Введение к работе
Актуаль-ность проблемы. В последнее время метод дискретных вихрей находит все более широкое пріменение при решении различных нелинейных задач аэродинамики, ставящихся в рамках модели идеальной несжимаемой звдкости. Однако, математическое обоснование метода для таких "задач, в отличие от линейных постановок, отсутствует.
Отметим, что для нелинейных задач метод был первоначально создан исходя из наглядных физических соображений сразу в виде дискретной модели и лишь затем была сформулирована система из интегральных и интегро-дифферзивдального уравнений, которая описывает такие задачи, и при дискретизации которой может быть получена численная схема рассматриваемого метода, причем, вопрос о разрешимости укзанных уравнений остается открытым.1'
При практических вычислениях по методу дискретных вихрей во многих нелинейных задачах получаемые решения имеют тенденций к неустойчивости. Для повышения устойчивости вычислений приходится искусственно сгла:шзать поле скоростей, которое в расмэтриваемом методе ищется как суперпозиция полей скоростей, индуцируемых системой дискретных особенностей типа вихрь. Обычно это делается за счет применения так называемых вихрей конечного радиуса 2> : поле скоростей, индуцируемое таким вихрем выбирается ограниченным в окрестности точки размещения вихря и совпадающим с полем точечного вихря на расстояниях от этой точки, больших некоторого заданного, именуемого радиусом вихря. Однако, вопрос о выборе размера области, в которой осуществляется сглаживание, ( радиуса вихря ) и его взаимосвязи с другими расчетными параметрами неясен.
Исходя из сказанного, исследования, направленные на обоснование метода и получение устойчивых численных алгоритмов для нелинейных задач, имеют как теоретический, так и практический интерес.
Белоцерковский СМ. , Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М. : Наука, 19SS.
Белоцерковский СМ. , Ништ М. И. Отрывное и безотрызно обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. - М. : Наука, 1S78,
Сhor in A.J. Bernard P.S. Discretization of a Vortex Sheet with an Example of Roll-Up. - J. Comput. Phis. 1973, 13, p.423-429.
Цель работы. Основной целью работы явилось доказать, что в шдафикации метода дискретных вихрей со сглажива-дием поля скоростей с использованиом параметра сглаживания (радиуса вихря ) не зависящего от параметров дискретизации ( шага интегрирования по времени и шага разбиения на теле ) имеется сходимость численных решений при измельчении прараметров дискретизации к некоторым непрерывным функциям "на сетке".
Научная новизна работа заключается в том, что:
-
Для модификации численной схош метода дискретных вихрей с вихрями "конечного радиуса" в нелинейной нестационарной задаче об обтекании пластинки с отрывом потока нэ задней кромке предложена предельная нелинейная система из двух интегральных и одного интегро-дифференциального уравнений, по-сущвству, являющаяся модификацией упомянутой німе известной системи уравнений с искусственным сглаживанием сильной особенности в интэгро-дифференциальном уравнении, и доказана сходимость численных решений к решению предлагаемой системы.
-
По ходу исследования два указанных'Интегральных уравнения рассмотрены отдельно и доказано, что из этих уравнений две неизвестные функции (интенсивности вихревых слоев, моделирующих пластинку и вихревой след) можно выразить через третью ( закон движения вихревого следа). При этом возникает задача, которая является обобщением известной линейной нестационарной задачи для профиля'' на случай более общих заданных движений вихревого следа. Для этой задачи доказаны однозначная разрешимость, сходимость аппроксимирующего ее численного алгоритма и рассмотрен принципиально новый вопрос об устойчивости решения по отношению к возмущениям функции, описывающей закон движения вихревого следа, причем, в отличие от неизвестных ^інтенсивностей, эта функция входит в задачу нелинейно.
Практическая ценност ь проведенного
исследования заключается в том, что:
I) На примере задачи об обтекании пластинки показано, что в нелинейных задачах аэродинамики неизвестные интенсивности вихре-
1 Лифанов. И. К. , Полтавский Л.Н. Линейная нестационарная задача для профиля и уравнение Абеля. - Сб. "Вопросы кибернетики" 124. М. : АН СССР, Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика", 1Э86.
вых слоев, моделирущих.-поверхность тела и вихревой след, могут быть однозначно выражены через закон движения вихревого следа.
2)Для рассмотренной задачи-..-предложена однозначноразрешимая система уравнений для описания крупномасштабной структуры течения. Можно надеяться, что аналогичные- уравнения могут быть использованы 'для приближенного описания,.-,>течений- жидкости и яахоздения аэродинамических характеристик обтекаемых тел в различных нелинейных задачах аэродинамики.
На защиту выносятся следующие результаты: ,ч. ,-. і
. Г) Для системы интегральных уравнений относительно функций, выражающих интенсивности вихревых слоев, моделирущих пластинку и след, при заданном законе двигання вихревого следа:
доказательство существования и единственности решения для определенного достаточно широкого класса функцій, описывающих заданный закон движения вихревого следа;
оценки для разности решений, соответствущих различным законам движения вихревого следа ( результаты исследования задачи на устойчивость по отношению-к возмущениям закона двиагения следа );
обоснование сходимости численного алгоритма решения задачи по методу дискретных вихрей.
2) Для нелинейной нестационарной задачи об обтекании пластинки:
- доказательство сходимости численных решений, получаемых с использованием модификации метода дискрзтшх вихрей с вихрями конечного радиуса, при стремлении параметров дискретизации ( шага интегрирования по времени и шага разбиения на пластинке ) к пул» и при фиксированном значении радиуса вихря к функциям, которые являются решением предложенной в работе системы щ1тегро-даф|ервнциальных уравнений.
- Результаты исследования поведения численных решений, получаемых по методу дискретных вихрей с использованием вихрей конечного радиуса, когда время t стремится к бесконечности: доказано, что если набегающий поток стационарный, то при определенных начальних условиях решение нелинейной нестационарной задачи при t - со переходит в решение линейной стационарной задачи.
Апробация работы:
I) Научно-исследовательские семинары кафедры математической
физики факультета ВМиК МГУ ( руководители профессор Захаров Е.В., профессор Лифанов И.К.) и кафедри высшей математики ВВМ им.Н.Е.Жуковского. ( руководитель профессор Лифанов И.К.)
2) 6 симпозиум " Метод дискретных особенностей в- задачах
математической физики " ( г. Харьков 1993г.)
3) Всесоюзный семинар по аэродинамике неустановившихся
движений ( руководитель профессор Бэдоцерковский СМ. )
4) Публикации cl-43. Структура и объем работы. Диссертация изложена на 235 страницах, машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 23 наименования.
Похожие диссертации на Исследование сходимости метода дискретных вихрей в нелинейной задаче об обтекании пластинки
