Содержание к диссертации
Введение
2. Влияние малых параметров на размер вязких пальцев 16
2.1. Решение известных задач методом теории подобия и размерности в механике.. 16
2.2. Решение задачи с инерцией методами теории размерности 19
2.3. Описание эксперимента. 20
3. Постановка задачи о вытеснении вязкой жидкости с учётом инерции 26
3.1. Математическая модель вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу с учётом инерционных свойств жидкости 26
3.2. Задача об устойчивости плоского фронта вытеснения к малым возмущениям 27
4. Численное моделирование структуры фронта неустойчивого вытеснения 40
4.1. Постановка задачи для численного моделирования 40
4.2. Безразмерная постановка задачи 41
4.3. Разностная схема 43
4.4. Результат численных расчетов, 48
5. Задачи о пузырьке в потоке вязкой жидкости 82
5.1. Постановка задачи 82
5.2. Решение задачи без учета инерции 85
Заключение 87
Список литературы 88
- Решение задачи с инерцией методами теории размерности
- Задача об устойчивости плоского фронта вытеснения к малым возмущениям
- Безразмерная постановка задачи
- Решение задачи без учета инерции
Введение к работе
Актуальность темы. В работе рассматривается численное моделирование вытеснения жидкости из ячейки Хеле-Шоу, которая служит физической моделью пористой среды. Она представляет собой узлий канал, образованный двумя параллельными пластинами, расположенными на расстоянии 5 друг от друга, которое значительно меньше дайны канала L и его ширины 1. Фронт вытеснения вязкой жидкости другой, менее вязкой, неустойчив. При вытеснении вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу, межфазная поверхность теряет устойчивость. Вытесняющая жидкость прорывается через слой вытесняемой, образуя в нем отдельные каналы, называемые «вязкими пальцами». Такая ситуация характерна, например, при вытеснении вязкой нефти водой. В результате образуется область, фронт вытеснения, лежащая между основаниями и вершинами пальцев, в которой находится как вытесняемая, так и вытесняющая жидкости. Структура этой области является предметом исследований.
По-видимому, к первым исследованиям структуры фронта неустойчивого вытеснения относятся работы Журавлёва (1956) и Saffman & Taylor (1958). Журавлёву, Сафману и Тейлору удалось рассчитать форму вязкого пальца аналитически в предположении равенства давлений на межфазной поверхности жидкостей и в пренебрежении силами инерции. Однако, их решение не позволяет определить размер вязкого пальца и рассчитать темп его роста.
Park & Homsy (1985) показали, что размер вязкого пальца определяется малыми силами поверхностного натяжения. Ими был эксприментально выработан критерий подобия течений несмешивающихся жидкостей в ячейках Хеле-Шоу — модифицированное капиллярное число.
Однако, при вытеснении смешивающихся жидкостей силы поверхностного натяжения отсутствуют, но эксперименты показывают, что разброс размеров элементов фронта вытеснения относительно средней величины невелик. В пористой среде капиллярные силы не зависят от формы фронта неустойчивого вытеснения и также не могут влиять на его структуру.
Таким образом, в настоящее время остается актуальной проблема расчёта элементов фронта неустойчивого вытеснения в случае отсутствия сил поверхностного натяжения.
Целью работы является изучение структуры фронта неустойчивого вытеснения в случае, когда силы поверхностного натяжения либо равны нулю, либо постоянны. В частности, требуется рассчитать: ширину вязких пальцев, расстояние между ними, темп их роста в зависимости от определяющих параметров: расхода, вязкости жидкостей и проницаемости ячейки Хеле-Шоу.
Методы исследования. Основой работы послужил экспериментальный материал по вытеснению глицерина водой из ячейки Хеле-Шоу. В диссертации проведена обработка экспериментов. Построены аппроксимационные зависимости для ширины вязких пальцев и темпа их роста.
Проведены численные расчёты структуры фронта неустойчивого вытеснения. Результаты расчетов сопоставлены с данными экспериментов.
Научная новизна состоит в следующем:
Из анализа имеющегося теоретического и экспериментального материала была выдвинута гипотеза о том, что структура фронта неустойчивого вытеснения определяется малыми параметрами.
