Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квадратурные формулы наивысшей степени точности и их свойства 12
1. Основные свойства КФНСТ 12
2. Построение КФНСТ 17
3. Связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р) 20
4. Поведение дельтообразных ядер, порождаемых квадратурными формулами обращения преобразования Лапласа 22
5. КФНСТ в случае комплексного числа s 31
Глава 2. Квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа с наименьшими оценками погрешности 34
1. Оценки погрешности произвольных квадратурных формул 34
2. Оценки погрешности КФНСТ 36
3. Квадратурные формулы с фиксированными узлами, имеющие наименьшие оценки погрешности 40
4. Оптимальные квадратурные формулы с наименьшими оценками погрешности 44
Глава 3. Общий подход к построению квадратурных формул обращения преобразования Лапласа 46
1. Первый способ построения квадратурной формулы 46
2. Второй способ построения квадратурной формулы 48
3. Третий способ построения квадратурной формулы 52
4. Оценки погрешности квадратурных формул 56
Глава 4. Обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности 59
1. Дробно-экспоненциальные функции Работнова 59
2. Обобщенные квадратурные формулы 62
3. Свойства ОКФНСТ 65
4. Оценки погрешности ОКФНСТ 66
5. Представление ОКФНСТ сингулярным интегралом и исследование соответствующего дельта-ядра 72
6. Некоторые применения ОКФНСТ 75
7. Примеры использования ОКФНСТ и оценок погрешности 77
Глава 5. Вычисление скачков оригинала по известному изображению 84
1. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью КФНСТ в случае одной точки разрыва 84
2. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью КФНСТ в случае двух точек разрыва 87
3. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью метода Виддера 92
Приложение 103
Литература 111
- Связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р)
- Квадратурные формулы с фиксированными узлами, имеющие наименьшие оценки погрешности
- Третий способ построения квадратурной формулы
- Представление ОКФНСТ сингулярным интегралом и исследование соответствующего дельта-ядра
Введение к работе
Задача обращения преобразования Лапласа состоит в нахождении решения интегрального уравнения
lexp{-pt)f(t)dt = F(p), (0.1)
где функция F\p) - известное изображение, f\t) -искомый оригинал.
Соответствие между оригиналом и изображением будем обозначать
f(t) +F{p). Будем считать, что функция Fyp) регулярна в полуплоско
сти чего всегда можно добиться сдвигом по параметру р, что
равносильно умножению оригинала на соответствующую экспоненту. Как
правило, методы обращения используют не само изображение F[p), а
функцию
Существуют таблицы [7, 8, 10] соответствия функций-оригиналов f\t) и их изображений Fyp), но они не могут охватить все встречающиеся на практике случаи.
Точное обращение преобразования Лапласа задается формулой Рима-на-Меллина:
1 c+ioo
М= — \^v{pt)F{p)dp, (0.2)
где интегрирование проводится вдоль любой прямой, расположенной правее всех особых точек изображения F\p). Зачастую она неприменима или
сложна в применении для некоторых функций из-за необходимости вычисления интеграла (0.2). Поэтому возникает задача численного обраще-
ния. Теория преобразования Лапласа и его обращения изложены в работах [1, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17,45, 50, 51, 53, 55 - 57, 64, 65, 66, 67,68].
Надо обратить внимание на неустойчивость п риближенного обращения преобразования Лапласа, т.е. на неустойчивость оригинала f относительно малых изменений изображения F\p). Это означает, что задача численного обращения относится к классу некорректных задач [47].
После построения вычислительного метода должно следовать выяснение 1) условий сходимости, 2) устойчивости, 3) трудоемкости построения, 4) фактической реализации, 5) определение скорости сходимости, 6) ускорение сходимости в случае необходимости, 7) нахождение оценок погрешности и 8) определение возможных точек разрыва и определение величины скачка. Возможно также применение методов регуляризации [47].
Разработано много различных методов [1, 2, 4, 6, 8, 15, 16, 45, 51, 54, 55 - 57, 61, 68 - 70] приближенного решения уравнения (0.1). При их построении, как правило, исходят из того, чтобы метод был точен для несколько первых функций некоторой заранее фиксированной системы. Если искомый оригинал представим в виде разложения по этой системе функций, то можно надеяться на получение удовлетворительного приближения к нему в результате применения таких методов.
