Сходимость разностных методов для нелинейных уравнений в частных производных Фишер Малле Александеровна

Содержание к диссертации

Введение

I. Вспомогательные сведения и результаты . 22

2. Решаемая задача и разностная схема . 29

2.1. Постановка задачи 29

2.2. О гладкости решения задачи (2.1) . 31

3. Дискретные теоремы вложения 40

4. Свойства разностного оператора 51

4.1. Дифференцируемость оператора А^ 51

4.2. Неравенство коэрцитивности 62

4.3. Неравенство коэрцитивности для частного случая

5. Локальная сходимость разностного метода . 73

5.1. Дискретно сходящиеся последовательности операторов 73

5.2. Сходимость разностного метода 75

6. Сходимость разностного метода в случае малого свободного члена 86

7. Корректность разностных схем для квазилинейных параболических уравнений 93

7.1. Неявная схема 97

7.2. Явная схема 104

7.3. Схема Кранка - Николсона 108

7.4. Метод интерации ИЗ

Цитированная литература 117

Публикации по материалам диссертации 12

• О гладкости решения задачи (2.1) .
• Неравенство коэрцитивности
• Сходимость разностного метода
• Явная схема

Введение к работе

І. Настоящая диссертация посвящена исследованию разностных методов приближенного решения первой краевой задачи для эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка. При этом исследованию подлежат весьма конкретные задачи, связанные с эллиптическим оператором со слабыми нелинейностями в коэффициентах:

Аи. = - Jl ss/V*,") fe "-^{е H(sl)}>^т=й,і-^(І)

Известно (см. [34] , [Зб] ), что к эллиптическим уравнениям вида приводят задачи о стационарном распределении тепла, задачи диффузии, электростатики.

Нестационарный процесс теплопроводности описывают параболические уравнения V-U^fc^febi- ^(з)

Кроме того, к случаю, когда коэффициенты являются фзгнкциями от решения лс(оо,і) приводят задачи механики нефтяных резервуаров (см. [б] ). Исследование такого типа задач было начато Дугласом и Дюпоном в [5l] . Они рассматривают диффузионную задачу ' (4) ьс (x,i) = 0 , х е ЭИ , t >О , ^(л-,0) = и₀(ъ) ., CC6.Q., где .0. с /^-ограниченная область; предполагается, что матрица аиЫ_}и) размера тхт вещественна, симметрична и равномерно положительно определена.

Нетрудно показать, что оператор Д не является монотонным оператором. В связи с этим отметим, что эллиптические дифференциальные уравнения с монотонным оператором довольно глубоко исследованы (см. [22, б, 10, 2] ). Вопрос разрешимости уравнения (2), т.е. уравнения с немонотонным оператором менее исследован. В этом отношении можно указать на следующую задачу Дирихле, не содержащую смешанных производных:

ХЛ= 2 М на dSl . ⁽⁵⁾

Проблема разрешимости задачи (5) изучается в [53J . Там предполагается, что Дс R^m (rn,-Z,i) - ограниченная область с достаточно гладкой границей 2Ц , а с^(зс,а) дважды непрерывно дифференцируемое отображение ИЗ 1*R В [ot₀ ><*.<] где О<ос₀ <*4<оо ₉ причем производные от c^ioc^juu) до второго порядка ограничены на -1*/?. Утверждается, что если |б С^СЩуОї-ЄІОу'і) и если функция аМ продолжаема на всю область SL так, что а (&) C^A+et(LU), то задача (5) имеет единственное решение Us C^A+otf-Q.) (пространство C^t+YiX) означает здесь пространство Гельдера).

С приближенным решением задачи (5) связана работа [52J , где исследуется метод Галеркина.

Отметим, что задача о положительном собственном значении нелинейного оператора (I) рассматривается в [50] .

Ситуация аналогична и при исследовании разностных методов для нелинейных эллиптических уравнений. Разностный метод решения эллиптических задач с монотонными операторами подробно разработан многими авторами (см. [7, 8, 12, 16, 17, 18, 23, 56] ), однако этого нельзя сказать о задаче (2). В названных работах сходимость разностного метода достигается в метрике Соболевского пространства W^A'? ( в случае уравнения второго порядка). Сходимость разностного метода в более сильных нормах, как правило, достигается за счет неравенств коэрцитивности. Для линейного эллиптического оператора второго порядка под неравенством коэрцитивности понимают неравенства вида L4 и, li₀ * ;r їй, Ід, - с II «,||_1г где |[оо||_к означает норму в Н^к-1л/^к,г. Дня задачи Дирихле линейного эллиптического уравнения такое неравенство хорошо известно (см. [22J ). Для соответствующих разностных задач неравенства коэрцитивности установлены в [12, 4l] . Для разностной задачи, аппроксимирующей задачу о периодических решениях линейного эллиптического уравнения, имеется неравенство коэрцитивности в [4] . В [II, 24] приведены неравенства коэрцитивности для разностных операторов, аппроксимирующих нелинейные сильно монотонные эллиптические операторі.

Неравенства коэрцитивности известны ещё в некотором эквивалентном виде, как неравенства типа "острого угла" (см. [39, 40, 25] ).

