Введение к работе
Актуальность темы. Основными объектами изучения в настоящей работе являются операторные уравнения
F(z) = f, zeX (1)
и задачи оптимального управления решениями уравнений вида (1):
min-J J(u, z) : и є U, z Є X; F(u, z) = f >,
(2) J(u, z) = tp(z) + ф{и), ueW, 2 Є X.
Здесь X и W — банаховы пространства, F — нелинейный оператор; ір, гр — нелинейные функционалы. В задаче (2) элемент и имеет смысл управления, z — состояния управляемой системы, описываемой уравнением
F(«, z) = /; и Є W, * Є Х- (3)
U — множество допустимых управлений. Наряду с (1), (3) рассматриваются также соответствующие вариационные неравенства. Отличительной особенностью изучаемых в работе уравнений (1) является их некорректность в смысле Адамара. Таким образом, однозначная разрешимость и устойчивость решений (1) к малым вариациям исходных данных не предполагается. В задаче (2) корректная разрешимость относительно г уравнения (3) при фиксированном управлении н также может отсутствовать.
Широким и практически важным классом нелинейных операторов, порождающих некорректные по Адамару уравнения (1), является класс монотонных отображений, действующих из банахова пространства X в сопряженное пространство X*. В диссертации операторы F(-) и, F(u, ), как правило, предполагаются принадлежащими этому классу. Теория уравнений с операторами монотонного типа, начала которой восходят к работам М.М. Вайнберга, Р.И. Качуров-ского, Ф. Браудера, Г. Минти начала 60-х годов, в настоящее время
насчитывает многие сотни публикаций. Среди них отметим моно--графии М.М. Вайнберга (1972), А.И. Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова (1980), А.А. Панкова (1985), И.В. Скрыпника (1990), Ю.В. Трубникова и А.И. Перова (1986), X. Гаевского, К. Грёгера и К. Захариаса (1978), Г. Дюво и Ж.-Л. Лишк.'я (1980), Д. Киндерлерера и Г. Стам-паккьи (1983), Ж.-Л. Лионса (1972) и обзор Ю.А. Дубинского (1976). Прикладной аспект изучения некорректных уравнений вида (1) связан с разработкой устойчивых к погрешностям методов их решения. Пусть $ — некоторое множество операторов, действующих из X в X*. Будем считать, что вместо исходных данных (F;/) в (1) доступны их приближения (Fh,fe) Є $ х X*. В теории регуляризации ставится вопрос о построении семейства операторов {Лд}, Д = ('г;<5), сопоставляющих каждой паре {Fh\ }б) элемент 2д = RA{Fh,fs) Є X так, что
Urn supjdist (гд, Z.) : (Fh; /()е5хГ,
g(Fh,F)^h, ||/*-/lU* О}=0. (4)
Здесь dist(z,G) = infj ||z - v\\x v Є G>, G С X; Z„ — множество решений уравнения (1), предполагаемое непустым, функционал д имеет смысл метрики на множестве операторов. При этом Лд называется регуляризующим оператором, а семейство {іїд} — ре-гуляризующим алгоритмом (РА) решения задачи (1).
Начиная с классических работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева вопросам построения РА для операторных уравнений, вариационных неравенств и экстремальных задач посвящено значительное число исследований, подробный обзор которых содержится в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина (1979), А.Н. Тихонова, А.С. Леонова и А.Г. Яголы (1995), Ф.П. Васильева (1981), В.А. Морозова (1987), А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского (1989), В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы (1978), В.В. Васина и А. Л. Агеева (1993), М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и СП. Шишатского (1980), A.M. Федотова (1990), О.А. Лисковца (1981).