Однако для большинства известных методов отсутствуют какие-либо оценки погрешности, что затрудняет их сравнение друг с другом и выбор конкретного метода при практическом применении. Сравнение различных способов обращения с единой точки зрения, которая позволит сделать заключение о качестве метода, можно сделать на основе рассмотрении порождаемых ими дельтообразных ядер.
Поскольку исходное уравнение (0.1) линейно относительно оригинала, естественно любой приближенный метод обращения считать линейно зависящим от изображения F\p).
В общем случае метод обращения можно записать в виде
Л О *fnm{t) -ЕЕ Ау(') F{k){pj(t)), (0.3)
к=0 7=1
где значения п,т могут быть и бесконечными. Величины /?,(/), А, (О _
соответственно «узлы» и «коэффициенты», определяющие конкретный метод. С учетом уравнения (0.1) представление (0.3) можно записать иначе:
Л О - J Е Е И) М<) хк ехр(-хрДО) Л*) dx. (0.4)
0 U= 7=1 )
Положим
^-U0 = ZZ(-1) ^(/)х*ехр(-дс^(0)- (0-5)
=0 7=1
Тогда приближенное равенство (0.4) запишется в виде
Л')« \Snm{xtt)f{x)dx. (0.6)
Это равенство означает, что параметры ядра (0.5), т.е. величины п, т, Pj\t), Ak\t), желательно подбирать так, что функция Snm{x,t) была
близка к дельта-функции в точке х = t или, другими словами, чтобы правая часть (0.6) представляла собой сингулярный интеграл. Для любого метода обращения написать соответствующее ядро (0.5) никакого затруднения не представляет. Изучение ядра (0.5) для конкретного метода позволяет сделать некоторые априорные выводы о точности метода.
В формуле (0.3) достаточно рассматривать лишь положительные конечные значения /, ибо если /(+ 0), /( оо) существуют, то их можно найти по формулам
/(+0)= lim PF(p), /(qo)= lim PF(p).
D—>O0 p->+0
Как правило, любой метод обращения в произвольной точке t > О дает
/0 + 0)+/(/-0), г^_,ч
приближение к величине — —— (см. [67]), и тем самым в ок-
рестности точек разрыва оригинала приближенное решение fnm\t) при
конечных п,т, являясь суммой конечного числа гладких слагаемых, не
может правильно отражать поведение оригинала. Вопросы построения конкретных методов обращения и скорости их сходимости к предельной величине изучались в работах [36, 38, 41, 43].
Существуют различные методы решения численного обращения преобразования Лапласа:
сведение уравнения (0.1) к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомого оригинала в некоторых точках полуоси t > 0 при помощи квадратурных формул [4, 15];
поиск решения интегрального уравнения (0.1) в виде рядов по специальным функциям [2, 19, 31, 51, 59];
дельта-методы обращения, в которых приближённое значение оригинала в некоторой точке представляется сингулярным интегралом вида (0.6) с ядром (0.5), приближающим дельта-функцию в точке х = t [67];
асимптотические методы обращения, в которых используется информация о расположении и характере особых точек изображения F\p) на комплексной плоскости, привлечение которых в
определённом порядке и количестве позволяет строить более точные приближения; однако на этом пути требуется аналитическое задание изображения, что не всегда возможно [2, 4, 29, 45]. Другие подобные аналитические методы обращения рассмотрены в [1];
5) применение квадратурных формул (КФ) для приближённого вычисле
ния интеграла Римана-Меллина вида
C+ZCO
1 LT,W n
—— \ Qxp(p)p-s
2ni„ "L jt=i
C-lOO
Узлы p^ и коэффициенты ^ выбираются из условий точности формулы (0.7) для некоторого набора функций (р\р). Обычно требуют, чтобы для произвольных узлов р1,р2,...,рп, лежащих в области регулярности
изображения, формула была точна для функций (Р\Р)== P~J\
j = 0,1,...,« — 1. Такие формулы называются интерполяционными.
