Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Теория устойчивости разностных схем для нестационарных задач математической физики стала самостоятельное областью исследования уже в 50-ые годы, после того как были опубликованы известные работы Дж. Неймана и Р. Рихтмайера, П. Лакса, B.C. Рябенького, А.Ф. Филлипова и'др. авторов. В 60-х годах в работах А.А. Самарского была построена общая теория устойчивости для операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерном гильбертовом пространстве. При исследовании вопросов устойчивости и сходимости разностных схем с переменными весовыми множителями было установлено, что даже в линейном случае применение общей теории при исследовании этих схем приводит к ограничениям на шаги, к условной аппроксимации. К этим классам вычислительных методов относятся часто применяемые в вычислительной практике гибридные разностные схемы (разностные схемы на адаптивно-временных сетках, явно-неявные разностные схемы, "шахматная" схема, методы вложенных сеток и др.). В связи с этим в настоящее время несомненный интерес представляют работы по развитию общей теории устойчивости на случай схем с непостоянными весами. Первыми на это обратили внимание А.А. Самарский и А.В. Гулин, которые в своих работах для двухслойных разностных схем с постоянными и самосопряженными операторами сформулировали необходимые и достаточные условия устойчивости одного класса схем с переменными но пространству весами. В дальнейшем данные результаты получили свое развитие в работах А.В. Гулина. П.Н. Вабищовича, П.П. Матуса и др. авторов.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является развитие теории устойчивости операторно-разностных схем с переменными операторно-весовыми множителями, а также исследование сходимости разностных схем для задач с обобщенными решениями.
Для достижения указанной цели в диссертации были поставлены следующие задачи:
для трехслойных разностных схем с непостоянными весовыми множителями по пространству и времени получить достаточные условия устойчивости. Исследования провести п предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими и липшиц-непрерывными по временной переменной;
для разностных уравнений дивергентного типа с операторно-весовыми множителями найти достаточные условия устойчивости по правой
части и начальным данным в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими и липшпц-непрерывными по временной переменной;
- получить оценки точности разностных схем, согласованные с глад
костью решения .исходной задачи, для нелинейных обыкновенных диф
ференциальных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейно
стью и для уравнения параболического типа с обобщенными решениями.
Научная новизна полученных результатов. Научная новизна состоит в том, что
найдены новые достаточные условия устойчивости двух- и трехслойных операторно-разностных схем с переменными операторно-весовыми множителями;
получены согласованные с гладкостью решения дифференциальной задачи опенки точности разностных схем для нелинейных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейностью и уравнения параболического типа.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для исследования устойчивости и сходимости конкретных разностных схем с переменными по пространству и времени весами.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. В настоящей диссертационной работе по лучены и выносятся на защиту следующие результаты:
I. Для трехслойных операторно-разностных схем с переменными операторно-весовыми множителями получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и правой части для различных случаев "взвешивания" в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими.
И. Для двухслойных и трехслойных операторно-разностных схем дивергентного типа с переменными операторно-весовыми множителями найдены достаточные условия устойчивости по правой части и начальным данным, когда весовые операторы не являются коммутирующими и липшиц-непрерывными по временной переменной.
III. Получены оценки точности разностных схем. согласованные с гладкостью решения исходной задачи, для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченной нелинейностью и для уравнения параболического типа с обобщенными решениями.
Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в
выносимой на защиту диссертационной работе, получены аіпором лично. Нз совместно опубликованных работ п диссертацию пошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные на паритетных началах: с соавторами.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались:
на международной конференции "Автоматизация проектирования дискретных систем" (г.Минск, ноябрь 1995г.);
на всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (г.Казань, июнь 199Gr.);
па I международной конференции по численному анализу и приложениям (г.Русс, Болгария, июнь 1990г.);
на VII Белорусской математической конференции (г.Минск, ноябрь 1990г.);
-- на минском городском семинаре по математическому моделированию.
Онубликспашюсть результатов. Результаты диссертации опу-бл - копаны в 8 работах.
Структура и объём диссертации. D диссертации имеется введение, общая характеристика работы, 4 главы, синеок использованных источников. Полный объём — 118 с, из них 11 с:, занимает синеок использованных источников (118 наименований).
