Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Теория устойчивости разностных схем для нестационарных задач математической физики стала самостоятельной областью исследования уже в 50-ые годы после того, как были опубликованы известные работы Дж.Неймана и Р.Рихтмайера, П.Лакса, В.С.Рябенького, А.Ф.Филлиповаи др. авторов. В 60-х годах в работах А.А.Самарского была построена общая теория устойчивости для операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерном гильбертовом пространстве.
При исследовании корректности вычислительных методов для начально-краевых задач математической физики основное внимание уделяется устойчивости решения по начальным данным и правой части. Однако при решении дифференциальной задачи может оказаться, что коэффициенты уравнений заданы не точно, а приближенно (например, при помощи некоторого вычислительного алгоритма, в результате, физических измерений и т.п.). Отсюда ясно, насколько важной является задача изучения схем с возмущенными коэффициентами. Несмотря на важность проблемы, эта задача для эволюционных уравнений до недавнего времени не была решена.
Впервые значимость коэффициентной устойчивости была отмечена еще в конце 50-ых годов А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским при разработке теории однородных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Следует отметить, что коэффициентная устойчивость рассматривалась в ходе исследований в работах А.А.Самарского и В.Л.Макарова, А.А.Самарского, П.Н.Вабищеви-ча и П.П.Матуса, С.Г.Михлина, Н.И.Юрчука, П.К.Сенаторова, П.Е.Соболевского и др. авторов.
Настоящая диссертация посвящена исследованию сильной устойчивости дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем с ограниченными операторными коэффициентами. В работе представлен операторный подход к изучению устойчивости разностных схем по отношению к возмущению начальных данных, правой части и коэффициентов. На его основе получены новые априорные оценки для операторных уравнений первого рода и абстрактного параболического уравнения. Для трехслойных операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерном гильбертовом пространстве, подобные оценки получены впервые.
В рамках выбранного направления исследований дальнейшее развитие получила теория устойчивости разностных схем для нестационарных задач математической физики.
Связь с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках Государственной программы фундаментальных исследований Алгоритм 04 "Вычислительные методы высокого порядка точности на адаптивных сетках", включенной на 1996— 2000 г.г. в план НИР, выполняемых отделом численного моделирования Института математики Национальной АН Беларуси, а также в соответствии с договором с Белорусским Республиканским фондом фундаментальных исследований №Ф98-019 от 1 марта 1999 г. по теме "Разностные схемы для нестационарных задач с обобщенными решениями".
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является доказательство сильной (коэффициентной) устойчивости дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем при возмущении операторных коэффициентов. Для достижения этой цели в диссертации решались следующие задачи: для линейных операторных уравнений первого рода с оператором, действующим в вещественном гильбертовом пространстве, получить априорные оценки устойчивости по отношению к возмущениям правой части и самого оператора. Исследования провести в случае самосопряженного и несамосопряженного оператора; для эволюционных дифференциально-операторных уравнений первого порядка и соответствующих двухслойных операторно-разностных схем доказать устойчивость решения по отношению к возмущениям операторных коэффициентов, начальных данных и правой части. Исследования провести в случае постоянных и переменных операторов, действующих в гильбертовых пространствах; для трехслойных операторно-разностных схем получить априорные оценки коэффициентной устойчивости и устойчивости по начальным данным, правой части в нормах Ті, На-
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дифференциально-операторные уравнения и соответствующие операторно-разностные схемы.
Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы дифференциальных уравнений в частных производных, функциональна» > анализа и вычислительной математики. При получении априорных оценок сильной устойчивости применяется общая теория устойчивости операторно-разностных схем, метод энергетических неравенств, принцип суперпозиции и техника исследования в интегральных по времени нормах.
Научная новизна полученных результатов. Все результаты, приведенные в диссертационной работе, являются новыми. Их новиз-
іа состоит в том, что получены новые априорные оценки сильной устойчивости для линейных операторных уравнений, доказана сильная устойчивость решений эволюционных дифференциально-операторных сравнений и двухслойных операторно-разностных схем; для решения хбстрактной задачи Коши первого порядка получены достаточные условия коэффициентной устойчивости в случае переменного оператора; впервые докдзана коэффициентная устойчивость для трехслойны} эператорно-разностных схем.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для исследования сильной устойчивости конкретных разностных схем для различных типов задач математической физики.
Экономическая значимость. Работа относится к фундаментальным исследованиям, что не позволяет на данном этапе оценить экономическую значимость полученных результатов.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
D настоящей диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:
— для линейного операторного уравнения с несамосопряж.енным
оператором, действующим в вещественном гильбертовом простран
стве, получены априорные оценки сильной устойчивости;
для эволюционных дифференциально-операторных х/равнений первого порядка и двухслойных операторно-разностных схем в случае постоянных и переменных операторов доказана устойчивость решения по отношению к возмущениям операторных коэс/х/пщиеитов, начальных данных и правой части. Полученные априорные оценки силь-ной устойчивости согласуются на дифференциальном и ра.пюстном уровне как в отношении требований, предъявляемых к опе]>аторам, так и в плане норм;
доказана коэффициентная устойчивость трехслойных операторно-разностных схем с весами в нормах И, %а
Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных с научным руководителем работ в диссертацию вошли результаты, полученные автором лично, а также результаты, полученные на паритетных началах.
Апробация результатов. Основные результаты докладывались:
— на II Международной конференции "Finite Difference Methods:
Theory and Applications"(r. Минск, июль 1998г.);
на III Международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis" (г. Юрмала, Латвия, октябрь 1998г.);
городском семинаре по математическому моделированию.
Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Среди них 3 статьи в белорусских и российских журналах, 2 статьи в материалах международных конференций, 1 тезис международной конференции. Общий объем опубликованных материалов составляет 38с.
Структура и объем диссертации. В диссертации имеется введение, общая характеристика работы, 4 главы, список исполызоваппых источников. Полный объем — 73 с, из них 6 с. занимает список использованных источников (63 наименования).
