Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Исчерпывание пограничных слоев для уравнения, вырождающегося в уравнение нулевого порядка 10
1. Постановка задачи и формулировка результата 10
2. О гладкости обобщённого решения 12
3. Описание метода 13
4. Свойства функций из пространств соболева 15
5. Свойства сплайнов эрмита 16
6. Свойства асимптотического разложения 17
7. Оценка погрешности 22
8. Замечания 24
ГЛАВА 2. Аддитивное выделение погранслоя для уравнения, вырождающегося в уравнение первого порядка 25
1. Постановка за дачи 25
2. Гладкость обобщённого решения 27
3. Описание метода 28
4. Существование приближённого решения 29
5. Свойства асимптотики 30
6. Оценка погрешности 34
ГЛАВА 3. Построение методов высокого порядка точности на основе точной схемы тихонова-самарского 37
1. Постановка задачи 37
2. Обзор существующих методов 37
3. Теорема сравнения и принцип максимума 40
4. Свойства решений 41
5. Описание метода 42
5.1. Построение сетки 42
5.2. Аппроксимация коэффициентов уравнения 43
5.3. Построение точной схемы 44
5.4. Аппроксимация коэффициентов точной схемы 44
5.5. Построение полиномиальных локальных функции. 47
5.6. Построение локальных функций с экспонентами 48
6. Оценка погрешности 50
6.1. Оценка влияния замены коэффициентов 50
6.2. Оценка снизу диагонального преобладания 52
6.3. Оценки функции грина предобуславливателя 54
6.4. Оценка погрешности решения локальных задач 55
6.5. Основная теорема 58
7. Замечания 60
8. Численные эксперименты 61
8.1. Описание 61
8.2. Результаты 62
8.3. Код программы 69
Заключение 77
Список литературы 79
- О гладкости обобщённого решения
- Свойства асимптотического разложения
- Существование приближённого решения
- Аппроксимация коэффициентов уравнения
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке и оптимизации численных методов решения краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Уравнения рассматриваются на отрезке фиксированной длины. В качестве краевых условий берётся равенство нулю неизвестной функции на границах отрезка. Задачи, в которых в качестве краевых условий требуется, чтобы функция принимала заданные значения на концах отрезка, сводятся к задачам выбранного нами типа заменой неизвестной функции на новую, отличающуюся от исходной на линейную функцию, удовлетворяющую требуемым краевым условиям.
Рассматриваемые нами задачи являются сингулярно возмущёнными. Это значит, что их решения имеют особенности и не могут быть с достаточной точностью приближены на всей области решениями задач для уравнений, полученных из исходных обнулением малого параметра.
Решения рассматриваемых нами задач могут иметь большие по модулю производные в узких зонах, называемых пограничными или внутренними слоями, в зависимости от того, где они расположены. Вне этих зон решения меняются плавно. При этом чем меньше параметр при старшей производной, тем уже пограничные или внутренние слои и тем больше по модулю производные решений в них.
Краевые задачи для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной возникают во многих областях науки, например, в гидродинамике вязкой жидкости, при моделировании полупроводниковых устройств (см., например, [32], [13]), или в химической кинетике. Мы изучаем одни из их простейших представителей. Указанные выше свойства решений приводят к тому, что для достижения приемлемой точности с помощью классических численных методов при малых значениях параметра при старшей производной может потребоваться очень большое число узлов сетки. Поэтому
с практической точки зрения важно иметь эффективные специализированные алгоритмы, построенные с учётом особенностей решений.
Численным методам решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной посвящено огромное число работ, см., например, монографии [24], [22], [53], [14], [12], [9], [28] и ссылки в них. Обычно для численных методов доказывают конкретную оценку погрешности в некоторой норме при определённых предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи. Значительно реже можно встретить алгоритмы, для которых доказано, что при заданных предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи, не существует метода с лучшей по порядку оценкой погрешности. Как с теоретической, так и с практической точки зрения для каждого класса задач интересно иметь именно такой оптимальный алгоритм.
Опишем существующие подходы к численному решению задач с малым параметром при старшей производной. Отметим сразу, что часто применение этих подходов позволяет построить равномерные численные методы, то есть такие методы, погрешность которых оценивается величиной, не зависящей от малого параметра.
Одним из подходов является использование специальных сеток, сгущающихся в зонах, где решение имеет особенности. Существуют различные принципы построения специальных сеток.
