Введение к работе
Актуальность темц, Несмотря на значительное число итерационных методов и посвященных им работ, весьма актуальной остается задача дальнейшего изучения и систематизации известных алгоритмов, а также конструирование и исследование новых , обладающих теми или иными преимуществами. Многочисленные примеры показывают, что' важную роль играет предварительное теоретическое исследование метода, так как оно может существенно повысить эффективность процесса и сократить время решения прикладной задачи. Имеется в виду выбор "хорошего" начального приближения, установление области расположения решения и области единственности, получение условий сходимости и опенок погрешности приближенного решения. В частности, представляют интерес результаты такого исследования для некоторых важных классов уравнений, встречающихся в теории околозвуковых газовых потоков, теории теплопроводности. Вместе с тем, широкое внедрение в вычислительную практику ряда известных эффективных методов решения нелинейных задач существенно сдерживаются именно их слабоП теоретической изученностью. К их числу можно отнести, в частности, метод П-Р-Н (Писмзна-Рэкфорда-Ньютока), который обладает в ряде случаев преимуществом перед методом Ньютона. Например, он не требует вычисления и обращения производной оператора F(x), что может оказаться весьма выгодным, когда это требует слишком больших вычислительных затрат или существенного видоизменения традиционного метода. В то яе время метод П-Р-Н до сих пор плохо подпевался теоретическому исследованию. Для него отсутствовали условия сходимости, практическая проверка которых не требовала бы знания точного решения исходной системы уравнений. Оставались неизвестными для указанного метода и какие-либо оценки погрешности приближенного решети, не исследовалась его устойчивость к погрешностям вычислений и некоторые другие вопросы. Отметим, что несмотря на самостоятельное значйше результатов теоретического исследования каждого нового алгоритма, сто ценность в значительной мере определяется теми преимуществами, которыми он обладает по сравнению с наиболее известными и часто применяемыми методами. Последнее является одним из основных показателей конкурентоспособности алгоритма. Все сказанное естественным образом стимулирует конструирование новых алгоритмов ориентированных, например, на задачи, решение которых извсанымн методами требует чрезмерных затрат машинного времени или
слишком большого объема памяти ЭВМ, а также знания "хорошего* начального приближения, обеспечивающего сходимость итерационного процесса.
Пусть дано уравнение
F(x)=0, (I)
где F- нелинейный непрерывный оператор из множества S банахова пространства X в банахово пространство Y.
Введем для уравнения (I) операторы Ф,(х,у), i = l,m, действующие из X х X в Y ( X, Y - банаховы пространства) и удовлетворяющие следующему основному условию:
Каудое s'eScX для которого Ф,(х*. х*)=0, i = l,ro является р ешсиней уравнения(1).
Предлагаемый класс итерационных методоз для решения уравненнх (1) ;;і:ієт енд
(»)_ (п) г '/ (»( lnl\ -I , И) (П). ; _ fZ ,J\
xi -xi-,i~l Фі1хі-і'Хі-іМ ФЛхі-і'Хі-і'- '-'і W
Здесь xj,01 - начальное приближение, ХдП* = х^''\ Ф^О.у) частная
производная в смысле Фрсше оператора Ф,(х,у) по первому аргументу
(і = l,m ), т - параметр, задающий число ступеней процесса на каждом
итерационной шаге. Предлагаемый процесс (2) фактически является
широким классом итерационных методов типа Ньютона. В общую схему
этого процесса при соответствующем выборе операторов Ф,Сх,у), і = l.nr
укладываются, например, методы последовательных приближений
( Ф)(х,у) = х - G(y), i-=l,rn) Ньютона - Канторовича ( Фі(х,у) =F(x),
і = l,m), процесе ПВР - Ньютона, П-Р-Н ( см. 2,3 главы 2 рабогы ) .
Работа посвящена исследованию сходимости процесса (2) и его
устойчивости к погрешностям вычислений. Рассмотрены приложения
этого процесса, как для исследования уже швесгных, но недостаточно.
