Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Единичная частица в неограниченной вязкой жидкости 13
1.1. Постановка задачи 13
1.2. Решение в виде мультипольного разложения 14
1.3. Обтекание неподвижной частицы однородным потоком 18
1.4. Обтекание неподвижной частицы линейным потоком 22
1.5. Обтекание неподвижной частицы квадратичным потоком 23
1.6. Обтекание неподвижной частицы кубическим потоком 26
1.7. Обтекание неподвижной частицы потоком произвольной степени... 28
1.8. Движение частицы в заданном полиномом потоке 32
ГЛАВА 2. Взаимодействие конечного числа частиц 37
2.1. Взаимодействие двух частиц 37
2.2. Взаимодействие любого конечного числа частиц 46
2.2.1. Постановка задачи 46
2.2.2. Выражения для скорости и давления 47
2.2.3. Преобразование граничных условий 48
2.3. Численное моделирование движения частиц 52
2.3.1. Движение двух частиц 53
2.3.2. Динамика трех частиц 62
2.3.3. Динамика четырех частиц 72
2.3.4. Скорости осаждения нечетного числа частиц 79
2.3.5. Осаждение различных частиц 80
2.4. Численное моделирование движения цепочки частиц 83
2.5. Численное моделирование осаждения облака частиц 88
2.5.1. Средняя скорость осаждения 90
2.5.2. Распределение по скоростям 91
2.5.3. Двумерное облако 94
ГЛАВА 3. Взаимодействие частиц с плоской стенкой 101
3.1. Постановка задачи и форма записи решения 101
3.2. Определение тензорных коэффициентов 104
3.3. Численное моделирование движения частиц вблизи стенки 109
3.3.1. Движение одной частицы вблизи стенки . 109
3.3.2. Динамика двух частиц вблизи стенки 122
Заключение 142
Список литературы 143
- Обтекание неподвижной частицы однородным потоком
- Численное моделирование движения частиц
- Численное моделирование движения цепочки частиц
- Движение одной частицы вблизи стенки
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию гидродинамического взаимодействия частиц в потоке вязкой жидкости и влиянию этого взаимодействия на динамику самих частиц. Как известно, в системе "жидкость+частицы" существуют два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими на частицы. Примером таких сил могут служить силы, обусловленные наличием зарядов или дипольных моментов у частиц. Второй механизм связан с гидродинамическим взаимодействием частиц в жидкости. Распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц, если только они не находятся очень далеко. Соответственно, имеется влияние на распределение напряжений в жидкости у поверхности какой-либо частицы и, следовательно, на ее поступательное и вращательное движения, то есть на динамику самих частиц. В свою очередь, движение частиц меняет поток жидкости. Таким образом, гидродинамическое взаимодействие влияет на течение жидкости с частицами в целом и, соответственно, на все процессы, происходящие в такой системе и обусловленные гидродинамикой.
Актуальность рассматриваемой проблемы связана как с практикой создания новых материалов на основе вязкой жидкости., в которой частицы образуют определенную микроструктуру, так и с теорией моделирования поведения таких сред. В качестве примера можно привести коллоидные кристаллы, свойства которых активно изучаются в последние годы (Kegel [48], Koch [51], Pussey [60]. Trau, Saville [75]. и др.). Частичный обзор методов моделирования таких сред выполнен в работе Sommerfeld [70]. Корректное описание поведения таких сред невозможно без учета гидродинамического взаимодействия частиц, поэтому ему и уделяется особое внимание в некоторых работах (например, Hofmari, Clercx [39], Ladcl [53], Yamamoto [79]).
В различное время создавались разнообразные методы моделирования движения жидкостей, содержащих твердые частицы. Как известно, рассмотрение движения одиночной частицы в неограниченной жидкости было выполнено еще Стоксом [101]. В дальнейшем успешно решались задачи обтекания частиц различными потоками [641, задачи движения несферических частиц [6,25,46,77,80].
Значительно сложнее оказалась задача о моделировании гидродинамического взаимодействия и движения под действием этого взаимодействия двух и более частиц в вязкой жидкости. В разное время предлагались разные подходы к этой проблеме. Метод отражений, впервые предложенный Смолу-ховским [68], получивший дальнейшее развитие в работах Факсена [28], Кин-ча [52], Вакии [76], заключается в последовательном вычислении отраженных полей от поверхностей всех тел, погруженных в жидкость. Метод отражений позволил получить хорошее аналитическое решение задачи о взаимодействии двух частиц и задачи о взаимодействии одной частицы и плоской стенки
(работы Факсена [28], Бреннера [18] и др.). Однако процедура этого метода оказалась достаточно сложна, так что уже для трех частиц было получено решение только для частного случая их расположения.
Поскольку решение общей задачи о взаимодействии нескольких сферических частиц оказалось довольно сложной проблемой, было развито несколько частных методов. Стимсон и Джеффри [71], используя биполярные координаты, получили точное решение для двух частиц, движущихся вдоль их линии центров. Gluckman [31,32] развил процедуру моделирования осесимметричного течения вокруг группы частиц, что позволило ему найти коэффициенты сопротивления для каждой из нескольких частиц при обтекании их однородным потоком, параллельным их линии центров. Leiclitberg и др. [54] рассматривали проблемы устойчивости соосного движения группы частиц.
В работах Ganatos, Kim, Schmitz и др. [20,29,42,44,49,65] рассматривалось решение задачи о двух частицах через нахождение матрицы подвижности. В результате описанного в этих работах метода в большинстве случаев получалась система линейных уравнений, которая затем численно решалась. Решение находилось с большой точностью. Были найдены некоторые особенности решения, например, Бэтчелор [5] определил, при каком расстоянии между центрами двух одинаковых частиц достигается минимум сопротивления при движении этих частиц перпендикулярно линии центров.
Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии многих частиц. Были предложены различные способы, как это можно сделать [19,30,35,58,63,72-74]. Hocking [38] смог объяснить многие наблюдаемые эффекты, например, периодичность движения четырех частиц, расположенных в виде квадрата (в настоящей диссертации эта задача рассмотрена в главе 2). Бэтчелор с помощью статистических методов активно развивал метод парных взаимодействий [1-3], что позволило ему определять средние свойства суспензии, в которой случайно распределены частицы. Этот метод непосредственно использует решение задачи о взаимодействии двух частиц и целиком основан на предположении о маловероятности собвггия, что три и более частицы окажутся поблизости друг от друга. Вследствие этого предположения его результаты оказались применимы только для елабокоицентрированных суспензий.
Метод стоксовой динамики, развитый в работах Bossis, Brady, Durlofsky [8-17,27], с самого начала развивался главным образом как численный метод. Процедура расчета этим методом основана на разбиении поверхности каждой частицы на сегменты с последующим вычислением средней плотности поверхностных сил, действующих со стороны жидкости на каждый из таких сегментов. Метод стоксовой динамики продолжает развивается в настоящее время и позволяет численно решать задачи о гидродинамическом взаимодействии нескольких частиц с приемлемой точностью.
Метод ячеечного уравнения Больцмана, представленный в работах Iieemels [36], Nourgaliev [57] и др., основан на использовании результатов кинетической теории газов. Это довольно общий метод, позволяющий кроме описания течения жидкости при малых числах Рейнольдса описывать процессы переноса тепла, описывать обтекание тел со сложной геометрией. Минусом этого метода является его сложность.
При разработке всех вышеперечисленных методов описания гидродинамического взаимодействия частиц предполагалась малость числа Рейнольдса. Из литературы [95] известно, что при числе Рейнольдса Re < 1 решение Стокса для одной частицы довольно хорошо приближает решение уравнения Навье-Стокса. Вместе с тем известны работы [21,81,107,108], в которых рассматривается течение при умеренных числах Рейнольдса.
Метод конечных элементов (например, работы Behr [7], Ни [40]) использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Этот метод позволяет находить решения при любых числах Рейнольдса, а не только при малых. Недостатком этого метода является очень большое количество вычислений и необходимость работать с большими объемами данных. Даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц остается трудной задачей.
Таким образом, не существует достаточно точного и при этом несложного метода, позволяющего моделировать взаимодействие любого конечного числа частиц. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа частиц, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.
Исследуя движение жидкости, содержащей частицы, обычно рассматривают либо обтекание тел потоком жидкости, скорость которого отлична от нуля на бесконечности [5,9,16,32]; либо движение тел под действием внешнего силового поля в покоящейся на бесконечности жидкости [1,17,38,41,45,47]; либо движение тел под действием внешнего силового поля в жидкости, скорость которой на бесконечности отлична от нуля [55,76,109.110]. В настоящей диссертации наибольшее внимание уделяется осаждению тел в жидкости под действием внешней силы тяжести, однако также рассматриваются и некоторые задачи обтекания.
Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и программная реализация метода расчета гидродинамического взаимодействия конечного числа твердых сферических частиц при малых числах Рейнольдса, а также изучение процессов осаждения частиц в безграничной и ограниченной плоской стенкой жидкости.
В диссертации на основе аналитического метода Мартынова [102-106]
разработана аналитическая процедура и создана компьютерная программа для численного решения задачи о взаимодействии конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости. Процедура метода достаточна проста и позволяет на обычном персональном компьютере реализовывать вычисления для системы, включающей до полутора сотен взаимодействующих частиц в вязкой жидкости. На более мощных компьютерах число частиц можно увеличить как минимум на порядок.
В главе 1 рассматривается задача о единичной сфере в потоке неограниченной вязкой жидкости, скорость которой на бесконечности представляется в виде полинома произвольной конечной степени по координатам. Предполагается, что движение происходит при малых числах Рейнольдса. Решение уравнений Стокса представляется в виде рядов по мультиполям. Рассмотрены частные случаи движения частицы в однородном., линейном, квадратичном и кубическом по координатам потоке вязкой жидкости. Для случая потока произвольной степени получены общие формулы для коэффициентов, входящих в мультипольные разложения для скорости и давления.
В главе 2 дается постановка задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа частиц в вязкой жидкости. Используя математический аппарат, разработанный в главе 1, создана процедура, позволяющая записать решение задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости в форме, подобной случаю единичной сферы. В результате серии преобразований получена система линейных уравнений, решение которой позволяет определить все неизвестные коэффициенты, входящие в разложения для скорости и давления в жидкости, а также вычислить линейную и угловую скорости каждой частицы. В пункте 2.1 эта процедура описана для случая двух частиц, в пункте 2.2 сделано обобщение на случай произвольного конечного числа частиц.
В пункте 2.3 говорится об основной проблеме, связанной с применением описанного в настоящей работе метода для моделирования гидродинамического взаимодействия частиц. Эта проблема связана с тем. что для большого числа частиц требуется решать системы, состоящие из большого числа линейных уравнений. Выход из,-этого ...затруднения был найден с созданием специализированной программы для персонального компьютера, которая составляет и решает системы уравнений, позволяя определять линейные и угловые скорости частиц в данной конфигурации, а также отслеживать движение частиц в динамике.