Первый равномерный метод, использующий специальную сетку, был обоснован в [25], где рассматривалась краевая задача для линейной системы ОДУ второго порядка. В использованной разностной схеме сетка выбиралась так, чтобы величина, оценивающая погрешность аппроксимации разностной схемы на решении дифференциальной задачи, слабо зависела от узла сетки. При этом шаг сетки плавно меняется от узла к узлу, сетка густая в погрансло-ях, которые в данном случае расположены на обоих концах отрезка. Доказана оптимальность предложенного алгоритма при условии, что коэффициенты имеют непрерывные производные до второго порядка включительно. Отме-
тим также работу [54], где доказана оптимальность алгоритма из [25] для скалярного случая при меньшей гладкости коэффициентов.
Позже появились кусочно-равномерные сетки, см. [53]. Алгоритмы на их основе несколько уступают в точности алгоритмам с плавно меняющимся шагом сетки, но зато они несколько проще.
В [9], [40], [41], [42] разрабатывается подход, в котором строится преобразование координат, устраняющее особенности решения до определённого порядка, а сетка получается из равномерной при помощи обратного преобразования.
В [20] сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерно по малому параметру ограничена в сеточной интегральной норме, и доказывается равномерная поточечная сходимость второго порядка.
Существуют и другие принципы построения сеток, см., например, [34].
Часто используются адаптивные сетки. Такие сетки строятся итерационно. На каждой итерации сетка получается из предыдущей измельчением или, наоборот, загрублением различных участков на основе информации о приближённом решении, полученной на предыдущей итерации.
Другим распространённым подходом является использование специальных разностных операторов. Существуют различные принципы построения специальных операторов.
Первая схема со специальными операторами была обоснована в [37], хотя она появлялась и в более ранних источниках, например, в [1] и [26]. Эта схема имеет первый порядок точности равномерно по малому параметру и относится к так называемым схемам экспоненциальной подгонки. Она отличается от классической схемы тем, что выражение, аппроксимирующее слагаемое, содержащее старшую производную, домножается на коэффициент, зависящий от узла сетки, называемый подгоночным. Этот коэффициент выбирается так, чтобы в случае постоянных коэффициентов точные решения дифференциального уравнения экспоненциального типа являлись решениями разностного. Аппроксимации более высокого порядка могут быть получены с помощью
точных схем, предложенных в [50]. Каждое уравнение точной схемы связывает значение решения в некотором узле сетки со значениями решения в двух соседних узлах и с правой частью уравнения.
Метод аддитивного выделения функций погранслоя также можно отнести к методам со специальными операторами. Он предложен в [23]. Основная идея метода состоит в добавлении к базису, в линейной оболочке которого ищется приближённое решение, функций, позволяющих хорошо аппроксимировать решение в пограничных слоях.
Подход, основанный на использовании аналитических решений, впервые был предложен в [5], где производилась замена коэффициентов на кусочно-постоянные. Позже были предложены способы приближения коэффициентов второго порядка точности (см., например, [27]).
Есть и другие принципы построения специальных операторов (см., например, [24], [22]).
Для приближённого решения задач с малым параметром используются также асимптотические методы (см., например, [38], [10], [45]). Существуют численные методы, существенно опирающиеся на асимптотику, такие, как метод исчерпывания погранслоя (см., например, [24]), численное построение компонент асимптотического разложения (см., например, [47]), экстраполяция (см., например, [44], С. 296).
Обычно для численных методов доказывают конкретную оценку погрешности в некоторой норме при определённых предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи. Значительно реже можно встретить алгоритмы, для которых доказано, что на классе задач, определяемом заданными предположениями о гладкости функций, входящих в постановку задачи, не существует метода с лучшей по порядку оценкой погрешности. Как с теоретической, так и с практической точки зрения для каждого класса задач интересно иметь именно такой оптимальный алгоритм.
Целью нашего исследования является построение таких алгоритмов решения рассматриваемых краевых задач, которые имеют при заданных предпо-
ложениях о гладкости коэффициентов уравнений и заданном числе неизвестных в дискретизованной задаче как можно более высокую точность. В частности, для классов задач без точек поворота мы стремились построить алгоритмы, оценки погрешности которых с точностью до константы совпадают с оценками снизу колмогоровских поперечников компактов, состоящих из обобщённых решений задач этих классов. Для задач с точками поворота подобные оценки поперечников неизвестны; для них мы стремились построить метод, имеющий при заданной гладкости коэффициентов как можно более высокий порядок точности, причём чтобы константа в оценке погрешности как можно слабее зависела от малого параметра.
