Содержание к диссертации
Введение
1. Теоретические и экспериментальные исследования внутренних волн в не прерывно стратифицированных средах 12
1.1, Присоединенные (подветренные) внутренние волны 12
1.2. Монохроматические внутренние волны 17
2. Линейная теория генерации внутренних волн и сопутствующих пограничных течений 24
2.1. Уравнения движения и собственные масштабы стратифицированных течений 24
2.2. Течения, индуцированные прерыванием диффузионного потока на топо графии в покоящейся жидкости 30
2.3. Генерация трехмерных присоединенных внутренних волн и пограничных течений при движении препятствия под углом к горизонту 33
2.3.1. Решение задачи генерации трехмерных присоединенных волн в квадратурах 36
2.3.2. Асимптотика поля присоединенных волн 39
2.3.3. Волновое поле, порождаемое равномерно движущейся областью эллиптической формы 41
2.4. Расчет двумерных присоединенных внутренних волн 43
2.4.1. Волновая компонента движений 46
2.4.2. Волновые пограничные слои 49
2.5. Расчет поля трехмерных периодических внутренних волн 51
3. Методика численного анализа и визуализации картин течения 57
3.1. Основные компьютерные методы построения изображений скалярных полей 57
3.2. Построение полихромнои карты изолиний для визуализации скалярных полей 62
3.3. Визуализация векторных полей 63
3.4. Визуализация векторных полей модифицированным методом экспозиции частиц 64
3.5. Методика вычисления полученных интегралов 66
4. Визуализация полей внутренних волн и сопутствующих пограничных течений 76
4.1. Визуализация полей присоединенных внутренних волн 77
4.2. Визуализация сечений пучков периодических внутренних волн 85
5. Сравнение результатов визуализации точного решения задач генерации внутренних волн с данными лабораторных экспериментов 114
5.1. Картина присоединенных внутренних волн около горизонтально движущейся пластины 114
5.2. Периодические внутренние волны около вертикально осциллирующего горизонтального диска 121
Заключение 124
Список использованных источников 127
Приложения 142
- Монохроматические внутренние волны
- Течения, индуцированные прерыванием диффузионного потока на топо графии в покоящейся жидкости
- Волновое поле, порождаемое равномерно движущейся областью эллиптической формы
- Визуализация векторных полей
Введение к работе
Актуальность проблемы. Плотность жидкости, так же как вектор скорости и давление, является базовой характеристикой среды. В естественных условиях плотность атмосферы, гидросферы, подземных флюидов является неоднородной по пространству и переменной по времени вследствие неравномерности распределения растворенных веществ или взвешенных частиц, газовых пузырьков, температуры, сжимаемости среды и действия внешних нестационарных факторов. Хотя вариации плотности, как правило, невелики, с ними связаны ряд эффектов, отсутствующих в однородной жидкости, в частности, существования специфических видов волн и тонкой структуры среды.
В тех случаях, когда плотность возрастает в направлении действия силы тяжести (среда стратифицированы устойчиво), как структура, так и динамика протекающих процессов зависят от плотности и ее градиента, которые в свою очередь модифицируются внешними воздействиями. Даже малая неоднородность среды качественно меняет характер течений жидкости, структуру вихрей, распределения сил и моментов. Дополнительные силы обусловлены существованием внутренних волн. Их отличительным свойством скрытность, поскольку максимумы смещений частиц располагаются в толще жидкости, а не на ее поверхности. Основной характеристикой стратифицированной среды
является масштаб Л=|сИпр/с&| , частота и период
Tjj -liijN плавучести. Здесь p(z)-плотность, #-ускорение свободного падения, z— вертикальная координата, направленная вдоль линии действия силы тяжести. В природных условиях период плавучести меняется в диапазоне от нескольких минут до часов, в лабораторных он обычно составляет несколько секунд.
Внутренние волны начали систематически изучаться с конца 19 века после опубликования результатов экспедиции норвежского ученого Ф. Нан-
5 сена в Северный ледовитый океан [1]. У полуострова Таймыр Ф. Нансен
* столкнулся с малоприятным явлением "мертвой воды", когда скорость "Фра-
ма" падала с 6 до 1,5 узлов и под парусами, и с машиной. При этом свободная
поверхность жидкости оставалась практически гладкой везде, за исключени
ем следа от винта. Его мысль о существовании волн на поверхности раздела
пресных и соленых вод была подтверждена В. Бьёркнессом. Развитию этих
представлений и была посвящена работа [1], которая до настоящего времени
сохранила свою актуальность.
Естественные внутренние волны образуются в атмосфере и океане под действием периодических факторов и при обтекании стратифицированным потоком неровностей рельефа. Их размах в океане достигает сотни метров [2]. Внутренние волны играют важную роль в динамике стратифицированного океана, они обеспечивают перенос энергии, импульса и вещества. В атмосфере внутренние волны являются предвестниками сильных гроз, штормов,
* ураганов [3]. Их обрушение приводит к появлению участков интенсивного
турбулентного движения, влияющего на безопасность полетов в горной ме-
» стности ("турбулентность ясного неба") [4, 5].