Специальный выбор узлов позволяет получить квадратурные формулы наивысшей степени точности (КФНСТ), т.е. формулы, которые точны
для функций ср \р) = р~}, j = 0,1,... ,2« — 1. Построение различных квадратурных формул обращения рассмотрено в [15, 16, 30, 44]. Свойства КФНСТ изучаются в работах [18, 30, 35, 37, 39, 40, 42, 64, 65, 69, 70]. Таблицы узлов и коэффициентов КФ приведены в [15]. Первая глава диссертации посвящена построению КФНСТ, изучению их свойств и нахождению оценок погрешности.
Существуют обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности (ОКФНСТ), содержащие в себе указанные выше КФНСТ. Они
эффективны, когда функция cps \р) = pi F\p) фактически зависит от
ра, а>0. ОКФНСТ точны для функций <р(р)= р~ат, /и = 0,1,...,2и-1. Построение таких формул и нахождение оценок погрешности приведены в четвертой главе. Там же рассмотрены некоторые применения ОКФНСТ к теории наследственной упругости твердых тел.
Ядро ехр(-рх) интеграла (0.1) является целой аналитической функцией, и операция интегрирования, которая выполняет усреднение / с весом ехр(— рх), может значительно сгладить особенности в поведении преобразуемой функции fit). Поэтому, в задаче обращения по гладкому
построению квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа, изучены свойства получающихся приближенных методов и получены оценки погрешности.
Четвертая глава посвящена изучению обобщенных квадратурных формул. Показана необходимость применения таких специальных квадратурных формул. Изучены их свойства и на их основе приведен алгоритм построения ОКФНСТ. В связи с неустойчивостью метода обращения рассматривались вопросы сходимости, устойчивости и оценки погрешности ОКФНСТ. Большое внимание в этой главе уделяется применению данных формул к теории вязкоупругости твердых тел.
Пятая глава посвящена методам определения возможных точек разрыва оригинала и величины скачка оригинала в них. Приближенное значение искомой функции-оригинала вычисляется с использованием КФНСТ при различном числе узлов или с помощью методов Виддера.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 23 параграфа, и приложения. Работа изложена на 117 страницах, содержит 7 рисунков и 8 таблиц; список цитируемой литературы включает 70 наименований и расположен в алфавитном порядке. Формулы, теоремы, утверждения, замечания и таблицы нумеруются двумя цифрами: первая совпадает с номером главы, а вторая является порядковым номером внутри главы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20 - 26].
КФНСТ с требуемой точностью используем математический пакет Maple V, позволяющий проводить вычисления с переменной точностью.
В этой же главе рассмотрена связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р). Изучено поведение дельтообразных ядер, порождаемых этими КФ обращения преобразования Лапласа. Получены новые аналитические формулы некоторых характеристик дельта-ядер.
Если искомый оригинал /(t) является комплекснозначной функцией аргумента t, то его изображение F[p) при вещественных значениях параметра р уже не будет вещественным числом, а потому и значения параметра s не обязательно вещественны. Несомненный интерес представляет изучение КФНСТ в случае комплексного числа s. Этот вопрос рассмотрен в 5 главы 1.
Во второй главе идет изучение оценок погрешности квадратурных формул. Некорректность задачи обращения преобразования Лапласа влечет за собой невозможность оценки погрешности в общем случае. Однако в предложении точного задания изображения F{p) и наличии некоторой априорной информации о гладкости оригинала f\t) существуют оценки
погрешности КФ, которые можно найти в работах [30, 35, 39].
Были построены КФ с минимальными оценками погрешности: рассмотрены случаи оптимального выбора коэффициентов при фиксированных вещественных узлах, или при узлах КФНСТ и для произвольных узлов, и коэффициентов. Естественно, встает вопрос о сравнении оценок погрешности полученных КФ и КФНСТ.
Полученные результаты показывают, что при возрастании числа узлов КФНСТ обладают практически неулучшаемыми оценками погрешности.
В третьей главе рассмотрен общий подход к построению квадратурных формул обращения. Приведены три наиболее естественных подхода к
построению квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа, изучены свойства получающихся приближенных методов и получены оценки погрешности.
