Введение к работе
Актуальность темы диссертации. При математическом моделировании физико-химических процессов в составных (композитных) телах часто приходится использовать математические модели, которые основаны на различных типах уравнений в отдельных частях расчетной области. Особое внимание при этом уделяется условиям сопряжения на границах подобластей. Изучение таких математических моделей предполагает теоретические исследования корректности, разрешимости задач, а также разработку численных методов и решения их с помощью ЭВМ. Первым на важность изучения задач сопряжения разнотипных уравнений еще в 50-е годы обратил внимание И.М. Гельфанд. Затем в 60-е годы в работах Г.М. Стручиной, С.И. Гайдука, О.А. Ладыженской, Л. Ступялиса, В.И. Корзюка и других авторов были проведены исследования корректности таких задач. При этом использовались различные методы. Однако, на сегодняшний день актуальны вопросы исследования корректности задач сопряжения разнотипных уравнений в нецилиндрических областях, а также в случае задания интегро-дифференциальных условий сопряжения. Вопросы построения и исследования вычислительных методов для указанных задач до настоящего времени практически не рассматривались.
Связь с крупными научными программами. Исследования проводились в рамках Государственной программы фундаментальных исследований Алгоритм 04 "Вычислительные методы высокого порядка точности на адаптивных сетках", включенной на 1996 — 2000 г.г. в план НИР, выполняемых отделом численного моделирования Института математики Национальной АН Беларуси (Л"? 1997 4С80), а также в соответствии с договорами с Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований jV Ф96 — 173 от 17-февраля 1997 г. по теме "Разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений математической физики" и № Ф97 — 029 от 1 марта 1998 г. по теме :Численные методы решения обратных задач математической физики".
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение конечно-разностных методов для задач сопряжения гиперболического и параболического уравнений с различными условиями на границе раздела областей, получение априорных оценок остойчивости и точности построенных алгоритмов, а также доказатель-:тво однозначной разрешимости задачи сопряжения разнотипных урав-їєний с интегро-дифференциальными условиями согласования.
Для достижения этой цели в ходе работы над диссертацией были юставлены следующие задачи:
доказать существование единственного сильного решения задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений с интегро-дифференциальными условиями на границе раздела областей;
для одномерных задач сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов построить разностные схемы как с постоянными, так и с переменными весовыми множителями. Исследовать вопросы устойчивости и сходимости указанных конечно-разностных алгоритмов;
для двумерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений в областях с движущимися границами, а также для двумерной начально-краевой задачи для гиперболо-параболического уравнения с разрывным решением построить разностные схемы. Получить достаточные условия устойчивости указанных алгоритмов как в случае постоянных, так и переменных весовых множителей. Получить оценки точности для построенных разностных схем.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются разностные схемы, аппроксимирующие задачи сопряжения уравнений гиперболического и параболического типов.
Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы дифференциальных уравнений и частных производных, функционального анализа и вычислительной математики. При доказгітельстве однозначной разрешимости задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений с интегро-дифференциальными условиями согласования используется метод энергетических неравенств и операторов осреднения переменного шага, сохраняющих граничные условия. При получении априорных оценок устойчивости и оценок скорости сходимости разностных методов применяется общая теория устойчивости операторно-разностных схем п метод энергетических неравенств.
Научная новизна полученных результатов. Новизна полученных результатов состоит в том, что
доказано существование единственного сильного решения задачи сопряжения о совместно-раздельном течении вязкой и вязкоупругой жидкостей в плоской трубе, построена разностная схема для указанной задачи, а также получены оценки точности предложенного алгоритма;
построены и иследованы конечно-разностные методы с постоянными и переменными весами для одномерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений; '
впервые построены и исследованы разностные схемы как с постоянными, так и с переменными весовыми множителями, для численного решения двумерной начально-краевой задачи для гнперболо-
параболического уравнения с разрывным решением, а также для двумерной задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений в областях с подвижными границами.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при исследовании вопросов устойчивости и сходимости для других классов разностных схем.
Построенные алгоритмы могут быть использованы при моделировании совместно-раздельного течения вязкой и вязкоупругой жидкостей в плоской трубе и других явлений, при описании которых возникают задачи сопряжения разнотипных уравнений.
Экономическая значимость. Работа относится к фундаментальным исследованиям, что не позволяет на данном этапе оценить экономическую значимость полученных результатов.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. В настоящей диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:
'доказано существование единственного сильного решения надсічи сопряокения о совместно-раздельном течении вязкой и вязкоупругой жидкостей в плоской трубе, построена разностная схеліа для указанной задачи, а также получены оценки точности предложенного алгоритма;
для одномерной задачи сопряжения гиперболического и псцмбо-лического уравнений построены разностные схемы как с постоянными так и переменными весовыми множителями, найдены достаточные условия устойчивости и получены оценки точности в энергетической норме;
построены новые разностные схемы с постоянными и переменными весовыми ліножителями для двумерных начально-краевых задач для гиперболо-параболических уравнений в областях с подвижными границами и задач с разрывными решениями, получены априорные оценки устойчивости и точности предложенных методов.
Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные на паритетных началах с соавторами.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты докладывались:
— на II Международной конференции по математическому модели-
рованию (г. Якутск, июль 1997г.)
на II Международной конференции "Finite Difference Methods: Theory and Applications" (г. Минск, июль 1998г.);
на IV Международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis" (г. Вильнюс, июнь 1999 г.)
на международной конференции "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations" (т. Минск, сентябрь 1999 г.).
на городском семинаре по математическому моделированию.
Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Среди них 7 статей в международных и отечественных журналах, 1 статья в материалах конференции, 2 тезиса конференций. Общий объем опубликованных материалов составляет 69 с.
Структура и объем диссертации. Диссертация включает введение, общую характеристику работы, 4 главы, заключение, список использованных источников. Полный объем — 89 с, из них 12 с. занимает список использованных источников (107 наименований). В работе содержится 3 таблицы.