Результаты, относящиеся к разрешимости нелинейных параболических уравнений с сильно монотонной пространственной частью, имеются, например, в [б, IO] . Исследованием разностного метода для названных задач занимались в работах [ІЗ, 19] . В [26, 27, 28, 29] исследованию подлежит корректность двухслойной разностной схемы где В,А разностные оператора, причем А - нелинейный. В качестве применения полученных результатов в названных ра -ботах исследуются и разностные схемы для разных краевых за -дач параболического уравнения (3). Относительно изучения двухслойных схем с весами можно сослаться на [ЗО, Зі] . в[зі] полученные результаты применяются при исследовании неявной разностной схемы для параболического уравнения (3).

Отметим ещё, что в [5l] рассматриваются вопросы, связанные с использованием метода Галеркина. Именно, при приближенном решении задачи (4) предлагаются численные процедуры, основанные на методе Галеркина, для дискретных моментов времени. При этом производится дискретизация по времени аналогично разностной схеме Кранка-Николсона.

С вопросами разрешимости нелинейного параболического уравнения связана работа [54] .

Основной целью настоящей работы является исследование сходимости разностного метода для решения квазилинейной эллиптической задачи (2) в двух- и трехмерном единичном кубе. Первые четыре параграфа диссертации имеют в этом смысле вспомогательный характер, хотя выведенные там результаты представляют и самостоятельный интерес. В том числе некоторые специальные дискретные аналоги теорем вложения Соболева, неравенство коэрцитивности и т.д. Вопросы же сходимости разностного метода в метрике Соболевского пространства И^% изучаются в параграфах 5 и б. Последний параграф посвящен исследованию разностных схем для нелинейных параболических уравнений.

2. Изложим более подробно содержание и основные результаты диссертации.

В I приводятся вспомогательные результаты и сведения, которые используются в дальнейшем на протяжении всей работы. Сюда относятся всякие пространства, нормы, теоремы вложения как в непрерывном, так и в дискретном случае.

Затем, в 2 формулируется изучаемая задача, которой во всей диссертации уделяется основное внимание. Именно, рассмотрению подлежит задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка в виде

Аи,«{ , ^=ал.(х)є Ио(Л), |б UCU), (6) с (немонотонным) оператором

Здесь 1 - единичный куб размерности лг»& или m = 3 . Предполагается, что выполнены условия: (I) оператор Л эллиптический, т.е. для каждого Ct>0 существует такое число Э_Л>0 , что при всех ^eR ₅Я.б51₉ ul 6 Г-л, а] справедливо (II) функции ау(зс.,-и) имеют непрерывные производные до порядка S (sW) и

1 ^Э^о э^^а)1 * <**>>/*>/** 0,4,-,* i/i.t^4S, =4,..., m, чіри всех xeI2,4ce[-a.,a/J с/_л-* положительная постоянная, зависящая от <Х .

В 2 приводится и разностная задача, аппроксимирующая задачу (6). Именно, рассматривается следующая дискретизация

КЧ = 1^,⁶ №0, |^е LJSL_t\ (7) = --І jQ. ^-равномерная сетка с шагом Ж,--^ на области Si ,

Кроме того, в параграфе 2 изучаются вопросы разрешимости задачи (6).

Теорема I. Допустим, что выполнены условия (I), (II) с s=3. Пусть || [ A'f0)Г \\ _{(Lja)f Hi(Sl}y 4 у и пусть число а выбрано настолько малым, что &с-<Аа.'<х, С3+л)<^ ,

04сь<^. Тогда при таких , для которых 11|И₀^ * ~y^} уравнение (6) имеет в шаре llu-I^cc единственное решение W*e HiCSL) С С * const > о из теорем вложения).

В 2 имеется и аналогичный результат о разрешимости уравнения (6) в НоС&).

В 3 доказаны некоторые дискретные аналоги теорем вложения Соболева для так называемых промежуточных пространств.

В том числе имеется и разностный аналог теоремы о компактном вложении. Отметим, что некоторые теоремы такого рода имеются в [із] Приведенные в диссертации теоремы вложения являются важным средством во всей работе. С их помощью доказываются все результаты, позволяющие установить сходимость разностного метода.

Теорема 2. Дня сеточных функций /U'^l^R _} продолженных нулем на границу Э_^ имеют место неравенства где ^ Ц -114 ll₀ , A»,- "I 9, , || ||₀ = || І^цщ ,

Эг. =М... m- -либо разность 9^, ₉ либо 9«,, либо симметри-ческая разность Ьі = др ( ді * де,).

Как следствие приведенной теоремы в параграфе 3 получен еще дискретный аналог неравенства Ниренберга.

Следствие I. Имеет место неравенство где 11<^11д,^я ІІЛ^!І₀.

Целый ряд неравенств Ниренберга, как в мультипликативной, так и в аддитивной форме имеется в [32, 33, 42 J .

Введем оператор а^е ( Ц (Si),Ц (Sl_fS))_> А^ р *о , действующий по формуле где 9f(|) элементарная ячейка объема № с центром в точ- OTf S) = { 00= (V._v*0, |.- | < X- 4 fe. ₊ i., j»4,...,rrt} .