Опишем структуру диссертации. В первой главе рассматривается краевая задача для уравнения, вырождающегося в алгебраическое (под вырожденным уравнением понимается исходное уравнение, в котором малый параметр положен равным нулю). Вторая глава посвящена краевой задаче для уравнения, вырождающегося в уравнение первого порядка, со знакоопределённым коэффициентом при первой производной. В третьей главе рассматриваются краевые задачи для уравнений, вырождающихся в уравнения первого порядка, и, возможно, имеющих точки поворота. Точки поворота могут быть произвольного порядка и располагаться внутри или на границе отрезка.
Перечислим основные обозначения, используемые в диссертации. N, R - множества натуральных и действительных чисел, degp —степень многочлена р.
\г~\ - ближайшее сверху целое к числу г є R ([~г~| -1<г<[г]). С - положительные константы, не зависящие от малого параметра и числа неизвестных в дискретизованной задаче. (v)n - скалярное произведение в L2 (Q), определяемое по формуле
(qw)n = /ф(*)у <>)<&-
п зиррф - носитель функции ф, т. е. замыкание множества, на котором (р ^ 0.
С"(П) — совокупность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в области Q.
Q - замыкание области П.
C(Q) - пространство непрерывных функций на Q,
Нс(п) =шщ|ф(л)|.
С (Q) — пространство функций, имеющих непрерывные производные до порядка включительно на Q,
№v
с(п)'
1с*й =о,...,*
= max
m=0,..J
Ы)
i=0
Hk(Q) = FT2* (П) - пространство Соболева, Я'(П) -замыкание C"(Q) в Я'(П).
фх — производная функции ф по переменной х.
Если в значке нормы не указана область, то подразумевается область определения функции, стоящей под знаком нормы. Если в значке скалярного произведения не указана область, то подразумевается область, на которой рассматривается краевая задача. Если верхний предел суммирования меньше нижнего, то сумма считается равной нулю.
Если Р - символ, обозначающий некоторый многочлен, то коэффициент при У-той степени этого многочлена обозначается символом Р..
(g,j,[B0,BJ) есть интерполяционный многочлен Лагранжа для функции g, построенный по точкам у0,...,у^, где
= <
^+^-^)/(,-1),^1 (Bl+B0)/2,j = l
В каждой главе нумерация формул независимая и имеет вид (А, В), где А — номер раздела, В — порядковый номер формулы в разделе. Нумерация лемм и теорем имеет вид А.В, где А - номер главы, В - порядковый номер леммы (теоремы) в главе.
Исследования, представленные в диссертации, частично поддерживались Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 02-01-00400).
О гладкости обобщённого решения
Построим асимптотическое разложение решения по методу Вишика-Люстерника (см. [31]). Введём "быстрые" переменные и представим решение в виде »( ) л(о) +лЧі) + v( ) гДе тг и л1 - "по-фанслойные" составляющие, v - "гладкая" составляющая, символ « означает равенство с точностью до определённой степени є. Функции тс, п1 и v будем искать в виде конечных сумм Раскрыв скобки в этих равенствах и приравняв нулю слагаемое при каждой степени є до к -1 включительно, получим Отсюда определим последовательно функции vm,Jt ,Tr№,m = 0)...,A-l. Заметим, что vm=0 при нечетных т. Выберем произвольную срезающую функцию s такую, что г(п\ Г = [( + 2)/2", М = (ЛГ + 1)Г-2. Введём функции fo(J,i = 0,...,JV, j = 0,...,Г-1, удовлетворяющие следующим условиям: ф,. . является полиномом степени 2Г-1 на [хм,х,] и [ -]. Ф54 ш)в0. 9UW = 87 ПРИ И = 0,...,Г-1, Фи=0 вне [ ы, н1]. Линейная оболочка этих функций принадлежит пространству сплайнов Эрми-та (см. [29], С. 9). Обозначим её буквой V. Введём базис Линейную оболочку элементов введённого базиса обозначим символом 5 . В частности, при к = 0 каждому внутреннему узлу xt соответствует один базисный элемент ф;0, изображённый на рис. 1.2. При к = \ каждому внутреннему узлу х( соответствуют два базисных элемента ф(0 и фп, изображённых на рис. 1.3. 