Четвертая глава посвящена изучению обобщенных квадратурных формул. Показана необходимость применения таких специальных квадратурных формул. Изучены их свойства и на их основе приведен алгоритм построения ОКФНСТ. В связи с неустойчивостью метода обращения рассматривались вопросы сходимости, устойчивости и оценки погрешности ОКФНСТ. Большое внимание в этой главе уделяется применению данных формул к теории вязкоупругости твердых тел.
Пятая глава посвящена методам определения возможных точек разрыва оригинала и величины скачка оригинала в них. Приближенное значение искомой функции-оригинала вычисляется с использованием КФНСТ при различном числе узлов или с помощью методов Виддера.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 23 параграфа, и приложения. Работа изложена на 117 страницах, содержит 7 рисунков и 8 таблиц; список цитируемой литературы включает 70 наименований и расположен в алфавитном порядке. Формулы, теоремы, утверждения, замечания и таблицы нумеруются двумя цифрами: первая совпадает с номером главы, а вторая является порядковым номером внутри главы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20 - 26].
Связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р)
Для функции ехр(р) существуют аппроксимации Паде всех типов [ т/п ] ( т, п 0), определяемые формулами Перрона Следовательно, многочлены рп Р„\1/р) и Qn(p) имеют одинаковые корни (это утверждение верно для произвольных целых s). В случае произвольного s первый из них можно рассматривать как обобщение второго. Как и ранее, предполагаем, что функция (ps\P) = PSF{p) ПРИ некотором натуральном числе s регулярна в полуплоскости Re(p) 0. Построим аппроксимацию Паде т) { типа [ т/п ] для функции ехр(р) и подставим ее вместо функции ехр (р) под знак второго интеграла в формуле обращения где с 0. В результате чего придем к приближенному равенству Из результатов работы [52] следует, что при натуральном числе s все корни уравнения Р [\/р)=0 различны и расположены в полуплоскости Re(p) 0. Следовательно, все полюса Р\п,Р2п — Рпп аппроксимации Паде простые и их вещественные части положительны. Тогда аппроксимацию Паде можно представить в следующем виде: где Dm_n\p) - многочлен степени т-п при т п или нуль при т п. Интеграл в формуле (1.21) вычислим по теореме о вычетах, считая число с достаточно малым: Очевидно, это равенство можно записать как квадратурную формулу вида (1.1), если положить Акп =Вкп рк . Получающиеся при этом квадратурные формулы являются КФНСТ. Другое представление коэффициентов КФНСТ, основанное на связи с аппроксимацией Паде функции ехр(/?) с КФНСТ в случае натурального числа s , было получено в работе [63]. В случае s = \ оно имеет вид Замечание 1.2. Как было отмечено, аппроксимации Паде существуют для любых т,п 0, т.е. 5 может быть целым неположительным числом. Такая аппроксимация Паде порождает КФ, отличные от КФНСТ. Тем не менее, эти формулы могут быть записаны в том же виде (1.1), но с другими свойствами; узлы р и коэффициенты А определяются иначе (см. гл. 3, 3). 4. Поведение дельтообразных ядер, порождаемых квадратурными формулами обращения преобразования Лапласа В этом параграфе будут рассматриваться не только КФНСТ, в которых обязательно s О. При s О КФ обращения строится из других соображений (см. гл. 3, 2, 3). Приближение к искомому оригиналу f\t), полученное с помощью КФНСТ (1.1), имеет вид Отметим, что в случае целого s