Разработанная программа численного моделирования тестировалась на задачах, решение которых получено другими методами. В частности, для задачи о двух частицах было проведено сравнение с методом отражений и точным решением. Сравнение показало, что при достаточно небольшом количестве слагаемых в мультипольных разложениях, метод, предложенный в диссертации, дает хорошее согласие с точным решением Стимсона и Джеффри [71] и с известными его приближениями, представленными в работах Бэт-
челора, Бреннера, Кинча, Сох и др. [4,5,18,20,24,25,33,52,55,76,77,96-100].
В' работе рассматривался случай, когда частицы равных радиусов расположены в вершинах некоторого правильного многоугольника и движутся под действием равных по величине и направлению внешних сил, перпендикулярных плоскости этого многоугольника. Проведенные в настоящей работе вычисления подтвердили выводы Durlofsky, Brady, Bossis [27] и Jayaweera [41] о том, что линейные скорости частиц также будут перпендикулярны плоскости многоугольника и равны по величине. Это приводит к тому, что с течением времени положение частиц относительно друг друга не будет меняться. В диссертации подробно рассмотрены конфигурации из трех частиц, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, и конфигурации из четырех частиц, центры которых расположены в вершинах квадрата. Изучена зависимость коэффициента сопротивления от стороны правильного треугольника (в случае трех частиц) и квадрата (в случае четырех частиц). Полученные результаты хорошо согласуются с известными, полученными Durlofsky [27], Ganatos [29], Gluckman [31,32]. Если четыре частицы расположены в вершинах квадрата, и начинают движение под действием внешней силы, направленной вдолв одной из сторон квадрата, то относительное движение частиц становится периодичным, что тоже хорошо согласуется с известными результатами (впервые эту задачу рассматривал Hocking [38], позднее она также решаласв методом стоксовой динамики в работе Durlofsky [27]).
Был рассмотрен случай осаждения двух частиц одинакового размера, но разной плотности. Такой случай экспериментально исследовался в работе Zhao, Davis [82]. Результаты моделирования, проведенные по разработанному в диссертации методу, хорошо согласуются с экспериментом до момента контакта частиц. После этого наблюдается расхождение с экспериментальными данными. Это можно объяснить тем, что в рассматриваемой модели не учитываются силы не гидродинамической природы, которые сказываются при близком расположении частиц. Кроме этого, частицы в эксперименте были не идеально гладкие. Имеющиеся шероховатости на частицах также сказываются на их движении вблизи точки контакта.
В пункте 2.4 рассмотрено движение трех частиц, на которые наложены связи, оставляющие расстояние между соседними частицами постоянным и не мешающие вращательному движению частиц (цепочка частиц). Показано, что в случае, когда частицы расположены вдоль прямой, перпендикулярной направлению действия внешней силы, имеется предельное положение конфигурации, при котором крайние частицы сближаются. Для частиц, центры которых расположены вдоль прямой, образующей острый угол с силой тяжести, наблюдается процесс циклического сворачивания - разворачивания цепочки.
В пункте 2.5 описано использование разработанного метода для моделирования динамики большого числа взаимодействующих частиц. Рассматривалось осаждение большого числа одинаковых сферических частиц (обла-
ко), падающих в вязкой жидкости под действием силы тяжести. Численное моделирование задачи выполнено для различных конфигураций случайно расположенных частиц, образующих облако из 1-110 частиц. Получена зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке. Зависимость от концентрации обусловлена гидродинамическим взаимодействием частиц, влияние которого сводится к изменению распределения скорости жидкости вокруг движущейся частицы. Учет только парных взаимодействий частиц, проведенный в работе Бэтчелора [1-3] дает вклад в выражение для средней скорости осаждения в виде слагаемого, пропорционального концентрации частиц в первой степени. Очевидно, что учет многочастичных взаимодействий должен привести к другой зависимости средней скорости осаждения от концентрации. Однако при этом возникают определенные математические трудности. А именно, возникает проблема нахождения решения уравнений движения жидкости, удовлетворяющего граничным условиям на частицах, когда число частиц достаточно большое. Так в работах Мартынова [102-106] показано, что даже решение задачи о гидродинамическом взаимодействии трех частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих частиц. Это связано с тем, что условия для скорости жидкости на поверхности каждой частицы являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. Из-за этого в граничных условиях для скорости нельзя отделить результат гидродинамического взаимодействия выделенной частицы с какой-либо другой частицей от результата взаимодействий этой же выделенной частицы со всеми остальными частицами. Именно поэтому решение задачи о гидродинамическом взаимодействии трех и более частиц нельзя представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации частиц. Погрешность представления гидродинамического взаимодействия всех частиц в виде их парных взаимодействий тем больше, чем больше число частиц, участвующих в таком взаимодействии. Этим объясняется расхождение интегралов, возникающее при попытке учесть взаимодействие бесконечного числа частиц, суммируя результат их парных взаимодействий (как в работах Бэтчелора [1,4]).
В работе Мартынова [106] показано, что корректный учет гидродинамического взаимодействия большого числа частиц, помещенных в поток вязкой жидкости, с ростом числа взаимодействующих частиц приводит сначала к количественным, а затем и к качественным изменениям свойств решения уравнений гидродинамики. В диссертации была рассмотрена задача об определении средней скорости осаждения конечного числа частиц, случайно расположенных в ограниченной области жидкости, с учетом их гидродинамического взаимодействия. Решение этой задачи позволило получить зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке.
Полученные результаты подтверждают вывод, вытекающий из результатов работы [106]: средняя скорость осаждения для облака, состоящего из конечного числа частиц, должна увеличиваться с ростом числа частиц и с ростом концентрации. Это вытекает из условия, что с ростом числа частиц должен уменьшаться скалярный коэффициент, связывающий скорость осаждения и силу, действующую на частицу. Так как при осаждении частиц на них действует сила тяжести, то из условия постоянства силы получим, что скорость частицы обратно пропорциональна этому коэффициенту. Отсюда следует вывод, что с ростом числа частиц должна увеличиваться их скорость осаждения.