На основе теории подобия и размерности механики разработана методика поиска малых параметров, влияющих на структуру фронта. Показано, что одним из факторов, определяющих структуру фронта, может быть инерция жидкости.
Разработан численный метод, позволяющий отслеживать форму фронта вытеснения.
Методом численных расчетов показано, что вязкие пальцы неустойчивы. Со временем они, в свою очередь теряют устойчивость и распадаются на вязкие пузырьки.
Получено аналитическое решение о вязком пузырьке «всплывающем» в вытесняющей жидкости.
Практическая и теоретическая значимость работы состоит в следующем:
Получен критерий подобия для процессов вытеснения из ячейки Хеле-
Шоу для случая, когда доминирующую роль в формировании структуры
фронта играют силы инерции.
Прослежено изменение структуры фронта неустойчивого вытеснения в
течение длительного времени. Показано, что вязкие пальцы являются
неустойчивым образованием.
Показана возможность существования «вязких пузырьков».
Достоверность и обоснованность полученных результатов
обеспечивается проверкой соответствия высказанных гипотез данным эксперимента и результатам численных расчетов. Точность численной схемы показана путем проведения специальных тестовых расчетов.
Апробация работы. Имеется три публикации по теме диссертации (список приведен в конце автореферата). Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета Московского государственного университета (рук. акад. РАН Е.И.Шемякин), на семинаре по горению и детонации (рук. проф. Смирнов Н.Н.) и на семинаре по аэродинамике Института механики МГУ (рук. проф Герценштейн С.Я.) и получили положительную оценку.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 93 страницы.
Решение задачи с инерцией методами теории размерности
Учтем в постановке задачи влияние инерции. Тогда к определяющим параметрам (2.2) 2/уЦ, / м» добавляются плотности вытесняемой и вытесняющей жидкостей : р2 и f\ соответственно- Размерность плотности: [р] = кг/мъ. В этом случае можно подобрать такие значения а , 0 , у , чтобы Действительно, если а = \ , 0 = \ , у = \ , то мы получаем [А] = А . Таким образом, ширина вязких пальцев в задаче с учётом инерции определяется по формуле: X = F w.—Рг (2.5) М2 Рассмотрим случай, когда две квазистационарные картины течения (рис.2.1) подобны между собой, то есть характеризуются одинаковым количеством пальцев. Это возможно, когда отношение ширины ячейки к ширине пальца остается постоянным: п = — = const = F Л и„р$2 Отсюда получаем модифицированное число Рейнольдса как критерий подобия двух квазистационарных картин: l/Re - L (2.6) Таким образом, теория подобия и размерности показывает, что инерция может определять размер вязких пальцев. Проверим соответствие этого результата экспериментальным данным. 2.3. Описание эксперимента Эксперименты Смирнова и др.(2004) [67] по вытеснению вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу проводились в условиях микро гравитации на самолёте A3 00 совершавшем полёт по параболической траектории. Скорость вытеснения ию и ширина ячейки 8 были аномально высокими. Скорость достигала 5 см/с, а ширина ячейки 5 = 3.7 мм. В результате числа Рейнольдса получились:
В эксперименте водо-глицериновая смесь вытеснялась из ячейки Хеле-Шоу водой. Вязкость смеси, зависящая от степени разведения глицерина, в экспериментах менялась. Отношения вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкости были / = / // =3, 9, 84. Кроме того, менялись скорость вытеснения и расстояние между пластинами. По данными экспериментов вычислялся средний размер пальцев Я и строились зависимости Я от времени рис.2.2. На (рис.2.2) показана зависимости средней ширины вязких пальцев от времени в различных экспериментах (Smirnov и др. 2004) [67]. Вода и глицерин — смешивающиеся жидкости, поэтому сил поверхностного натяжения на их границе нет. Следовательно, найденный Homsy механизм стабилизации вязких пальцев не работает. Ввиду большой скорости вытеснения 1-5 см/с диффузии глицерина в воду не происходит. Видно, что граница между глицерином и водой остаётся чёткой. Следовательно, не работает и второй механизм стабилизации вязких пальцев — за счёт диффузии жидкостей.