В конце 60-х годов прошлого столетия была открыта тонкая структура морской среды [б]. Она проявляется в форме протяженных высокоградиентных прослоек, время существования которых превышает "диффузионное" время на несколько порядков. Впервые высокоградиентные прослойки были замечены в Балтийском море еще в конце 30-х годов прошлого века, однако более сорока лет сам факт их существования подвергался сомнению. Регист-
рация протяженных прослоек с отношением длины к толщине порядка 10 , идентифицируемых на всем протяжении, несмотря на сглаживающее действие диффузии, стимулировала разработку различных моделей их формирования и изменение представлений о структуре течений.
К числу важнейших механизмов образования тонкой структуры непрерывной стратификации первоначально относили анизотропное вырождение турбулентности (формирование горизонтальных турбулентных пятен-
"блинов" [7]), неустойчивость внутренних волн [8], многокомпонентную конвекцию [9]. Хотя эти модели позволили параметризовать мелкомасштабные процессы и некоторым образом учесть их влияние на эволюцию волновых и струйных течений, в полной мере их не удалось использовать во всем диапазоне природных условий. Вопрос формирования тонкой структуры среды стал еще более актуальным после идентификации слоистого строения стратосферы Земли [10], атмосфер других планет и фотосферы Солнца.
Из общих соображений принято считать, что образование и поддержание тонкой структуры среды связано с диссипативными факторами -вязкостью, температуропроводностью и диффузией. В природных системах и в лабораторных экспериментах замечено, что толщина прослоек прямо коррелирует с величиной соответствующего коэффициента переноса [11], однако замкнутые математические модели этого явления до настоящего времени не построены. Более того, вплоть до самого последнего времени, процессы образования внутренних волн, и формирования тонкой структуры изучались раздельно.
В самые последние годы изучается обрушение внутренних волн и образование вихрей на неоднородностях течения, как сравнительно крупного масштаба (неустойчивость Кельвина-Гельмгольца) [12, 13], так и малой высоты (неустойчивость Холмбё) [14]. Основным безразмерным параметром
течения считается градиентное число Ричардсона Ri = N /{dU/dz) , имеющее смысл обратного числа Фруда Fr = U f N Н . Здесь U- горизонтальная компонента скорости, Я- вертикальный масштаб (размер) явления.
В теории внутренних волн малая вязкость обычно рассматривается только как причина затухания движений [15]. Основные расчеты проводятся для идеальной жидкости, а вязкое затухание вводится феноменологически в конечный результат [15 - 17]. Хотя точное дисперсионное уравнение для поверхностных и внутренних волн в вязких неоднородных жидкостях приведено в ряде монографий и учебников, его анализ ограничивается констатацией
7 сложной структуры решений и анализом свойств части корней в предельных
* случаях, когда решения могут быть получены с помощью асимптотических
методов [18],
Конструктивный аналитический подход к исследованию свойств полной совокупности решений дисперсионных уравнений использован при исследовании задачи генерации двумерных и трехмерных периодических волн [19-28]. С его помощью удалось построить точные решения ряда задач генерации в линейной и нелинейной постановках, которые затем были подтверждены лабораторными экспериментами. Детальный анализ показал, что в вязкой неоднородной жидкости около периодически движущегося тела образуются как волны, так и два типа пограничных слоев. Поперечный размер и модальная структура волнового пучка определяются соотношениями размера источника, расстояния до точки наблюдения и характерного вязкого волнового масштаба Lv = Ifgv/N [29].
Данные работы, представляющие большой методический и общенаучный интерес, не исчерпывают всю полноту картины внутренних волн и со-
* путствующих пограничных течений для всего диапазона практически важ
ных условий их генерации. В частности, в них не изучен процесс формирова
ния присоединенных (подветренных) внутренних волн, играющих важную
роль в динамике атмосферы и океана. При изучении периодических волн по
лученные в этих работах квадратуры не удалось свести к известным специ
альным функциям и проанализировать тонкие свойства решений [19-28].
В теории внутренних волн основное внимание традиционно уделяется изучению трех типов волн: нестационарных, порождаемых локализованным короткодействующим источником (волн типа Коши-Пуассона) [30], присоединенных, возникающих при обтекании препятствий стратифицированным потоком [15], и периодических [31]. В силу специфики дисперсии внутрен-них волн свойства каждого из перечисленных типов волн должны изучаться независимо.
Наибольшее практическое значение имеют результаты анализа динамики нестационарных и присоединенных волн. Нестационарные акустико-гравитационные волны в атмосфере используются для диагностики типов взрывов (ядерный или неядерный) и локализации места испытаний. Присоединенные (подветренные) волны изучаются в связи с проблемами метеорологии (орографическое образование стационарных относительно топографии облачных систем) [5] и обнаружением подводных гор и технических объектов, как установленных стационарно, так и движущихся. Данная проблема сохраняет свою актуальность на протяжении многих лет по ряду причин.