Аналогичный вывод следует и из метода отражений (например, работа Смолуховского [68]). Однако количественные значения существенно расходятся. Это связано, как было указано выше, с представлением гидродинамического взаимодействия частиц в виде парных взаимодействий. Кроме средней скорости частиц, интерес также представляет нахождение распределения частиц по скоростям в осаждающемся облаке. В диссертации приведены некоторые характеристики нескольких случайных конфигураций облака. Во всех рассмотренных случаях частица, обладающая наибольшей скоростью, находилась внутри облака, а частица с наименьшей скоростью - на его крае.
В главе 3 рассмотрена задача о движении частиц в вязкой жидкости при наличии плоской твердой стенки. Аналогичная задача решалась в работах Бреннера [18,100], Cooley [22], Neill [59], Zeng |81]. Основная трудность этой задачи заключается в том, что необходимо получить решение, удовлетворяющее граничным условиям на двух геометрически разных поверхностях: сфере и плоскости. Известные методы решения задачи о взаимодействии частицы с плоскостью довольно сложно применить для случая большого числа взаимодействующих частиц.
В пунктах 3.1 и 3.2 предложен метод, позволяющий представить взаимодействие частицы и твердой плоской стенки как взаимодействие двух частиц: реальной и фиктивной. Реальная частица является реально существующей, и на ней рассматривается граничное условие. Фиктивная частица симметрична реальной относительно стенки, она реально не существует, а служит лишь для упрощения записи выражений. Однако такой прием позволяет использовать ту же форму записи решения задачи о взаимодействии сферической частицы и плоской стенки, какая была в случае взаимодействия двух частиц в неограниченной жидкости. То есть, появляется возможность использовать разработанный в главе 2 метод моделирования взаимодействия конечного числа частиц в неограниченной жидкости. Решение, которое получается в результате, точно удовлетворяет граничному условию на плоской стенке и приближенно - на поверхности реальной частицы.
В пункте 3.3 приведены результаты численного моделирования взаимодействия плоской стенки с одной и двумя частицами. Было выяснено, что результаты предложенного метода достаточно хорошо совпадают с известны-
ми, полученными другими методами, когда частица находится на расстоянии от стенки 1.5 радиуса или дальше. При меньших расстояниях уменьшается скорость сходимости мультипольного разложения, являющегося частью предложенного в диссертации метода. Поэтому для сохранения приемлемой точности в случае почти касающихся частицы и стенки требуется увеличивать число членов в мультипольном разложении, что приводит к значительному увеличению объема вычислений.
Для одиночной частицы, осаждающейся на плоскость, были получены результаты, показывающие, что взаимодействие с плоскостью качественно меняет картину обтекания частицы жидкостью по сравнению со случаем осаждения на неподвижную сферическую поверхность. В частности, были построены поле скоростей и линии тока при движении частицы перпендикулярно плоской стенке. Линии тока при осаждении на плоскость в некоторой области жидкости приняли вид замкнутых кривых, что соответствует образованию замкнутой вихревой нити вокруг частицы, расположенной в плоскости перпендикулярной скорости осаждения частицы. При движении частицы вихревая нить движется вместе с ней. Такое вихревое поле не встречалось в других случаях движения одиночной частицы при отсутствии плоскости.
Рассмотрено движение двух частиц вблизи плоской поверхности. При осаждении на плоскую стенку двух сферических частиц, вокруг них также образуется замкнутая вихревая нить. Однако при приближении к стенке картина усложняется. В области между частицами образуется повое вихревое поле, имеющее грибовидную форму. Это приводит к тому, что направление вращения частиц при приближении к плоской стенке меняется на противоположное, что ранее было неизвестно.
При движении двух частиц параллельно плоской стенке картина также принципиально меняется по сравнению со случаем двух частиц в неограниченной жидкости, а именно: появляется поперечная составляющая скорости, направленная перпендикулярно действующей внешней силе. Эта поперечная составляющая приводит к отдалению частиц от стенки. Из литературы известно, что такой поперечной составляющей не возникает ни при движении двух частиц в неограниченной жидкости, ни при движении одной частицы вблизи плоской стенки. Подобную поперечную составляющую дает введение инерционных слагаемых в уравнения движения жидкости [61,62]. Однако, как показывают результаты работ Segre, Johnson [45,66,103], гидродинамическое взаимодействие качественно меняет динамику частиц и приводит к появлению сил, направление которых зависит от относительного положения частиц.
В заключении делаются выводы о практическом значении выполненного исследования и формулируются основные результаты диссертации.
Научная новизна результатов заключается в следующем:
Разработан новый метод вычисления тензорных коэффициентов разложение решения задачи Стокса в случае обтекания конечного числа частиц.
Показано, что удержание нескольких (5-6) первых членов этого разложения обеспечивает точность приближенного решения на уровне 1% в сравнении с известными частными решениями задачи.
Решена задача об осаждении облака конечного числа частиц в безграничной жидкости. Показано, что скорость осаждения облака возрастает как с ростом числа частиц, так и с увеличением их концентрации.
Разработан новый метод расчета гидродинамического взаимодействия конечного числа частиц с неподвижной плоской стенкой. Данный метод сводит указанную задачу к задаче расчета взаимодействия частиц в неограниченной жидкости.
Решены задачи об осаждении двух частиц вблизи вертикально и горизонтально расположенных плоских стенок. Показано, что наличие вертикальной стенки приводит к появлению поперечной составляющей скорости. При осаждении частиц на горизонтальную стенку в жидкости возникают вихревые структуры.
