Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задач и вспомогательные результаты 13
1.1. Начально-краевая задача для уравнений движения вязкого реального газа 13
1.2. Начально-краевая задача для уравнений движения термо-вязкоупругого тела типа Фойхта 18
1.3. Сеточные функции и некоторые их свойства 19
Глава 2. Разностная схема для уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых сред 26
2.1. Разностная схема 26
2.2. Априорные оценки и разрешимость разностной схемы для задачи динамики вязкого реального газа 27
2.3. Априорные оценки и, разрешимость разностной схемы для задачи динамики термовязкоупругого тела ..47
2.4. Сходимость разностной схемы 54
2.5. Единственность разностных решений 62
2.6. Реализация разностной схемы ...70
Глава 3. Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых сред 74
3.1. Начально-краевая задача 74
3.2. Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения вязкого реального газа 79
3.3. Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта 90
3.4. Сходимость разностной схемы для двухмасштабных осредненных уравнений 92
3.5. Единственность решения разностной схемы для двух-масштабных осредненных уравнений 98
3.6. Реализация разностной схемы 104
3.7. Численные эксперименты 108
Литература 111
- Начально-краевая задача для уравнений движения термо-вязкоупругого тела типа Фойхта
- Априорные оценки и разрешимость разностной схемы для задачи динамики вязкого реального газа
- Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения вязкого реального газа
- Единственность решения разностной схемы для двух-масштабных осредненных уравнений
Введение к работе
1)
Актуальность темы. Уравнения движения вязких сжимаемых сред (уравнения Навье-Стокса) относятся к основным моделям механики сплошной среды п давно являются объектом пристального изучения. Они представляют собой системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных составного типа. Сложность этих систем делает невозможным получение решений в явном виде, что приводит к необходимости развития численных методов их решения.
В настоящее время накоплеп большой опыт численного решения таких задач и имеются значительные достижения в теории численных методов, изложенные в монографиях Белоцерковского О.М. и Давыдова Ю.М., Ко-веня В.М. и Яненко Н.Н., Рождественского Б.Л. и Яненко Н.Н., Годунова С.К., Забродина А.В. и др., Роуча П., Самарского А.А. и Попова Ю.П., Шокина Ю.И. и Яненко Н.Н.. В то же время, в теории разностных схем для решения указанных задач остается много открытых вопросов, связанных с математически строгим обоснованием корректности методов.
Достаточно полно корректность разностных схем исследована только для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа, а также вязкого совершенного политропного газа. Этим вопросам посвящены работы Кузнецова Б.Г., Рысбаева Б.Р., Смагулова Ш., Туретаева И.Л., Штико-наса А, Попова А.В., Zarnowski R., HofFD., Zhao J.. Наиболее законченные результаты получены в работах Амосова А.А. и Злотника А.А. В них выведены разностные аналоги законов сохранения, получены априорные оценки разностных решений "в целом" по времени, установлены существование, единственность и сходимость разностных решений, получен ряд оценок погрешности в различных нормах (в том числе в равномерной) в зависимости от гладкости исходных данных, рассмотрены вопросы стабилизации; охвачен случай негладких данных.
Уравнения динамики вязких сжимаемых сред с произвольными нелинейными функциями состояния и коэффициентами изучены гораздо меньше. Существование и единственность классических решений начально-краевых задач для уравнений движения вязкого реального газа установлены в работах Kawohl В., Okada М., Kawashima S., Song Jiang; для нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта - в работах Dafermos СМ., Hsiao L., Kim J.U. Существование глобальных обобщенных решений тех же задач в случае негладких данных доказано Амосовым А.А.
Бахваловым Н.С. и Эглит М.Э. была рассмотрена задача осреднения уравнении динамики вязкоупругой среды с быстроосциллирующими свойствами и выведена (па формальном уровне) система предельных уравне-
1)Работа выполнена при финансовой поддержЛе^^ФИ^двщкд^иЬж^У^ЗЗЭ)
ний. Несколькими годами позже к таким же уравнениям для баротропно-го газа пришел Serre D. Осредненная система получилась нестандартной, интегро - дифференциальной. Подобные уравнения сейчас принято называть двухмасштабными осредненными (Allaire G.). Строгое обоснование двухмасштабного осреднения было проведено в работах Амосова А.А. и Злотника А.А.