1=1 где числа ; найдём, решив систему функция s была введена для обеспечения выполнения условия решение uh существует. Доказательство. Для произвольного ненулевого а є Жм верны соотношения причём последнее неравенство в этой цепочке верно, поскольку функции у, линейно независимы. Поэтому матрица системы линейных алгебраических уравнений, из которой определяется uh, симметрична и положительно определена. Лемма доказана. Приведём некоторые известные свойства функций из пространств Соболева, которые нам пригодятся в дальнейшем. 1. Формула Тейлора: если А - некоторый интервал, g є НJ+1 (А) , х, у є А, то Эрмитовы интерполянты функций, построенные с помощью элементов пространства V, будем обозначать нижним индексом /: Для того, чтобы для функции можно было построить такой интерполянт, необходимо существование производных, входящих в это выражение. Лемма 1.3. Если Д - один из интервалов (xj_l,xj),i = l,,..,N, geHk+2(&), r = g-g,,TO Лемма 1.5. Для любого m = 0,...Д -1 верны равенства где / - многочлен степени, не большей 2т. Доказательство. Доказательство проведём по индукции. При т = 0 справедливо тождество Р(т =-v0(j). Пусть лемма верна для всех т = 0,...,и-1. Покажем, что тогда она верна при т = п. Для этого найдем коэффициенты многочлена Р[п. Обозначим для краткости Р = P2J„- Из определения функций п}т и предположения индукции следует, что Р должен удовлетворять условиям По предположению индукции degg 2« -1.
Условия (6.2) принимают вид Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получим соотношения вместе с условием (6.3) образуют невырожденную систему линейных алгебраических уравнений, из которой найдём коэффициенты Рт. Причём можно вычислять Рт как начиная с первого, так и начиная с последнего. Лемма доказана. Лемма 1.6. Справедлива формула Доказательство. Достаточно заметить, что где для получения последнего равенства сделана замена s = m-n. Лемма доказана. Лемма 1.7. Справедлива формула Доказательство. Справедливость этой формулы следует из цепочки равенств Лемма доказана. Лемма 1.8. Справедливо неравенство Доказательство. При к = 0 имеем jv0 / а-1. Рассмотрим теперь случай к \. По индукции убеждаемся, что (a xfm) = gm -а 2а{т\ т = \,.„,к, где gm - сумма слагаемых вида СаГ {сРу1 ...(д л 1)) iя-,, причём rt т. Заметив, что 1а(т-П с помощью (4.2) получаем оценку я-1 - Для завершения доказательства остаётся применить формулу (2.4) к функциям / и а1. Лемма доказана. Для всех b 0, т = О, 1, ... справедлива формула b jxme-bxdx = ml т+\ (6.7) Лемма 1.9. Справедливы неравенства Доказательство. Мы докажем это утверждение только при j = 0, поскольку при у = 1 оно доказывается аналогично. Обозначим С учётом (6 Достаточно доказать, что 4 Сє для всех р,т. Проделаем это. Привлекая (6.1), получаем Возможны два случая: 1. т п. С помощью (4Л) и неравенства Коши-Буняковского получаем, что -И+1/ Поэтому, учитывая (6.7), имеем ft-J СЕ "\ л; Czp+m-s x"-m+il2\Q( a(x))\e- " M 2. т п. Поскольку и, и - целые, верна оценка т п +1. Учитывая её, получаем, что Е " б оК 0 \а{т) Сг k-s Лемма доказана. Лемма 1.10. Для остаточного члена z = «-v-p-p справедлива оценка [z] Cek. (6.9) Доказательство. Привлекая (6.5), получаем -(«( vH+ )- ( . ) + ( ))- ( )- ( , ). Поэтому [zf = , )-8 ( ,,/)-( +р г). Если А: нечётное, то отсюда с учётом тождества vA_2 = 0, (6.6) и (6.8) имеем И2 с(є-У +єА ) С М, и для доказательства (6.9) остается только сократить [z]. Если к чётное, то Кs C[z]2 Е IK- L izk+CE K. И.. oTwa WL« v. w s CBf. Лемма доказана. Лемма 1.11. Для функции у = и р - р1 справедлива оценка ,(4-+2) Ъ. Сє" (6.10) Доказательство. Привлекая оценки (4.4), (6.8), получаем (к+2) V Обозначим = г2 \(ауГ - (/ - Цр + р1))"! С(Б"2 \у\ик + l) . Jt-i-s ft -p -V-Ie-V m=0 (0) = р Сє . При s =1 с учетом (6.9) имеем Поскольку .y = gt, достаточно доказать по индукции, что (gj , Се , 5 = 0,...,к. При я =0 имеем 4-І (0) 8i CD \z + є у sri =ll +e ""4-i C[z] + є -i -] Се - , откуда по формуле (2.3) #ія СгкЛ. Пусть s 2 и утверждение доказано для s - 2. Покажем, что тогда оно верно и для s. Действительно, в силу (6.5) Отсюда, используя (4.4), (6.8) получаем К- 1Ыи +(Др + )) 1 -. Г -2 є Ииік-2ІІя- + b. Также имеем & L = Й+ІІ БЧ m=k-s Czks. Осталось применить формулу (4.3). Лемма доказана.
