Введение к работе
Актуальность темы. Постоянно возрастающие требования к повышению эффективности анализа результатов численного решения дифференциальных уравнений, в частности, уравнений математической физики, требуют разработки быстрых и экономичных методов их численного решения. Здесь, в первую очередь, следует отметить важную задачу построения специальных алгоритмов для решения дифференциальных уравнений эллиптического типа, разностная аппроксимация которых приводит к плохо обусловленным системам ЛАУ большой размерносги, что требует при их решении значительных затрат машинного времени и большого объема хранимой информации.
Следует отмеппъ, что в настоящее время дня решения систем разностных уравнений применяются как прямые, так и итерационные методы, разработке и исследованию которых посвящен ряд работ В.Н.Лбрашнна, Н.С.Бахвалова, В.В.Бобкова, С.К.Годунова, В.П.Ильина, В.И.Крылова, Г.И.Марчука, П.П.Махуса, П.И.Монастырного, Е.СІ Іиколасва, А.Л.Самарского и многих других авторов.
Использование точных методов требует выполнения ряда ограничений, налагаемых либо на размерность задачи, либо на свойства коэффициентов матрицы, что существенно сужает круг решаемых задач. Итерационные методы позволяют решать более сложные задачи. Однако, большая часгъ существующих приближенных алгоріггмов применяется, как правите,.при наличии у матрицы системы уравнений свойств симметричности, положительной определенности и некоторых иных специальных свойств. Кроме того, скорость сходимости большинства из них при общих условиях ухудшается с возрастанием числа обусловлеіпюстн решаемой системы. При этом, такие структурные характеристики как размерность, леїггочность не используются или используются не в полной мере.
Поэтому актуачыюсть рассматриваемой тематики объясняется следующими причинами: 1) необходимостью разработки алгоріггмов, учитывающих структуру матрицы системы разностных уравнений; 2) необходимостью модификаций известных алгоритмов с целью эффективного использования и улучшения ах вычислительных характеристик; 3) потребностью более глубокого изучения новых и известных методов с целью выявления их свойств и действительных возможностей; 4) развшпем и расширением возможностей использования вычислительной техники.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа выполнена в соогвегстшш с темой "Оптимизация вьгчислнтельных методов и вычислительный эксперимент для дифференциальных и сеточных граничных задач физики, электроники, динамики жидкостей и теории упругости" № 0189008697, вклю-
чеінюй на 1991-1996 г.г. в план НИР, выполняемой на кафедре численных методов и программирования механико-математического факультета Белгосуннверситета.
Цель и іадачи работы. Целью диссертационной работы является построение, обоснование и исследование экономичных быстросходящихся итерационных методов для решения разностных граничных задач. Дня достижения указанной цели в диссертации были решены следующие задачи:
разработана методика построения итерационных методов для решения разностных граничных задач, основанных на композиции различных алгоритмов;
построены модификации мегодов двусторонней пристрелки, неявной матричной прогонки, неявной полной редукции для решения разностных граничных задач с учетом их структурных характеристик;
построен и исследован ряд итерационных методов на основе бысгросходящихся итерационных и экономичных точных алгоритмов, основные характеристики кого-рых определяются значениями числовых и мапричных параметров;
получены оценки скорости сходимости построенных итерационных алгоритмов;
предложена и обоснована методика построения оптимальных числовых и магрич-иых параметров ш последовательности вложенных сеток;
Научная новизна. Для разностных граничных задач разработана методика построения итерационных методов, основанных на композиции различных алгоритмов с целью эффективного использования и усиления их вычислительных характеристик. На основе полученной методики построен ряд быстросходящихся итерационных алгоритмов, настройка и регулировка основных свойств которых осуществляется выбором числовых и матричных параметров, получены оценки их скорости сходимости. Предложен и обоснован подход к построению оптимальных параметров итерационных методов на последовательности вложенных сеток. Выполнены численные эксперименты по решению некоторых разностных граничных задач, носящие испъпшельный и калибровочный характер и позволяющие оценить свойства разработанных алгоритмов.
Практическая значимость. Алгоритмы, разработанные в диссертации, могут it шеняться для решения дифференциальных граничных задач эллиптического тепа и родственных им задач, возникающих во многих областях науки и техники. Они построены с учетом свойств диффереіщнальш>іх задач и их дискретных моделей. Предложена методика построения параметров, определяющих экономичные итерационные алгоритмы.
Экономическая значимость. Разработанные в работе специальные методы, позволяют уменьшить требуемой для их реализации компьютерной памяти и существенно сократить число вычислительных затрат, а, следовательно, повысить эффективность решения приклачных задач.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. В настоящей, диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:
-
Разработала методика построения итерационных методов решения разностных граничных задач на основе конструктивного соедішсния качественно различных алгоритмов с цель эффективного использования и усиления ік вычислительных свойств.
-
Построены модификации методов пристрелки, неявной матричной прогонки и неявной полной редукции для решения разностных граничных задач с переменными коэффициентами с учетом их структурных характеристик.
-
Разработан и исследован ряд итерационных методов на основе быстросхо-дящихся итерационных и экономичных точных алгоритмов, основные характеристики которых определяются выбором значений числовых и матричных параметров., >
-
Получены оценки скорости сходимости построенных алгоритмов. Для определенного класса разностных задач найдены условия на параметры итерационных алгоритмов, при которых их скорость сходимости не зависит от числа узлов алпроксимацнонной сетки.
-
Предложена и обоснована методика построения оптималышх параметров быстросходящихся нтерационньгх методов на последовательности вложенных сеток.
Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики, математическое программирование и программное обеспечение" (Минск, 1992), VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1993), научных семинарах в Институте, математики АНБ и !» ФПМИ и механико-математическом факультете в Белгосуниверситете.
Опублнкованность результатов. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения .общей характеристики работы, пяти глав, выводов и списка использованных источников, включающего 100 наименований. Общий объем работы 115 страниц машинописного текста.