Построение и строгое обоснование методов численного решения двух-масштабных осредненных уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых сред связано с преодолением значительных трудностей. Первые результаты в этой области получены в работах Амосова А.А., Злотника А.А. и Титова Д.А.
Цель работы. Построение и исследование разностных схем для систем уравнений одномерной динамики вязкого реального газа и нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта с негладкими данными, а также для соответствующих двухмасштабных осредненных систем.
Общая методика исследования. В диссертации использованы идеи
и методы теории нелинейных разностных схем, функционального анализа, теории обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Существенно использованы методы, разработанные Амосозым А.А. и Злотником А.А. для уравнений движения вязкого газа.
Основные результаты и их научная новизна. В работе получены
следующие результаты.
Построена новая разностная схема для системы квазилинейных дифференциальных уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых тепло-проводящих сред.
В предположениях, соответствующих моделям вязкого реального газа и нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта, выведены априорные оценки разностных решений, доказаны существование и единственность решений разностной схемы, а также сходимость разностных решений к обобщенным решениям соответствующих начально-краевых задач.
Аналогичные результаты получены для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения вязкого реального газа и нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта. Кроме того, установлены новые результаты о существовании обобщенных решений начально-краевых задач для указанных систем двухмасштабных осредненных уравнений.
Все результаты получены в целом по времени и при произвольных больших негладких начальных данных.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты являются вкладом в теорию нелинейных разностных схем. Постро-
енные разностные схемы могут быть использованы при решении некоторых задач динамики вязкого газа и термовязкоупругости.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям МЭИ под руководством проф. Дубинского Ю.А. (2003 г.), научно-исследовательском семинаре академика РАН Бахвалова Н.С. (механико-математический факультет МГУ, 2003 г.), всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 2000 г.), совместных заседаниях семинара им. Петровского И.Г. и Московского Математического Общества (Москва, 2001 г.), летней школе "Итерационные методы и матричные вычисления" (Ростов-на-Дону, 2002 г.), а также международных конференциях студентов и аспирантов в МЭИ (1999, 2001, 2003 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех
глав, списка литературы, включающего 81 наименование, и трех приложений. Объем работы - 138 страниц, включая 19 страниц приложений.
Начально-краевая задача для уравнений движения термо-вязкоупругого тела типа Фойхта
Задачи движения вязких сжимаемых сред относятся к основным задачам механики сплошной среды и давно являются объектом пристального изучения [17] [35], [41]. Принятая для описания одномерного движения математическая модель включает систему трех квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных (уравнений На-вье - Стокса). В лагранжевых массовых координатах эта система имеет вид:
Входящие в нее уравнения импульса и энергии являются параболическими относительно искомых функций - скорости и и температуры S,a уравнение неразрывности - уравнением первого порядка относительно искомого удельного объема rj, так что вся система уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем уравнений (систем составного типа) развита еще недостаточно.
Как. следует из второго начала термодинамики,. существует зависимость между входящими в уравнения (2) и (3) внутренней энергией е{г},в) и давлением р{г},&) [35], выражающаяся термодинамическим тождеством На настоящий момент наиболее изученными являются уравнения одномерного движения совершенного политропного газа (т.е. когда давление и внутренняя энегрия связаны с удельным объемом и температурой соотношенями р{ц,9) = кв/г]} е(г}, в) = сув, где су и к - константы). Теория глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для таких уравнений была построена в работах Кажихо-ва А.В., Шелухина В.В., Вайганта В.А. [17], [27 - 30], [48], [21], [22].
Важные результаты получили также Nagasawa Т. [70 - 72], Kawashima S. и Nishida Т. [66]. Разрешимость в классе слабых обобщенных решений изучена в работах Амосова А.А. и Злотника А.А [10], [12], [13], [26]..