Зависимости средней ширины вязких пальцев от времени, полученная при обработке экспериментов, проведённых при различных значениях определяющих параметров. Предполагая, что в момент времени t2 образовалась стационарная структура фронта вытеснения, определим, подходит ли найденный нами в п.2.2 механизм стабилизации вязких пальцев за счёт инерции для объяснения приведенных экспериментов. Из формулы (2.5) получаем.
Видно, что экспериментальные точки в целом неплохо ложатся на одну прямую. Это убеждает нас в правильность выдвинутой гипотезы о том, что размер вязких пальцев в данном эксперименте определялся инерции Из соотношений (2.9), (2.11) может быть получена формула предсказывающая размер вязких пальцев контролируемых инерции.
Теперь перейдём к теоретическим аргументам в пользу гипотезы о том, что структура фронта вытеснения может определяться инерции. Составим математическую модель учитывающую инерционные свойства жидкостей и рассчитаем с её помощью размер вязких пальцев.
Задача об устойчивости плоского фронта вытеснения к малым возмущениям
Примем дополнительные допущения. 1. Ячейку Хеле-Шоу будем считать бесконечно широкой и длинной (рис. 3.1). В этом случае вместо условия на входе и выходе задаются постоянные величины градиентов давления по продольной координате в направлении движения фронта для вытесняемой и вытесняющей жидкостей соответственно тоже, чтобы обеспечивать движение с одной и той же скоростью и . 2. Возмущения прямолинейной границы считаем периодическими 3. Будем считать что на бесконечном удалении от фронта амплитуда возмущений равна нулю
Так как это решение должно удовлетворять уравнению Лапласа (3.18), получаем соотношение между коэффициентами: , = ik2, где к2=к -вещественное число, и окончательно решение для второй жидкости выглядит так: =0 " . (3.22) Причем к должно быть положительно, чтобы данный вид решения удовлетворял граничному условию затухания возмущений на бесконечности справа (3.21). Слева же от границы жидкостей мы тоже должны удовлетворить граничному условию затухания возмущений, при этом при х=0 решения должны быть согласованы, поэтому р[ = фіЄ - . (3.23)
При исследовании этого решения получаем, что шій і всегда положительна, a Imc?2 0 при М \ и Ьпй 2 0 при М \. Таким образом, вытеснение вязкой жидкости менее вязкой всегда неустойчиво. В то же время, граница между жидкостями всегда устойчива к малым возмущениям в случае, когда более вязкая жидкость вытесняет менее вязкую. На рис.3.3 показана зависимость отрицательной мнимой части й)2 (декремента затухания) от длины. Часть кривой, лежащая левее линии Л -1 не имеет физического смысла. На этом участке не выполняется допущение модели о малости ширины ячейки в сравнении с линейными размерами течения. Из рисунка видно, что наибольшая интенсивность роста наблюдается у возмущений наименьшей длины волны. Т.е. если плоский фронт возмущен случайным образом, то с наибольшей интенсивностью будут расти самые короткие возмущения.
Таким образом, анализ устойчивости плоского фронта к малым возмущениям не позволяет определить размер вязкого пальца. Очевидно существенную роль играют нелинейные члены уравнений. Аналитически решить задачу о вязком пальце в ячейке Хеле-Шоу с учетом инерции не удалось. Поэтому для доказательства влияния инерции на размер вязких пальцев пришлось прибегнуть к численному моделированию процесса вытеснения. 4. Численное моделирование структуры фронта неустойчивого вытеснения
Пусть до нулевого момента времени ячейка Хеле-Шоу заполнена вязкой вытесняемой жидкостью. В момент времени Г = 0 на вход ячейки подаётся менее вязкая вытесняющая жидкость. Скорость подачи жидкости однородна по входному сечению, и равна мж. Форму фронта вытеснения в моменты времени требуется рассчитать.
Поле скоростей в ячейке Хеле-Шоу будем рассчитывать пользуясь методом сквозного счета. В точном решены задачи касательные составляющие скорости на межфазной поверхности могут терпеть разрыв, но при численном моделировании мы, по — сути, решаем не систему уравнений Эйлера (3.1) — (3.3) а систему уравнений типа Навье - Стокса в которой параметр вязкости подобран так, чтобы скачки "растягивались" на 1 - 2 ячейки. Такая вязкость носит название "псевдовязкости" (Роуч, 1980) [69].
