Введение к работе
Актуальность. При математическом моделировании ряда физических явлений возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малыми параметрами при старших производных. Область, для которой ставится краевая задача, может быть неограниченной. В связи с этим возникает проблема численного решения краевых задач для уравнений с малым параметром при старших производных в неограниченных областях.
Решения краевых задач для уравнений с малыми параметрами при старших производных могут содержать пограничные и внутренние переходные слои, где градиенты решения велики. Первоначально для решения таких задач развивались асимптотические методы. Основополо-гающими являются работы А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.й. Люстерника, М.И. Випшка, А.М.Ильина.
При применении вычислительной техники для решения краевых задач используются конечно - разностные схемы. Традиционные разностные схемы в общем случае теряют свойство сходимости при решении сингулярно возмущенных краевых задач. Поэтому возникла необходимость в разработке разностных схем, обладающих свойством сходимости, равномерной относительно малого параметра. Можно выделить следующие подходы, применяемые при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач: 1)сгущение сеток в пограничных слоях; 2)подгонка схем к погранслойной составляющей решения; 3)использова-ние интегральных соотношений и усеченных схем; 4)применение метода Галеркина с выделением особенностей; 5) использование сплайнов и метода коллокадии.
К первому подходу относятся работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, В.Б. Андреева, Р. Вулановича и других авторов. В работе Н.С. Бахвалова функция, распределяющая узлы сетки, строится таким образом, чтобы погрешность аппроксимации по узлам сетки в пограничных слоях была одинаковой, а вне пограничного слоя сетка принимается равномерной. Показано, что на такой сетке достигается второй порядок точности по количеству узлов сетки. В работах В.Д. Лисейкина предлагается осуществить замену переменной таким образом, чтобы производные до некоторого порядка стали равномерно ограничены. В исходных переменных это дает сгущающуюся сегку. Г.И. Шишкиным определен подход к построению разностных сеток, которые равномерны внутри
пограничного слоя и вне пограничного слоя. В работах Г.И. Шишкина, В.Б. Андреева, И.А. Савина, Н.В. Коптевой показано, что на такой сетке целый ряд разностных схем (включая немонотонную схему центральных разностей) обладает свойством равномерной сходимости, причем чаще с порядком точности 0(2V-2miV). Для уравнений в частных производных значимость данного подхода усиливается в связи с тем, что в случае параболического пограничного слоя, как показал Г.И. Шишкин, не существует равномерно сходящейся схемы подгонки на равномерной сетке.
Ко второму подходу относятся работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, Д. Миллера, Р. Келлога и других авторов. Основная идея данного подхода - выделить погранслойную составляющую решения и строить разностную схему исходя из того, чтобы на погранслойной функции схема была точной. Преимущество данного подхода в том, что не требуется ограничений на шаги сетки, недостаток - в том, что функция пограничного слоя должна иметь явный вид и схема к этой функции должна быть подогнана, что не во всех случаях возможно.
Третий подход основан на точной схеме Самарского и интегральном тождестве Марчука. Усечение точной схемы приводит к схеме повышенного порядка точности. На основании этого подхода М.В. Алексеевским, К.В. Емельяновым, Г.И. Шишкиным строились схемы повышенного порядка точности. Тождество Марчука использовалось в работах В.П. Га-евого и А.Ю. Сечина. В работах И.П. Боглаева равномерно сходящиеся схемы строятся на основе интегральных соотношений. Для этого выделяется главная часть дифференциального оператора, которая обратима в явном виде.
К четвертому подходу относятся работы В.В. Шайдурова, Б.М. Ба-гаева, И.А. Блатова, Л. Тобиска, Ч. Руз, М. Стайнис и других авторов. В работах Б. М. Багаева предлагается функцию пограничного слоя включить в базис для решения задачи методом Галеркина или Ритца. Это приводит к равномерной сходимости метода в энергетической и равномерной нормах. Если функцию погранслоя не удается выписать в явном виде, то предлагается выделить краевую задачу для такой функции и решить ее переходом к " медленным переменным". Метод Галеркина используется и на сгущающихся сетках.
Пятый подход используется в работах И.А. Блатова и В.В. Стрыгина, К. Серла и других авторов. В методе коллокации используется экспонен-
циальный сплайн или сгущающаяся сетка, что приводит к равномерной по параметру точности численного метода.
