Решение краевых и начально-краевых задач определенных на графе Молородов, Юрий Иванович

Введение к работе

Актуальность темы. Расширение области применения численных методов для решения задач практики , приводит к возрастанию требований, предъявляемых к ним. Одним из таких требований является разработка вычислительных схем и алгоритмов высокой степени точности для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и одномерных нестационарных уравнений параболического типа, определбнных на множестве одномерных отрезков, или на графах. Системы дифференциальных уравнений на графах описывают задачи теплопроводности, фильтрации и конвективной диффузии. Одним из методов, позволяющих построить схемы ВЫСОКОГО порядка точности для указанных задач является псевдогри-новский нариант метода конечных элементов. Использование схем высокого порядка точности для решения систем дифференциальных уравнений, определбнных на графе позволяет находить приближенное решение при вполне разумных требованиях, предъявляемых к ресурсам ЭВМ.

Цель работы состоит в построении эффективного алгоритма высокого порядка точности решения начально-краевой задачи для одномерного параболического уравнения второго порядка, обобщения его для решения систем таких уравнений, определбнных на графах; в модификации метода локальной коллокации высокого порядка точности, расширящей его применение к системам краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, определбнных на графе; получение новых узлов коллокации гауссова типа и разработка экономичного способа построения адаптивной сетки для решения задач с внутренними и пограничными слоями.

Научная новизна. 1) Построен ряд новых схем высокого порядка точности для линейных параболических уравнений второго порядка с гладкими и разрывными коэффициентами. В основе построения схем лежат проекционные методы: Галбркина, наигленьших квадратов и метод коллокации. Предлагаемые алгоритмы для избранного проекционного метода реализуются по единому алгоритму, независимо от порядка точности, 2) Предложен новый алгоритм решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

и одномерных нестационарных уравнений параболического типа, определённых на графах, с помощью коллокационно-сеточных методов высокого порядка точности.3) Предложен способ построения сетки, адаптирующейся к решению краевой задачи и указан подход к определению узлов коллокаций для параболических задач на основе построения квадратур гауссова типа для интегральной ошибки аппроксимации, что позволяет существенно повысить точность расчётов.

Практическая ценность работы. Предложенные в диссертации алгоритмы позволяют эффективно строить схемы различного порядка точности при решении краевых задач с гладкими и разрывными коэффициентами для ОДУ и параболических задач, определённых как на отрезке, так и на графе.

Применение полученных автором новых узлов коллокаций и алгоритма построения адаптивной сетки существенно повышают эффективность предлагаемого подхода, расширяет область его применения (включая наличие пограничных слоев).

Созданный комплекс прикладных модулей-подпрограмм может также использоваться для решения на ЭВМ задач теплопроводности, конвективной диффузии, применяемых при расчёте практических задач в системах пневмоавтоматики и системах вентиляциии шахт, рудников и линий метрополитенов.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на XII Всесоюзной школе по "Численным методам механики вязкой жидкости" (Абакан, 1990 г.); на международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды" (Новосибирск, 1991 г.); на Школе-семинаре по комплексам программ математической физики (Новосибирск, 1992г.), а также на научных семинарах кафедры Вычислительных методов механики сплошной среды НГУ и института Вычислительных Технологий (ИВТ) СО РАН и на семинарах "Численные методы механики сплошной среды" МТПМ СО АН России.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и насчитывает 119 страниц, в том числе: 34 таблицы, 48 рисунков и 99 наименований библиографии на 10 страницах.

Во введении даётся обзор литературы, современного состояния и основных направлений развития методов и проблем решения краевых и начально-краевых задач, определённых на ориентированных графах. Обоснованы актуальность и важность вопросов, составляющих предмет исследования. Изложены основные результаты диссертации, описана её структура.

В первой главе на основе псевдогриновского метода конечных элементов строится ряд схем различных порядков точности для параболических уравнений второго порядка

и. = a(x,t)-u + b(x,t)-u + c(x,t)-u + d(x,t)

x і fa, bJ; t e [T₀,T_K1; (1)

с линейными краевыми условиями смешанного типа на границе

(2)

a₀(t)-u(a,t) + a,(t)-^du^^,t) =

p_o(t)-u(b,t) + p_rftJ."^g»^tJ = ₂(t)

и начальными условиями

u(x,t₀) = ₀(x), (3)

с кусочно-непрерывными функциями a(x,t) и b(x,t), имеющими разрывы на некотором множестве линий х = со ft;. Коэффициенты c(x,t), d(x,t) предполагаются ограниченными и достаточно гладкими по (х,t) функциями.