Разработан программный комплекс, включающий в себя:
программу автоматической генерации и решения системы определяющих уравнений;
программу расчета полей скоростей и давлений в жидкости, гидродинамических сил и моментов, действующих на каждую частицу;
модуль визуализации движения частиц в потоке.
Достоверность полученных результатов следует из того, что они основаны на общих законах и уравнениях механики жидкости и обеспечиваются строгими математическими выкладками, выводами и оценками, сопоставлением решений задач, полученных различными методами, совпадением в частных случаях количественных результатов с результатами работ других авторов.
Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют глубже понять механизм гидродинамического взаимодействия частиц и имеют широкий спектр применения на практике. В частности, разработанная модель может быть использована при расчете процессов коагуляции, сепарирования, седиментации в суспензиях, аэрозолях, коллоидных системах во внешних силовых полях различной природы.
Основные положения, выносимые на защиту:
Разработан и программно реализован алгоритм расчета динамики конечного числа частиц в безграничном потоке вязкой жидкости с учетом их гидродинамического взаимодействия.
Получена зависимость средней скорости осаждения частиц в трехмерном облаке от их числа и концентрации.
Разработан и программно реализован метод расчета взаимодействия потока, содержащего конечное число частиц, с плоской стенкой.
Обнаружено, что при осаждении частиц вблизи стенки в жидкости возникают вргхревые структуры, а частицы приобретают поперечную составляющую скорости.
Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на Международной летней школе по гидродинамике больших скоростей (г. Чебоксары, 2002 г.; 2004 г.), международной школе по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004 г.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2002-2003 гг.), на конференциях Средневолжского математического общества (Саранск, 2002-2004 гг.), на научных семинарах НИИ математики и механики при Казанском университете (Казань, 2004-2005 гг.), на семинаре Института механики МГУ (Москва, 2003 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, приведенных в списке литературы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 152 листа машинописного текста, содержит 74 рисунка, 15 таблиц и список литературы из 111 наименований.
ip.
Обтекание неподвижной частицы однородным потоком
В работе рассматривался случай, когда частицы равных радиусов расположены в вершинах некоторого правильного многоугольника и движутся под действием равных по величине и направлению внешних сил, перпендикулярных плоскости этого многоугольника. Проведенные в настоящей работе вычисления подтвердили выводы Durlofsky, Brady, Bossis [27] и Jayaweera [41] о том, что линейные скорости частиц также будут перпендикулярны плоскости многоугольника и равны по величине. Это приводит к тому, что с течением времени положение частиц относительно друг друга не будет меняться. В диссертации подробно рассмотрены конфигурации из трех частиц, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, и конфигурации из четырех частиц, центры которых расположены в вершинах квадрата. Изучена зависимость коэффициента сопротивления от стороны правильного треугольника (в случае трех частиц) и квадрата (в случае четырех частиц). Полученные результаты хорошо согласуются с известными, полученными Durlofsky [27], Ganatos [29], Gluckman [31,32]. Если четыре частицы расположены в вершинах квадрата, и начинают движение под действием внешней силы, направленной вдолв одной из сторон квадрата, то относительное движение частиц становится периодичным, что тоже хорошо согласуется с известными результатами (впервые эту задачу рассматривал Hocking [38], позднее она также решаласв методом стоксовой динамики в работе Durlofsky [27]).
Был рассмотрен случай осаждения двух частиц одинакового размера, но разной плотности. Такой случай экспериментально исследовался в работе Zhao, Davis [82]. Результаты моделирования, проведенные по разработанному в диссертации методу, хорошо согласуются с экспериментом до момента контакта частиц. После этого наблюдается расхождение с экспериментальными данными. Это можно объяснить тем, что в рассматриваемой модели не учитываются силы не гидродинамической природы, которые сказываются при близком расположении частиц. Кроме этого, частицы в эксперименте были не идеально гладкие. Имеющиеся шероховатости на частицах также сказываются на их движении вблизи точки контакта.
В пункте 2.4 рассмотрено движение трех частиц, на которые наложены связи, оставляющие расстояние между соседними частицами постоянным и не мешающие вращательному движению частиц (цепочка частиц). Показано, что в случае, когда частицы расположены вдоль прямой, перпендикулярной направлению действия внешней силы, имеется предельное положение конфигурации, при котором крайние частицы сближаются. Для частиц, центры которых расположены вдоль прямой, образующей острый угол с силой тяжести, наблюдается процесс циклического сворачивания - разворачивания цепочки.
В пункте 2.5 описано использование разработанного метода для моделирования динамики большого числа взаимодействующих частиц. Рассматривалось осаждение большого числа одинаковых сферических частиц (облако), падающих в вязкой жидкости под действием силы тяжести. Численное моделирование задачи выполнено для различных конфигураций случайно расположенных частиц, образующих облако из 1-110 частиц. Получена зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке. Зависимость от концентрации обусловлена гидродинамическим взаимодействием частиц, влияние которого сводится к изменению распределения скорости жидкости вокруг движущейся частицы. Учет только парных взаимодействий частиц, проведенный в работе Бэтчелора [1-3] дает вклад в выражение для средней скорости осаждения в виде слагаемого, пропорционального концентрации частиц в первой степени. Очевидно, что учет многочастичных взаимодействий должен привести к другой зависимости средней скорости осаждения от концентрации. Однако при этом возникают определенные математические трудности. А именно, возникает проблема нахождения решения уравнений движения жидкости, удовлетворяющего граничным условиям на частицах, когда число частиц достаточно большое. Так в работах Мартынова [102-106] показано, что даже решение задачи о гидродинамическом взаимодействии трех частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих частиц. Это связано с тем, что условия для скорости жидкости на поверхности каждой частицы являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. Из-за этого в граничных условиях для скорости нельзя отделить результат гидродинамического взаимодействия выделенной частицы с какой-либо другой частицей от результата взаимодействий этой же выделенной частицы со всеми остальными частицами. Именно поэтому решение задачи о гидродинамическом взаимодействии трех и более частиц нельзя представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации частиц. Погрешность представления гидродинамического взаимодействия всех частиц в виде их парных взаимодействий тем больше, чем больше число частиц, участвующих в таком взаимодействии. Этим объясняется расхождение интегралов, возникающее при попытке учесть взаимодействие бесконечного числа частиц, суммируя результат их парных взаимодействий (как в работах Бэтчелора [1,4]).
