Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I . СПЕЩАЛБНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 14
I.I. Вспомогательные факты 14
1.2. Обобщенный метод итераций 18
1.3. Метод последовательных подстановок 25
1.4. Метод, использующий специальные операторы. 31
1.5. Метод конечных разностей 47
1.6. Метод сеток. . 69.
1.7. Примеры. . 75
ГЛАВА П . СПЕЦИАЛШЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 81
2.1. Вспомогательные факты 81
2.2. метод итераций. .............. 85
2.3, Метод конечных разностей. III
2.4. К численному решению нелокальных краевых
задач для квазилинейных эллиптических
ураЕнений 121
2.5. Примеры 133
ЛИТЕРАТУРА 138
Введение к работе
Известно, что при математическом описании некоторых процессов в физике плазмы встречается новый класс краевых задач для эллиптических уравнений, в которых часть краевых условий задана в виде линейной комбинации значений искомого решения на разных участках области и границы. Такие краевые условия принято называть нелокальными краевыми условиями. Примером нелокальной краевой задачи может служить известная (см. ^3 J) задача /SLL = 09 - 1<- Х± I, 0+ tf± /,
Щх,0) = Ч> (X), UL[X,1)=fz(x), Л*х*1, С1) \1{-1,^) = %Ц), U(0J)= ШЄ,р), о^йі9 где ті (1-1,2.,3)- заданные непрерывные функции.
Задача (I) впервые поставлена и исследована в работе А.В. Бицадзе и А.А.Самарского [з J . Подобные задачи для других типов эллиптических уравнений были исследованы в работах Д.Г. Гордезиани 01- Cl2J, причем в работе CiOJ метод доказатель-ства существования решения можно использовать и как практический алгоритм для приближенного решения рассмотренных задач. В работе 12 J рассмотрена нелокальная краевая задача Бицадзе-Самарского для нелинейных эллиптических уравнений в случае произвольной области. Далее, в работе С J рассмотрены прямые разностные методы численного решения, а также итерационный процесс последовательных приближений для нахождения приближенного решения задачи типа Бицадзе-Самарского. _ 4 -
Для параболического уравнения нелокальная краевая задача исследована в работах t\* 1 - CtO 3 , L~59j,[2/J, T2?J.
Для уравнения смешанного'типа нелокальные краевые задачи типа Бицадзе-Самарского рассмотрены в работах СI J, 0^1, Сч^] .
Для уравнения третьего порядка нелокальные краевые задачи рассмотрены в работах f^2J - №J ив С9 1 . Здесь изучаются различные локальные и нелокальные краевые задачи, доказывается однозначная разрешимость этих задач.
В работе CWj установлена связь между нелокальными задачами для дифференциальных уравнений основных типов и локальными краевыми задачами для нагруженных уравнений. Показано, что задача Бицадзе-Самарского редуцируется к задаче Дирихле для нагруженного уравнения.
В работе С'6 3 в прямоугольной области О евклидова пространства рассмотрена задача Бицадзе-Самарского для уравнения Лапласа. Доказано, что эта задача имеет бесчисленное множество собственных значении, причем система собственных функций не является полной в Ц (-О-) , а присоединенные функции существуют не для каждого собственного значения.
В работе С 221 для уравнения Лапласа в круге S рассмат-г ривается нелокальная краевая задача, когда на одном участке границы bs задана производная искомой функции по направлению нормали, а на другом участке известно соотношение от искомой функции. Доказывается однозначная разрешимость.
Одномерная задача Бицадзе-Самарского с нелокальным краевым условием более общего вида записывается в следующем виде: у"= /(X,
У(а) = й, ЦЪ)=1№)+&, ассЛ. (2)
Эта задача в литературе мало исследована. Здесь лишь можно указать работы С \5~] , ь J » в которых рассмотрен случай, когда тіх>У>і/') - линейная функция. В первой из этих работ рассмотрена задача на собственные значения с нелокальным краевым условием, а во второй работе метод конечных разностей применен к численному решению задачи Бицадзе-Самарского, когда в точке задано краевое условие третьего рода.