Безразмерная постановка задачи
Расчёт при отсутствии начальных возмущений межфазной поверхности был проведен в качестве тестового. Его результаты представлены на рис.4.4 в виде графиков формы фронта вытеснения в различные моменты времени (рис.4.4, а - и) и распределения давления в один из моментов (рис.4.4,й). Параметры численного эксперимента были ?.Re = 0.1, М -З, А = 2.
Расчёты показали, что при отсутствии начального возмущения межфазная поверхность остается плоской на протяжении всего процесса истечения. Тестовые расчеты, проведенные при других значениях чисел S.Re, Ми А подтвердили полученный результат.
При задании небольшого начального возмущения межфазная поверхность теряет устойчивость. В качестве второго теста были проведены расчеты при различных формах начального возмущения. Результаты 2-го теста распределены на рис. 4.5, 4.6 в виде графиков показывающих форму фронта вытеснения в различные моменты времени (рис.4.5, а - и, 4.6, а - и) и распределения давлений в один из моментов времени (рис.4.5, й, и 4.6, й).
Результаты второго теста в сжатой форме даны на рис.4.7 - 4.8 в виде формы фронта вытеснения начальный момент времени (рис.4.7, а), (рис.4.8, а) и в поздние моменты (рис.4.7, 6-в), (рис.4.8, б-в).
Расчёты показали, что при задании больших значениях чисел S.Re, межфазная поверхность при различных значениях чисел М и А устойчивость. Его результаты представлены на рис.4.9 - 4.10 в виде графиков формы фронта вытеснения в различные моменты времени.
Результаты численно эксперимента по вытеснению вязкой жидкости из ячейки Хеле - Шоу при М = 84, 5"Re=—»0, А=5. На рис. а - б показана форма фронта вытеснения в различные моменты времени a: t 0.5, б: t=l, Расчёты показали, что вязкие пальцы в свою очередь неустойчивы: они разрушаются и в потоке вытесняемой жидкости появляются вязкие пузырьки. Вязкие пузырьки заметны так же в экспериментах (Смирнов и др. 2003, 2004). Неустойчивость вязких пальцев связана с развитием на их плоской поверхности неустойчивости Кельвина — Гельмгольца за счёт разности скоростей вытесняющей жидкости пальца и вытесняемой жидкости в пространстве между ими.
Из набора графиков каждого численного эксперимента был выбран один на котором показана форма фронта в момент когда вытесняющая жидкость максимально близко подошла к выходу из ячейки Хеле — Шоу, но не достигла его. По этим графикам были определены средняя ширина элементов фронта вытеснения и средняя скорость вершин пальцев для каждого численного эксперимента. Результаты такой обработки численных расчётов даны в таблицах 4.2 и 4.3. На рис. 4 22 данные о средней ширине вязких пальцев полученны в численных экспериментах представлены в Л, М—координатах. Сплошно линией показана зависимость (2.12) по результатам обработки экспериментов Смирнов и др. (2003, 2004). Видно качественное соответствие экспериментальной и теоретической зависимостей. Расхождение может быть объяснено низкой точностью определения средней ширины вязкого пальца. 10
Зависимости Л от М. Номера точек на рисунке соответствуют номерам численных расчетов (таблице 4.1). Линия на рисунке построена по результатам обработки экспериментов (формула (2.12)).
Таким образом, в численных расчётах получены качественно те же зависимости ширины вязких пальцев и темпов их роста от отношения вязкостей как и в экспериментах по вытеснению глицерина водой (Смирнов и др., 2003, 2004). Это показывает, что размер элементов фронта вытеснения: вязких пузырьков и пальцев может контролироваться инерцией.
Решение задачи без учета инерции
По-видимому, впервые объяснение явления неустойчивости, развивающейся при вытеснении одной вязкой жидкости другой менее вязкой из пористой среды дано в работах Hill (1952) [1], Chuoke & van Meurs & van der Poel (1959) [2] и Saffman & Taylor (1958) [3] и другие авторы [4-8]. Показано (рис. 1.1), что фронт вытеснения неустойчив, построен механизм развития неустойчивости.