Собственно внутренние волны являются интересным объектом теоретических исследований, поскольку их характеристические уравнения не относятся к числу хорошо изученных методами математической физики. Роль внутренних волн в динамике атмосферы и океане трудно переоценить. Тонкая структура стратифицированных течений, играющая важную роль в процессах переноса примесей и задачах экологии, вплоть до последнего времени оценивалась феноменологически, в отрыве от волновых процессов.
Несмотря на большое число работ по генерации и распространению внутренних волн, эту задачу нельзя считать завершенной. Моделирование обтекания реальных препятствий сингулярными массовыми или силовыми источниками, параметры которых заимствуют из теории идеальной жидкости или находят эмпирически, ограничено приближением дальнего поля. Асимптотические решения вблизи и вдали от источника волн не согласуются друг с другом, значения волновых амплитуд зависят от способа моделирования обтекания препятствия.
Ввиду неполноты классической теории внутренних волн в последние годы изучаются решения корректно поставленных задач генерации внутренних волн в вязкой стратифицированной жидкости, позволяющие самосогласованно учитывать различные формы движения без введения феноменологических параметров, Свойства точных решений, описывающих волновые пакеты и сопутствующие пограничные слои, которые обычно анализируются
9 только асимптотическими методами, изучены недостаточно полно. Практически не изучены характеристики точных решений, описывающих класс практически важных присоединенных (подветренных) внутренних волн.
Цель работы. Целью данной работы является:
Построение аналитических решений линеаризованных задач генерации присоединенных внутренних волн, позволяющих последовательно проанализировать роль диссипативных факторов;
численный анализ тонкой структуры двумерных и трехмерных внутренних волн, как периодических, так и присоединенных;
сравнение свойств точных и асимптотических решений между собой и с данными лабораторных экспериментов.
Практическая значимость.
Получены точные решения, созданы новые методы компьютерной визуализации структуры внутренних волн со сложным законом дисперсии. Результаты способствуют улучшению понимания природы процессов в окружающей среде, могут быть использованы для улучшения прогностических моделей, адекватно описывающих динамику природных систем. Совокупность аналитических решений уравнений генерации внутренних волн и вы-сокоразрешающих графических представлений позволяет определить границы применимости фундаментальных методов, использующихся в теоретических и прикладных исследованиях, сформулировать конструктивные рекомендации к методике гидродинамических экспериментов.
Методы исследований.
При выполнении диссертационной работы использовались аналитические методы исследования уравнений движения неоднородной жидкости: теория возмущений, асимптотические методы; применялись численные методы визуализации двумерных векторных и скалярных функций. Полученные решения сравниваются с данными известных и специально проведенных лабораторных экспериментов.
10 Научная новизна.
В работе впервые получены следующие результаты:
Методом интегральных преобразований аналитически построено точное решение задач генерации двумерных и трехмерных присоединенных внутренних волн полосой и односвязными двумерными объектами, равномерно движущимися вдоль наклонной плоскости;
Проведено сравнение свойств точных решений и их асимптотических представлений, определены границы применимости приближенных решений;
Разработан наглядный метод визуализации скалярных и векторных полей, включающих макро- и микроструктурные элементы;
В результате проведенного численного анализа точных решений впервые установлено, что в картине полей трехмерных периодических внутренних волн в толще жидкости присутствуют два семейства протяженных тонкоструктурных элементов (аналогов пограничных слоев), контактирующих с внешней кромкой излучающей поверхности.
Достоверность полученных результатов достигается использованием классических математических методов построения решений с сохранением всех корней дисперсионных уравнений, согласованностью полученных результатов с известными приближенными решениями в областях их применимости и данными независимых экспериментов.
Работа выполнялась в рамках плановых тем и проектов, входящих в Межсекционную программу ОЭММПУ РАН "Динамика и акустика неоднородных жидкостей, газожидкостных систем и суспензий", Федеральную целевую программу "Мировой океан" (по контракту с Минпромнауки России), в Федеральную целевую программу "Интеграция" (по контракту с Минобразования России, грант Я-0058), РФФИ (грант 02-05-65383).
На защиту выносятся:
Результаты расчета двумерных и трехмерных присоединенных внутренних волн, точно удовлетворяющих граничным условиям на плоскости.
11
Визуализация распределений смещений, возмущений плотности, ско-
* ростей, завихренности в полях присоединенных и периодических внутренних
волн в экспоненциально стратифицированной жидкости, которые описываются точными и приближенными решениями задач генерации данных движений в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Фруда.
Идентификация быстро меняющихся тонкоструктурных элементов на краях пучков трехмерных периодических внутренних волн.
Апробация работы: Основные результаты были представлены на I Генеральной ассамблее Европейского геофизического союза (Ницца, 2004); XXIII Генеральной ассамблее международного союза по геофизике и геодезии (Саппоро, 2003); XIX Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, 2002); на международных конференциях: "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Моск. обл., 2004); "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2003), Юбилейной
Всероссийской научной конференции "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы" (Москва, МГУ, 2002 г), на объе-
диненном семинаре "Динамика природных систем" (ИПМ РАН, 2003, 2004).