Случай уравнений (1) - (3) с произвольными нелинейными функциями состояния е(г), (9), р(г), в) и коэффициентами теплопроводности \(rj, в) и вязкости v{rj) (уравнения вязкого реального газа) изучен в значительно меньшей степени. (А случай коэффициента вязкости, зависящего от температуры, практически не изучен). Локальная по времени или данным разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач установлена в работах Matsumura А. и Nishida Т. [69] Tani А. [77], Hoff D. [63], [64]... В работе [64] рассмотрен случай:разрывных начальных данных. Существование "в целом" (по времени и данным) и единственность классических решений начально-краевых задач для уравнений движения вязкого реального газа установлены в работах Okada М. и Kawashima S. [73], Kawohl.B. [67], Song Jiang [75], [76].
При несколько иных предположениях на функции состояния, соответствующих модели нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойх-та, уравнения (1) - (3) исследованы в работах Dafermos СМ., Hsiao L. [61], [62], Kim J.tL [68], Zheng S. и ShenW. [81], в которых обосновано существование классических решений. Эти результаты также носят глобальный характер.
Существование "в целом" глобальных обобщенных решений.тех же задач для произвольных больших начальных данных доказано Амосовым А.А. [1], [2], [53].
Еще одной важной стороной исследования уравнений (1) - (3) являются вопросы, связанные с построением и строгим обоснованием приближенных методов их решения. В настоящее время накоплен большой опыт численного решения задач газовой динамики и имеются достижения в теории численных методов, изложенные в монографиях Белоцерковского О.М. и Давыдова Ю.М. [20], Годунова С.К., Забродина А.В. и др. [24], Ковеня В.М. и Яненко Н.Н. [31], Рождественского Б.Л. и Яненко Н.Н. [35], Роуча П. [36], Самарского А.А. и Попова Ю.П. [40], Шокина ЮМ..и Яненко Н.Н. [49]. В то же время, в теории разностных схем для решения указанных задач остается много открытых вопросов, связанных с обоснованием корректности методов.
Начало изучению разностных схем (PC) для уравнений динамики вязкого газа, по-видимому, было положено работой Кузнецова Б.Г. и: Смагулова Ш. [32]. К настоящему времени; весьма подробно исследованы PC для уравнений одномерного движения совершенного поли-тропного газа, а также баротропного газа, записанных в лагранжевых массовых координатах. (Для баротропного газа давление не зависит от температуры. В этом случае можно ограничиться рассмотрением системы (1) -(2)). Этим вопросам посвящены работы Смагулова Ш., Рысбаева Б.Р. [37 - 39], [42], [44.- 46], Туретаева И.Л. [47], Шти-конаса А. [50], [51], а также Zarnowski R., Hoff D. [78], [79], Zhao J. [80]. Наиболее законченные результаты получены в работах Амосова А.А. и Злотника А.А [6 - 9], [11], [56], [57]. В них установлены важные дополнительные соотношения между искомыми разностными функциями, выведены разностные аналоги законов сохранения, получены априорные оценки разностных решений "в целом" по времени, в том числе оценки разностной плотности сверху и снизу, а разностной: температуры снизу положительными постоянными. Также установлено существование, единственность и сходимость разностных решений, получен ряд оценок погрешности.в различных нормах (в том числе в равномерной) в зависимости от гладкости исходных данных, рассмотрены вопросы стабилизации. Охвачен случай негладких начальных функций. В баротропном случае PC построены и исследованы для широкого класса функций состояния р = р(т]) и коэффициента вязкости 1/()7), отличного от константы. Значительно менее подробно исследованы PC для уравнений движения вязких сред, записанных в эйлеровых координатах. Здесь можно отметить работы Смагулова Ш: [43], Попова А.В. [33], [34].