О вид дельта-ядра КФ такой же. Поэтому их характеристики будут рассмотрены наряду с КФНСТ. В случае s О функция дп\х), определенная формулой (1.26), веще-ственнозначна в силу комплексной сопряженности узлов и коэффициентов КФНСТ. Как видно из представления (1.25), функция fn\t) будет близка к /(t)y если ядро (1.26) дельтообразно, т.е. если функция Sn{ х) приближает дельта-функцию в точке х = 1. Поэтому, естественно ожидать, что функция 8п ( х) существенна отлична от нуля в некоторой окрестности точки х=1 и интеграл от нее по полуоси близок или равен единице. Возникает вопрос поведения функции Sn{ х) при х — 0 и при х — оо в зависимости от s. Построение графиков этих функций при конкретных пу s дает представление об их поведении и позволяет сделать некоторые априорные заключения о точности метода обращения на основе равенства (1.25). Свойства ядра (1.26), порождаемого КФНСТ, изучались в работах [18, 19,43]. Положим 5 = 1. Тогда формула (1.26) примет вид Если квадратурная формула (1.1) интерполяционная, то При т п — \ данные величины в силу равенств (1.2) равны единицы. Если КФ имеет наивысшую степень точности (КФНСТ), то это верно при т 2п-\. С другой стороны, при 1 j п -1 (для КФНСТ при 1 j 2п -1) имеем Следовательно, в случае 5 = 1 основная информация о функциях Sn\x) сосредоточена в некоторой окрестности точки х = \. В работе [18] показано, что при этом значении s ядро (1.26) имеет в точке х = \ ярко выраженный максимум, справа от нее с ростом п оно стремится к нулю. При неограниченном возрастании числа узлов КФ для любого параметра s справедливы асимптотические равенства любого фиксированного положительного числа є [18]. Слева от точки х = \ поведение ядра более сложное. Исследуем поведение ядра 6п ( х) в окрестности точки х = 0. Рассмотрим аппроксимацию Паде типа [m/и] для функции ехр(р). Как отмечалось, полюса аппроксимации Паде совпадают с узлами КФНСТ при s=m-n+2 (s может быть
Квадратурные формулы с фиксированными узлами, имеющие наименьшие оценки погрешности
Фиксируем узлы ркп квадратурной формулы (2.1) и поставим задачу минимизации величины В случае вещественных коэффициентов для узлов ркп = 2 , к = 1,2,...,/2 (и = 1,2,3,4) такая задача впервые была решена в работе [6]. Заметим, что полученные там значения (Тп\р) значительно больше приведенных в таблице 2.1. Можно было бы продолжить построение подобных формул с вещественными узлами и коэффициентами, но они не очень интересны по сравнению с комплексными квадратурами, доставляющими существенно более точные оценки погрешности. Возьмем теперь в качестве ркп узлы КФНСТ, а искомые коэффициенты представим в виде Акп = акп +ibkn, где акп и Ь - вещественные числа. Очевидно, чтот кп\ где хкп = 1/ркп , а хкп - комплексно сопряженное с хкп число. При этом использовалось предположение, что комплексно сопряженным узлам соответствуют комплексно сопряженные коэффициенты. Запишем условие ми нимума велич ины оп (он существует), приравнивая к нулю все частные производные по ассмотрим задачу минимизации величины ап (2.10) с помощью выбора и узлов, и коэффициентов в предположении симметричности искомой квадратурной формулы, т.е. если некоторый узел и соответствующий ему коэффициент комплексны, то и комплексно сопряженные им числа также являются узлом и коэффициентом формулы. Следовательно, величина оп (2.10) есть функция 2/2 вещественных неизвестных. Эта задача нелинейная и решения в явном виде не допускает. Для численного решения ее был использован метод прямого поиска (алгоритм 178) [5]. В качестве начального приближения к искомым узлам и коэффициентам естественно выбрать известные нам узлы и коэффициенты КФНСТ. Программа вычислений была написана на языке программирования C++, что обусловлено большим количеством вычислений, которые требуются для этой схемы поиска точки минимума. Для работы с комплексными числами применялась библиотека шаблонов фирмы Microsoft, которая позволяет выбрать в качестве вещественной и мнимой частей комплексного числа значения типа long double. Это позволяет добиться немного большей точности, чем при использовании стандартного типа double. Как видно из таблицы 2.3, с ростом числа узлов оценки построенных оптимальных квадратных формул быстро приближается к таковым для КФНСТ.