Публикации: По результатам работы опубликованы статья, тезисы семи докладов на конференциях, находятся в печати три статьи.
Использование результатов:
Полученные результаты могут быть использованы для уточнения аналитических моделей возбуждения и нелинейного взаимодействия коротких внутренних волн, при разработке численных моделей природных процессов, протекающих в атмосфере и океане, в частности, для моделей распространения внутренних волн и формирования тонкой структуры непрерывно стратифицированной среды, которая, в свою очередь, существенно влияет на перенос примесей.
Монохроматические внутренние волны
Измерения волновых полей в атмосфере и океане показывают, что периодические факторы (в частности приливы) порождают монохроматические или квазимонохроматические волновые пакеты [88, 89]. Пакеты волн состоят из нескольких пространственных осцилляции, Они имеют среднюю частоту ю и волновой вектор к, их амплитуда и фаза медленно изменяются на расстояниях порядка длины волны и временах порядка ее периода Эти пакеты переносят энергию, импульс, завихренность, вещество на большие расстояния. Они играют большую роль в энергетическом балансе океана и верхней атмосферы. Дисперсионное уравнение волн гармонических волн в идеальной жидкости имеет вид к = Nsin 6 где 9 - угол между направлением распространения волны и горизонтом [90]. В отличие от акустических и других типов не-диспергирующих волн, их частота не зависит от модуля волнового числа, а только от его направления в пространстве, что свидетельствует об анизотропном характере распространения возмущений. Форма поверхностей постоянной фазы периодических внутренних волн — "крест св. Андрея" - совпадает с наблюдаемой в эксперименте во всем диапазоне частот & N [15]. Максимальные амплитуды волн проявляются в прямых пучках, составляющих направление 0 = ±arcsm(co/iV) с горизонтом. Если частота колебаний источника превышает частоту плавучести ю N, волны не возникают. Изменение частоты плавучести с высотой (N Ф const) приводит к искривлению волнового пучка [91]. С увеличением стратификации он прижимается к горизонтали, а с ее уменьшением — к вертикали. На внешних границах пучка амплитуда волн становится достаточно малой и они совсем пропадают из поля зрения. При отражении волн от твердой непроницаемой стенки сохраняется проекция волнового вектора на эту плоскость. Последний факт означает, что в общем случае угол падения не равен углу отражения, Учет вязкости и диффузии в качестве малых поправок к основному дисперсионному уравнению волн приводит к регуляризации волнового поля во всем пространстве.
В дальнем поле ширина волнового пучка не зависит от размера источника и определяется в основном вязким затуханием [15, 92]. Подгоночным параметром в теории выступает амплитудный множитель, значение которого определялось из экспериментальной зависимости максимальных смещений в пучке от поперечной, по отношению к пучку, координате. Профиль фазовой скорости хорошо согласуется с экспериментом. Теплопроводность и диффузия приводят к дополнительному затуханию волн и расширению волнового пучка [93]. Моделирование тонкого горизонтального цилиндра в идеальной жидкости распределением точечных источников, характеристики которых заимствуются из теории однородной идеальной жидкости [32], обнаруживает неограниченный рост на характеристиках - параллельных прямых, проходящих через края цилиндра [16, 17, 94]. Выражение для давления имеет логарифмическую расходимость при неограниченном уменьшении размеров источника и сохранении объема вытекающей жидкости. Указанные особенности волнового поля сохраняются при колебании прямолинейного отрезка, наклоненного под углом к горизонту [31]. В трехмерном случае вместо характеристических прямых появляются характеристические конусы, однако все отмеченные ранее особенности установившейся волновой картины остаются справедливыми и в этом случае. Модель точечного источника или диполя с периодически меняющимся по величине дипольным моментом в вязкой жидкости дает непрерывное ко-локолобразное распределение огибающей амплитуд поперек волнового пучка с максимумом в центре (одномодальный пучок [95, 96]). Для учета конечных размеров генератора используется поверхностное распределение источников и стоков (пульсирующий цилиндр) или диполей (колеблющийся цилиндр). Максимальные градиенты возмущений плотности расположены примерно вдоль касательных к цилиндру. В этом случае структура волнового пучка бимодальная. Колебания в центрах волновых пучков максимальны. Характерной особенностью волнового поля от цилиндрического излучателя с переменным объемом (пульсирующий цилиндр) является наличие ярко выраженных волн нулевой частоты, проявляющих себя как искажение исходного однородного градиента плотности на горизонтах расположения излучателя. При малых частотах колебаний, со ЛГ/2, наблюдалось излучение на второй гармонике с частотой 2со. Отсутствие волновых возмущений при совпадении плоскости колебаний излучателя с направлением распространения пучка является следствием использования процедуры замены реального тела сингулярными источниками. В случае генерации волн в идеальной вращающейся стратифицированной жидкости переход в систему координат сплюснутого эллипсоида вращения позволяет получить точное решение линеаризованной системы уравнений в виде сфероидальных волновых функций, которые при рассмотрении приближения Буссинеска сводятся к логарифму от комплексной функции. Такое преобразование координат позволяет разделить переменные как в самом уравнении, так и в граничных условиях на поверхности трехмерного тела [97]. Данный подход позволяет выделить характеристики, на которых решение становится сингулярным. Решение этой же задачи можно получить методом аналитического продолжения из области со N в область со N [98].