Учитывая, что решение задачи (.2) интегрируется в замкнутом виде лишь в простейших случаях, большое значение приобретают как приближенные методы, так и численные методы их решения.
В связи с необходимостью повышения точности вычислений многими исследователями особое внимание уделяется различным оценкам погрешности приближенных методов. Эти вопросы для обычных краевых задач изучались многими авторами. В случае "специальных краевых задач"-задачи с нелокальными краевыми условиями подобное исследование проведено сравнительно мало. Следовательно, представляет интерес создание аналогов известных приближенных методов применительно к решению нелокальных краевых задач.
Настоящая диссертация посвящена построению приближенных методов и разработке численных алгоритмов решения нелокальных краевых задач как для обыкновенного дифференциального уравнения, так и для уравнения в частных производных эллиптического типа. Здесь, в частности, известные приближенные методы модифицируются и приспосабливаются к нахождению приближенного решения указанных задач.
Диссертация состоит из двух глав.
Первая глава посвящена изучению линейных нелокальных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений вто- рого порядка, так и для дифференциальных уравнении второго порядка эллиптического типа. Строится приближенное решение для интегральных уравнений Фредгольма второго рода специального вида, полученные из нелокальных краевых задач, доказывается сходимость.
Первая глава состоит из семи параграфов.
В первом параграфе строится функция Грина для задачи
Ц"(Х) = (Х), (3) tf(CL) =Л, #(&) = лу(С) +8 и исследуются ее свойства.
Во втором параграфе для приближенного решения задачи fix) = ^ш^ш + кх), а^.х^.1, щи) = л, Lj(&) =лу(с) + &, аг-с^&} строится и исследуется обобщенный метод итерации [29 J где уо и 4^(Х) произвольные, h и <р известные функции, а операторы V и определяются формулами: Vj/ = i(X-l)q(i)y(t)dt, Ft/ = - fa-M-b)0)cU-blUe.t)fltJ^tldi. a &
Включение произвольной функции Y(X) в (5) связано с тем, что при различных подборах Ц^(Х) можно получить различные итера- ционные процессы. В частности, при^х/ = о получается метод простой итерации. Доказывается следующая
ТЕОРЕМА I.2.I. Пусть tyix), (Х) непрерывны на [CL,>j . Пусть F(^Р-V)ф4. Пусть, наконец, для некоторых целых Л ^і выполнено условие
Тогда последовательность функций Угс , определенных из (5), сходится к единственному решению задачи (4) и скорость сходимости определяется формулой
Л^(х)- &«' II ± Уп/Л !&>- %(*>/(> ** д.
В третьем параграфе метод последовательных подстановок, разработанный в f36j для обычных краевых задач, применяется к нелокальным краевым задачам.
Решение уравнения
У„ = /ц. + tf fy + tf G У„ + Я P„'cVft (6) принимается за приближенное решение задачи (4). Здесь кп , У?г -известные, vfj , v^, произвольные функции, а
Выбором ^ (X), v^oc; можно достичь повышения точности метода.
Имеет место
ТЕОРЕМА 1.3Л. Пусть задача (4) имеет единственное решение U(x) , определенное на CQ,ej Пусть функции c^ix)7f(x)3 к±> (х) У W непрерывные на E.Q, ЬЗ и выполнено условие *>п = ' 1-F% - Ffj -Fv2 -Fnfn I- fii+, -Fn\ -tfV„ .fiTy, l-F„"V2 *0.
Тогда решение интегрального уравнения с вырожденным ядром (6) сходится к единственному решению задачи (4) и скорость сходимости определяется формулой
Предлагается приближенный метод для решения задачи (4) с помощью специальных операторов, рассмотренных в работе СЗ&] . Этому вопросу посвящен четвертый параграф. В этом параграфе решение приближенного уравнения % (xj = h„(x) +Jj ( FilX,Z)+ k-Z-p.fcVJ&lVofr (7) принимается за приближенное решение задачи (4), оценивается скорость сходимости. Доказывается, что в случае, когда ШХ) есть многочлен, ядро приближенного уравнения всегда вырожденное. Далее, в пятом параграфе излагаются метод конечных разностей и разностных схем любого порядка точности к численному решению задачи: ^5(РОД "^Г )- №У= -f<*h о*х*і, (8) fy(X) &0, О г. С г. / .