Искомые узлы и коэффициенты формул также незначительно отличаются от КФНСТ. Полученные результаты показывают, что при возрастании числа узлов КФНСТ обладают практически неулучшаемыми оценками погрешности. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [20, 21]. Научному руководителю принадлежат оценки погрешности КФНСТ [20], общие оценки погрешности произвольных квадратурных формул [21]; автору - смещенные оценки погрешности через многочлены Лагерра, принцип построения оптимальных квадратурных формул [20], построение КФ с наименьшими оценками погрешности [21]. Рассмотрим три наиболее естественных подхода к построению квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа, изучим свойства получающихся приближенных методов и получим оценки погрешности. был использован в первой главе, тем не менее, повторим его идею. Предположим, что при некотором s 0 функция ps\p) ps F\p) регулярна в полуплоскости Re(/?) 0. Запишем формулу обращения Римана-Меллина где с - любое положительное число. Выберем произвольные попарно различные числа ркп, к = 1,2,...,« в полуплоскости Re (р) 0 и построим КФ вида точную для функций ps (р) =p J, j = 0,1,..., п -1. Коэффициенты Акп определяются однозначно и могут быть найдены, например, из системы уравнений (1.2). Таким образом, построены интерполяционные КФ. Далее можно потребовать, чтобы формула (3.1) имела наивысшую степень точности, т.е. равную 2п — \ (КФНСТ). Способы построения таких формул указаны в главе 1, 2.
Третий способ построения квадратурной формулы
Запишем формулу Римана-Меллина обращения преобразования Лапласа где с - любое положительное число. Пусть изображение F\p) ограничено в полуплоскости Re ур) 0 И целые неотрицательные числа т, п удовлетворяют неравенству п — т 2. Построим аппроксимацию Паде т) / типа [ т/п 1 для функции Qn\P) ехр(р), а затем подставим ее вместо функции ехр(р) под знак второго интеграла в формуле (3.11), в результате чего получим приближенное равенство При сделанных предположениях интеграл в формуле (3.12) существует. Положим s = m-n + 2. Очевидно, что s 0. Так как число s - целое, то корни уравнений Q„{p) = 0 и Р„ (l/р) = 0 совпадают. Из результатов работы [52] следует, что при любом фиксированном значении s (s 0) существует наименьшее натуральное число п0 такое, что при любом п п0 все корни уравнения Р„\\/р)=0 расположены в полуплоскости Re(/?) 0. Следовательно, при п п0 все полюса ркп (к = 1,2,...,п) аппроксимации Паде простые и их вещественные части положительны. В таком случае разложение аппроксимации Паде на простейшие дроби имеет вид Пусть число с, входящее в формулу (3.12), удовлетворяет неравенству 0 с с , где с = min Re(/ A„). В этом случае интеграл в формуле (3.12) легко вычисляется с помощью теоремы о вычетах и равен величине Таким образом, построена КФ обращения преобразования Лапласа Отметим, что квадратурная формула (3.14) является частным случаем формулы (3.7) при специальном выборе узлов и коэффициентов. Замечание 3.1. Пусть при р —» оо величина F(p)\ убывает не медленнее, чем У р . В этом случае вместо формулы (3.12) записываем приближенное равенство в котором интеграл существует и при т — п — 1. Получающаяся при этом квадратурная формула совпадает с КФНСТ для 5 = 1. Описанные три подхода построения КФ обращения приводят, вообще говоря, к различным формулам с различными свойствами. Свойства КФНСТ изложены в первой главе. Перейдем к описанию свойств формулы (3.14) в предположении, что натуральные числа тип удовлетворяют неравенству т п — \, которое равносильно неравенству s 1. В случае 5 0 число п предполагается достаточно большим, для того чтобы выполнялось неравенство с = min Re(pkn) 0. Для исследования поведения приближений 1т „(/, t) при f O и / — оо запишем формулу (3.14) по аналогии с представлением (3.6) в виде Рассмотренные ранее свойства КФ (3.7) применимы к частному случаю (3.15). Введенные в рассмотрение числа ск (3.8) и dk (3.10), которые определяют поведение приближения Im п (/, t) соответственно при t — О и t — оо, запишутся в виде Аналогичные числа dk были введены ранее в главе 1, 4. Было показано (1.28), что при s 0 числа dk таковы, что dk-0, к = 0,\,...,п — т-2, и dn_m_l Ф 0. А при s = 1 (m = п-l) в первой главе было доказано, что d0 =(-і)и_ и, т.е. d0 Ф 0 и нет никаких условий на КФ при / - оо.