Свойства асимптотического разложения
Диссертация посвящена разработке и оптимизации численных методов решения краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Уравнения рассматриваются на отрезке фиксированной длины. В качестве краевых условий берётся равенство нулю неизвестной функции на границах отрезка. Задачи, в которых в качестве краевых условий требуется, чтобы функция принимала заданные значения на концах отрезка, сводятся к задачам выбранного нами типа заменой неизвестной функции на новую, отличающуюся от исходной на линейную функцию, удовлетворяющую требуемым краевым условиям. Рассматриваемые нами задачи являются сингулярно возмущёнными. Это значит, что их решения имеют особенности и не могут быть с достаточной точностью приближены на всей области решениями задач для уравнений, полученных из исходных обнулением малого параметра. Решения рассматриваемых нами задач могут иметь большие по модулю производные в узких зонах, называемых пограничными или внутренними слоями, в зависимости от того, где они расположены. Вне этих зон решения меняются плавно. При этом чем меньше параметр при старшей производной, тем уже пограничные или внутренние слои и тем больше по модулю производные решений в них. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной возникают во многих областях науки, например, в гидродинамике вязкой жидкости, при моделировании полупроводниковых устройств (см., например, [32], [13]), или в химической кинетике. Мы изучаем одни из их простейших представителей. Указанные выше свойства решений приводят к тому, что для достижения приемлемой точности с помощью классических численных методов при малых значениях параметра при старшей производной может потребоваться очень большое число узлов сетки. Поэтому с практической точки зрения важно иметь эффективные специализированные алгоритмы, построенные с учётом особенностей решений. Численным методам решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной посвящено огромное число работ, см., например, монографии [24], [22], [53], [14], [12], [9], [28] и ссылки в них. Обычно для численных методов доказывают конкретную оценку погрешности в некоторой норме при определённых предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи. Значительно реже можно встретить алгоритмы, для которых доказано, что при заданных предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи, не существует метода с лучшей по порядку оценкой погрешности.
Как с теоретической, так и с практической точки зрения для каждого класса задач интересно иметь именно такой оптимальный алгоритм. Опишем существующие подходы к численному решению задач с малым параметром при старшей производной. Отметим сразу, что часто применение этих подходов позволяет построить равномерные численные методы, то есть такие методы, погрешность которых оценивается величиной, не зависящей от малого параметра. Одним из подходов является использование специальных сеток, сгущающихся в зонах, где решение имеет особенности. Существуют различные принципы построения специальных сеток. Первый равномерный метод, использующий специальную сетку, был обоснован в [25], где рассматривалась краевая задача для линейной системы ОДУ второго порядка. В использованной разностной схеме сетка выбиралась так, чтобы величина, оценивающая погрешность аппроксимации разностной схемы на решении дифференциальной задачи, слабо зависела от узла сетки. При этом шаг сетки плавно меняется от узла к узлу, сетка густая в погрансло-ях, которые в данном случае расположены на обоих концах отрезка. Доказана оптимальность предложенного алгоритма при условии, что коэффициенты имеют непрерывные производные до второго порядка включительно. Отме тим также работу [54], где доказана оптимальность алгоритма из [25] для скалярного случая при меньшей гладкости коэффициентов. Позже появились кусочно-равномерные сетки, см. [53]. Алгоритмы на их основе несколько уступают в точности алгоритмам с плавно меняющимся шагом сетки, но зато они несколько проще. В [9], [40], [41], [42] разрабатывается подход, в котором строится преобразование координат, устраняющее особенности решения до определённого порядка, а сетка получается из равномерной при помощи