Теорема 3. Пусть aj:_Q^j*R сеточные функции, продолженные нулем на границу VSl^. Тогда имеют место неравенства причем из условия ІІ^Ї^А^сок^і (ъеМ) следует, что последовательности fyj ^) и $<:<&) дискретно компактны в следующем смысле: для каждого бесконечного подмножества /V'c N существует бесконечное подмножество N^//cN^/ и функция а такие, что имеет место сходимость (Здесь Л/- множество натуральных чисел).

Четвертый параграф посвящен исследованию свойств разностного оператора. Именно, рассматриваются свойства, связанные с дифференцируемостыо оператора Д^: Но (&,) ""* -* L^dlf). Сформулируем их в виде лемм.

Лемма I. Пусть выполнено условие (II) с >»3 .Тогда оператор Д^: H*(Q.f)~* ^(^дифференцируем по Фреше и имеет место неравенство где Ma, = cda, (Д, + 4а-*сь^л) >,

Лемма 2. Пусть выполнено условие (II) с 6=*3 . Тогда имеет место

Лемма 3. Пусть выполнены условия (I), (II) с s*3 и пусть he Hi(SLt) такой, что Иrj|_г4О.. Тогда где ^ = 34[^о |ц 1_Х ( ^б *** *l'»)^ ] _?

Следующая теорема описывает основное свойство оператора Д^. Это свойство - неравенство коэрцитивности.

Теорема 4. Пусть выполнены (I), (II) с 5=3. Тогда для любых ^1^6 HjC&k), Wh» 1МІ2,^<* имеет место ^{м^ д^,4^}_г^{^))>^ п^-иі^и^-ч«гН,,} а вместе с тем где ^= Зс^ + х^І^ (Л&4(6л + а^ ,

Следствие 2. В предположениях теоремы 4 имеет место также неравенство где С^ = 4Л_Л,"⁴+-|р^ЄлХ"~⁵' ^а СУ О выбрано так, чтобы вы-полнялось равенство у d_a,(&(bO'-ta?') г + )~ -^ ,

В случае, когда коэффициенты а^Сх, а)=аг?(и) , т.е. зависят только от ал- , имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (I), (II) с cl_l: fa, и) = сси Си) и с 5 « Ъ. Тогда для любых Ал, лг є Но (iljj) ^ ||odl^ _? J|/ir Ид, а, имеет место а также где «, = ае^ (i.od„, (5-^+0^))5%

Отметим, что коэффициенты Со, и С^ отличаются качественно: в то время, когда

В 5 исследуется локальная сходимость разностного метода, т.е. сходимость разностного метода в некоторой окрестности решения задачи (6). Предполагается, что уравнение (6) имеет решение ^* Но (.&). Как следует из теоремы I, это справедливо, например, при достаточно малых по норме L . Исследование сходимости разностного метода основывается на абстрактной теореме о методах дискретизации из [з] , для проверки условий которой служат приводимые ниже леммы.

Демма 4. Пусть выполнены условия (I), (II) с s= Ъ . Тогда оператор А: Н Ш) -» L*(iT) дифференцируем по Фреше в точке и- и производная A'W) в< (Но(SO, La,(&)) -Шредгольмов оператор с Uvd А'(и?)-О ,

Введем оператор р^б^(Но№),^о(^-0)> действующий по формуле

Лемма 5. Пусть выполнено условие (II) с s=*b. Тогда имеют место HA^pva-^^Atcllo^o , дл,еНЇ№).

Лемма б. Пусть выполнено условие (II) с ь^Ч . Тогда

Лемма 7. Пусть выполнены условия (I), (II) с s=4. Тогда последовательность операторов А^(р^) регулярно сходится к оператору А'(и?)*

Из лемм 2, 4, 5, б, 7 на основе абстрактной теоремы из [3] вытекает следующий основной результат.

Теорема б. Пусть выполнены условия (I), (II) с s=4, и? Не С&) , И {ьГ <\ь\ Ио"^ ) ^ ^e ^ ^ПУ^СТЬ однородное уравнение /А'(<х^)лг = о имеет в НоС&) лишь тривиальное решение. Тогда найдется такое <о> О _> что уравнение (7) для почти всех h, имеет в шаре ll^k-to^l^^o единственное ре-шение At^ , причем

Если и}еС^ц(Щ и 0^-^11,,-0(^) , то

Отметим, что если известно достаточно хорошее начальное приближение к ал. , то это решение можно найти методом Ньютона-Канторовича.

В б на основе принципа сжатых отображений излагается доказательство сходимости разностного метода. Доказательство, по сравнению с предыдущим параграфом, существенно проще, и позволяет для решения разностной задачи применять метод простой итерации. Но доказательство удалось провести лишь в частном случае, когда оц.і(.зс,а)-а.аСи) в предположении равномерной эллиптичности оператора

Итак, на протяжении б предполагается, что выполнены условия: (I») оператор А ї Hi(Sl)-f 1-ъ(&) равномерно эллиптический, т.е. существует такое число 2>о , что при всех *$L&& , ос Є SI _? LL& -& C-ci^aJ 31^- положительная постоянная, зависящая от <Л .