Предположим, что искомый оригинал /(t) при t - оо убывает по экспоненциальному закону. В работе [69] доказано, что т.е. /„,„(/, 0=о(г -т)) " да-Следовательно, оператор Imn\f,t) (3.13) и простые и их вещественные части положительны. В таком случае разложение аппроксимации Паде на простейшие дроби имеет вид Пусть число с, входящее в формулу (3.12), удовлетворяет неравенству 0 с с , где с = min Re(/ A„). В этом случае интеграл в формуле (3.12) легко вычисляется с помощью теоремы о вычетах и равен величине Таким образом, построена КФ обращения преобразования Лапласа Отметим, что квадратурная формула (3.14) является частным случаем формулы (3.7) при специальном выборе узлов и коэффициентов. Замечание 3.1. Пусть при р —» оо величина F(p)\ убывает не медленнее, чем У р . В этом случае вместо формулы (3.12) записываем приближенное равенство в котором интеграл существует и при т — п — 1. Получающаяся при этом квадратурная формула совпадает с КФНСТ для 5 = 1. Описанные три подхода построения КФ обращения приводят, вообще говоря, к различным формулам с различными свойствами. Свойства КФНСТ изложены в первой главе. Перейдем к описанию свойств формулы (3.14) в предположении, что натуральные числа тип удовлетворяют неравенству т п — \, которое равносильно неравенству s 1. В случае 5 0 число п предполагается достаточно большим, для того чтобы выполнялось неравенство с = min Re(pkn) 0. Для исследования поведения приближений 1т „(/, t) при f O и / — оо запишем формулу (3.14) по аналогии с представлением (3.6) в виде Рассмотренные ранее свойства КФ (3.7) применимы к частному случаю (3.15). Введенные в рассмотрение числа ск (3.8) и dk (3.10), которые определяют меет порядок (и-га-1, Л + АИ + 1) и его ранг равен 2п. Это означает, что все приближения Im п (f, t) являются операторами полного ранга. Поэтому, изменяя тип, мы меняем требования на КФ (3.14) при малых и больших t. Напомним, что числа ск =1, к = 0,1,..., w + п характеризуют не только поведение приближения (3.13) при малых ґ, ной определяют алгебраическую степень точности КФ. Формула (3.14) точна для функций-оригиналов f\t)=t , к = 0,1,...,т + п и ее алгебраическая степень точности равна т + п. Очевидно, что с ростом т при фиксированном п алгебраическая степень точности квадратурной формулы (3.14) растет и достигает наибольшего значения 2п — \ при т = п -1 (что соответствует 5 = 1). Формула (3.14) при этом превращается в КФНСТ. Если существуют значения /(о), /(о), то они точно восстанавливаются по формуле (3.15) при t — О и t -» оо, соответственно, в силу формул (3.6) и равенства с0 = 1.