Дается одно видоизменение метода точных разностных схем.
Задача (.8), в первом пункте решается обычным методом конечных разностей. Для решения линейных алгебраических систем уравнений, полученных при аппроксимации (8), применяется метод прогонки. Аналогичный вариант метода прогонки использовался в работе С 2(П для решения нелокальной одномерной параболической задачи.
Во втором пункте для задачи (8) строится и исследуется одно видоизменение метода любого порядка точности [5о] в случае, когда <. = 0 . При этом получается новая разностная схема для обычной двухточечной краевой задачи и она в одном частном случае легко переносится на задачу (8), когда (/- ф 0 .
Для численного решения задачи (8) при <^ = 0 рассматривается разностная схема где коэффициенты &%>, fi[m\ Bi'7 b'% , C/mJ определяются с помощью коэффициентов р(Х) , Cl(X)* f(X) Уравнения (7). Оценивается погрешность метода.
В шестом параграфе для решения задачи Бицадзе-Самарского для линейного эллиптического уравнения применяется метод сеток.
Доказывается принцип максимума. Используя мажорантную функцию, оценивается погрешность.
Наконец, в последнем, седьмом параграфе для иллюстрации точности предложенного метода рассматриваются конкретные задачи. Результаты показывают на хорошую точность метода.
Вторая глава посвящена нелокальным краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений. Она состоит из пяти параграфов .
В первом параграфе излагаются вспомогательные факты для нелокальной краевой задачи
У" = ?(х, у, у') ? асх^й , (9) 0 ^ *- (i-cLj/(с- а).
Задача (9) приводится к эквивалентным интегральным уравнениям. Строится функция Грина для дискретного аналога этой задачи.
Во втором параграфе метод итерации и метод квазилинеаризации применяется для приближенного решения задачи (9). Доказана следующая
ТЕОРЕМА. 2.2.1. Пусть непрерывная и ограниченная функция &<Х> У> f) » определенная в R = ffl,jx (-tj)x (-ІЛ) , удовлетворяет условию Липшица по У и Ч( : /^*./,/^-^*,у,уо/^/-у/+ад-у'/-
Пусть - II - k(x) - B(x-
2 4 '
Тогда задача (9) имеет единственное решение, определенное в [CL7 , J , и это решение является пределом последовательных приближений п fax) = Ц(х)- 1&'(хЛ)Ш,%Ш, tfHJlcU , и скорость сходимости определяется формулой где
Во втором пункте второго параграфа последовательные приближения определяются из следующих линейных краевых задач iO*J = ?fx> У* (x>> ti(x> ) + 5?
В третьем пункте 2 рассматривается краевая задача i" + h*>y)=Q, і(а) = А, */()= #(с). (10)
Для решения этой задачи строятся двусторонние монотонные приближения, для которых доказывается сходимость.
В третьем параграфе для решения задачи (9) применяется метод конечных разностей. Доказывается сходимость решений нелинейных систем разностных уравнений к точному решению задачи (9). Оценивается скорость сходимости.
В <_<.- :_;.-- четвертом параграфе рассматривается нелокальная задача для квазилинейных эллиптических уравнений AU = ^(x, у, и, Ux, Uy ), (П) Щ,9 -*uk = v - ІЗ -
Задача (II) решается методом сеток,
ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть решение Щх,у) задачи (II) имеет ограниченные четвертые производные в Л и непрерывные третьи производные в % .
Тогда для погрешности =6/-1/ приближенного решения спраЕедлиЕа оценка где \7 - решение нелинейной системы, аппроксимирующей (II).
В пятом параграфе вышеизложенные методы применяются к решению конкретных задач.
Основные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях аспирантов ВУЗов Азербайджана С 2.57 t С 2Ь 2 » на ХХП Научно-технической конференции в Пермском Политехническом Институте С2S J и на семинарах член-корр.АН Азерб.ССР, проф.Я.Д.Мамедова (Азгосуниверситет, Баку).
Результаты диссертации опубликованы в работах Г2-* J - Сщ ,