Демма 8. Пусть выполнено условие (II ). Тогда оператор

Д^: И* () -* L^iSL^) дифференцируем по Фреше и имеет место где Mo,- 0 (/1+2)0,-+-0^) ,

Теорема 7. Пусть выполнены условия (1),(11) и пусть съуо достаточно мало, так что (A/+oC)Ccv4 ^2. с «1>0. Тогда уравнение имеет в шаре единственное решение л , для которого при б(0,д^^- .J по норме сходятся последовательные приближения «I^е=t*~ ^kAi ^а4'^А -№»^{г ч}л- >f⁼ с оценкой где <^ = ^(*)= (4- +М*^ЬУ*<4 . Так как a=^^ll{JI₀, а ё_а = -r-ato-⁴ (Л/с^д^бГо.*^))*""!* (см. теорему 5), то требование (Д/+Осл ^^е, влечет за собой ограничение на малость свободного члена 2^:

Относительно сходимости разностного метода справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть имеют место

I) условия (і'), (її');

3) (Х + с/)Сл, ^ X _? оС?0 . Тогда l^-fr"-*^"*^{0 при} ^*⁶ Но (Л). Если, кроме того, о.* 6 С"№), \\\^-<\^{\\₀^^^) » ^т0

17 имеет место

7 посвящен исследованию разностных схем для решения задачи fj + А66)^ = { , OteH, ±6(0,Т] , /jl(^O) « tc₀(gt) , осе5І, (8) где Л Ф^ = -І ^fcgfeA^fe) , *і=*»3,

Пусть выполнены условия: (I ) для кавдого <х>0 существует такое число &а)0, что при всех oieSl _}ке СО,Т]_{у г}б> ,абЕ-л,л] справедливо гл. m (II ) функции a-ij С Qd,-b_} u) дифференцируемый Voce IL_} fceo,T]_? ae [-a^] _? ^,...,^,.

На отрезке С О/Г] вводится сетка с шагом Х--^r : причем

0~ rs [ е сАс > о ^ і < Т^ .

Рассматривается следующая дискретизация оператора А() :

В 7 исследуется 3 разностных схемы: неявная схема, явная схема и схема Кранка-Николсона.

1 Неявная схема.

2 Явная схема. где ^ _s ^ fc -с)_; А^)=A^t-v) , (_to= fa (* -с).

3 Схема Кранка-Николсона. ^ (as, о) = t<> fe) , o: e - , где i'= t-% )^==% f^ + ).

Исследование корректности приведенных разностных схем основывается на общей теореме из [3IJ и осуществляется до- вольно просто, благодаря неравенству коэрцитивности. Во всех случаях изучается корректность в Соболевском пространстве И^н .

Предполагается, что задача (8) имеет достаточно гладкое решение и> (%>,) и рассматривается окрестность

С₀-(ъ}_у Со-Const >0.

Теорема 9. Пусть выполнены условия (I ), (II ). Пусть <С & л.&, tv-oohbtyO такая, что выполнялось 4-&#СІ,>0. Тогда при достаточно малых к и /ь (/t*&) схема 1 имеет единственное решение Л/ (tyelif и при І і fee" 4^1 і₀-— (DCV'+'c) имеет место оценка

Здесь и далее сі. - коэффициент из неравенства коэрцитивности (см. следствие 2).

Теорема 10. Пусть выполнены условия (I ), (II ) и откуда следует, что V ~ <&(к*у. Тогда при достаточно малых ЛІ и t схема 2 имеет единственное решение лЛ-)е/Ц# и при 11& ~ЯіА io**№-rt) имеет место оценка max Ш-к) -р^Ск)\_А =»0«,Vc).

Теорема II. Пусть выполнены условия (I ), (II ). Пусть 'C&tijffi гьц- coin-btyo такая, что выполнялось Ц-ъс^уО . Тогда при достаточно малых L и ^(v&^lrj схема 3 имеет единственное решение tft-tyedAft и при H-fbr ~^f (*-,-) Hо - OW-vz**) имеет место оценка

В заключение перечислим основные результаты работы.

Даны условия разрешимости слабо нелинейной задачи (б) в соболевском пространстве H₀(S1) , а также в пространстве Но№).

Установлены некоторые специальные дискретные аналоги теорем вложения Соболева.

Доказан ряд свойств разностного оператора А^ , в том числе неравенство коэрцитивности.

Доказана сходимость разностного метода для приближенного решения нелинейной задачи (б). Указаны условия, при которых метод сходится со скоростью (0(^) для решения разностной задачи (7) применим метод Ньютона-Канторовича.

В частном случае (когда коэффициенты <Хп зависят только от ц) для сходимости разностного метода построено доказательство, основывающееся на принципе сжатых отображений; в этом случае для решения разностной задачи применим неявный метод простой итерации.

5. Установлена корректность разностных схем трех ви дов для нелинейного уравнения параболического типа.