Априорные оценки и разрешимость разностной схемы для задачи динамики вязкого реального газа
Применяя лемму 1.3.2 с Y = A W и a = J/\\J\\LI(Q) (ЯСНО, ЧТО (КІКЗ)"1 a, t Ui(n) — 1) и используя (2.42), получаем оценку Следствие 2.6. Справедлива оценка \\@\\vii,n) ,Q) K(N)„ Этап 4. Докажем существование репіений разностной схемы. Пусть С - конечномерное нормированное пространство, Л С -непустое открытое множество. Рассмотрим абстрактную нелинейную PC Здесь Bj (1 j m) непрерывные нелинейные операторы, действующие из Л х Л х [0,Т] в , к т. Предполагается, что Bj(Z, W, 0) = W. Значение 0 Є Л задано. Искомым решением является вектор Z = (Z,Zl,...,Zm)c(A)m+1. Теорема 2.2 [8]. Пусть для данного Z0 Є & существуют число т Є (0,Т] и замкнутое ограниченное множество D С Л, такие, что для каждого решения Z PC (2.46), отвечающего произвольным к т и гтах Т справедлива априорная оценка Z3 Є D (1 j к). Воспользуемся теоремой 2.2 для доказательства существования решения PC (1:1)-(1.6). В данном случае С - это пространство троек Z = (Hf, U ,&) Є /2(П) х 5h(H) x-5f/2(n), Л = {Z є I # О,0 О}и = { є С tfr1 tf ІГ, t/ n ЛГ, в ІІмп) -ЛГ,Є 0} с Л. Так как функция г/ = е(т7,0) монотонно возрастает по аргументу $,. то существует обратная к ней (по аргументу в) функция в = е 1(г),у). Запишем разностные уравнения в виде: Таким образом, мы имеем PC вида (2.46). Ясно, что соответствующие операторы Bj непрерывны и действуют из Л х Л х [0, Г] в С Кроме того, B{Zi,Zi l,0) = -1.. В силу доказанных оценок для всякого решения PC (1.1) --(1-6) со значениями в Л справедлива априорная "оценка" (1 j к). Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.2, применяя которую, выводим существование решений PC (1:1) - (L6), удовлетворяющих оценкам (2.2) - (2.6). Априорные оценки и разрешимость разностной схемы для задачи динамики термовязкоупругого тела. Перейдем к исследованию свойств PC (1.1) - (1.6) в случае, когда коэффициенты уравнений удовлетворяют условиям, соответствующим термовязкоупругому телу. Предположим, что выполнены условия Сі, С2 на коэффициенты, а также условия Лі на сеточные начальные и граничные данные и свободные члены уравнений.. Будем искать решение PC (1.1) - (1-6), обладающее свойствами Н О, Є 0. Теорема 3.1. 1. Пусть выполнены условия Сі, С и А\ на данные задачи, а также условия (2.1) на шаг г. Тогда существует решение Z"= (H,U,Q) PC (1.1) - (1.6) и всякое решение удовлетворяет оценкам (2.2) - (2.6). 2. Если выполнены условия п.1 и дополнительно ] In fii(n) N, то 3. Если выполнены условия п.1 и дополнительно N 2 наSI Доказательство теоремы 3.1 во многом похоже на доказательство теоремы 2.1. Однако, из-за различия в предположениях несколько меняется порядок получения априорных оценок. Так, с одной стороны, проще получается равномерная оценка удельного объема, но, с другой, отсутствие оценки начальной энтропии приводит к изменениям в выводе оценок температуры. Обратим также внимание на то, что в отличие от предыдущего параграфа, где строгая положительность температуры была существенна, теперь температура может сколь угодно близко приближаться к нулю и даже обращаться в ноль, что также не позволя ет использовать некоторые приемы,. примененные при доказательстве теоремы 2.1. Доказательства тех свойств, которые получаются простым повторением рассуждений 2.2 будут опускаться. Пусть Z — (Я, U, 6) - произвольное решение PC (1.1) - (1.6). Лемма 3.1« Справедлива формула [(ЯЦхцп) = V, равенства (2.7), (2.8) и неравенства B +dB-fco/VJIlB + lll nj-ci H/VOn,. (3.1) (Z,H/V)a dtB + dB + c3. (3.2) Доказательство. Вывод свойств ії[ьі{0) = » (2 7), (2.8) и неравенства (3.1) (совпадающего с (2.9)) полностью повторяет доказательства лемм 2.1 и 2.2. Поскольку теперь положительность р заменена свойством р —сз, то из (2,11) следует неравенство (3.2). Лемма 3.2. Справедливы уравнение энергетического баланса (2.15), энергетическая оценка и оценки Доказательство уравнения (2.15), энергетической оценки и первой оценки (3.4) дословно повторяет доказательства леммы 2.3, следствия 2.1 и леммы 2.4. Для вывода второй оценки (3.4), следуя доказательству леммы 2.4, необходимо равномерно оценить величину S = (JTE, H/V) . Оценка снизу проводится так же, как в лемме 2.4, для оценки сверху применим неравенство (3.3):
Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения вязкого реального газа
В этом и следующем параграфах изложение будет вестись одновременно для обоих вариантов условий на коэффициенты, соответствующих моделям вязкого реального газа и термовязкоупругого тела. Это возможно потому, что вывод дальнейших результатов опирается в основном на полученные априорные оценки (2.2) — (2.6), а они справедливы в обоих случаях. Различия, связанные с тем, что при условиях, соответствующих реальному газу, решение должно обладать дополнительным свойством в 0 будут оговариваться особо.
