Введение к работе
Актуальность исследования. Неравновесные (кинетические) фазовые переходы давно и интенсивно исследуются. Это связано со многими причинами. Среди них: потребности современных технологий, интересные и нетривиальные теоретические модели и подходы, существенно обогащающие наши представления об окружающем мире, эстетические аспекты и так далее. К неравновесным переходам относят также и так называемые морфологические переходы, типичным примером которых является образование удивительных по красоте фрактальных и дендритных кристаллических структур в результате потери морфологической устойчивости поверхности.
При исследовании переходов в неравновесных процессах было замечено, что они имеют много общих черт с равновесными фазовыми переходами. В частности, они могут иметь метастабильную зону в пространстве параметров, ограниченную спинодалью (границей со стороны области абсолютной неустойчивости по отношению к любым, в том числе бесконечно малым возмущениям) и бинодалью (границы со стороны области абсолютной устойчивости). В отличие от равновесных фазовых переходов кинетические фазовые переходы существенно менее изучены, так как неравновесность процесса накладывает дополнительные сложности, как на экспериментальные методы, так и на теоретические подходы.
В настоящей работе исследуется потеря устойчивости границы раздела двух жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу. Это является классическим морфологическим фазовым переходом. В этом процессе менее вязкая жидкость вытесняет более вязкую при горизонтальном движении в ячейке Хеле-Шоу (две плоскопараллельные пластины, расположенные на малом расстоянии друг относительно друга), и с течением времени граница раздела жидкостей, изначально являющаяся практически круглой, начинает приобретать причудливую, "пальцеобразную" форму.
Выбор подобной системы представляется очень важным в связи со следующим. Данный переход (во всяком случае, его начальная стадия) может быть достаточно просто и точно математически смоделирован и проанализирован. В большинстве случаев оказывается достаточным проведение линейного анализа на устойчивость границы раздела, при этом поле давления хорошо описывается двумерным уравнением Лапласа, а свойства среды являются изотропными (в отличие от морфологических переходов при кристаллизации). Вместе с тем, и экспериментальная реализация и исследование данного явления не сопряжены с особыми сложностями. Опыт с успехом может проводиться в обычных комнатных условиях без использования специальной аппаратуры, явление хорошо воспроизводимо и наблюдаемо для многих жидкостей. Последнее позволяет осуществлять исследование в широком диапазоне параметров. Важным моментом является возможность простого экспериментального введения возмущений границы раздела двух жидкостей (для многих других систем, например кристаллических, это не столь просто). Благодаря таким особенностям данная система оказывается очень
ценной с точки зрения возможности не только качественной, но и количественной проверки различных теоретических подходов и гипотез описания морфологических фазовых переходов.
Процесс вытеснения в ячейке Хеле-Шоу характеризуется следующими параметрами: радиусом отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, внешним радиусом ячейки, вязкостями вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также коэффициентами влияния скорости движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы. Однако в литературе нет работ, в которых были бы учтены зависимости от всех этих факторов, и рассматриваются упрощающие приближения, в которых частью этих параметров пренебрегают. Также следует отметить, что существенным недостатком имеющихся теоретических работ на устойчивость фронта является то, что они не позволяют ответить на следующий вопрос, который сразу возникает на практике при анализе экспериментальных результатов: каким будет критический размер устойчивости, если возмущение будет произвольным (не бесконечно малым)? Как следствие, чтобы преодолеть этот недостаток, необходимо вводить дополнительные гипотезы и методы расчета. К одному из таких методов, появившихся в последнее время, можно отнести использование анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, однако для определения области метастабильности в ячейке Хеле-Шоу этот метод не использовался.
Несмотря на достаточно большое число экспериментальных исследований возникновения и роста вязких пальцев в радиальной ячейке Хеле-Шоу, основное внимание в них уделяется развитому режиму неустойчивости с регистрацией числа возникающих «пальцев», их формы и скорости роста. Ни в одной из работ не исследуется первоначальный этап возникновения неустойчивости на фазовой границе, не измеряется критический размер срыва устойчивости. Хотя именно этот размер является основным результатом линейной теории устойчивости, знание которого позволит судить о том, на каком этапе вытеснения начнется рост пальцев, и будет ли вообще он происходить в ячейке данного размера.
Цель работы: комплексное теоретическое и экспериментальное изучение начальной стадии потери морфологической устойчивости поверхности раздела при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу.