Один из основных принципов построения РА для уравнений (1), восходящий к работе М.М. Лаврентьева1, заключается в модификации оператора исходной задачи малым слагаемым, улучшающим ее качественные характеристики (операторной регуляризации),'так что уравнению (1) с приближенными данными (Fh]fs) сопоставляется регуляризованное уравнение
Fh(z) + eS{z) = /«, г Є X, є = e(A). (С)
Вопросы обоснования операторных РА и их итеративных аналогов подробно исследованы d работах Я.И. Альбера, О.А. Лисков-ца, А.Б. Вакушинского, Б.Т. Поляка, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, И.П. Рязанцевой. Потребности численной реализации разрабатываемых РА диктуют необходимость совмещения регуляризации (5) с дискретной аппроксимацией пространств и операторов. При этом центральным является вопрос о выборе способов согласования п = п(А), є = є(А) номера конечномерного пространства, используемого при дискретизации, и параметра регуляризации с погрешностью А, обеспечивающих сходимость конечномерных регуляризованных приближений к решению при Д — 0. Разнообразные подходы к обоснованию процедур дискретной регуляризации, базирующиеся на операторном и вариационном принципах конструирования РА, развиты в работах А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яголы, Ф.П. Васильева, В.А. Морозова, Ю.Л. Гапоненко, В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы, О.А. Лисковца, А.А. Ка-плана, Г.М. Вайникко. Следует отметить, что для нелинейных задач сходимость дискретных РА устанавливается, как правило, за счет привлечения дополнительных предположений об аппроксимативных свойствах используемых конечномерных пространств по отношению к искомому решению. Указанные предположения по существу эквивалентны повышенной гладкости неизвестного решения по сравнению с гладкостью, предписываемой исходным пространством X. В то же время теоретическое обоснование наличия требуемой
1 Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
гладкости у решения некорректной задачи возможно лишь в немногих частных случаях. Поэтому остается актуальной разработка новых подходов к построению дискретных РА, не предполагающих у неизвестного решения каких-либо априорных свойств.
Подчеркнем, что вышеупомянутые процедуры операторной регуляризации традиционно строились и изучались в предположении Z* ф 0, означающем разрешимость рассматриваемых задач. В то же время обоснование разрешимости некорректных задач обычно само по себе является нетривиальной проблемой, во многих случаях еще не имеющей удовлетворительного решения. D подобных случаях возникает необходимость изучения РА независимо от разрешимости исходной задачи. С практической точки зрения наибольший интерес представляют такие РА, которые при отсутствии решений вырабатывают приближения, доставляющие ту или иную информацию о минимальной невязке рассматриваемой задачи. Полученная невязка может использоваться при последующем качественном анализе и коррекции исследуемой модели. РА, обладающие указанным свойством, называются в работе регуляризующими алгоритмами исследования (РАИ) соответствующих классов задач. К группе РАИ могут быть отнесены, в частности, большинство РА, основанных на вариационных принципах А.Н. Тихонова и В.К. Иванова. Применительно к конечномерным экстремальным задачам широкий спектр численных методов, содержательных как при наличии, так и при отсутствии решений, предложен в работах И.И. Еремина, В.Д. Мазурова, Н.Н. Астафьева, В.Д. Скарина. В то же время возможности техники операторной регуляризации в плане построения численно реализуемых РАИ задач (1) и (2) в банаховых пространствах ранее практически не использовались.
Стремление к получению информации о некорректной задаче на основе вырабатываемой РА последовательности приближений, приводящее в случае Z+ = 0 к понятию РАИ, при Z* ф 0 служит источником постановок новых задач относительно известных методов регуляризации. Считая, что наряду с последовательностью приближений, сходящейся к решению, известна и верхняя оценка скорости ее сходимости, приходим к задаче об определении качественных
свойств этого решения по заданной скорости сходимости. Нетрудно усмотреть близость данной постановки к проблематике прямых и обратных теорем теории приближения функций, широко представленной в работах Л. Джексона, С.Н. Бернштейна, СБ. Стечкина, СМ. Никольского, В.М. Тихомирова, Н.И. Ахиезсра, И.К. Дауга-вета, Ю.К. Демьяновича, В.Б. Жука. В теории регуляризации аналогами прямых теорем теории приближений естественно считать утверждения о скорости сходимости рассматриваемых РА при наличии той или иной априорной информации относительно искомого решения. В линейном случае в качестве такой информации обычно используется истокопредставимость решения. Оценки скорости сходимости различных РА для линейных уравнений в зависимости от вида истокопредставимости разыскиваемого решения приведены в работах В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы, В.А. Морозова, А.Б. Бакушинского, Г.М. Вайпикко, К. Грётча. В то же время обратные теоремы о восстановлении качественных характеристик решения по скорости сходимости приближений, вырабатываемых теми или иными РА, в настоящее время доказаны лишь в немногих частных случаях. Расширение спектра подобных результатов позволило бы дополнить известные утверждения об окончательности оценок скорости сходимости РА на классах задач с истокопредста-вимыми решениями аналогичными теоремами об их неулучшаемости на индивидуальных задачах.