обратного преобразования. В [20] сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерно по малому параметру ограничена в сеточной интегральной норме, и доказывается равномерная поточечная сходимость второго порядка. Существуют и другие принципы построения сеток, см., например, [34]. Часто используются адаптивные сетки. Такие сетки строятся итерационно. На каждой итерации сетка получается из предыдущей измельчением или, наоборот, загрублением различных участков на основе информации о приближённом решении, полученной на предыдущей итерации. Другим распространённым подходом является использование специальных разностных операторов. Существуют различные принципы построения специальных операторов. Первая схема со специальными операторами была обоснована в [37], хотя она появлялась и в более ранних источниках, например, в [1] и [26]. Эта схема имеет первый порядок точности равномерно по малому параметру и относится к так называемым схемам экспоненциальной подгонки. Она отличается от классической схемы тем, что выражение, аппроксимирующее слагаемое, содержащее старшую производную, домножается на коэффициент, зависящий от узла сетки, называемый подгоночным. Этот коэффициент выбирается так, чтобы в случае постоянных коэффициентов точные решения дифференциального уравнения экспоненциального типа являлись решениями разностного. Аппроксимации более высокого порядка могут быть получены с помощью
Существование приближённого решения
Первая схема со специальными операторами была обоснована в [37], хотя она появлялась и в более ранних источниках, например, в [1] и [26]. Эта схема имеет первый порядок точности равномерно по малому параметру и относится к так называемым схемам экспоненциальной подгонки. Она отличается от классической схемы тем, что выражение, аппроксимирующее слагаемое, содержащее старшую производную, домножается на коэффициент, зависящий от узла сетки, называемый подгоночным. Этот коэффициент выбирается так, чтобы в случае постоянных коэффициентов точные решения дифференциального уравнения экспоненциального типа являлись решениями разностного. Аппроксимации более высокого порядка могут быть получены с помощью точных схем, предложенных в [50]. Каждое уравнение точной схемы связывает значение решения в некотором узле сетки со значениями решения в двух соседних узлах и с правой частью уравнения. Метод аддитивного выделения функций погранслоя также можно отнести к методам со специальными операторами. Он предложен в [23]. Основная идея метода состоит в добавлении к базису, в линейной оболочке которого ищется приближённое решение, функций, позволяющих хорошо аппроксимировать решение в пограничных слоях. Подход, основанный на использовании аналитических решений, впервые был предложен в [5], где производилась замена коэффициентов на кусочно-постоянные. Позже были предложены способы приближения коэффициентов второго порядка точности (см., например, [27]). Есть и другие принципы построения специальных операторов (см., например, [24], [22]). Для приближённого решения задач с малым параметром используются также асимптотические методы (см., например, [38], [10], [45]). Существуют численные методы, существенно опирающиеся на асимптотику, такие, как метод исчерпывания погранслоя (см., например, [24]), численное построение компонент асимптотического разложения (см., например, [47]), экстраполяция (см., например, [44], С. 296). Обычно для численных методов доказывают конкретную оценку погрешности в некоторой норме при определённых предположениях о гладкости функций, входящих в постановку задачи. Значительно реже можно встретить алгоритмы, для которых доказано, что на классе задач, определяемом заданными предположениями о гладкости функций, входящих в постановку задачи, не существует метода с лучшей по порядку оценкой погрешности. Как с теоретической, так и с практической точки зрения для каждого класса задач интересно иметь именно такой оптимальный алгоритм. Целью нашего исследования является построение таких алгоритмов решения рассматриваемых краевых задач, которые имеют при заданных предпо ложениях о гладкости коэффициентов уравнений и заданном числе неизвестных в дискретизованной задаче как можно более высокую точность.