Основные этапы построения приближенного решения состоят в следующем. Расчётная область разбивается попарно-непересекающимися линиями по t и по х на ряд конечных пространственно-временных элементов Q^(r), в общем случае, с криволинейными границами

В используемом псевдогриновском методе с помощью проекционных методов, применяемых на каждом конечном элементе независимо, строится представление приближенного решения u(x,t) для (x,t) Q^(r), выраженное через значения узловых параметров _u(r.a) _{в Г}р_{аничных} узлах и линейно независимые координатные функции ^(r,a)(x,t) и функции Q^(r,a)(x,t) соответствующей решению неоднородной задачи в области il^(r) с нулевыми граничными условиями на части границы Т^(г), общей с соседними элементами. Координатные функции выражаются через интерполяционный базис

P^(r,a)(x,t) (построенный на множестве граничных и внутренних узлов конечного элемента), и последовательности ортогональных базисных функций.

Узловые параметры и^(г,а), входящие в представление для приближенного решения, определяются из требования выполнения граничных условий на границе расчетной области и условий сопряжения, на совместных границах конечных элементов.

отыскивая базис в классе полиномов степени п от х и степени (п/2) от t и используя продолженную систему для уравнения (1), с помощью локально-проекционных методов (коллокаций, метода Галёркина, наименьших квадратов) определяется решение для пространственно-временных конечых элементов с порядком аппроксимации

0(h_xⁿ-'+ \^П_3Л ⁺ +V"'~²'^-^^.- (4) где {^y~) обозначает целую часть от деления (п-1) на 2.

Расположение узлов колокации в конечных элементах определялось из условия невырожденности полинома, соответствующего оператору дифференцирования D продолженной системы. В качестве узлов коллокаций были исследованы узлы Гаусса, узлы Маркова-Лобатто и Чебышева. В диссертации были получены новые узлы коллокаций, на основе гауссова подхода минимизации погрешности в области конечного элемента.

Во второй главе диссертационной работы на основе метода локальной коллокаций предлагается алгоритм высокого порядка аппроксимации 0(h ^п), где п - число узлов коллокаций на конечном элементе, для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

На отрезке [а,Ъ] рассматривается краевая задача вида

Lu(x) = k(x)-u"(x) + р(х)-и' (х) + q(x)-u(x)= d(x), (5)

с краевыми условиями смешанного типа
a₀-u(a)+a_t-W foMp, j
p₀-ufW+p_;-u'fW*P₂ J ^(б)

Коэффициенты k(x)>0, p(x) являются кусочно-непрерывными функциями, a q(x) и d(x) предполагаются ограниченными и достаточно гладкими по (х,t) функциями.

Приближенное решение задачи отыскивается в виде

(1) (2) (3)

и(х) = и(а)-Ф (х) + и(Ъ)-Ф (х) + Ф (х), (7)

где " [_Ф^п;= й⁽¹⁾(х), I = 1,2,3,

d⁽¹ Ux) = d⁽²⁾(x) = О, d⁽³⁾(x) *= d(x),

Ф^(1>(а) = 1, Ф⁽¹⁾(Ъ) = 0, '

Ф^(г>(а)'= О, Ф⁽²⁾(Ъ) = 1, . (8)

Ф^(3>(а) = О, Ф⁽³⁾(Ь) = О. Решения Ф⁽¹⁾(х ) = Ф^^; отыскивались методом локальной коллока-ции, используя базисные функции в виде полиномов Лагранжа. Узлы коллокаций совпадали с узлами квадратурной формулы Гаусса, которые ,как показали Де Бор и Шварц, являются наилучшими для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В 4 этой главы предлагается алгоритм построения сетки, адаптирующейся к решению задачи по пространственной переменной. Критерием для построения такой сетки является равномерное разбиение некоторой монотонно возрастающей скалярной функции, построенной на решении или его производной.

В третьей главе описаны'алгоритмы решения краевых и начально-краевых задач представленных системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и системами параболических уравнений в частных производных (УЧП) на конечных графах, определённых на множестве одномерных отрезков (рис.1). После введения системы координат на каждом из ребер графа , он становится ориентированным.

Решения на рёбрах и производные решения в вершинах графа записываются в виде суммы решений однородной и неоднородной краевых задач, получаемых разностными схемами высокого порядка точности (0(h ^N) для ОДУ и 0(h⁶+ii⁴-h +...+П³) для УЧП.