Экстремальные задачи (2) с ограничениями типа равенств, имеющими различного вида вырождения, в частности, разрешимыми относительно z не при всех значениях и Є U, традиционно привлекают большое внимание специалистов. В последнее время интерес к подобным задачам во многом стимулируется растущими потребностями анализа сложных нелинейных моделей механики, физики и экономики, включающих некорректные уравнения (3). Вопросам аналитического и численного исследования такого рода моделей посвящены, в частности, монографии А.С. Матвеева и В.А. Якубовича (1994), В.Ф. Демьянова, Г.Е. Ставрола-киса, Л.Н. Поляковой и П.Д. Панагиотопулоса (1996), Н.В. Азбеле-ва, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной (1991), Г. Дюво и Ж.-
Л. Лионса (1980), Ж.-Л. Лионса (1987). Эффективные методы получения необходимых условий экстремума для различных классов задач оптимального управления развиты в работах Л.С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, А.Я. Дубовиц-кого, А.А. Милютина, А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова, А.Б. Куржан-ского, В.И. Благодатских, А.В. Арутюнова, В.Б. Колмановского, A.M. Тер-Крикорова, А.И. Пропоя, А.И. Егорова, Ф.Л. Черноусь-ко, В.Г. Литвинова, В.И. Зубова, В.А. Якубовича, А.С. Матвеева, Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, Б.Ш. Мордуховича, Н.Н. Красов-ского, С.Я. Серовайского, В.А. Срочко, У.Ё. Райтума, Ж.-Л. Лионса. В то же время построению численных методов решения задач вида (2) с приближенными данными уделяется значительно меньшее внимание. Отчасти это объясняется отмеченными выше пробелами в исследовании методов дискретной регуляризации некорректных уравнений (3) с фиксированным управлением и, поскольку для монотонного оператора F(u, ) традиционные условия разрешимости и повышенной гладкости решений (3) во многих случаях не могут выполняться равномерно по и Є U. Данное обстоятельство также подчеркивает актуальность изучения РА для уравнений (1) без привлечения априорных предположений о существовании и свойствах искомого решения.
Цели исследования. Основными целями работы являются:
-
Изучение асимптотических свойств схемы операторной регуляризации (5) для уравнений (1) с монотонными операторами, а также ее дискретных и итеративных аналогов, без предположения о разрешимости рассматриваемых уравнений, а в случае разрешимости - без использования априорных данных о свойствах решений.
-
Обоснование РАИ монотонных уравнений и вариационных неравенств в банаховых пространствах на основе техники операторной регуляризации.
-
Конкретизация полученных РАИ для различных классов дифференциальных и интегральных уравнений с монотонной нелинейностью, а также выпуклых вариационных задач.
-
Разработка устойчивых к погрешностям методов численной аппроксимации решений задач оптимального управления (2) на осно-
ве схемы операторной регуляризации без привлечения предположений о разрешимости и свойствах решений уравнения, связывающего управление и состояние рассматриваемой системы.
Методика исследования базируется па основных фактах нелинейного функционального анализа и теории регуляризации некорректных задач.
Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами:
-
В рамках изучения схемы операторной регуляризации установлена связь между асимптотическим поведением вырабатываемых приближений и подходящим образом определенной мерой несовместности исходного уравнения в случае отсутствия у него решений. Аналогичные свойства установлены для ряда дискретных и итеративных аналогов этой схемы.
-
Предложен принцип согласования параметров в операторных методах дискретной регуляризации, пе использующий априорные предположения о свойствах искомого решения, характерные для аналогичных известных методов.
-
Для класса итеративных методов и итерированного метода М.М. Лаврентьева установлены обратные по отношению к известным оценкам скорости сходимости теоремы о восстановлении порядка истокопредставимости решения по заданной скорости сходимости вырабатываемых приближений. Данные утверждения могут рассматриваться в качестве аналогов известных в теории приближений обратных теорем С.Н. Бернштейна и СМ. Никольского.
-
Установлены общие условия на метод регуляризации уравнения состояния в задачах оптимального управления с монотонными операторами, обеспечивающие сходимость вырабатываемых приближений к решению. Проведено обоснование операторного метода аппроксимации решений задач оптимального управления при наличии погрешностей в исходных данных. Построены и обоснованы его итеративные и конечномерные аналоги, а также модификации для случая линейного уравнения. Исследовано поведение построенных процедур в случае несовместного уравнения. Установлено, что в этом случае упомянутые процедуры доставляют ту или иную меру
несовместности этого уравнения.
