Введение к работе
Актуальность. Математическое моделирование физических процессов являются одним из основных направлений прикладной математики и имеет важное практическое приложение. Ввиду нелинейности и многомерности моделей многих процессов аналитические метода исследования не позволяют в общем случае получать полное решение задач. Одним из основных, методов,позволяющих проводить теоретические исследования самих моделей и решать практически вааные задачи являются численные методы.
Многомерность задач ставит в число главных проблему
построения и исследования экономичных численных алгоритмов,
в особенности использующих метод расщепления дифференциаль
ных операторов. На практике для численного решения уравнения..
Навье-Стокса применяют координаты "функция тока - вихрь ско
рости" . Для такой постановки исследованию корректности раз
ностной схемы посвящено ограниченное количество работ, почти
не рассматривается корректность схем типа дробных шагов.
Настоящая работа посвящена исследованиям корректности итера
ционной разностной схемы для уравнения Навье-Стокса в пере
менных "функция тока - вихрь скорости" в односвязной и мно
госвязной областях и схемы Полежаева для бигармонического.
уравнения. Кроме того численнсГисследована задача^_протекания
вязкой жидкостиуд незаданным расходом. Все задачи изучены
впервые. .
Цель работы.jОсновной целью настоящей работы является создание эффективных, численных алгоритмов для- уравнения вяз-
кой несжимаемой жидкости и обоснование сходимости итераци
онного метода для дробных шагов. Разработан численный
алгоритм одной неклассической краевой задачи для уравне
ния Навье-Стокса с незадашшм расходом, которая часто встре
чается на практике,(течение воздуха в нагретой печи, градир
ня в солнечной мельнице и др ). На основании предложенных
разностных схем проведенэ численное решение задачи.
Научная новизна. Впервые построена и исследована корректность экономичных разностных схем для уравнения Навье-Стокса в переменных "функция тока и єихрь скорости" в односвязной и многосвязной областях. Получена сходимость итерационного процесса со скоростью геометрической прогрессии. Доказано устойчивость по граничным данным разностного решения для бигармонического уравнения в уравнении вязкой несжимаемой жидкости. (Схема Полежаева).
Численным методом изучена задача протекания вязкой несжимаемой жидкости незаданным расходом. Решены три задачи. Все результаты получены впервые.
Теоретическое и практическое значение результатов. Устаг новленные свойства решения итерационной схемы для уравнения вязкой несжимаемой жидкости в постановках "функция тока -вихрь скорости" представляет интерес для теории нелинейных дифференциально-разностных уравнений с частными производными. Разработанные численные методы могут быть использованы при разработке алгоритмов для задач гидродинамики в случае пористых сред, фильтрации, и другие задачи. Использованы методы априорных оценок, разностные теоремы вложения, метод неподвижных точек.
апробация работы. Основные результаты диссертации докле-днвались на научном семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" под руководством академика Инженерной академии Республики Казахстан, проф.д.ф.-м.н. Смагулова Ш., доцента Данаева Н.Т.,КазГНУ; на семинаре "Функциональный анализ и егс приложения для дифференциальных уравнений и вычислительной математики" под рук. член-корр.НАН РК проф.д.ф.-м.н. Отелбаева М.О. (ИПМ HAH РК г.Караганда); на семинаре "Прикладная гидродинамика" под руков.д.т.н.проф. Дкаугаштша К.Е. (ИТПМ НАН РК, г.Алматы); на семинаре "Механика жидкости газа и плазмы" под руков.член-корр.НАН РК цроф.д.т.н. Ершина Ш.А., на конференции молодых учёных КазГНУ им.Аль-Фараби 1993 г.(г.Алматы).
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 101 страницах машинописного текста и состоит из введения, трбх глав, выводов, списка литературы лз 61 наименования, включает 13 рисунков и 2 таблицы.