изученных итерационных методов, так и для построения новых
эффективных алгоритмов решения некоторых типов нелинейных
уравнений. і
Цель работы
I. Получить теоремы сходимости общего процесса (2) с практически проверяемыми условиями, которые достигаются на некоторых классах уравнений. Изучить устойчивость процесса (2) к погрешностям вычислений .
-
Получить, как частный случай обшей теории, отсутствующие а литературе практически проверяемые условия сходимости и оценки погрешности известных методов П-Р-Н, ПВР-Ньютона.
-
На базе общего процесса (2) разработать новые конкретные эффективные алгоритмы приближенного решения специальных типов уравнений вида (І).имеюших важное значение в различных прикладных задачах.
-
Проиллюстрировать эффективность построенных алгоритмов на решении одного класса прикладных задач.
Методы исследования. При обосновании сходимости и устойчивости
процесса (2) кепельзозана общая теория итерационных методоз типа
Ньютона, в частности! понятие ааясорантной последовательности в смысле
Л.В.Канторовнча. Условия сходимости и устойчивости методов ПВР-
Ньютона, П-Р-Н к предложенных методов решен:;* уравнений вида (I) получены из общих результатов исследования процесса (2) при соответствующей выборе операторов Ф|(х,у), і = l,m .
Научная новизна. Предложен процесс (2) решения нелинейных уравнений вида (!). Формулируются и доказываются теоремы о сходи мости процесса (2). использующие оценки корм обратного оператора в точке начального приближения и в некоторой облает;!. Одновречснно решается вопрос о существовании решения уравнения (I), его области расположении и области ешшетвенности. Исследуется устойчивость процесса (2) к погрешностям вычислений всех входящих в него элементов, а том числе начального приближения. Решается сопрос о возможности расширения области сходамостл процесса (2). Устаказлизастся возможность использования методз (2) для получения монотонной сходимости. Формулируются и доказываются сскиветстауккцнс теоремы.
Полученные общие теоретические результаты исследования схегггасеп! н устойчнгостн процесса (2), в указанных выше частных случаях ( метод Ньютона, процесс с неравноправными аргументами ), либо совпадают с изггетними утвгр'адеккяаи, либо уточняют или дополняют их, либо, наконец, вообще к« имеют аналогов в литсратург.. Выводятся практически прозерягмие условна сходимости, оценки скорости сходимости и оигнки погрешности астсдев ПВР-Нистока, П-Р-Н, которые ь литературе не кзгестиы. Раэработани к ксск&овдзы иоеьи алгоритмы ретешш уравигжи (1) а частности методы НПВР - Ньютоне и СПВР-Ньктша.
Установлены условия их сходимости. Проведены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых методов.
Практически* Ценность. Предложенные в работе алгоритмы могут быть использованы для численного решения на ЭВМ нелинейных уравнений вида (t). С помошыо этих алгоритмов'получены численные решения класса квазилинейных эллиптических уравнений, возникающих в теории околозвуховых гпзовых потеков. Полученные теоремы могут быть использованы для установления существования точного решения соответствующего нелинейного уравнения, его области расположения, а о ряде случаев и области единственности,
Апробация работц. Основные результаты опубликованы ъ [ I ], [ X ], [ 3 ], [ 4 ], и докладывн;шсь на семинаре по вычислительной математики и Иркутском государственном институте (1984-1994 г.', руководитель профессор Б.А. Белымков), на итоговых научно-методических институтских и зональных конференциях, на конференциях молодых ученых, проходившії* в ИГУ в 1987,1938 годах.
Структура и обт-ем работы. В соответствие с основными задачами, поставленными в рабо га, диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списки литературы.
Текст диссертации изложен на 113 страницах машинописного текста, включает 5 таблиц. Список литературы содержит 101 наименований ( 69 отечественны)!, 39 иностранных источников).