Аналогичные расчеты, проведенные для колеблющегося цилиндра, позволили оценить границы области применимости традиционного для данной задачи приближения Буссинеска [99]. Для пульсирующей по объему сферы, при низких частотах колебаний, волновые движения заключены практически между двумя горизонтальными плоскостями z = ±R (R - радиус сферы), касающимися сферы на полюсах [100]. При & N движение ограничено областью между двумя конусами с образующими, наклоненными под углом 6 = arcsin(G)/./V) к горизонту и касающимися сферы. При ш = N возмущения в среде заполняют внутреннюю область вертикального цилиндра г R и стремятся к нулю при /— », Детальные лабораторные наблюдения показывают, что между сформировавшимся волновым пучком и колеблющимся телом находится переходная область, характер движений в которой не является чисто волновым [101]. В ней вязкие напряжения становятся одного порядка с инерционными эффектами, определяющими волнообразование. В этой переходной области сосредоточены внутренние пограничные слои. Формирование пограничных слоев обусловлено существованием различных диссипативных факторов - кинематической вязкости, обеспечивающей затухание скорости, и коэффициента диффузии, описывающего молекулярное перераспределение вещества, обеспечивающего стратификацию. Детальные аналитические исследования показывают, что с каждым кинетическим коэффициентом связано два типа пограничных слоев [102]. Их свойства зависят от значений кинетических коэффициентов (кинематической вязкости, диффузии). С нарушением горизонтальной однородности стратифицированной жидкости вблизи непроницаемой границы связано существование специфических пограничных течений, образующихся при отсутствии внешних механических возмущений. Прерывание молекулярного потока стратифицирующей компоненты приводит к возникновению пограничного течения с различными масштабами пространственной изменчивости скорости и плотности даже на неподвижном препятствии. Точное решение для одномерного течения, индуцированного диффузией, на наклонной пластине получено в [103], а асимптотика малых времен для возмущения около горизонтального цилиндра исследована в [104]. Внутренние пограничные слои возникают и в случаях отражения волнового пучка от жесткой плоскости [105], при этом структура и форма погра
Течения, индуцированные прерыванием диффузионного потока на топо графии в покоящейся жидкости
Стратифицированные жидкости, находящиеся в гравитационном поле, являются термодинамически неравновесными системами. В этих условиях неоднородность молекулярного потока в жидкости (градиента концентрации или химического потенциала) создает физическую основу формирования движения жидкости даже в отсутствие чисто механических причин. Впервые стационарная задача расчета течения, индуцированного прерыванием диффузионного потока соли на бесконечной наклонной плоскости была рассмотрена в [121] при изучении природы долинных и горных ветров и проанализирована применительно к стратифицированной жидкости в [122,123]. Стационарное решение характеризуется общим для всех переменных комбинационным масштабом VK (N sin а, где а - угол наклона плоскости к горизонту. При этом толщина пограничного слоя стремится к бесконечности при стремлении а к нулю, а само решение оказывается расходящимся по некоторым физическим параметрам задачи (угол наклона, частота плавучести). В целях сравнения с физическим экспериментом интерес представляет анализ свойств решения задачи формирования такого течения. Основные свойства асимптотического решения задачи установления течения на бесконечной непроницаемой для примесей наклонной плоскости, погруженной в непрерывно стратифицированную жидкость [124] согласуются с точным решением нестационарной задачи [103]. Нестационарное течение состоит из вязкого и диффузионного подслоев [103, 124], отношение толщин которых не зависит от времени и определяется числом Шмидта.
При этом толщина пограничного слоя поля скорости определяется вязким масштабом 5V = -Jv/N, а поле плотности и стратифици вид (r/bs — і?/55)/2л/Л , аналогично и для членов с вязкостью. Так же как в плоском случае течение, состоящее из четырех вихрей по одному в каждом квадранте, монотонно развивается со временем. Жидкость подтекает к цилиндру вдоль главной горизонтальной плоскости, растекается в критической точке, поднимаясь к верхнему и опускаясь к нижнему полюсу, и в их окрестностях отходит от тела в форме горизонтальных течений. Толщины соответствующих пограничных слоев характеризуются собственными масштабами изменчивости - 5М = yjv/N для поля скорости и 5 = KS/N для поля плотности (солености) и завихренности. При R — о приведенное решение локально равномерно переходит в решение для наклонной плоскости. Как и в одномерном случае в каждом квадранте завихренность является знакопеременной функцией (в отличие от циркуляции, которая меняет знак только при переходе в другой квадрант). На малых расстояниях определяющий вклад в завихренность вносит диффузионный член, поскольку перед вязким стоит малый множитель (K/V« 1). Однако, первый из них быстрее спадает с расстоянием, чем второй, вследствие чего и происходит смена зна ка завихренности. Наличие этого же малого множителя объясняет локализа цию завихренности в непосредственной окрестности тела на диффузионном масштабе длины. Таким образом в двумерной задаче, масштаб изменчивости завихренности, также как в одномерном случае, существенно меньше мас штаба изменчивости скорости и одного порядка с масштабом солености.
