Введение к работе
Актуальность темы диссертационной работы
В настоящее время широкое распространение получили двухслойные разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения (Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. 2001; Холодов А.С. 2008; Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. 2008). При построении таких схем основным принципом является известная теорема об ограничении порядка аппроксимации двухслойных монотонных линейных схем (Годунов С.К. 1959). Среди схем повышенной точности большой популярностью пользуются компактные схемы (Толстых А.И. 1990; Tolstykh A.I. 1994; Adams N.A., Sharif K. 1996, Shen Y.-Q., Zha G.-C. 2011), построенные для каждого пространственного направления на двух- или трехточечном шаблоне, вследствие их экономичности и удобства постановки граничных условий. Компактные схемы обладают свойством консервативности (Tolstykh A.I. 1994; Толстых А.И. 2002). Схемы с нецентрированными пространственными аппроксимациями (Толстых А.И. 1990; Tolstykh A.I. 1994), ориентированными против потока, являются устойчивыми и диссипативными при подходящей аппроксимации производных по времени. Однако, для точного воспроизведения структуры скачков искомых функций с помощью этих схем нечетного порядка аппроксимации по пространственным переменным приходится прибегать к монотонизаторам в виде ограничителей потоков (Толстых А.И., Широбоков Д.А. 1996; Tolstykh A.I., Lipavskii M.V. 1998). Для подавления осцилляций численных решений, полученных с помощью компактной схемы, вблизи скачков в схему добавляют искусственную вязкость (Остапенко В.В. 2000, 2002), однако этот способ полностью не устраняет немонотонность численного решения вблизи скачков. Другим подходом для построения неосциллирующих вблизи разрывов схем является применение процедур ENO и WENO для расчета потоков через границы разностных ячеек (Adams N.A., Sharif K. 1996, Shen Y.-Q., Zha G.-C. 2011). Однако и этот подход также полностью не устраняет немонотонность численного решения. Кроме того, процедуры ENO и WENO достаточно трудоемки.
В связи с этим актуальным является развитие подходов к построению монотонных высокоточных разностных схем сквозного счета, которые, с одной стороны, являются экономичными, а, с другой стороны, не используют искусственную вязкость и какие-либо ограничители потоков. Иными словами, в настоящее время очень важным является построение монотонных схем, у которых собственная диссипация полностью подавляет внутреннюю дисперсию и порождаемые ею осцилляции в области сильных изменений решения.
Цели и задачи диссертационной работы
Целями диссертационной работы являются:
Построение и исследование свойств бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для уравнений и систем уравнений гиперболического и параболического типов.
Построение монотонизированных схем высокого порядка аппроксимации по времени; исследование их свойств, включая монотонность и точность.
Сравнение результатов численного моделирования решения нестационарных гиперболических и параболических задач математической физики, полученных с использованием разработанных бикомпактных разностных схем и известных существенно неосциллирующих схем высокого порядка аппроксимации.
Применение бикомпактных схем к решению задач газовой динамики.
Научная новизна диссертационной работы
В диссертационной работе предложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений гиперболического и параболического типов. Основные этапы этого способа: 1) построение двухслойной монотонной бикомпактной разностной схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и первого порядка аппроксимации по времени с помощью интегро-интерполяционного метода и метода прямых; 2) построение двухслойных диссипативных бикомпактных схем третьего порядка аппроксимации по времени на основе специальных диагонально-неявных трехстадийных методов Рунге-Кутты; 3) оригинальный метод построения гибридных нелинейных монотонных бикомпактных схем повышенного порядка точности по времени на основе базовых разностных схем, полученных на первых двух этапах. Построенные на основе этого способа разностные схемы обладают уникальным набором свойств. Они являются высокоточными, экономичными, консервативными, монотонными в широкой области значений локального числа Куранта.
В работе предложен новый способ построения бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. В отличие от известных в мировой литературе способов построения разностных схем с использованием продолженной системы, исходное уравнение для искомой функции дополнялось не уравнением для пространственных производных от этой функции, а уравнением для первообразной от функции. Преимущество предложенного подхода очевидно в случае построения разностных схем для сквозного расчета разрывных решений, поскольку первообразная от функции имеет на единицу большую гладкость, чем сама искомая функция. Благодаря компактности шаблона, схемы не требуют вспомогательных граничных условий и решаются либо бегущим счетом, либо двухточечной прогонкой.
Предложен новый способ построения компактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на двухточечном шаблоне для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Суть данного способа состоит в получении двух независимых консервативных разностных уравнений на двухточечном пространственном шаблоне, используя дифференциальные следствия исходной системы уравнений. Из этих уравнений определяются значения искомой сеточной функции в целом рассчитываемом узле и полуцелом вспомогательном узле. В результате построенная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате по существу является бикомпактной схемой для определения искомой сеточной функции в целых узлах сетки и решается методом бегущего счета.
Теоретическая и практическая ценность
Разработанные в диссертации методы построения бикомпактных разностных схем высокого порядка аппроксимации с уникальным набором свойств (экономичность, монотонность, консервативность) могут служить основой для конструирования разностных схем для решения широкого класса прикладных задач, описываемых уравнениями и системами уравнений гиперболического и параболического типа.
Построенные в работе высокоточные бикомпактные разностные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов, благодаря свойству монотонности и консервативности, могут быть использованы для решения нестационарных задач аэродинамики высоких скоростей, а благодаря хорошим дисперсионным свойствам – для решения задач аэроакустики. Экономичность построенных схем благоприятна для их использования при решении различных трудоемких нестационарных многомерных задач гиперболического и параболического типа.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Новый подход к построению монотонных высокоточных схем для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для линейного уравнения переноса и гиперболических систем квазилинейных законов сохранения со следующими свойствами: абсолютно устойчивы, монотонны в широком диапазоне значений локального числа Куранта, сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются методом бегущего счета, могут быть использованы для решения жестких задач. Результаты исследования монотонности и точности разработанных схем.
-
Новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем для параболических уравнений на примере уравнения теплопроводности. Новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для уравнения теплопроводности со следующими свойствами: абсолютно устойчивы, монотонны, сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются двухточечной прогонкой, могут быть использованы для решения жестких задач. Результаты исследования монотонности и точности разработанных схем.
Апробация работы
Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях и семинарах:
Международный молодёжный научный форум «Ломоносов – 2011», секция «Вычислительная математика и кибернетика» (Москва, 2011);
49-я, 50-я и 51-я научные конференции МФТИ (Долгопрудный, 2006-2008);
Семинары кафедры информатики МФТИ (Москва, 2010-2011);
Семинар кафедры вычислительных методов ВМК МГУ (Москва, 2011).
Публикации
Результаты исследований по теме диссертации изложены в 6 печатных работах, все работы опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.
В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1] – построение бикомпактных высокоточных схем для линейного уравнения теплопроводности, анализ их устойчивости, монотонности и реального порядка точности, выполнение расчетов; [2] - построение бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной для расчета гладких решений уравнений и систем уравнений гиперболического типа, анализ реальной точности предложенных схем; [3, 4] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса, исследование свойств бикомпактной схемы (устойчивость, монотонность, диссипативные и дисперсионные свойства), проведение расчетов; [5] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для квазилинейных уравнений гиперболического типа, исследование свойств схемы (устойчивость, монотонность), выполнение расчетов; [6] – построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для многомерного линейного уравнения переноса, проведение расчетов.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации – 92 страницы. Список использованных источников содержит 82 наименования.