Использование краевых условий в вершинах графа, выражаемых через найденные решения позволяет получить систему алгебраических уравнений относительно искомых величин в узлах и на свободных концах. Получающиеся системы алгебраических уравнений решаются затем либо методом Гаусса с выбором главного элемента,либо каким-нибудь из итерационных методов. Это позволяет затем найти решения в узлах и на свободных концах графа.

Рис.1

Пронумеруем вершины и ребра , входящие в граф независимо друг от друга. Величины, относящиеся к Z-тому отрезку, будем обозначать индексом I снизу, заключенным в круглые скобки. Величины, относящиеся к s-й вершине, будем обозначать индексом а сверху, заключенным в круглые скобки.

Для описания топологии используется целая функция П, , которая устанавливает соотношения между рёбрами и узлами (вершинами) графа (соотношения инцидентности):

+7 - ребро 2 входит в узел S,

%"-

О - ребро I не примыкает к узлу S, (8)

-1 - ребро I выходит из узла S.

На каждом из ребер графа приняты следующие обозначения: и_г(х_г) - распределение функции и_г по длине ребра Z;

х⁽₁^а) - координата узла ^, связанного с ребром Z; h!S^(s) - множество рббер, связанных с узлом S; _ц(3)_{= v}(3)₌ u^x^S)) дл_{Я всех} і us⁽³⁾. При решении задач на графах задают краевые условия в S узлах на свободных концах и условия совместности в местах соединения рёбер графа. При этом выделяют два типа условий сопряжения.

1) Условия примыкания, когда значения исследуемой физической величины одинаковы для всех концов рёбер, примыкающих к данному узлу

и⁽_г^з)= и^(в), I е US (9)

2) Балансовые соотношения, отражающие выполнение закона-сохранения (потока тепла, массы, энергии и т.д.) в данном узле графа.

_а(в)_и(з)_{+ т}ґ*^п/^и_г(х_г; ^- ) = Q⁽⁸⁾; ею;

S = 1,..., ГО, где KU - общее количество узлов графа, а а^<зу,^⁽³⁾,в⁽³⁾ - за-

данные числа,

(o⁽³⁾f+ (Y^S))^Z* О.

Для всех ребер, связанных с узлом S (І є MS⁽³⁾), решение уравнения (5) представим в виде

У_г(х_г) = и⁽³⁾ф[¹⁾(х₁) + и^(ЗТ(1))Ф⁽_г^г)(х₂) + ФІ³⁾(х_г) , (11) где S(l), STrt) - номера двух узлов, связанных с ребром L.

Ф⁽³⁾(х_г) представляет решение однородных и неоднородной краевых

задач:

Щ¹⁾(х_г) = 0 , \Л>[^г)1х_х) = О

\-ф⁽_г³⁾(х_г) = О_г(х_г) , где L - линейный дифференциальный оператор 2 порядка, Ф⁽_г¹⁾(х{³⁾) = 1, Ф[¹⁾(х[^5Т(1)>) = 0,

ф[²⁾(х{³^) = 0, ъ[^г>(х[^ат<-^г») = 1, ₍₁₂₎

ф{³⁾(х[^3}) - О, Ф{³>(х{^вх<^г») = О.

Решения [^. ф{²⁾,Ф⁽,³⁾. определяются элементно- коллока-ционным методом, позволяющим строить трехточечные разностные схемы произвольного порядка точности. Для этого ребро I разбивается на U конечных элементов узлами х , включающих в себя возможные точки разрыва А (х_г):

^аг * ^хи^{< х}12^< ^ш

На каждом конечном элементе [х , х J размером

^hi.i ^{= х}г,иГ ^хі.і в качестве узлов коллокаций выбираются N узлов квадратур Гаусса

с весом 1 (корни полиномов Лекандра порядка N).

Из условий метода коллокаций в N узлах на каждом конечном элементе и условий непрерывности потока в узлах х

ь-;

О , I = 2,..., М

i.i

cs;

строится трбхточечная разностная схема с порядком аппроксимации Подставляя в (Ю) выражение

.(2)

Ф,

Г*_х ; ₊

.(1)

OJJx⁽³⁾)

(3T(l))

+ У

Ф,

dr.

