачу (3.11) - (3.12) на неравномерной сетке Дальнейшая задача заключается в исследовании схемы (3.13) на устойчивость в зависимости от значений и распределения весовых множителей dij, от области G и покрывающей ее сетки щ, т.е. от величин шагов. Хорошо известно, что если все весовые множители не меньше 0.5, то разностная схема (3.13) является абсолютно устойчивой, т.е. устойчива при любых значениях параметра г. Разностная схема (3.13) приводится к каноническому виду где В — Е + та А и А - оператор, определенный в разделе 3.1.2. Оператор а определяется как (ay)ij = офц В данном случае имеем неравномерность сетки вблизи непрямолинейной части границы области G или по одному из направлений, что приводит к возникновению множественности сеточных параметров. Из-за множественности сеточных параметров определение границы устойчивости, данное в работе [8], не подходит. Для дальнейшего исследования достаточно рассмотреть нулевые граничные условия. Введем следующее понятие границы устойчивости. Границей устойчивости разностной схемы (3.13) будем называть такое значение параметра Т = TQ, что при 0 т TQ схема устойчива, а при т TQ схема неустойчива.