Пусть, где то на фронте вытеснения возникло малое возмущение (рис. 1.1,а). В месте возникновения возмущения в точке А, градиент давлений возрастает, скорость движения жидкости возле этой точки увеличивается и амплитуда возмущения нарастает. В результате менее вязкая, вытесняющая жидкость прорывается через слой вытесняемой образуя в ней каналы называемые вязкими пальцами. (Рис. 1.2) вязкие пальцы образуют область, зону смешения, лежащую между основаниями и вершинами пальцев, в которой находится как вытесняемая, так и вытесняющая жидкости .
Проблема расчёта динамики изменение зоны смешения возникает при макромасштабном, моделировании процесса вытеснения вязкой жидкости из пористой среды (рис. 1.2.а). В этом случае необходимо знать динамику изменения ширины области, занятой двумя жидкостями, т.е. иметь формулы, позволяющие рассчитывать поток смешения, который до настоящего времени определялся на основании обработки экспериментальных данных. Наличие теории существенно повысит эффективность таких исследований.
Решение проблемы расчёта структуры фронта неустойчивого вытеснения имеет полувековую историю. Подавляющее большинство теоретических и экспериментальных работ посвящено исследованию вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу [9 8]. Ячейка Хеле-Шоу служит физической моделью пористой среды. Она представляет собой узкий канал, образованный двумя параллельными пластинами, расположенными на расстоянии д значительно меньшем длины L и ширины канала /.
Первую попытку рассчитать параметры вязкого пальца предпринял Журавлёв (1956) [49]. Однако, более известно работа Saffman & Taylor (1958) [3], считающаяся классической. Saffman и Taylor теоретически и экспериментально исследовали вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу. В теоретическом анализе вытесняемая и вытесняющая жидкости считались несжимаемыми. Силами трения, действующими в плоскости течения пренебрегалось в сравнении с силами трения о стенки. Инерция жидкостей не учитывалась. Параметры течения были осреднены по высоте ячейки Хеле-Шоу. В результате для описания течения в ячейке Хеле-Шоу была получена система уравнений Эйлера:
Первая успешная попытка расчета ширины вязкого пальца принадлежит Homsy(1987) [63]. Он предположил, что при вытеснении вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу другой, несмешивающеися с вытесняемой, размер вязкого пальца определяется малым параметром: силами поверхностного натяжения, действующими в плоскости течения. Хотя эти силы на порядки меньше сил поверхностного натяжения, действующих поперёк потока, но их включение в анализ позволило определить ширину вязкого пальца теоретически Schwartz & Degregoria (1987) [64]. (a) Гипотеза Хомси также была подтверждена экспериментально Park & Homsy (1985) [53]. Эксперименты показали, что критерием подобия процессов вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу является модифицированное капиллярное число, называемое теперь числом Homsy:
Однако, силы поверхностного натяжения в пористой среде не зависят от формы фронта вытеснения. Поэтому теория Homsy не может быть использована для расчета структуры фронта вытеснения в этом интересном с практической точке зрения случае.
Существуют эксперименты которые показывают, что и без сил поверхностного натяжения фронт вытеснения имеет строго определенную структуру, иными словами, размеры вязких пальцев близки к среднему значению. Причём, это среднее значение меняется при изменении параметров системы: проницаемости среды 82, вязкости жидкостей д, / и скорости подачи жидкости .
Чтобы объяснить наблюдаемые зависимости размеров вязких пальцев от параметров экспериментов , ,/ ,/ необходимо предположить существование других, неизвестных до сих пор, механизмов, определяющих размер элементов фронта вытеснения - вязких пальцев.
Обобщая гипотезу Homsy предположим, что размер пальцев определяется малыми параметрами. Однако малых параметров, не учтённых в классической постановке задачи о вязком пальце Журавлёва - Сафмана - Тейлора, много. Это инерция жидкостей, их сжимаемость, силы вязкости, действующие в плоскости течения, и бесконечное множество других факторов .