Основные результаты диссертации изложены в работах [44-49] и докладывались в ХУ Воронежской зимней математической школе (1981 г.), на симпозиумах "Методы решения нелинейных уравнений"(II симпозиум в г. Хаапсалу - 1981 г., III - симпозиум в г. Таллин - 1984 г.), на конференции "Методы алгебры и анализа" (Тарту - 1983 г.), на семинаре кафедры вычислительной математики Казанского университета.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Г.М.Вайникко.

О гладкости решения задачи (2.1) .

Как уже отмечалось во введении, оператор Д , удовлетворяющий условиям (I), (II) не является сильно монотонным оператором, т.е. не удовлетворяет условию Действительно, из формул интегрирования по частям, имеем: ГДЄ 1С,Л)-в НІ (51), "h-UL-ЛГ. Из последнего очевидным образом вытекает следующее равенство: т.

В то время когда первое слагаемое в последнем равенстве оце-нимо в нужную сторону при помощи условия (I), мы не сможем оценить второе слагаемое так, чтобы выполнялось условие сильной монотонности.

Пример. Приведем простой пример одномерного случая (.т-л) , иллюстрирующий последние рассуждения. Рассмотрим оператор Используя формулу интегрирования по частям, будем иметь Последний интеграл не может быть при всех VLy VG НСХ) даже неотрицательным, не говоря уже о строгой положительности. Значит данный оператор не обладает свойством монотонности.

В качестве основного объекта исследования будет дискретный аналог задачи (2.1), который строим в виде Т & З НЇСІІО, ft, U№0, (2.2) где

О гладкости решения задачи (2.1). Как уже отмечалось во введении, проблема разрешимости задачи типа (2.1) рассматривалась в [53] в частном случае, когда уравнение не содержит смешанных производных. При исследовании разрешимости уравнения (2.1), т.е. уравнения со смешанными производными, в пространстве НоС-&) воспользуемся леммой из

Лемма 2.1. Пусть оператор d ; Е - F (Е, F - банаховы пространства) дифференцируем по Фреше в шаре ии - ufIf S0 и пусть оператор №(и?) (Ь } F) имеет обратный Пусть с некоторым о\,(0 а Л) выполнены неравенства lltt-u lUdo ft Тогда уранение &"- имеет в шаре /f о. - о 0 // о 0 единственное решение О , причем .Oil , о где о іШ ИЛа - Мі ііи y-l u-1 . Будем исследовать разрешимость уравнения (2.1) на ос нове приведенной леммы. Пусть выполнены условия (I), (II) с s=2 .Из условия (II) следует дифференцируемость опера тора А : Hl($0 - Lx(-&) . Выделение главной ли нейной части в А(Чс- лг) Ллг дает - J М Л4 )лг + Az.(u-)wj &eUl(). (2.3) Очевидно АДи) (Ho(-&); L CSl ) . Для второго слагаемого в (2.3) имеем Отсюда с учетом вложений HYH) С U/4 (-Л.) и вытекает, что В итоге получаем, что действительно А — Lx(Sl) представляет собой линейный ограниченный оператор из Hv(l) в L CSl) . Убедимся в том, что оператор А ( д является производной оператора А в точке to . Для этого достаточно показать, что TUrl Очевидно АЯ+лг)- А а = - 1 (atJ ( ,«. »-) 2 - (а,и) -)= C/J- J сі 4J Так как и agfc(t )= о лЬ Э а) ЛГ + то .. эхЛ гіл, ъх 49JC,U Ш Эос/ Значит Д(«. «) -A -А Н10 = .( Ц v &) + или в развернутом виде IIAfa -A -A fuVll llIl? . l) + ч + fe 01 Эх/ + л. 4 гЭьаг;(х.би-е4г) , Эь хг; (х.а+Є ) Э(а 9лг)ь.ЛРа.-Н1 + 1 aWxi ЗиГ ax7 a jJV

Отсюда на основе неравенства Коши-Буняковского и теорем вложения (см. I) вытекает, что Следовательно, имеет место соотношение (2.4). Из условия (I) вытекает, что для -,j-4 G а имеет место С ( Д7о) лг, лг) - (Е ач ( ,o)f., ) » х. М) Значит однородное уравнение А (о) w имеет только тривиальное решение, и ввиду фредгольмовости линейного эллиптического оператора А (о)\ He 6&)-? LzCSy существу ет 1А (о)ТАе (иСЙ , ИоСА)). Теорема 2.1. Допустим, что выполнены условия (I), (II) с s=5 .Пусть ЦА (0)ГІл(и($/Иї(Ії.)) у и пусть число CL выбрано настолько малым, что Xcdpccu (b- -ct) -3- , о & а, \ . Тогда при таких і , для которых Ці 0 e-f - ), уравнение (2.1) имеет в шаре II и Ид, л- единственное решение Но С 1) Замечание 2.1. В случае, когда а,-(зс»м =«-. сь) , т.е. коэффициенты зависят только от и, , легко оценить норму обратного оператора [A4o)JM Обозначим

Неравенство коэрцитивности

Замечание 4.3. Неравенства коэрцитивности для линейных разностных задач Дирихле установлены в [12], [41]. Для разностной задачи, аппроксимирующей задачу о периодических решениях линейного эллиптического уравнения, неравенство коэрцитивности имеется в [4]. Неравенство коэрцитивности в случае разностной задачи для решения первой краевой задачи квазилинейного сильноэллиптического (монотонного) уравнения второго порядка получено в [24J.