Все свойства решения (2.3) сохраняются при обращении вертикального размера препятствия в ноль, то есть на непроницаемой горизонтальной полосе или плоскости. В рассматриваемой задаче полностью линеаризованной задаче излучения присоединенных внутренних волн источником служит компактная область, равномерно движущаяся вдоль наклонной или горизонтальной плоскости. Вязкая экспоненциально стратифицированная несжимаемая жидкость ограничена снизу бесконечной плоскостью, расположенной под произвольным углом ф к горизонту, линия пересечения которой с горизонтальной плоскостью хОу совпадает с осью Оу. Неизменная односвязная часть плоскости произвольной формы движется вдоль нее с постоянной скоростью и так, что движение каждой точки этой части параллельно плоскости xOz. В пренебрежении эффектами диффузии линеаризованная система уравнений движения (2.1) в лабораторной системе координат, связанной с неподвижной жидкостью принимает видЗдесь w, Р, р - переменные скорость, давление, плотность, p0(z) — невозмущенное экспоненциальное распределение плотности, g - ускорение силы тяжести, v - кинематическая вязкость. Граничным условием к системе (2.4) является условие прилипания, так что на плоскости отлична от нуля только тангенциальная компонента скорости в пределах движущейся ее части. Для сокращения выкладок трехмерная скорость w выражается через две скалярные функции (УиФ, тороидально-полоидальное представление [127]) при этом последнее уравнение в (2.4) удовлетворяется автоматически. В покомпонентной записи представление (2.4.) имеет вид Из (2.6) следует, что у движения, описываемого потенциалом 4f отсутствует вертикальная компонента скорости и, следовательно, в нем возмущение плотности р = 0. Продифференцировав первое уравнение в (2.4.) по у и вычтя из него второе уравнение, продифференцированное по JC, получим уравнение, которому удовлетворяет потенциал ч/ Таким образом, потенциал F описывает изопикнические движения вязкого погранслойного типа. Продифференцируем первое уравнение в (2.4) по z и вычтем из него третье уравнение, продифференцированное по х. Затем продифференцируем второе уравнение в (2.4) по z и вычтем из него третье уравнение, продифференцированное по у. В результате получим систему
Волновое поле, порождаемое равномерно движущейся областью эллиптической формы
Таким образом, в линейном приближении учет всей совокупности процессов, включающих внутренние волны и пограничные слои на обтекаемом препятствии позволяет находить точные решения ряда практически важных задач теории периодических и присоединенных (подветренных) внутренних волн. Тем самым показана принципиальная возможность построения точных моделей процессов в окружающей среде, не содержащих подгоночных пара метров. Реализация разработанных методов требует совершенствования ма » тематического аппарата для построения решений задач с сложной топогра фией, характерной для природных систем, а также методов анализа и представления результатов весьма обширных расчетов, В настоящее время такие решения можно и необходимо строить для уточнения прогностических моделей динамики природных систем. В дальнейшем анализе учитывается только один диссипативный коэффициент — кинематическая вязкость среды, обеспечивающий затухание механических движений. 2.4. Расчет двумерных присоединенных внутренних волн Для получения компактных аналитических выражений рассматривает ся полностью линеаризованная задача — аналог течения Стокса для присое диненных внутренних волн. Источником возмущений является горизонталь ная полоса, равномерно движущаяся в вязкой экспоненциально стратифици ; рованной жидкости с частотой плавучести N вдоль бесконечной горизон тальной плоскости. Ось Ох ориентирована вдоль скорости U, ось Oz направ лена вертикально вниз.