Представление ОКФНСТ сингулярным интегралом и исследование соответствующего дельта-ядра
Любой метод обращения может быть записан в виде сингулярного интеграла, так что изучение конкретного метода сводится к изучению свойств соответствующего ядра. В задаче обращения преобразования Лапласа с помощью ОКФНСТ дельта-ядро имеет вид Коэффициенты Ак, узлы рк ОКФНСТ и число s, равное скорости убывания изображения на бесконечности, являются параметрами, определяющими ядро S„ (х). Поведение дельтообразного ядра приведено на двух нижеследующих графиков (вторая кривая на графиках - функция-оригинал). Так как узлы и коэффициенты ОКФНСТ зависят от параметра а, то и ядро „ (JC) неявно зависит от этого параметра а. Нам известно, что уз лы ОКФНСТ удовлетворяют неравенствам: Re [pi J О, к = 1,2,...,п. Однако с ростом п может оказаться, что Re \рк) 0 при некоторых к . Если не все узлы рк находятся в правой полуплоскости, то ядро (4.22) становится неинтегрируемым. И, следовательно, такие формулы непригодны для вычислений. Были построены графики зависимости ядер 5„{х) от х при различных значениях параметров п, s и а (ниже приведены). При этих значениях вещественные части всех узлов рк положительные. Полученное ядро в данном случае имеет ярко выраженный максимум в точке х = 1. Так как а = 1, то данное ядро соответствует КФНСТ. Полученный график имеет максимум в точке х = 1 и быстрое затухание при х - оо. В данном случае два комплексно сопряженных узла имеют отрицательную вещественную часть (Re(/?1) = Re(p2) = -0.3896148). График ядра S„ (х) затухает при х — 0, и имеет быстро возрастающие амплитуды при х —»оо. При заданных значениях параметров п, s и а ядро S„(x) не приближает дельта-функцию в точке х — 1. Если сохранить значение параметров s и а, а п положить равным 3, то вещественные части всех узлов рк, А: = 1,2,3 будут положительными. Широкий класс задач по вязкоупругости [11, 48] описывается на основе определяющего соотношения Больцмана-Вольтерра, которое для случая линейного напряжённого состояния имеет вид w4 a{t)-/3\K{t-r)(j{T)dT ,/? 0. При анализе и приближении экспериментальных данных существенное значение имеет выбор аналитического выражения для разностного ядра К( t — т). Можно применять экспоненциальные ядра К(х) = ехр(- Я х) или К(х) = Ь( ехр(- Я1: х),х = t — т. Но для экспоненциальных ядер ско i=\ рость деформирования в начальный момент времени ds dt представляет t=o собой конечную величину. Многочисленные экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что скорость деформирования в начальный момент времени весьма велика и её корректное определение весьма за труднительно.
Поэтому часто применяются другие ядра (слабосингулярные), задающие бесконечно большую скорость ползучести при t = О. Простейшим из рассматриваемого ниже класса слабосингулярных ядер следует считать ядро Абеля K{t)=—; , — 1 а О, соответст вующее степенному закону ползучести є{ t) — є0 \ 1 + с ta ), а = 14- а 1. Если оператор ползучести описывается с помощью ядра Абеля, то об ратный оператор, описывающий релаксацию, выражается с помощью резольвенты ядра Абеля - дробно-экспоненциальной функцией (4.2) Эа (/?,/). Дробно-экспоненциальная функция, так же как и ядро Абеля, обладает свойством слабой сингулярно Если кривая ползучести задана Эа - функцией в виде (4.23), но с множителем перед интегралом Я, отличающимся от параметра ядра /?: то кривая релаксации также описывается с помощью Эа - функции, но параметр ядра сдвигается: Переход от соотношения (4.23) значение имеет выбор аналитического выражения для разностного ядра К( t — т). Можно применять экспоненциальные ядра К(х) = ехр(- Я х) или К(х) = Ь( ехр(- Я1: х),х = t — т. Но для экспоненциальных ядер ско i=\ рость деформирования в начальный момент времени ds dt представляет t=o собой конечную величину. Многочисленные экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что скорость деформирования в начальный момент времени весьма велика и её корректное определение весьма за труднительно. Поэтому часто применяются другие ядра (слабосингулярные), задающие бесконечно большую скорость ползучести при t = О. Простейшим из рассматриваемого ниже класса слабосингулярных ядер следует считать ядро Абеля K{t)=—; , — 1 а О, соответст вующее степенному закону ползучести є{ t) — є0 \ 1 + с ta ), а = 14- а 1. Если оператор ползучести описывается с помощью ядра Абеля, то об ратный оператор, описывающий релаксацию, выражается с помощью резольвенты ядра Абеля - дробно-экспоненциальной функцией (4.2) Эа (/?,/). Дробно-к (4.24) осуществляется с помощью теоремы обращения для Эа - операторов. Эта теорема, а также теорема умножения и ряд других составляют алгебру для Эа - операторов, по су ществу являющейся частным случаем общей теории операторов (см., например, [12]). В общем случае (для ядер, отличных от дробно-экспоненциальной функции Работнова) схема решения уравнения Больцмана-Вольтерра такова: сначала ищется изображение по Лапласу искомого решения, после чего требуется его обратить. Применение ОКФНСТ в этом случае весьма эффективно.