Нужно отметить, что неравенство коэрцитивности в виде (4.7) или (4.13) можно считать обобщением неравенства типа острого угла на нелинейный случай. Для линейных разностных операторов такие неравенства хорошо известны (см. [39, 40, 25, 12]). 5. Локальная сходимость разностного метода

Пусть Е, F - банаховы пространства функций определенных на L/ Е F fh- N) - нормированные пространства сеточных функций, заданных на Slj . При этом пространства Е и F будут связаны с пространствами Е и F с помощью отображений р е (, Еь) J оіф (F, f t удовлетворяющих условиям Говорят, что последовательность (ДьЛ ел/ операторов Jk : Е, т-» FV дискретно сходится к оператору &.: Е- Р , если для любой дискретно сходящейся последовательности &fk)» гие Е имеет место импликация обозначаем: Л —? Jt CneW).

Последовательность операторов J e СEfi J"0 УСТОЙЧИВО сходится к оператору Ле (Е,р) . если 1) Jt -?Jt (his/) ; 2) существует обратное Jj e (F , Е ,) , причем IIЛ К сокбХ при почти всех іг . Последовательность операторов Jb /. Е -? F , ре гул яр 74 но сходится к оператору jt\ Е- F , если 1) \- & (nelSf) ) 2) IIMWIIE- - const, СА А/л) дискретно компактна = 6ч ,) дискретно компактно.

Последовательность операторов Л :" -?Р компакт» но сходится к оператору Jb . Е - F , если 1) A ,- (neN) ; 2) ll lg. 5 const =T C AUu) дискретно компактна. Обозначим через А/йг) и Л (И:) соответственно нулевое подпространство и область значений оператора Л в ( , F).

Оператор JL АСВ, f) Называется фредгольмовым, если №(Jc)c. Б конечномерно, a JZ.C&)C-F замкнута и имеет конечную коразмерность. При этом определяется индекс ЬґьОІ йтЬ = Лет. А/бо/b)- codlm &t) . Приведем результат из [З], который относится к вопросам разрешимости уравнений &u.= { , A: E- F , (5.1) Именно, имеет место Теорема 5.1. Пусть (с) уравнение (5.1) имеет решение eF , оператор Jt; Н-? р дифференцируем по Фреше в точке с? , и Ы Ші ))-0 ; (се) операторы : Е "" F (.и.-е А/) дифференцируемы по Фреше в соответствующих шарах // &,- рА.и /1 «5 , операторы Аг(р&л)еа (F ,, F ) фредгольмовы с нулевым индексом и I i,ty )-4, (( .«#! "Одь-рь О ( N)» где оо( ) - некоторая функция со свойством 6ote)- О при -» О ; ( ) Л ( ) - A W1) регулярно ChfeN) .

Тогда найдется такое S0(o S0 Sk) , что уравнение (5.2) для почти всех К (т.е. начиная с некоторого ho )имеет в шаре 1( - рА Ц о единственное решение ч . При этом 11 - UJ l-bO с оценкой где с , СЛ= co v6"t 0 , не зависящие от а .

Сходимость разностного метода. Рассмотрим задачу (2.1) и ее дискретизацию (2.2). Будем связывать пространство Н0 (&) с пространством НоСЙ. ) с помощью оператора рь, е І (Но (А), Но 6 4) , действующего по формуле (р .и.)(5) = «,(5), 1 5 , . (5-3)

Такой выбор вполне естественный, так как по теореме вложения НЇС9) с С (&) (при w - Л,,2 ) и значит мы можем говорить при и в Н0 (Л) и о ее значениях в точках . . В качестве связывающего оператора cue (LZ№), Lt-Q j) рассмотрим оператор, определенный в 3 формулой (3.9).

Сходимость разностного метода

В этом параграфе изложим более простое, по сравнению с предыдущим параграфом, доказательство сходимости разностного метода, основанное на принципе сжатых отображений. Это в свою очередь позволяет применять для решения разностной задачи метод простой итерации, имеющий преимущество перед методом Ньютона - Канторовича. Но справедлив здесь доказываемый результат только в некотором частном случае задачи (2.1) и в предположении равномерной эллиптичности.

Будем исследовать разностный метод для решения задачи Ди. = , сс = ьиСаОбНС.Ц), feUCQ-) (6.1) с оператором о " коэффициенты Хс;(сь)=:а,гСи) которого не зависят от . . На протяжении этого параграфа предполагается, что выполнены условия: (Г) оператор Д : Ht(Sl)- Ls/Il) равномерно эллиптический, т.е. существует такое число i 0 , что JE «Ч С ) І \ &гі І при всех i е R t ос &SL иие 1- .;а2 ; (II ) функции cLq(vc) дифференцируемы и при всех OceJX , juue L- / 3, с(л - положительная постоянная, зависящая от ct- .