-
Разработанные вычислительные процедуры исследования нелинейных операторных уравнений, вариационных неравенств и абстрактных задач оптимального управления конкретизированы применительно к дифференциальным уравнениям высокого порядка с монотонной нелинейностью, интегральным уравнениям Гаммер-штейна I рода, выпуклым экстремальным задачам с ограничениями, в т.ч. задаче Синьорини, а также к соответствующим задачам оптимального управления.
-
Показано, что предложенные в работе РАИ нелинейных операторных уравнений, вариационных неравенств и задач оптимального управления, изначально ориентированные на задачи с погрешностями в исходных данных, остаются содержательными и при отсутствии погрешностей. В этом случае они приводят к новым утверждениям об асимптотическом поведении решений различпых классов дифференциальных уравнений, вариационных задач и задач оптимального управления с малым параметром. Указанные результаты могут рассматриваться в контексте вопросов, ранее поставленных Ж.-Л. Лионсом и Р. Темамом2'3
Практическая значимость работы определяется следующими факторами.
1) Полученные результаты позволяют существенно расширить
круг задач, к которым могут применяться процедуры операторной
регуляризации нелинейных монотонных уравнений, за счет задач,
априорная информация о разрешимости и свойствах решений кото
рых отсутствует или недостаточна. Тестовые расчеты подтвержда
ют эффективность разработанных процедур в применении к такого
рода задачам. В случае отсутствия решений упомянутые процеду
ры доставляют соответствующую невязку, необходимую для после
дующего анализа и коррекции исследуемой модели.
2) Разработанная схема построения процедур аппроксимации ре-
2Lions J.-L. Perturbations singulieres dans les problemes aux limites et en controle optimal. — Berlin: Springer, 1973. (p.p.92, 244, 355, 356, 577).
3Темам P. Математические задачи теории пластичности. — М.: Наука, 1991. (с. 234)
шений задач оптимального управления с монотонными операторами дает возможность единнообразно компоновать и обсновывать такие процедуры на основе алгоритмов регуляризации операторных уравнений. Конкретные процедуры, предложенные в работе в рамках данной схемы, могут найти применение при численном исследовании задач оптимального управления решениями нелинейных монотонных дифференциальных уравнений, выпуклых вариационных задач с ограничениями и линейных краевых задач, возникающих в различных разделах механики, физики и экономики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ (рук. — проф. Демьянов В.Ф., 1995-1997), кафедры вычислительной математики СПбГУ (рук. — проф. Мысовских И.П., 1997), кафедры теоретической кибернетики СПбГУ (рук. — чл.-корр. РАН Якубович В.А., 1996); кафедр математической физики и оптимального управления МГУ (рук. — проф. Васильев Ф.П., 1990, 1995, 1996), кафедры дифференциальных уравнений МГУ (рук. — акад. РАН Олейник О.А., 1994), кафедры математики МГУ (рук. — проф. Вакушинский А.В., Яго-ла А.Г., 1997); кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета (рук. — проф. Ляшко А.Д., 1991); отдела условно-корректных задач Института Математики СО РАН (рук. — акад. РАН Лаврентьев М.М., 1997); Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (рук. — проф. Аз-белев Н.В., 1995); II Международном Коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Пловдив, 1991), Международной конференции памяти акад. М.Ф. Кравчука (Киев, 1992), Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Москва, 1994), 16 и 17-й сессиях Совместных заседаний Семинара им. И.Г. Петровского и Московского Математического Общества (1994, 1995), Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1996), Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1992), VI Конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992); Всероссийских конференциях "Математическое программи-
рование и приложения" (Екатеринбург, 1989, 1991, 1995), XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991), XXVI Воронежской зимней математической школе (1994), Всероссийской школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж, 1995), VI Понтрягинских чтениях (Воронеж, 1995), XIII Межреспубликанской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Новосибирск, 1993), Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996), а также итоговых научных конференциях Марийского государственного университета (1989-1995).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-29].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 25 параграфов, заключения и приложения. Работа изложена на 397 страницах, содержит 7 рисунков; список цитируемой литературы включает 413 наименований.
