Введение к работе
Актуальность темы. Центральным вопросом теории разностных схем является вопрос о сходимости. Пря оценке точности разном- ной схемы обычно предполагается, что решение исходного дифференциального уравнения обладает определенной гладкостью, тогда раз-постная схема имеет точность соответствующего порядка. Для случая, когда решение исходной дифференциальной задачи достаточяо гладкое, в теории метода коночных разностей проведено достаточно полное исследование сходимости и получены оценки точности в соответствующих метриках. Однако на практике часто встречаются задачи, решения которых имовт весьма ограниченную гладкость из-за особенностей в отдельных точках у самого решения или у его младших производных и существуют лишь в обобщенном смысле. Следовательно, возникает необходимость исследования сходимости разностных схем, аппроксимирующих параболические и гиперболические уравнения с негладким искомым решением. Отметим, что этот вопрос даже в линейном случае изучен недостаточно.
При понижении требований к дифференциальным свойствам искомого решения анализ сходимоста разностных схом существенно усложняется и здесь, как правило, нсслодовашш проводят в некоторых слабых или негативных нормах. Между тем, для вычислительной практики наиболее ванной является равномерная оценка точности.
В связи с этом актуальной является проблема получения безусловных оценок точности в равномерной метрике при пониженных требованиях к гладкости искомого решения.
Цель работы. Изучение вопросов безусловной сходимости консервативных разностных схем с весами и итерационных процессов их реализации для нелинейных нестационарных уравнений математячес-
кой физики в частных производных с неограниченной нелинейностью, когда искомое решение не обладает достаточной гладкостью.
Научная новизна. Доказана сходимость консервативных разностных схем о весами без соотношений на шага сетки для шюгомарних линейных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами в норме С. . При этом предполагается, что разностная схема аппроксимирует исходную задачу лишь в норме L, .
Получены безусловные оценки скорости сходимости в равномерной метрике как решения, так и его первой производной к точному рошзяию одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности с лолияейиостью неограниченного роста. Доказывается существование и единственность решения разностной задачи. Приведены оценки скорости сходимости итерационного процесса Ньютона, реализующего разностную схему.
Для одномерного нелинейного гиперболического уравнения второго порядка исследованы консервативные разностные схемы с весами. Доказана сходимость без соотношений на шаги сетки как разностного решения, так и его первых производных к точному решению в норме С .
В случае неограниченной нелинейности для двух- и трехмерных параболических уравнений при пониженных требованиях к дифференциальным свойствам исходного решения получены безусловные оценкі точности разностного решения схем с весами в равномерной метрик*
Для симметричной разностной схемы, аппроксимирующей двумер ное нелинейное параболическое уравнение с гладкими решениями, д казана безусловная сходимость разностного решения в метрике С о логарифмической потерей.
В работе получил дальнейшее развитие метод исследования ра ностяых схем для нелинейных уравнений математической Физики,
предложенный Я.Н.Абрашияым, и методика исследования безусловной сходимости метода сеток в С -норме, предложенная П.П.Мзгусом.
Практическая значимость. Полученные результата могут быть использованы при решении широкого класса задач, связанных с нелинейными процессами, лри изучения вопросов сходимости разностных схем для нелинейных дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании нелинейных задач с особенностями.
Апробация работы. Основные результаты диссертация докладывались на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач" (г.Мпнск, 1989г.), Межреспубликанской, научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное а информационное обеспечение" (г.Минск, 1990г.), Республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительная математика" (г.Гродно, 1990г.), на семинарах лаборатории численных методов математической физики и лаборатории численного моделирования физико-технических задач ИМ АНБ.
Публикации. Основные результаты диссертация опубликованы в работах [I - 101 .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и содорніт 169 страниц машинописного текста. Список цитируемой литературы включает 213 наименований.