Обозначим через PCi разностную схему (1.1) - (1.6) с фиксированным значением параметра ао = 1 и с сеточными данными Я0,U, Е, Ua,Xa ia = 0,Х), G, F, которые связаны с данными задачи (1.1.1) -(1.1.6) следующим образом: Н r}0,h = 7г 2т/; U = u0,fl = 7rhu на П\ U = «о(0) на П0, U0 = их{0) на Пп; Е = е(Я,Є) = тг/2е; Ua = ита Є ST[0,T], где (ij) - ua{tj) при 0 j m, д "TX«, G = KhirTg, F = jrf/2srr/.
Как нетрудно видеть, эти сеточные данные удовлетворяют условиям Лі; лишь в неравенствах [г7п + Н Н п) Nt в(Я0;Є)іі(п) N (последнее только в случае реального газа) нужно заменить АГ на K(N), и вместо неравенства N x V при rmax 0.257V-2 справедливо неравенство (2N) l V. Поясним сказанное. Ясно, что \\U\\u tih + M0)bi + «x(0)hn N + XN, \\E\\Ll{a) = e0lk o) N. В силу неравенства Иенсена 1п(1/Д0) 7гї/2Ь(1/е(Я,в0))ї кроме того, 1пЕ" Е. Поэтому Учитывая замечание 1.1.2, имеем (Я в0)]] K(N). Кроме того, на шт имеем = ll jJL n) + Цих. - wo) + {ITUX — Itux) - {ITUQ / «O) N l - rmax(var«x+ var-«o) N x - 2rmaxiV (2N)-1. Заметим также, что при достаточно малом ттах заведомо выполнены условия (2.1) из теорем 2.1, 3.1. Будем в этом параграфе помечать верхними индексами ft, г сеточное решение PC і, а также другие сеточные функции, зависящие от него (выше эти индексы для краткости опускались). Положим П/1 т = Uh,T на Qh и ПЛ Т"= 0 на Q \ Qh. Теорема 4.1. Пусть выполнены условия С\, Сг, Ait А2 или условия С\, С2, Ai- Тогда из произвольной последовательности Zh T = [Hh T\Uh,T,Qh,e) решений РСу (существование которых гарантировано теоремой,2.1 или 3.1), отвечающих7imax + rmax — 0, можно выделить подпоследовательность (сохраним за ней прежнее обозначение Zh,T), которая сходитсж к некоторому обобщенному решению z — (п, и, в) задачи (1.1.1) - (1.1.6) в следующем смысле: Доказательство. Как показано в 2.2, 2.3, существует последовательность Zh,T решений PCi, которые удовлетворяют равномерным по h, т опенкам (2.2) - (2.6). В частности, из оценок (2.3), (2.6) следует, что sup[A I7JQ -+ 0, supllA elJij Q) - 0 при 7 - 0+. Из Н,т h,r этих оценок и лемм 1.3.4, 1.3.5, а также - слабой компактности шара в LOQ(Q) следует, что существует тройка функций z = (г},и,6) J\f(Q) х V2{Q) х V\{Q) и подпоследовательность (за которой сохраним прежнее обозначение) такие, что Hh,T - ту - слабо в Loo(Q), и верны свойства (4.2) - (4.7). Из оценки ЕЛ ТЦ 2 К, оценок (2.19) и леммы 1.3.6 следует, что существует функция а Є Ьг(Ф) со свойствами Ita Є C(Q), DIto Є 2,oo(Q)j Для которой справедливы свойства (4.8), (4.9).