В частности, для классов задач без точек поворота мы стремились построить алгоритмы, оценки погрешности которых с точностью до константы совпадают с оценками снизу колмогоровских поперечников компактов, состоящих из обобщённых решений задач этих классов. Для задач с точками поворота подобные оценки поперечников неизвестны; для них мы стремились построить метод, имеющий при заданной гладкости коэффициентов как можно более высокий порядок точности, причём чтобы константа в оценке погрешности как можно слабее зависела от малого параметра. Опишем структуру диссертации. В первой главе рассматривается краевая задача для уравнения, вырождающегося в алгебраическое (под вырожденным уравнением понимается исходное уравнение, в котором малый параметр положен равным нулю). Вторая глава посвящена краевой задаче для уравнения, вырождающегося в уравнение первого порядка, со знакоопределённым коэффициентом при первой производной. В третьей главе рассматриваются краевые задачи для уравнений, вырождающихся в уравнения первого порядка, и, возможно, имеющих точки поворота. Точки поворота могут быть произвольного порядка и располагаться внутри или на границе отрезка. Перечислим основные обозначения, используемые в диссертации. N, R - множества натуральных и действительных чисел, degp —степень многочлена р. \г \ - ближайшее сверху целое к числу г є R ([ г -1 г [г]). С - положительные константы, не зависящие от малого параметра и числа неизвестных в дискретизованной задаче. (v)n - скалярное произведение в L2 (Q), определяемое по формуле п зиррф - носитель функции ф, т. е. замыкание множества, на котором (р 0. С"(П) — совокупность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в области Q. фх — производная функции ф по переменной х. Если в значке нормы не указана область, то подразумевается область определения функции, стоящей под знаком нормы. Если в значке скалярного произведения не указана область, то подразумевается область, на которой рассматривается краевая задача. Если верхний предел суммирования меньше нижнего, то сумма считается равной нулю. Если Р - символ, обозначающий некоторый многочлен, то коэффициент при У-той степени этого многочлена обозначается символом Р.. (g,j,[B0,BJ) есть интерполяционный многочлен Лагранжа для функции g, построенный по точкам у0,...,у , где В каждой главе нумерация формул независимая и имеет вид (А, В), где А — номер раздела, В — порядковый номер формулы в разделе. Нумерация лемм и теорем имеет вид А.В, где А - номер главы, В - порядковый номер леммы (теоремы) в главе. Исследования, представленные в диссертации, частично поддерживались Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 02-01-00400).
Аппроксимация коэффициентов уравнения
Построим кусочно-полиномиальные аппроксимации pnbJi fl для коэффициентов уравнения (1.1) так, чтобы для решения и{ краевой задачи выполнялось неравенство и - u} \c Cri k. Для этого фиксируем некоторое число Х 0и положим для всех і = R,...,N -1 s -1 для задач ig J, s 0, и Р{+_{ц s для остальных задач При вычислениях по рассматриваемой схеме возникают многочлены достаточно высокой степени. Как показали примеры расчётов, для уменыне ния погрешности округления имеет смысл бороться за понижение степеней возникающих многочленов, особенно для не очень маленьких є. Способ, использованный нами для построения р} при bd X и s 0, приводит к многочленам, степень которых меньше степеней pj при Ц X или s = 0. Однако при jxj X мы вынуждены выделять множитель xs, чтобы доказать нужную оценку погрешности. частности, uI(xi)-Vi(xi)uJ(xi+i)-Wi(xi)«M-i) = M i = R + l-,N-l. (5.4) Равенства (5.4) вместе с условиями и} (xR) = и} {xN) = 0 представляют собой точную схему Тихонова-Самарского для задач Х 0и положим для всех і = R,...,N -1 s -1 для задач ig J, s 0, и Р{+_{ц s для остальных задач При вычислениях по рассматриваемой схеме возникают многочлены достаточно высокой степени. Как показали примеры расчётов, для уменыне ния погрешности округления имеет смысл бороться за понижение степеней возникающих многочленов, особенно для не очень маленьких є. Способ, использованный нами для построения р} при bd X и s 0, приводит к многочленам, степень которых меньше степеней pj при Ц X или s = 0. Однако пр Х 0и положим для всех і = R,...,N -1 s -1 для задач ig J, s 0, и Р{+_{ц s для остальных задач
