Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методические вопросы построения линейных многошаговых методов (ЛММ) 21
I.I. Порядок, устойчивость и сходимость ЛММ 21
1.2. Методы для решения жестких задач 32
1.2.1. Явление жесткости 32
1.2.2. Специфика понятия устойчивости при решении жестких задач 37
1.2.3. Особенности ЛММ для жестких задач 40
1.3. Методы в форме Нордсика и их эквивалентность ЛММ 44
Глава 2. Построение методов универсального характера, ориентированных на решение жестких и нежестких задач 59
2.1. Принципы построения 59
2.2. Построение к-шаговых методов порядка к . 63
2.2.1. А -устойчивые методы 2-го порядка 63
2.2.2. Жестко устойчивые методы 3-го порядка 68
2.2.3. Жестко устойчивые методы 4, 5 и 6-го порядков 77
2.3. Построение /с-шаговых методов порядка к-і 83
Глава 3. Алгоритмизация построенных ЛММ и их тестирование 96
3.1. Программная реализация построенных методов с использованием алгоритма выбора шага и порядка 96
3.2. Численное решение смешанных дифференциально- алгебраических систем вида F(у 'tJ7t )~ О с разреженными матрицами j~ , -% 104
3.2.1. Алгоритм решения дифференциально-алгебраических систем 104
3.2.2. Особенности решения больших систем F (у',(/,)=0 с разнеженными матрицами частных производных -р- и -J+ 108
3.3. Принципы тестирования ЛММ III
3.4. Результаты численных экспериментов 114
Глава 4. Математическое моделирование нестационарной радиационной электропроводности полимеров 126
4.1. Физико-математическая модель Роуза-Фаулера-Вайсберга (РФВ) 128
4.2. Численный алгоритм решения уравнений модели и его тестирование 133
4.3. Анализ температурной зависимости радиационной электропроводности и сравнение с экспериментом 140
Заключение 150
Литература 151
- Порядок, устойчивость и сходимость ЛММ
- Принципы построения
- Программная реализация построенных методов с использованием алгоритма выбора шага и порядка
- Физико-математическая модель Роуза-Фаулера-Вайсберга (РФВ)
Порядок, устойчивость и сходимость ЛММ
Приведем основные понятия и определения, обычно используемые (см., например, [9,18,44,60,61,76,83,106] ) при формулировке требований, которым должны отвечать ЛММ, чтобы полученное с их помощью численное решение уп задачи (I.I) слуяшло хорошим приближением ее точного решения у(п), т.е. для всех точек сетки tn была мала величина уп -С/ (tn) , называемая глобальной погрешностью метода в точке tn (для простоты будем рассматривать скалярную задачу (I.lP.
Естественно потребовать, чтобы глобальную погрешность метода можно было сделать сколь угодно малой при выборе достаточно малого шага h , что приводит к определению сходимости f38j : метод (1.2) сходится, если для любой задачи (I.I) г7? Нуп у(ц)1( 0щъ h-0 . Отметим, что начальные значения Уо,Уі, , Ук-і Должны сходиться так же, как и вычисленные по формуле (1.2).
При рассмотрении условий, обеспечивающих сходимость ЛММ, вводится определение погрешности аппроксимации Гп в точке tn [9,18,38] , получаемой, как и для всех других разностных методов [36] с помощью подстановки в разностное уравнение (1.2) (деленное на п ) точного решения дифференциальной задачи (IJ):
Отметим, что наряду с погрешностью аппроксимации рассматривают также величину Гп п . называемую погрешностью обрывания ряда.
Поскольку при домножении (1.2) на произвольную постоянную величину Гп также умножается на нее, для однозначности определения погрешности аппроксимации (1.3) требуется ввести дополнительные условия, например:
Принципы построения
Сформулируем в данном параграфе свойства устойчивости, которыми должны обладать методы, предназначенные для эффективного решения жестких и нежестких задач.
В главе I указано, что свойства устойчивости МШ изучаются на модельном уравнении у -}у , для которого они зависят от величины корней многочлена устойчивости offj+hMf) при разных значениях М .
Наилучшими свойствами устойчивости при малых обладают методы Адамса, т.к. их многочлен off) , совпадающий с многочленом устойчивости при А// — 0 , имеет нулевые посторонние корни. Однако эти методы - как явные, так и неявные -непригодны для решения жестких задач из-за ограниченности их области абсолютной устойчивости, т.е. слишком больших корней многочлена устойчивости при Re hA - - =-.
Для жестких задач наиболее широко среди ШМ применяются формулы дифференцирования назад, или, иначе говоря, методы Гира, т.к. они имеют лучшие характеристики устойчивости при больших ИХ (под большими hA будем подразумевать значения с большой по модулю отрицательной действительной частью): в них все корни многочлена совпадающие с корнями многочлена устойчивости при Re hj- - = , равны нулю. Но при малых hA , для которых главный корень многочлена устойчивости аппроксимирует Q , посторонние корни являются относительно большими, чем объясняется недостаточная эффективность методов Гира по сравнению с методами Адамса при решении нежестких задач. Этот фактор играет отрицательную роль и в жестких задачах, т.к. в них на пограничном слое интегрирование ведется с малым шагом порядка наименьшей временной постоянной, при котором все значения hAL ґі = ..., s) малы, а на остальном отрезке - с шагом, обеспечивающим точность вычисления медленных компонент, т.е. удовлетворяющим условию малости соответствующих им hA- .