Единственность решения разностной схемы для двух-масштабных осредненных уравнений
Как и в главе 2, дальнейшее изложение будет вестись сразу для обоих вариантов условий на коэффициенты. Обозначим через PCi разностную схему (2.1)-(2.6) с фиксированным значением параметра ао = 1 и с сеточными данными Н, [7, 0, JS, UaiXlc (— 0» ) » i которые связаны с данными задачи (1.1) -(1.6) следующим образом: # = TJ0 A = я- 0; = w0,A = тгЛп на Qk, U = «о(0) на П0ї. С0 = «х(0) на Q„; Я0 = е[Я,6], Я) = тг е0; г/Л. = Ua 5Т[0,Г], где u(i,) = utt(i,-) при:0 Как нетрудно видеть, эти сеточные данные удовлетворяют условиям А± (и дополнительно Л2 для модели реального газа), возможно, с заменой N на K(N). Более подробно это пояснено в 2.4.
Заметим также, что при достаточно малом rmax заведомо выполнены неравенства co i_г 1/2, (d + ci)r 1/4 из условий теорем 2.1и 3.1..
Будем в этом параграфе помечать верхними индексами h, т сеточное решение PCi, а также другие сеточные функции, зависящие от него. Теорема 4.1. Пусть выполнены либо условия С\ , С2 , J4J ,- А2, либо условия С[ , С2 , А± . Тогда из произвольной последовательное-ти Zh,T = (i?h,T, C/h T,eh,T) решений PСі (существование которых гарантировано теоремами 2.1 и 3.1), отвечающих hmax + ттах-— 0, можно выделить подпоследовательность (сохраним за ней прежнее обозначение Zh,T), которая сходится к некоторому обобщенному решению z = [rj,u,6) задачи (1.1) - (1-6) в следующем смысле: Доказательство. В силу теорем 2.1, 3.1 существует последовательность Zh T решений PCi, удовлетворяющих равномерным по h, г оценкам (2.7) - (2.10). Из этих оценок следует, что существует тройка функций z = {т},и, в) є M{J х Q) х г(ф) xVi(Q) и подпоследовательность (за которой сохраним прежнее обозначение) такие, что Hh,T — г\ - слабо в LoofJ X Q), и верны свойства (4.2) - (4.7). Аналогично тому, как это делалось при доказательстве теоремы 2.4.1, можно показать, что существует функция а L%{Q) со свойствами Ita Є С{Q), DIta Є г,оо(Ф) Для которой справедливы свойства (4.8), (4.9), а также что 0h r - 0, 0 - - 6,.0 - б п-в. в Q и 0 0. Доказательство. Поскольку ЦЯ "- - Чіі -ухд) 1ЯЬ Т - 4llI ,-(Jxg) х Я?"Т- 4l,Y/xQ).-a ifh,T — 17 - слабо в Loo{J х Q)» то достаточно установить лишь, что последовательность #h,T фундаментальна в 1,1,00( х Q)« Пусть Z = Zh,r и Z — Zh ,Т - два решения PC, отвечающие шагам h,r и h ,r . Из уравнения (2.18) следует, что Принимая во внимание оценку (2.7) и учитывая предположения (1.11), (1.13) выводим из него неравенство Я - H \\LliJxQ) Кг [\\т/ - ч0 м,хП) + /rS - IrmLlMQ) + + ІГ(А\\В - я іиі(ухп)) + Pn gjlie - e jw(Q)]. Здесь A = Sf(n) Є = в + Є + 1. Учитывая, что АМо,Г) К2 є с s = re/(r + /3) 1, z,r+7(Q) зи применяя разностную лемму Гронуолла, при ттах T(N) имеем оценку + /r - /r WQ) + Є - e WQ)) Поскольку T) h - г/5 в Li(J x ft), /TEh T -» ho в «,(#) и 6h T -+ 0 в r+F(Q), то последовательность Д"ь,г фундаментальна в Xj)i)00(J х Q), Свойство (4.1) установлено. Наличие свойства (4.1) позволяет выделить такую подпоследовательность, что Hh,T - п.в. в J х Q. Ясно, что KQ г) К$.