Подчеркиваем, что в условии (I ) коэффициент эллиптичности не будет зависеть от а- , как допускалось раньше. Задачу (6.1) аппроксимируем разностной задачей где Из условия (11 ) вытекает следующий результат:

Демма 6.1. Пусть выполнено условие (II ).Тогда оператор A : HofSl )- Lx(S-i) дифференцируем по Фреше и имеет место ІДІЧ-Л/ІГІ, 4 ,14- ,. НЇ Cue), l l,.,! - , П -. , , А (6-3) где М«,= o-da.i.i-іЬа.ла.) с- сокзЬ у о (из теорем вложения) " Доказательство леммы 6.1 приводить не будем, т.к. оно полностью повторяет рассуждения леммы 4.1. Будем исследовать вопрос о разрешимости уравнения (6.2). Уравнение (6.2) равносильно уравнению Т где Напомним, что при выполнении условий (I ), (II ) имеет место неравенство коэрцитивности (см. теорему 4.2): i efpz№0; H LJklL 4«. , (6.4) где с = % 4 (а сЯо. (50,+ 0.1)) , ( = - С»» A) Заметим, что с - О при et-»0 . При помощи принципа сжатых отображений установим следующий результат. Теорема 6.1. Пусть выполнены условия (і ), Ш ) и пусть а, 0 достаточно мало, так, что (b+oijE &. ol70 . Тогда уравнение (6.2) имеет в шаре единственное решение /и , к которому при h 6 (о, , . Л по норме Hj№&) сходятся последовательные приближения Итак,оператор, Bj удовлетворяет в шаре $ принципу сжатых отображений. Поэтому уравнение и = & и , а вместе с ним уравнение AjjA JL , имеет в шаре 5 , единственное ре» шение мг , для которого справедлива оценка (6.5). Теорема 6.1 доказана.

Замечание 6.1. Так как ct = — (fh \\0 а Со, - j; Х& OUcL C5ct + of)) n=f , то требование (Л+ег)єЛ за- влечет за собой ограничение на малость свободного члена h . Именно, L должен быть таким, чтобы выполнялось неравенство

Переходим к исследованию сходимости разностного метода в шаре Sou Как уже доказывалось в 2, задача (6.1) при достаточно малом свободном члене имеет единственное решение of в пространстве Ho(l) .Пусть Цр иїЦ а. , где а - pa 91 диус шара Sa . Теорема 6.2. Пусть имеют место I) условия (I»), (ПО; 2) Iff f "в" 0 5 3)(Ъ+со)са 4ге,оС70 .Тогда Если кроме того е С4Ш) , Ufc- flfeartW» то имеет место оценка скорости сходимости llyl -\ \\к = о№) (операторы р , а определены соответственно формулами (5.3) и (3.9)). Доказательство. При выполнении условий I), 3) имеет место неравенство (6.6). Напишем последнее для Ч Чь » Так как а (см.лемму 5.2) 11 - ь AaJe- 0 при и,еНо№), и ІА - А ІІо" ) при аес №)? то отсюда и вытекают утверждения теоремы 6.2. Доказательство теоремы 6.2. завершено.

Замечание 6.2. Из неравенства (6.6), выполняемого при (Х+ос) Сд, эг. » в предельном случае ( .- 0) вытекает непрерывный вариант неравенства (6.6): JLW-Аілг 0 fi j II u -члг )1 , а? лгє HCu)jMyMl a или IA ty(«.- U а- , (6.7) где й = еи,-К - г 0 М. Теперь из неравенства (6.7) следует, что однородное уравнение Л Г ) "-0 имеет в НоС -) лишь тривиальное решение ъ -о . Этим указан конкретный случай,когда выполняется условие N (.А (о ))-0 9 которое является одним из требований в формулировке теоремы 5.2.

Явная схема

Отсюда, на основе теоремы 7.2, с учетом условия II \ис %ь{ Но = 0№- v) вытекает, что Так как ЭяДч(о)-&ь,и. (о))яо » то при достаточно малых jL и л, ( C /u- L) имеем Таким образом, из теоремы 7.1 следует, что в (\А$ существует решение м ОД , для которого имеет место

Для доказательства единственности решения ч ( ) предположим противное. Пусть разностная схема (7.8), (7.9),(7.10) имеет два решения ллл (), МъШё/и$ . Их разность ie - удовлетворяет уравнению +А Й -Д (- ) -0 . (7.17) Умножим последнее скалярно на LZA jt : Оценив оба члена в правой части равенства (7.18), как и раньше будем иметь 103 или, учитывая (7.17), «-Awci)! !? II II . В обозначениях (7.16) последнее неравенство принимает вид Суммируя полученное неравенство по ъ-%г.., -Ь , получим - b-v - C Z 0хСаг(«)) ( + с)0х(9г(о)). Пользуясь сеточным аналогом леммы Гронуола (см.[3б]), будем иметь Значит откуда вытекает, что fy"" / Теорема 7.3 доказана.