При вычислениях по рассматриваемой схеме возникают многочлены достаточно высокой степени. Как показали примеры расчётов, для уменыне ния погрешности округления имеет смысл бороться за понижение степеней возникающих многочленов, особенно для не очень маленьких є. Способ, использованный нами для построения р} при bd X и s 0, приводит к многочленам, степень которых меньше степеней pj при Ц X или s = 0. Однако при jxj X мы вынуждены выделять множитель xs, чтобы доказать нужную оценку погрешности. частности, uI(xi)-Vi(xi)uJ(xi+i)-Wi(xi)«M-i) = M i = R + l-,N-l. (5.4) Равенства (5.4) вместе с условиями и} (xR) = и} {xN) = 0 представляют собой точную схему Тихонова-Самарского для задачи (5,2). Точные схемы впервые построены в [50]. Разностная схема, из которой находится приближённое решение в узлах сетки, имеет вид uR = uN = 0, где функции V W, , U являются приближениями к функциям Vit Wn U. соответственно и задаются явными формулами, которые строятся итерационно. Фиксируем номер узла /. В задачах для ViYLWi краевые условия сведём к однородным. Для этого обозначим введём функции являющиеся решениями краевых задач Обозначим для единообразия f0=f,7 U = Ut. Обозначим г = Значение 9, будет определять вид разностного уравнения, соответствующего узлу хг Отобразим отрезок [хм,х/+1] на [ОД] преобразованием z = (5.6) (х - х,_!) / Я, р(х,) 0 или Є,. = О (xi+l-x)/H, иначе где Н - х,+1 - хм. Введём и обратное преобразование x(z). Обозначим Пусть GA будет функцией Грина оператора (5.7) при однородных краевых условиях на отрезке [0,1]. Для произвольного целого т \ символами рт, Ьт, f обозначим такие функции, что при j = i-1, і решения задач с/" . Роль оператора Л аналогична роли предобуславливателя в решении систем уравнений: он обеспечивает сходимость итерационного процесса. Обозначим Положим и jxj X мы вынуждены выделять множитель xs, чтобы доказать нужную оценку погрешности. частности, uI(xi)-Vi(xi)uJ(xi+i)-Wi(xi)«M-i) = M i = R + l-,N-l. (5.4) Равенства (5.4) вместе с условиями и} (xR) = и} {xN) = 0 представляют собой точную схему Тихонова-Самарского для задачи (5,2). Точные схемы впервые построены в [50]. Разностная схема, из которой находится приближённое решение в узлах сетки, имеет вид uR = uN = 0, где функции V W, , U являются приближениями к функциям Vit Wn U. соответственно и задаются явными формулами, которые строятся итерационно. Фиксируем номер узла /. В задачах для ViYLWi краевые условия сведём к однородным. Для этого обозначим введём функции являющиеся решениями краевых задач Обозначим для единообразия f0=f,7 U = Ut. Обозначим г = Значение 9, будет определять вид разностного уравнения, соответствующего узлу хг Отобразим отрезок [хм,х/+1] на [ОД] преобразованием z = (5.6) (х - х,_!) / Я, р(х,) 0 или Є,. = О (xi+l-x)/H, иначе где Н - х,+1 - хм. Введём и обратное преобразование x(z). Обозначим Пусть GA будет функцией Грина оператора (5.7) при однородных краевых условиях на отрезке [0,1]. Для произвольного целого т \ символами рт, Ьт, f обозначим такие функции, что при j = i-1, і решения задач с/" . Роль оператора Л аналогична роли предобуславливателя в решении систем уравнений: он обеспечивает сходимость итерационного процесса. Обозначим Положим
и (5,2). Точные схемы впервые построены в [50]. Разностная схема, из которой находится приближённое решение в узлах сетки, имеет вид uR = uN = 0, где функции V W, , U являются приближениями к функциям Vit Wn U. соответственно и задаются явными формулами, которые строятся итерационно. Фиксируем номер узла /. В задачах для ViYLWi краевые условия сведём к однородным. Для этого обозначим введём функции являющиеся решениями краевых задач Обозначим для единообразия f0=f,7 U = Ut. Обозначим г = Значение 9, будет определять вид разностного уравнения, соответствующего узлу хг Отобразим отрезок [хм,х/+1] на [ОД] преобразованием z = (5.6) (х - х,_!) / Я, р(х,) 0 или Є,. = О (xi+l-x)/H, иначе где Н - х,+1 - хм. Введём и обратное преобразование x(z). Обозначим Пусть GA будет функцией Грина оператора (5.7) при однородных краевых условиях на отрезке [0,1]. Для произвольного целого т \ символами рт, Ьт, f обозначим такие функции, что при j = i-1, і решения задач с/" . Роль оператора Л аналогична роли предобуславливателя в решении систем уравнений: он обеспечивает сходимость итерационного процесса. Обозначим Положим