Теперь остановимся на подходах к переносу краевых условий из бесконечности на границу ограниченной области. В ряде работ разностные схемы строятся в неограниченной области, например, в полосе. Такие схемы невозможно использовать для компьютерных вычислений. Чтобы разностная схема содержала конечное число узлов, можно либо для дифференциальной задачи поставить граничное условие на некоторой искусственной границе, либо редуцировать разностную схему на сетке с бесконечным числом узлов к схеме с конечным числом узлов.
Идея построения решений краевых задач для дифференциальных уравнений путем переноса граничных условий восходит к работам B.C. Владимирова и И.М. Гельфанда, в которых для решения краевой задачи для уравнения второго порядка на конечном интервале используется классический вариант метода дифференциальной прогонки. При таком подходе вместо решения исходной задачи необходимо решать три задачи Коши для уравнений первого порядка, которые проще исходной.
Абрамов А.А. в 1961г. предложил переносить граничные условия из особой точки в близкую точку с помощью выделения всего многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию, при рассмотрении системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с регулярной особенностью. Эта идея была развита в работах Е.С. Биргер и Н.Б. Ляликовой применительно к краевым задачам для систем линейных ОДУ с заданным условием на бесконечности. В работах Н.Б. Конюховой рассматриваются нелинейные ОДУ с иррегулярной особенностью, выделяются и исследуются устойчивые многообразия решений. Для выделения устойчивого многообразия исследуется задача для системы квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка. В работах Н.Б. Конюховой и Т.В. Пак исследуются сингулярные задачи Коши с большим параметром для систем ОДУ. Рассматриваются асимптотические разложения по параметру для нахождения решения этих задач, при достаточно больших значениях аргумента, v. учетом существования и единственности решения. Для систем ОДУ первого и второго порядка, рассматриваемых на полубесконечном интервале, показано, как определить сингулярную задачу Коши для выделения устойчивого многообразия, соответствующего допустимому граничному
условию на бесконечности.
В работах К. Балла рассматриваются разностные уравнения с полубесконечным числом узлов. Исследуется асимптотическое поведение решения скалярных и матричных разностных уравнений Риккати. Доказывается, что предельное условие на решение разностного уравнения второго порядка при стремлении индекса к бесконечности эквивалентно некоторому разностному уравнению первого порядка при достаточно больших значениях индекса.
Цель работы. Целью работы является разработка численного метода решения краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Основные задачи работы:
разработка и исследование разностных схем для краевых задач с учетом пограничных слоев в решении; схемы могут строиться либо в ограниченной области, либо в исходной неограниченной области, для этого случая необходимо разработать метод редукции разностных схем к схемам на сетках с конечным числом узлов;
разработка метода редукции краевых задач для уравнений с малым параметром при старших производных с неограниченной области (прямой или полосы) к ограниченной с использованием известных подходов.
исследование влияния погрешностей переноса краевого условия из бесконечности на решение редуцированных задач и на решение применяемых разностных схем;
применение разрабатываемого метода к численному моделированию распространения примесей в атмосфере.
Научная новизна.
-
Предложен метод построения разностных схем для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка на конечном интервале. Метод основан на приближении коэффициентов дифференциальной задачи и получении точных разностных соотношений для возмущенной задачи. В случае линейной задачи такой подход применялся ранее. На основе данного метода построены разностные схемы для ряда нелинейных задач и обоснована их равномерная сходимость.
-
Построены разностные схемы для двумерных линейных и нелинейных эллиптических уравнений в полосе и в прямоугольной области:
Для нелинейного уравнения с регулярным экспоненциальным пограничным слоем в случае прямоугольной области и краевых условий третьего рода на равномерной сетке построена и обоснована разностная схема.
Рассмотрено линейное уравнение с экспоненциальными параболическими погранслоями в полубесконечной полосе. Предложен способ редукции задачи к прямоугольной области. Для редуцированной задачи на сгущающейся в погранслоях сетке построена схема второго порядка точности по координатному направлению вдоль слоя. В продольном направлении исследована схема Самарского в случае краевых условий третьего рода. Обоснована разностная схема для нелинейного уравнения с экспоненциальными параболическими слоями в прямоугольной области.
Построена разностная схема первого порядка точности для линейного уравнения со степенным пограничным слоем в полосе; предложен способ редукции схемы к конечному числу узлов.