При изучении двумерных периодических движений система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска сводится к стандартному уравнению внутренних волн [114, 115] для функции тока Ч . их=дЧ /дг, и1=—дхР/дх, v — кинематическая вязкость предполагается постоянной. Граничными являются условия прилипания, как на движущейся полосе шириной а, ориентированной ребром по нормали к скорости U, так и на подстилающей горизонтальной плоскости Оху: Здесь $ - функция Хевисайда, На бесконечности все возмущения затухают. Решение уравнения (2.34) с граничным условием (2,35) ищется в виде разложения в интеграл Фурье следуя [15, 120], причем учитываются все корни дисперсионного уравнения, как регулярные по вязкости (которым соответствуют волны), так и сингулярные, характеризующие пограничные слои уравнения для kw и kti соответствующего оператору (2.34) Для обеспечения условия затухания возмущений на бесконечности (z-»+ ) выбираются такие ветви решений kw и А,-, для которых выполняются неравенства Im kw 0, Im kt 0. Подстановка (2.36) в граничные условия (2.35) приводит к алгебраической системе уравнений для Aw и Ai Из (2.40) следует, что в системе отсчета х = x-Ut, связанной с движущимся телом, поле присоединенных внутренних волн позади источника стационарно. Дисперсионное уравнение при этом принимает вид (к и) = 0. С учетом вида дисперсионного уравнения в случае стационарного движения источника выражения (2.38) для волновых чисел kw и к{ есть Для компьютерной визуализации использовалось точное решение (2,40). Аналитические оценки его свойств выполнены асимптотическими методами в приближении малой вязкости, когда приближенные выражения для волновых чисел kw и к , удовлетворяющие условиям на бесконечности, принимают вид (2.42) Второй (вязкий) член в первом выражении для волнового числа kw будет поправкой к первому члену, если скорость движения тела удовлетворяет неравенству U 4lvN.Из (2.42) следует, что слабозатухающие внутренние волны имеют место только при выполнении неравенства \к\ к$, когда действительная часть kw существенно превышает мнимую. Дальнейший анализ изложен на основе работ [ 121-123]. .
Подстановка приближенных значений к (2.43) в решение (2.40) приводит к следующему выражению для функции тока присоединенных внутренних волн где S(k) = kcas p- кі — к2 sin р - фазовая функция. Асимптотическая оценка интеграла (2.45) при г- х производится методом стационарной фазы. Точка стационарной фазы к, находится из уравнения которое имеет решение только при ф тг/2, когда точка наблюдения располагается позади источника к = -AQ COS ф, cos ф 0. Значения фазовой функции и ее второй производной в точке стационарной фазы определяются выражениями Основной вклад в интефал (2.45) дает точка стационарной фазы, поэтому, раскладывая S(k) в ряд Тейлора в окрестности к,, считая f(k) слабо меняющейся вблизи точки кщ и распространяя интегрирование на всю действительную ось, получаем Формулы (2.44 - 2.48) поясняют логику эвристической методики расчета диспергирующих волн [15], которая широко используется на практике [48-50, 129]. Фазовый множитель cos r), не зависящий от вязкости среды, определяет форму гребней и впадин, которые как в двумерном [ 15], так и в центральном сечении трехмерной задачи [48], являются четвертями концентрических окружностей. Количество волновых систем и их относительное расположение (положение центров фазовых поверхностей) определяется отношением длин порождающего источника а и излучаемой волны X = 2n/kQ. Интерференция двух систем волн, возбуждаемых передней и задней кромками полосы, может существенно изменить пространственную картину и распределение амплитуд волн. Наиболее простой вид полученные выражения принимают при больших значениях отношения X/а, что эквивалентно приближению больших чисел Фруда [48, 130]. Для иллюстрации основных свойств решения аналитические вычисления выполнены в наиболее простом случае, когда движущаяся полоса является узкой по сравнению с длиной излучаемой волны а « \ = 2тіік$ (приближение больших чисел Фруда Fr = U/Na). Тогда асимптотическое выражение для волновой части вносимого возмущения (2.41) принимает вид Фазовый множитель sin(fc0r) описывает систему волн позади тела 7t/2 (p 7t, порождаемых сингулярным источником [15]. Полученные выражения не являются равномерными во всем диапазоне изменения угловой переменной ф, поскольку при ф — п 12 точка стационарной фазы попадает на границу интервала интегрирования к = к$ ив дальнейшем выходит из него. При этом меняется порядок асимптотических разложений и для их вычислений необходимо применять более мощные методы [131]. Структура опережающего возмущения, основной вклад в которое вносит стационарная точка к = 0, определяется выражением Таким образом, волновое поле заполняет все полупространство задачи. Впереди тела волны образуют семейство горизонтальных полос с шагом Аг = Я=2ти/к0, которые плавно переходят в полуокружности позади препятствия. Пропорциональность амплитуды возбуждаемых присоединенных волн в (2.49) и (2.51) корню квадратному из вязкости связана с тем, что возбуждение этих волн происходит исключительно за счет сил трения. В проведенных вычислениях волновых возмущений использовались приближенные выражения для волновых чисел (2.42), которые подставлялись в выражения (2.40) для вычисления асимптотик интегралов. При расчете пограничных слоев приближенные выражения используются только для волновых чисел, получающиеся при этом интегралы вычисляются. Полное семейство корней дисперсионного уравнения (2.47), сохраняющего порядок исходной системы дифференциальных уравнений, помимо регулярных решений, соответствующих внутренним волнам, включает и сингулярные, то есть корни вида 4/io kU которым соответствуют пограничные слои на поверхности тела, движущегося в вязкой жидкости. Учет этих компонент движения необходим для построения решений, точно удовлетворяющих как уравнениям, так и граничным условиям для стратифицированной вязкой жидкости [120]. В приближении больших чисел Фруда формулы (2.40) и (2.42) преобразуются в следующее выражение для функции тока пограничного слоя