В работе Мартынова [106] показано, что корректный учет гидродинамического взаимодействия большого числа частиц, помещенных в поток вязкой жидкости, с ростом числа взаимодействующих частиц приводит сначала к количественным, а затем и к качественным изменениям свойств решения уравнений гидродинамики. В диссертации была рассмотрена задача об определении средней скорости осаждения конечного числа частиц, случайно расположенных в ограниченной области жидкости, с учетом их гидродинамического взаимодействия. Решение этой задачи позволило получить зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке. Полученные результаты подтверждают вывод, вытекающий из результатов работы [106]: средняя скорость осаждения для облака, состоящего из конечного числа частиц, должна увеличиваться с ростом числа частиц и с ростом концентрации. Это вытекает из условия, что с ростом числа частиц должен уменьшаться скалярный коэффициент, связывающий скорость осаждения и силу, действующую на частицу. Так как при осаждении частиц на них действует сила тяжести, то из условия постоянства силы получим, что скорость частицы обратно пропорциональна этому коэффициенту. Отсюда следует вывод, что с ростом числа частиц должна увеличиваться их скорость осаждения.
Аналогичный вывод следует и из метода отражений (например, работа Смолуховского [68]). Однако количественные значения существенно расходятся. Это связано, как было указано выше, с представлением гидродинамического взаимодействия частиц в виде парных взаимодействий. Кроме средней скорости частиц, интерес также представляет нахождение распределения частиц по скоростям в осаждающемся облаке. В диссертации приведены некоторые характеристики нескольких случайных конфигураций облака. Во всех рассмотренных случаях частица, обладающая наибольшей скоростью, находилась внутри облака, а частица с наименьшей скоростью - на его крае.
В главе 3 рассмотрена задача о движении частиц в вязкой жидкости при наличии плоской твердой стенки. Аналогичная задача решалась в работах Бреннера [18,100], Cooley [22], Neill [59], Zeng 81]. Основная трудность этой задачи заключается в том, что необходимо получить решение, удовлетворяющее граничным условиям на двух геометрически разных поверхностях: сфере и плоскости. Известные методы решения задачи о взаимодействии частицы с плоскостью довольно сложно применить для случая большого числа взаимодействующих частиц.
Численное моделирование движения частиц
Рассмотренная выше система тензорных уравнений (2.50), (1.32) -(1.37), (2.42) - (2.43) позволяет определить все неизвестные тензорные коэффициенты и найти линейные и угловые скорости движения частиц с любой необходимой точностью. Однако этот метод обладает одним недостатком: большое количество неизвестных системы приводит к вычислительньш трудностям при ее решении. То есть, чтобы найти, например, тензорные коэффициенты ni} Hij, Hijk, требуется найти 39 скалярных величин:
На самом деле при решении задач неизвестных гораздо больше, так как необходимо найти тензорные коэффициенты для каждой частицы, а также найти линейные и угловые скорости частиц. Несколько упрощает задачу то, что не умаляя общности, можно считать все неизвестные тензоры симметричными по всем индексам, начиная со второго (в силу формы записи). Однако уравнения (2.50), (1.32) - (1.37), (2.42) - (2.43) все равно после расписывания по компонентам зачастую превращаются в огромную систему из сотен уравнений. Конечно, если частицы расположены специальным образом, скажем на одной прямой или в виде периодической решетки, то, выбрав подходящую систему координат, от многих неизвестных можно сразу же избавиться, но проблема все равно остается.
Поэтому появилась необходимость применения ЭВМ. Сначала компьютер использовался только для решения системы линейных уравнений, а затем появилась идея поручить ему и ее составление, В результате была написана специальная программа для персонального компьютера IBM PC, которая в качестве исходных данных получает только желаемую точность вычислений, координаты и радиусы частиц, программа сама составляет и решает систему уравнений, и выводит результат в уже обработанном виде. Использовался язык программирования Visual С+Н-, для визуализации движения частиц применялась технология OpenGL. Из вычислительных методов применялись: метод Гаусса с выбором главного элемента - для решения системы уравнений и нахождения тензорных коэффициентов и скоростей частиц, метод Рунге-Кутта четвертого порядка - для построения линий тока по найденному полю скоростей. С помощью этой программы было получено решение широкого класса задач. Несмотря на то, что программа дает возможность получать только численные результаты, применяя интерполяцию можно получить и некоторые аналитические формулы. Результаты, приведенные ниже в этом разделе, получены с использованием компьютера.