Замечание 7.2. В [Зі] исследовалась неявная разностная схема (построенная на базе сумматорного тождества) для третьей краевой задачи для многомерного параболического уравнения (7.1). При ограничении на шаги L и Ъ в [31] показано, что в достаточно малой окрестности решения непрерывной задачи разностная схема сходится и скорость сходимости в метрике Соболевского пространства Нл имеет порядок Ю (ъ + № tJ ІСЛ) Отметим, что наша схема отличается от схемы, рассмотренной в [Зі].

Явная схема. Аппроксимируем уравнение (7.1) разностным или +Аие Ф } , 6С4 , (7.19) где Будем исследовать корректность разностной схемы (7.19), (7.9), (7.10). Для нее имеет место следующая теорема. Теорема 7.4. Пусть выполнены условия (I"), СП"), (7.7) и где Н единичный оператор, Мл-сс л(Л + 4а+ с&) (см.лемму 4.1). Тогда при достаточно малых JL и tf разностная схема (7.19), (7.9), (7.10) имеет единственное решение 6 U Г , и при Ц - ц ,es Є & ЧЕ) имеет место оценка (отметим, что требование (7.20) влечет за собой ограничение на шаг Ъ : с - ( & ")) . Доказательство. Пусть лг(тЬ)є/U и = -ь . . Рассмотрим скалярное произведение 105 = (%t rW -A ( ) pXW- J- A ), (7.21) где ми r 4 - (p h - Atol-% p« , 6 cot . Пользуясь равенствами =0,.5(3:+ ) + 0,54: , =J+4r , преобразуем скалярное произведение (7.21). Будем иметь

Оценим последние три слагаемых в (7.22). Из неравенства коэр-цитивности (4.13) получаем: v cutiZ-i ccLiiti; . (7.23) Так как при выполнении условия (П") имеет место (см.лемму 4.1) то с помощью неравенства Коши-Буняковского и L -неравенства 106 получаем 4 iv-Mb I/a HJ4 h llMx . (7.24) Совершенно аналогично оценивается и последнее слагаемое в (7.22). Именно, &jl + &t 1Ъ&+Ъ . С7.25) Подставляем (7.23), (7.24), (7.25) в (7.22): е CF Ar ),A llat-O Olliil l t -e( )i - l llo+ ( 4- )Ul. NO Отсюда с выбором ЄЛ-д,=-— получаем: В силу условия теоремы будем окончательно иметь Дальше рассувдаем аналогично доказательству теоремы 7.3. Обозначим 107 Функционалы Эг 3 удовлетворяют условиям (7.5) СЗ зо, 3 ,зо) , функционал (7.6) имеет вид (7.26) Как и в доказательстве теоремы 7.2 легко оценивается погрешность аппроксимации (здесь с помощью замечания 7.1), именно Значит, при достаточно малых L и V получаем оценку На основе теоремы 7.1 отсюда вытекает утверждение теоремы 7.4.

Замечание 7.3. Разностные схемы типа изучались в [26, 27, 28, 29]. В первых двух работах исследуется разностная схема решения второй краевой задачи для двухмерного уравнения (показана сходимость в метрике пространства ід,). В [28, 29] исследуют такую же разностную схему, но для решения первой краевой задачи в двухмерном случае. В [28] показана сходимость разностной схемы в метрике Соболевского пространства Нл , на основе этого в [29] доказывается сходимость в Н 4 . 7.3. Схема Кранка-Николсона. Рассмотрим разностную схему Исследуем погрешность аппроксимации f - far с рА) Справедлива следующая теорема. Теорема 7.5. Пусть выполнено условие (II") и пусть задача (7.1), (7.2), (7.3) имеет решение и?(&,4) , удовлетворяющее условиям гладкости (7.7). Тогда Доказательство. Будем исходить, как и в доказательстве теоремы 7.2, из неравенства При оценке обоих слагаемых последнего неравенства будем пользоваться формулой Тейлора:

Похожие диссертации на Сходимость разностных методов для нелинейных уравнений в частных производных

Оценки скорости сходимости итерационных методов для некорректных операторных уравнений с истокообразно представимыми решениямиКотикова Наиля Азатовна

О сходимости и устойчивости разностных методов решения нелинейных уравнений ШредингераИванаускас, Феликсас Феликсович

Численное решение краевых задач для телеграфного уравнения методом потенциаловПереймыбида, Андрей Андреевич

Решение некоторых задач для гиперболических уравнений методом Монте-КарлоБелинская, Ирина Игоревна

Оценка производных от решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло Бурмистров Александр Васильевич

Решение задачи Дирихле для многомерных эллиптических уравнений методом Монте-КарлоЧешкова, Анна Федоровна

Решение краевых задач для параболических уравнений методом Монте-Карло на основе преобразования ФурьеМеньщиков Борис Владимирович

Численное решение краевых задач для вырождающихся уравнений методом конечных разностейГахраманов, Полад Фаррух оглы

Решение задачи коши и нестационарной начально-краевой задачи для уравнения Больцмана методом Монте-КарлоМоскалева, Нина Михайловна

Математические вопросы приближенных методов для уравнений Навье-СтоксаСмагулов Шалтай