= U⁽³⁾

a ~3r7

* Ф(^з; (x⁽³⁾),

*{n),r

(x\^aj)

Ф[^п)(х[³>) ,

получаем линейную систему уравнений для определения U⁽³⁾

c⁽³h _l⁽³⁾.Ju{^S)-A_l(x⁽_l³⁾).i>⁽_l¹⁾(x{³⁾) г e из

(L)

+ ₁⁽³⁾^⁽₁⁸⁾-А₁(х[³⁾).Ц²⁾(х⁽₁³>)

і e из

^(3(1)) ₊

r(3T(l)) _

(S)

s=i,..., т.

₌ q(S)_ ₇^^.^^.4_гГх(^з;>Ф^^;^³Ъ

I f ЇЗ

или в матричной форме

(13)

_H-M-W-

(14)

Алгоритм решения краевой параболической задачи на графах похож на изложенный выше, но появление зависимости от времени приводит к некоторому усложнению.

Условия примыкания имеют вид

и[³-^=и^(зл\ (15)

а балансовые соотношения запишутся в виде

г е мз

S = 1 ОТ. (16)

_a(3.t)^(3.t)_tQ(s.t) _ з_ад_анШе числа, (а^(3,±))^г+ (ч<³-*>)²? о. Временной интервал решения задачи делится на NT временных слобв размера dr. Слой оТ разбивается линиями, параллельными оси ОХ,на три подслоя ширины йТ/3, и обозначаются точки деления переменными с индексами

t = Х^Л_гЛ₃ на нижней границе Г₂, t = t ,t₅,t на верхней границе Г . t_a = {t_aj^} J = 1.-..,6. Приближенное решение для каждого из дифференциальных уравнений, определённых на соответствующем ребре, находятся в виде б

и_г(х,г) = ^u_Iu-P_Infx.t; + P_l7(x.t), (17)

п=1

где и_1п - функции, заданные краевыми условиями на соотвествущем ребре в точках t_a , a P_ln(x,t) определяются разностными решениями однородных начально краевых задач (НКЗ), описанном в главе I,

LgP^CX.t) = О, (18)

удовлетворяющим начальным условиям

P_ln(x.O) = О, (19)

и граничным условиям Дирихле вида

P_t(x(tp,t₃) = Q_ltJ (20)

- ( ^{U f = J 1,3} ~ 1 0 I * J

І — 7....,6, J - 7,...,6, Tl = 7,...,6.

P (x,t) опредляется разностным решением неоднородной начально-краевой задачи, представленным в главе I,

L_HP_I7Cx,tJ= f_x(x,t) (21)

с начальным условием

Р_г7(т,0) = ф_г(х), (22)

и граничным условием Дирихле

P_l7(x(tj),tj) = О (23)

I = 1 6, J = 1,... .,6.

Каждое из решений ?_г(хЛ) и их производные дР_г(х^)/дх на краях каждого из стержней графа определются с помощью псевдо-гриновского варианта метода конечных элементов высокого порядка точности, описанного в главе I для одного отрезка.

Получающиеся из (16) и (16) системы алгебраических уравнений решаются методом Гаусса с выбором главного элемента, что позволяет найти решения в узлах и на свободных концах графа, а затем и внутри отрезков, составляющих граф.

Эффективность предложенных алгоритмов показана на решениях тестовых одномерных задач теплопроводности, описываемых дифференциальными уравнениями с малым параметром при старшей производной определбшшх на графе.

В заключении сформулированы основные результататы работы. Обсуждаются возможные направления дальнейшего развития исследований, приводятся рекомендации по практическому использованию полученных результатов.

Похожие диссертации на Решение краевых и начально-краевых задач определенных на графе

Численные решения задач оптимального управления квантовомеханическими системами типа ШредингераСилла, Наби

Численные методы решения задач оптимального управления эллиптическим уравнением с ограничениями на состояние и управлениеХасанов Марат Гумярович

Асимптотические методы решения задачи Дирихле,заданной в каркасной областиЛапшин, А.Е.

Конечно-разностные методы решения задач внутренней гидродинамики вязкой жидкостиПаничкин, Алексей Васильевич

Применение рядов с ускоренной сходимостью при решении задач на собственные значения для механических систем пакетной компоновкиВоронков, Владимир Николаевич

О численном решении задачи движения обобщенной ньютоновской жидкостиСтароверов, Владимир Михайлович

Численный метод решения задач дискретного оптимального управления со смешанными ограничениями Валуев Андрей Михайлович

Численное решение задач грави- и магниторазведки Пулатов Пулат Атаевич

Градиентные методы решения задач оптимизации системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производныхАлбу, Алла Филипповна

Численное решение задач оптимального управления тепловыми процессамиГаравулов, Сапарбай Агылович