В рамках этой цели решались следующие задачи:
Решение линейной задачи устойчивости фронта вытеснения с учетом всех характеризующих процесс вытеснения факторов и определение критического радиуса срыва устойчивого вытеснения;
Разработка методики и проведение анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, и определение критического радиуса, при котором происходит инверсия знака этого изменения;
Экспериментальное измерение критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения;
Сравнение опытных и теоретических значений критических радиусов срыва устойчивости;
Исследование влияния внешнего возмущения по первой гармонике на значение критического радиуса устойчивости.
Научная новизна
1. Впервые проведено решение линейной задачи устойчивости поверхности
раздела жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу с учетом
всех определяющих процесс вытеснения факторов - радиуса отверстия, через
которое поступает вытесняющая жидкость, внешнего радиуса ячейки,
вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также влияния скорости
движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы;
Впервые получено аналитическое выражение для критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по трансляционной моде;
Впервые рассчитаны критические радиусы потери устойчивости для второй, третьей и четвертой гармоник при комплексном учете всех определяющих параметров вытеснения;
Обнаружено, что изменение отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкости нелинейно влияет на критический радиус потери устойчивости;
С использованием принципа максимума производства энтропии и линейного анализа на устойчивость впервые построена морфологическая диаграмма (с устойчивой, неустойчивой и метастабильной областями) для различных параметров вытеснения и указана последовательность морфологических переходов в метастабильной области в зависимости от отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей;
Впервые экспериментально измерен критический радиус потери устойчивости поверхности раздела воздух - силиконовое масло для различных значений расхода вытесняющей жидкости и толщины ячейки Хеле-Шоу.
Защищаемые положения:
Проведенный в работе учет конечности размеров ячейки Хеле-Шоу приводит к ненулевому конечному значению критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по первой гармонике (трансляционный сдвиг), тогда как пренебрежение этим вкладом соответствует устойчивому решению;
В соответствии с теоретическими предсказаниями при вытеснении воздухом силиконового масла экспериментально подтверждено существование трансляционной неустойчивости;
Подбором соотношения вязкостей можно добиться того, что потеря устойчивости будет происходить по определенной, заранее заданной гармонике;
Критический радиус Rb, определяемый из условия равенства нулю разности производства энтропии при устойчивом и неустойчивом режимах вытеснения, всегда меньше критического радиуса Rs, который находится из условия равенства нулю скорости изменения амплитуды возмущения (линейный анализ устойчивости);
5. Экспериментальное подтверждение того, что потеря устойчивости радиального фронта вытеснения воздухом силиконового масла при сдвиговом воздействии, моделирующем трансляционное возмущение, происходит при размерах, меньших критического радиуса спино дали Rs.
Достоверность подтверждается: обоснованностью физических представлений и моделей сплошных сред, используемых для исследования процессов течения жидкостей в ячейке Хеле-Шоу, соответствием полученных автором теоретических выводов и экспериментальных данных, математической строгостью методов решения и согласованностью полученных результатов между собой и с результатами известных решений.
Практическая ценность
Предложенные математические модели и полученные результаты могут быть использованы при совершенствовании технологий нефтедобычи, связанных с извлечением остаточной нефти из скважины с помощью воды, поступающей под давлением. К перспективным направлениям применения результатов, представленных в работе, можно отнести решение как ряда экологических проблем связанных с распространением жидких отходов в пористых средах, так и некоторых гидрологических вопросов, связанных с распространением подземных вод.
Апробация работы. Результаты исследования были представлены и обсуждены на тринадцатой всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-13» (Ростов-на-Дону, Таганрог, 2007), XII отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ (Екатеринбург, 2007), Четвертом Российском совещании "Метастабильные состояния и флуктуационные явления" (Екатеринбург, 2007), Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах НПСС-2007» (Пермь, 2007), Workshop on Maximum entropy production in Earth System (Jena, Germany, 2008), на семинарах кафедры молекулярной физики физико-технического факультета УГТУ-УПИ.
Публикации. Результаты исследования изложены в 3 статьях в рецензируемых журналах (входящих в список ВАК), 2 статьях в сборниках трудов конференций, 2 тезисах докладов конференций.
Личный вклад автора в получении научных результатов. Постановка задачи исследования была проведена совместно с научным руководителем. Решение задачи об устойчивости с помощью линейного анализа, расчет производства энтропии и анализ его изменения, а также обработка экспериментальных данных выполнены автором. Анализ результатов теоретических расчетов, эксперимент и анализ полученных после обработки данных проводился совместно с научным руководителем.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем работы - 118 страниц, в том числе 36 рисунков, 3 таблицы, библиографический список содержит 94 источника.