Визуализация векторных полей
Визуализация двумерных векторных полей является более сложной задачей, чем полей скалярных величин, так как здесь в каждой точке необхо димо показать информацию не только о модуле вектора, но и о его направлении. Наиболее простым и распространенным является метод двумерных стрелочных диаграмм. Его преимуществами являются легкость реализации и простота интерпретации конечного изображения. Однако при высокой плотности информации визуализирующие элементы начинают накладываться друг на друга, изображение становится трудным для восприятия. Кроме того, стрелочные диаграммы имею низкое пространственное разрешение. Другая часть методов связана с прямым построением линий тока. Изображения при малом количестве линий не несут информации обо всем поле, а при большом - отдельные элементы накладываются друг на друга, что затрудняет анализ. Более совершенные методы [140], используя прямое построение изолиний, по специальным алгоритмам вычисляют цвет каждого конкретного пикселя, что при наложении изолиний друг на друга, сохраняет информативность выходного изображения. Общим их недостатком является сравнительно большое (порядка нескольких минут) время построения картины. 3.4. Визуализация векторных полей модифицированным методом экспозиции частиц Для визуализации тонкой структуры двумерных векторных полей разработан модифицированный метод экспозиции частиц на основе методики [141]. При построении изображений на основе массива векторных данных создаются два одинаковых массива скалярных данных, в одном из которых приведены абсциссы, а в другом - ординаты координат векторов, и дополнительно опорный массив такого же размера, заполненный случайными числами из диапазона 0-255, Число элементов опорного массива равно числу узлов сетки представления исходного поля. Затем генерируется множество пробных частиц, число и продолжительность существования которых являются параметрами настройки изобра жения. Пробные частицы случайным образом размещаются в расчетном поле. Далее рассчитьшаются траектории частиц в ранее полученном векторном поле. Направление смещения частицы определяются элементами массивов, а цвет точки - средневзвешенным значением данных опорного массива вдоль траектории. Результат этих действий приведен на рис. 3.9.
Поскольку число пробных частиц выбирается достаточно большим, в данном случае 2000-5000, и их начальные координаты случайны, осредненная картина надежно характеризует регулярную часть поля смещений. Длина траекторий и число частиц являются параметрами настройки метода. В данном случае число пробных частиц не является равным числу точек поля, как в [141], а составляет величину приблизительно на порядок меньшую, что приводит к значительному уменьшению времени работы алгоритма построения изображения (порядка 15 с, то есть почти на порядок быстрее). Разработанная программа, помимо визуализации, позволяет проводить анализ структуры полей. Она предусматривает: построение сечений любой переменной вдоль прямой проходящей через выбранную точку, нахождение координат и значений локального минимума или максимума в окрестности указанной точки и автоматический вывод координат и значений соответствующий выбранному участку изображения. Кроме того, имеется возможность построения черно-белых знаковых диаграмм (рис. З.П.), когда все положительные значения выводятся белым цветом, а отрицательные черным. Такие диаграммы очень полезны при анализе фазовой картины поля внутренних волн. Методы вычисления интегралов показаны на примере анализа решения, описывающего возмущения около горизонтально движущейся пластины в непрерывно стратифицированной жидкости, задаваемых (2.40). Для построения картины течения вначале в узлах выбранной сетки вычислялись массивы значений интегралов в выражениях вертикального смещения и для вертикальной и горизонтальной составляющих скорости Оценка значений интегралов в (3.1) стандартными численными методами требует больших затрат машинного времени, поскольку значения границ интервала численного интегрирования /j нелинейно зависят от физических параметров задачи, входящих в подынтегральные выражения. Пробные расчеты показали, что положение границ интервала интегрирования rt практически не зависит от горизонтальной координаты и сильно зависит от вертикальной. С целью оптимизации процедуры вычислений составлена функция ошибок и подобрано выражение для /}, при котором точность вычислений сохраняется практически постоянной в анализируемом диапазоне параметров. Учитывая возможность сопоставления расчетов с лабораторными экспериментами, пределы /} выбираются в виде во всем диапазоне изменения параметров (здесь z - вертикальная координата, выраженная в сантиметрах). Вычисления интегралов (3.1) производятся методом Симпсона. С учетом вида подынтегральных выражений шаг интегрирования шаг Sj выбирается переменным S[ =0,01/vz. Программа визуализации составлена в оболочке MS Visual C++. Время расчета значений интеграла (3.1) для заполнения исходного массива одного кадра составляет около 4 часов на PC Athlon 1000. Большая часть анализируемых полей представляла собой векторный поля скоростей, поэтому в программу, предназначенную для анализа, была заложена процедура вычисления завихренности. Пример ее работы приведен нарис. 3.10.
Похожие диссертации на Расчет и визуализация тонкой структуры внутренних волн в вязкой статифицированной жидкости