Динамика двух частиц в различных потоках рассматривалась в работах Джеффри, Kim, Hansford и др, [34,37,43,50,56]. Задача об осаждении двух сферических частиц вдоль линии центров очень хорошо подходит для сравнения точности различных методов, во-первых, потому что эта задача решалась многими методами, во-вторых, потому что для этой задачи имеется точное решение. Аналитическое решение задачи о движении двух частиц вдоль линии центров рассматривалось выше, равно как и сравнение этого решения с результатом Стимсона и Джеффри [71]. При аналитическом решении использовались 2 тензора Df Df3 (то есть — 2), и 4 тензора Hf, Нф Hf-lv Hf-kl (то есть ji = 4), и то же для частицы В. Численно же было получено решение для = б, \i = 8. Выражение для скоростей частиц (выше было показано, что скорости частиц будут равны) удобно записать в виде: Здесь R - радиус каждой частицы, V - скорость каждой частицы, коэффициент сопротивления А является некоторой функцией е. где е = Я//г, h - расстояние между центрами двух частиц. Значения А, подсчитанные различными методами с хорошей точностью, приведены в таблице 2.1. Точное решение было получено Стимсоном и Джеффри [7lJ, используя биполярные координаты. В качестве метода отражений взято модифицированное решение Даля [100]. Прочерк в последней строке таблицы означает, что численный метод, реализованный на компьютере, не позволяет в явном виде найти предел при е — 0. Как видно из таблицы, при удалении частиц друг от друга (уменьшение е), точность описанного в настоящей работе метода растет, при приближении немного падает. Наименее точные результаты получаются, таким образом; для касающихся частиц. Аналогично ведет себя и метод отражений. Однако отклонение результатов предложенного метода от точных значений составляет не более 0.025%, в то время как для метода отражений отклонение составляет 0.25%. На рис. 2.4, 2.5 отображены поле скоростей и линии тока для рассмотренного случая движения двух частиц вдоль линии центров. Поле скоростей симметрично относительно середины отрезка, соединяющего центры частиц, а линии тока имеют вид незамкнутых кривых, уходящих в бесконечность. Поле скоростей для двух частиц, движущихся под действием внешней силы в неограниченной жидкости. Направление силы - параллельно линии центров, расстояние между центрами частиц - пять радиусов. Серым цветом показаны скорости частиц. Рассмотрим теперь движение двух одинаковых частиц под действием силы, перпендикулярной линии центров. Как известно (например, обзор Хап-пеля и Бреннера [100]), в этом случае линейные скорости частиц будут равны по модулю и совпадать по направлению с направлением внешней силы; угловые скорости частиц будут равны по модулю, противоположны по направлению и перпендикулярны как действующей силе, так и линии центров (рис. 2.6). Конфигурация является стабильной, то есть положение частиц относительно друг друга не будет меняться с течением времени.
Решение этой задачи, полученное методом отражений [100], дается формулой: где А - коэффициент сопротивления, е - отношение радиуса частиц к расстоянию между центрами. В таблице 2.2 проведено сравнение коэффициента сопротивления при различных е, вычисленного методом отражений и мето Как видно из таблицы 2.2, при приближении частиц друг к другу степень согласия результатов падает, при удалении - растет. Хорошее согласие результатов (разница меньше 1%) достигается, когда расстояние между центрами частиц 2.5 радиуса или больше (то есть, е 0.4). Следует отметить, что метод отражений не является точным методом, и не может служить эталоном. В литературе описаны и другие методы решения этой задачи., кроме метода отражений. Кинч [52] использовал представление решения через производные фундаментального решения, в результате получилась бесконечная система уравнений, которая затем приближенно решалась. В результате для предельного случая касающихся сфер (е — 0.5) получилось значение коэффициента сопротивления Л — 0.710., что ближе к результату, полученному в настоящей работе, чем к методу отражений.
Численное моделирование движения цепочки частиц
Средняя скорость осаждения частиц в облаке v (V) зависит от концентрации п, от числа частиц в облаке N и от конкретного расположения частиц относительно друг друга - конфигурации облака м
Усредняя эту величину по конфигурациям облака, получим среднюю скорость осаждения (v), зависящую только от концентрации и числа частиц
Величина (v) уже не зависит от случайной конфигурации облака. Исследуем ее изменение при изменении концентрации и постоянном числе частиц. Исходные данные - численные решения задачи осаждения для различных конфигураций. Результаты расчетов для 30 и 100 частиц приведены на рис. 2.29 в координатах п и безразмерной величины (v)/Vo, где VQ - скорость одной осаждающейся частицы по закону Стокса. Очевидно, что {v)(n, 1) = VQ. Остальные точки графика были построены следующим образом: задавался куб, имеющий объемгде а - сторона куба, R - радиус частиц. В этом кубе случайным образом распределялись частицы. Потом считалась скорость каждой частицы, которая затем усреднялась. Поведение функции (v) при изменении числа частиц и постоянной концентрации 0.1, 0.05 и 0.025 приведено на рис. 2.30.
Результаты на рис. 2.29 и 2.30 подтверждают вывод Смолуховского [68], сделанный на основе метода отражений: средняя скорость осаждения (v) для облака, состоящего из конечного числа частиц, увеличивается с ростом числа частиц и с ростом концентрации. Из анализа работы Мартынова [103] можно объяснить этот факт тем, что с ростом числа частиц уменьшается скалярный коэффициент ЕА в тензоре Щ = rjViEA (обозначения [103]). Тензор НІ линейно зависит от скорости частицы VJ. Сумма сил, действующих на частицу, удовлетворяет условию (2.42). Так как при осаждении частиц на них действует сила тяжести, то из условия ее постоянства получим, что скорость частицы обратно пропорциональна коэффициенту ЕА. Отсюда следует, что с ростом числа частиц должна увеличиваться их скорость осаждения. Аналогичный вывод следует и из метода парных взаимодействий [1]. Однако количественные значения существенно расходятся, так как метод парных взаимодействий пытается представить гидродинамическое взаимодействие частиц в виде суммы взаимодействий каждой пары частиц отдельно от всех остальных, что не совсем верно уже для трех частиц.