-
Исследован численный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном интервале сведением к краевой задаче для конечного интервала или к начальной задаче для уравнения первого порядка. Рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, автономная система нелинейных уравнений. При переносе краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении устойчивых многообразий. Вспомогательные задачи Коши решаются на основе асимптотических разложений по малому параметру. Проведен анализ влияния погрешностей, обусловленных переносом краевого условия, на решение редуцированных к конечному интервалу задач и на решение применяемых разностных схем; разностные схемы исследованы на равномерную сходимость по параметру. Предложен метод решения краевых задач для уравнений с точечным источником на бесконечном интервале.
-
Разработан метод редукции разностных схем с бесконечным числом узлов к схемам на сетке с конечным числом узлов. Для этого введено ж исследовано устойчивое многообразие решений для разностного уравнения. В случае, когда исходная разностная схема вырождается, для выделения устойчивого многообразия предлагается использовать асимптотические разложения. Рассмотрены трехточечные скалярные линейные
и нелинейные разностные схемы, разностная схема для параболического уравнения, трехточечная векторная разностная схема, соответствующая сеточной аппроксимации краевой задачи для эллиптического уравнения в полубесконечной полосе.
Практическая значимость. При математическом моделировании различных физических явлений появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных. Краевые условия в таких задачах могут ставиться для неограниченной области. Важно корректно редуцировать краевые условия к ограниченной области, определить разностную схему для редуцированной задачи с учетом погранслойного поведения решения. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.
Результаты исследований применяются при проведении совместной хоздоговорной работы между Институтом информационных технологий и прикладной математики СО РАН (новое название ОФИМ СО РАН) и Омским областным комитетом природы. В соответствии с этим договором в ИИТПМ СО РАН коллективом авторов, включая автора диссертации, с 1991 года создается пакет программ по моделированию переноса примесей в атмосфере Омского региона и поиску источников загрязнений. Пакет программ внедрен в Омском областном комитете природы.
Результаты исследований применяются и в интеграционной программе СО РАН " Исследование и моделирование процессов переноса и трансформации примесей в атмосфере Сибири."
Апробация результатов. Отдельные результаты работы докладывались:
на семинарах ИИТПМ СО РАН и кафедры математического моделирования Омского государственного университета;
на 4 Международной конференции по пограничным и внутренним слоям: вычислительные и асимптотические методы, Новосибирск, 1986г.;
на Всесоюзной конференции " Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики " ,Новосибирск, 1987;
на Всесоюзном научном совещании " Методы малого параметра " под руководством академика А.Н. Тихонова, п. Эльбрус, 1987;
на Всесоюзной школе " Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики", Кемерово, ИПМ АН СССР, КемГУ, 1988г.;
на Всесоюзной конференции " Вычислительные методы и математи-
ческое моделирование, Абакан, КрГУ, 1989г.;
на Всесоюзной школе по вычислительным методам, г. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1991г.;
на 1 всесоюзной конференции " Математическое моделирование физико- химических процессов в энергетических установках", г. Казань, КАИ, ИТПМ СО АН СССР, 1991г. ;
на Всесоюзной конференции " Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач ", Бишкек, 1991г.;
на 3 Всесоюзной школе " Численные методы механики сплошной среды ", Абрау- Дюрсо, 1991, ВЦ СО АН СССР, г. Красноярск, Ростовский университет 1991г.;
на 2 Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии, Новосибирск, ИМ СО РАН, 1994г.;
на международной конференции " Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1996г.;
на международной конференции " Математические модели и методы их исследования ", ИВТ СО РАН, ВЦ СО РАН, г. Красноярск, 1997г.;
на международной конференции " Аналитические и вычислительные методы для задач с преобладающей конвекцией и для сингулярно возмущенных задач", Болгария, Лозенед, университет в Руссе, 1998г. Диссертация в полном объеме обсуждалась:
на объединенном семинаре ИИТПМ СО РАН, Омск, 1999,
на семинаре ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999,
на семинаре " Методы вычислительной математики " ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999,
на семинаре ИММ Уральского отделения РАН, Екатеринбург, 1999,
на объединенном семинаре по вычислительной математике ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999.
Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 54 работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (201 наименование ). Материал изложен на 325 страницах текста, включая 31 таблицу.