Следовательно, для того, чтобы метод мог быть эффективно применен к решению жестких и нежестких задач, он должен сочетать аппроксимацию с хорошими свойствами устойчивости при больших и малых НА . Его построение представляет определенные трудности, поскольку связано о нахождением многочлена устойчивости по комплексу условий, часть из которых налагается на коэффициенты полинома, а часть - на величину его корней. Условия на коэффициенты являются равенствами, которые обеспечивают при малых hA требуемый порядок аппроксимации величи-ны в главным корнем. При этих пА должно выполняться условие малости посторонних корней, а при больших hA - всех корней многочлена устойчивости. Указанным "корневым условиям" идеально удовлетворяет неявный метод Эйлера первого порядка, т.к. его многочлен устойчивости не имеет посторонних корней, а главный корень стремится к нулю при Re hA- - . При повышении порядка свойства устойчивости ухудшаются: при одинаковых ограничениях на величину посторонних корней при малых hA корни при больших hA растут с ростом порядка. Поэтому при фиксированном порядке и шаблоне добиться улучшения свойств устойчивости при малых hA можно лишь за счет их ухудшения при больших hJ. и наоборот; иначе для этого надо изменить порядок или шаблон (отметим, что понижение порядка при фиксированном шаблоне эквивалентно расширению шаблона при фиксированном порядке).
Рассмотрим каждую из указанных возможностей получения методов, ориентированных на решение жестких и нежестких задач. При этом свойства устойчивости при малых hA будут характеризоваться максимумом модулей посторонних корней многочлена p(f){T.Q. всех корней многочлена Of(f))t а при больших h} -максимумом модулей корней многочлена &(f).
Программная реализация построенных методов с использованием алгоритма выбора шага и порядка
Эффективность численного решения задачи Коши для ОДУ обеспечивается не только собственно методами, но также стратегией выбора шага интегрирования. В одношаговых методах изменение величины шага не представляет трудностей, в то время как для ЛШ, которые строятся на равномерной сетке (с постоянным шагом), этот вопрос требует дополнительных исследований. Один из способов изменения шага состоит в использовании методов, полученных с помощью обобщения ЛШ на неравномерную сетку (их коэффициенты oii.,fii в формуле (1.2) зависят от величины последних fc шагов интегрирования hn-k + i, /їя- ,..., An , где к - число шагов метода, и поэтому должны паресчитываться на каждом шаге неравномерной сетки). Если же расчеты ведутся по формуле (1.2) для постоянного шага (и, следовательно, с постоянными коэффициентами ,/ - , не зависящими от шага сетки), то для перехода от точки tn-i к точке tn с новым шагом hn , отличным от nn-i , требуется информация в новых узлах tn i-itin (і- О, 1,..., к-1). Наилучшим способом ее получения признана интерполяция через известные значения в точках tn-i-i - tn-i hn-i (і-0,і,...,к-1) fioo] .
Наиболее просто интерполяционный вариант изменения шага реализуется для ЛШ в представлении Нордсика (см. 1.3). В [77] для этого случая предложен алгоритм изменения величины шага и порядка методов. Он включен в программу DIFSl/B, а также в программу STIFF [94] и в ее адаптированный для БЭСМ-6 вариант [26] , который послужил основой при программной реализации построенных выше методов. Опишем ее подробно. Будем рассматривать при этом не скалярную задачу, как в 1.3 при исследовании представления Нордсика, а систему уравнений (I.I) произвольной размерности s .
Физико-математическая модель Роуза-Фаулера-Вайсберга (РФВ)
Рассмотрим пластину полимерного диэлектрика, на которую с момента t=0 начинает действовать поток излучения, непрерывно генерирующий электронно-дырочные пары однородно по объему образца. К пластине приложено напряжение, что поддерживает в образце электрическое поле Е0 , приводящее к возникновению тока / , который со временем выходит на стационарный уровень. В реальных материалах подвижности электронов и дырок обычно весьма различаются. Будем предполагать, что генерируемые дырки сразу же захватываются и в дальнейшем остаются неподвижными, а ток обеспечивается движением электронов, которые в процессе движения могут быть захвачены на энергетические уровни - ловушки, распределенные по энергии 5 с плотностью М(&) в запрещенной зоне диэлектрика (см. рис.4.1). В свою очередь тепловая энергия захваченного электрона может вырвать его из ловушки и перевести в подвижное состояние. Следовательно, в каждый момент времени существуют две фракции носителей заряда - подвижных с плотностью N0(0 и неподвижных (захваченных) с плотностью А ft).