Кроме средней скорости частиц, интерес представляет распределение частиц по скоростям в осаждающемся облаке. В таблице 2.9 приведены некоторые характеристики четырех случайных конфигураций облака для п = 0.025 и TV = 80, 100, 120. В таблице использованы следующие обозначения: Vmin - минимальная скорость, Vmax - максимальная скорость, (V) -средняя скорость, VQ - скорость по закону Стокса. Римская цифра в крайнем левом столбце означает номер конфигурации.
Определим функцию распределения F(u) частиц по скоростям следующим образом: F(u) равна доле частиц, скорость осаждения которых мень Графики функций распределения частиц для конфигураций I - IV приведены на рис. 2.31, для конфигураций V - VIII на рис. 2.32, для конфигураций IX - XII на рис. 2.33.
Как видно из таблицы 2.9 и из рис. 2.31 - 2.33, распределение частиц по скоростям достаточно сильно зависит от конкретной конфигурации облака, однако некоторые общие закономерности все же могут быть выделены. Например, средняя скорость не очень сильно меняется при переходе к другой конфигурации, что и позволяет строить графики, подобные графикам на рис. 2.29 или 2.30.
Рассмотрим теперь облако частиц, когда центры всех частиц лежат в одной плоскости, и внешние силы, действующие на частицы, также лежат в этой плоскости. Такое облако гораздо проще изображать на плоском листе бумаге, а его свойства во многом схожи с общим случаем пространственного облака.
На рисунках 2.34-2.37 изображено несколько случаев осаждения двумерного облака частиц. В каждом случае использовалось случайное распределение частиц в некотором объеме. Радиус всех частиц одинаков, на все частицы действует одинаковая внешняя сила. При этих условиях считалась скорость каждой частицы в облаке. Ставилась цель: определить, как влияет положение частицы в облаке на ее скорость осаждения.
Из рисунков 2.34 - 2.37 можно сделать вывод, что скорость частиц максимальна в середине облака, и минимальна на его границе. Для сравнения приведено три случая периодического расположения частиц: рис. 2.38 - 2.40. Видно, что и для периодического размещения частиц также скорость осаждения максимальна в центре, и минимальна ближе к краю облака. На рисунках 2.34 - 2.40 изображены случаи двумерного распределения частиц в облаке, однако это правило остается в силе и для трехмерного распределения. Стоит отметить тот факт, что во всех приведенных случаях скорости различных частиц облака оказывались различными, поэтому рассмотренные конфигурации не являются стабильными и положение частиц относительно друг друга будет меняться с течением времени.
Движение одной частицы вблизи стенки
Поле скоростей и линии тока для начального момента рассмотренного случая, когда две частицы начинают осаждаться параллельно стенке, находясь на равном расстоянии от нее, приведены на рис. 3.28, 3.29. Линии тока имеют вид, схожий с рис. 3.12 и представляют собой незамкнутые кривые, уходящие в бесконечность. параллельно плоской стенке. Расстояние между центрами частиц - шесть радиусов, от центров частиц до стенки - три радиуса. Серым цветом показаны скорости частиц.
Было рассмотрено два случая начального расположения линии центров частиц при осаждении частиц параллельно стенке - перпендикулярно и параллельно стенке. Частицы в этих случаях двигались по-разному, однако в обоих случаях по прошествии некоторого времени частицы начали удаляться от стенки и друг от друга, увеличивая свою скорость по мере удаления от стенки. На рис. 3.30, 3.31 приведены поле скоростей и линии тока для случая, похожего на конечное положение на рис. 3.22, 3.24.
Полученные результаты принципиально отличаются от случая одиночной частицы, а именно: появляется поперечная составляющая скорости, направленная перпендикулярно действующей внешней силе. Эта поперечная составляющая приводит к отдалению частиц от стенки. Из литературы известно, что такой поперечной составляющей не возникает ни при движении двух частиц в неограниченной жидкости, ни при движении одной частицы вблизи плоской стенки. Подобную поперечную составляющую дает введение инерционных слагаемых в уравнения движения жидкости [61,62]. Однако, как показывают результаты работ Segre, Johnson [45,66,103], гидродинамическое взаимодействие качественно меняет динамику частиц и приводит к появлению сил, направление которых зависит от относительного положения частиц.
В диссертации рассмотрены задачи моделирования гидродинамического взаимодействия частиц в потоке вязкой жидкости и влияния этого взаимодействия на движение самих частиц. Разработанная математическая модель и ее программная реализация могут быть использованы для изучения процессов, происходящих в дисперсных системах и связанных с грщродина-мическим взаимодействием частиц. При этом допускается наличие внешнего гравитационного или электромагнитного поля. Однако имеются и некоторые ограничения. При построении модели предполагалось, что жидкость несжимаема, а число Рейыольдса мало. Основные результаты работы заключаются в следующем: разработан метод и его программная реализация для численного расчета динамики конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости с учетом их гидродинамического взаимодействия; полученные с помощью метода результаты для частных случаев движения одной, двух, трех, четырех и нечетного числа частиц, расположенных на прямой, хорошо согласуются с известными результатами, полученными другими методами; рассчитана скорость осаждения для различных конфигураций случайно расположенных частиц, образующих облако из 1-110 частиц; получена зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке; показано, что скорость осаждения увеличивается с ростом числа частиц, причем во всех случаях наибольшая скорость наблюдается у частицы, находящейся внутри облака; разработан метод и его программная реализация для численного расчета динамики конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости при наличии твердой плоской поверхности; метод сводит задачу о взаимодействии частицы со стенкой к задаче о взаимодействии двух частиц; показано, что наличие стенки качественно меняет динамику частиц по сравнению со случаем безграничной жидкости, в частности, наличие стенки приводит к появлению вихревых течений и поперечных перемещений, чего не наблюдается при осаждении частиц в безграничной жидкости.
