Введение к работе
Диссертация посвящена разработке разностных схем решения системы уравнений Максвелла в трехмерных и двумерных декартовых координатах для исследования прохождения электромагнитной волны через дифракционные микролинзы с высокой числовой апертурой и антиотражающие дифракционные микроструктуры, а также реализации параллельных вычислений для решения разностных уравнений.
Актуальность задачи.
В последние годы особый интерес в оптике вызывают задачи, в которых необходимо учитывать поляризацию электромагнитной волны, френелевское отражение и распределение интенсивности, как в самом оптическом элементе, так и в его выходной плоскости. Это связано с появлением интегральных оптических схем, антиотражающих решеток, дифракционных микролинз для ввода излучения в оптическое волокно. Методы геометрической и скалярной оптики не позволяют исследовать прохождение излучения через данные системы. Так, геометрическое приближение не позволяет учитывать дифракцию на дифракционной микролинзе, что делает лучевой подход неприемлемым для исследования микролинз. В рамках скалярного приближения известны работы Н. Л. Казанского, в которых рассматривается задача распространения излучения через микролинзу в приближении Френеля-Кирхофа. Ф. Выровский (F. Wyrowski) для этих целей использовал приближение Френеля. Однако для исследования короткофокусных микролинз, используемых для ввода излучения в волокно, необходимо рассчитывать распределение интенсивности на расстоянии нескольких длин волн от микролинзы. Такую задачу рассмотрели М.С. Мирозник, Д.В. Пратер, Д.Н. Мэйт (M.S. Mirctznik, D.W. Prather и J.N. Mait) решая уравнение Гельмголь-ца методом конечных элементов. Однако при этом не исследовалось прохождение излучения через рефракционную линзу и не оценивалось распределение интенсивности внутри предложенных дифракционных микролинз. Подход, предложенный М.С. Мирозником, Д.В. Пратером и Д.Н. Мэйтом не позволяет исследовать оптический элемент в волноводе. Поэтому актуально исследование прохождения электромагнитной волны через рефракционную и дифракционные микролинзы, заключенные в волновод.
При изготовлении дифракционных микролинз для мощных лазеров применяют материалы, обладающие высокой устойчивостью к термическому разрушению. Наиболее прочным материалом является алмаз, однако он обладает высоким показателем преломления, что обусловливает отражение большой доли энергии от границы раздела алмаз-воздух. Для снижения доли отраженной энергии алмазные оптические элементы просветляют, формируя на поверхности ан-тиотражающий субволновый рельеф. Принципы работы антиотражающих поверхностей глубоко исследовались в работах Д. Г. Рагуина и Г. М. Морриса (D.H. Raguin и G.M. Morris). Методика расчета бинарного антиотражающего рельефа, согласно с теорией эффективных сред, представлена в работе М.Е. Мотамеди, В.Г. Саусвелла и В.Д. Ганнинга (М.Е. Motamedi, W.H. Southwell и W.J. Gunning). Однако аналогия с теорией тонких пленок не является очевидной и требует проверки. Поэтому актуален поиск оптимальной формы рельефа антиотражающей поверхности с помощью численного решения уравнений Максвелла.
Решение уравнений Максвелла для задач оптики требует применения численных методов. Известен аналитический подход Р. Петита (R. Petit), рассматривающий прохождение электромагнитной волны через дифракционные решетки, однако для общего случая аналитические методы отсутствуют.
В оптике широко применялись разностные схемы. Так А. Ренаут (A. Renaut) составил неявную разностную схему для решения волнового уравнения, а Т. Фла (Т. Fla) записал консервативную разностную схему для решения нелинейного уравнения Шредингера. СТ. Чу, В.П. Гуанг и С.К. Чаудгури (S.T. Chu, W.P. Huang и S.K. Chaudhuri) представили явную разностную схему для уравнений Максвелла, которая не является устойчивой. При решении задачи построения разностных схем для уравнений Максвелла вполне очевиден отказ от явных схем. Даже будучи устойчивыми, они, как правило, налагают жесткие ограничения на шаги сетки, что делает неявные схемы более предпочтительными.
В классических работах Самарского А.А. и Марчука Г.И. представлен большой выбор неявных разностных схем, однако для уравнений Максвелла схемы не приведены, поэтому их разработка является актуальной.
Разностное решение задач оптики требует существенных временных затрат. Следовательно, актуальна разработка алгоритмов, реализующих параллельные вычисления. Особенности организации параллельных вычислений для решения уравнений математической физики изложены И.Н Молчановым. Н.Н Ми-ренковым представлен алгоритм распараллеливания продольно-поперечных прогонок, а Б.А. Головин описал методику расчета характеристик параллельных вычислительных процессов. Однако перечисленные авторы не исследовали проблемы построения алгоритмов распараллеливания для решения разностных уравнений явно-неявных схем и повышения эффективности алгоритмов распараллеливания продольно-поперечных прогонок за счет асинхронизации и использования как правой, так и левой прогонок.
Целью работы является разработка разностных схем для системы уравне
ний Максвелла и алгоритмов распараллеливания решения разностных уравнений
для анализа прохождения электромагнитной волны через микролинзы с высокой
числовой апертурой и антиотражаюшую бинарную поверхность. і.. .
Для достижения указанной цели определены основные задачи диссертации:
-
Построение корректных и сходящихся разностных схем для решения системы уравнений Максвелла.
-
Изучение влияния числа уровней квантования дифракционной микролинзы на положение ее фокуса и эффективность.
-
Определение параметров бинарной субволновой структуры на алмазных пленках, обеспечивающей наименьшие потери на отражение инфракрасного (ИК) излучения.
-
Реализация параллельных вычислений с целью сокращения времени вычислительного эксперимента
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Предложены явно-неявные и неявные разностные схемы для системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовой систе-ме-хеврдина*гпокаіішьі их коррекшость и сходимость.
-
Проведено систематическое исследование распределения интенсивности поля внутри и вблизи рефракционной и дифракционных микролинз.
-
Определены наиболее эффективные параметры бинарной антиотражаю-щей структуры для алмаза непосредственным решением уравнений Максвелла Проведено сравнение с результатами, полученными с помощью теории, эффективных сред нулевого и второго порядков.
-
Предложен алгоритм вычисления продольно-поперечных прогонок, обладающий более высокой эффективностью по сравнению с известными алгоритмами.
-
Разработан алгоритм распараллеливания решения разностных уравнений явно-неявных разностных схем для уравнений Максвелла Найден более эффективный, по сравнению с известным, алгоритм распараллеливания решения сеточных уравнений неявных разностных схем для уравнений Максвелла Проведено сравнение эффективности распараллеливания алгоритмов решения сеточных уравнений явно-неявных и неявных схем.
На защиту выносятся:
-
Явно-неявные и неявные разностные схемы для системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовой системе координат.
-
Результаты исследования прохождения электромагнитной волны через цилиндрическую микролинзу с высокой числовой апертурой и соответствующие ей дифракционные линзы.
-
Параметры бинарной антиотражающей субволновой структуры для оптических элементов на алмазных пленках, обеспечивающие наименьшие потери на отражение.
-
Алгоритмы реализации параллельных вычислений для решения записанных разностных уравнений, обеспечивающие сокращение времени вычислений в несколько раз по сравнению с алгоритмами без распараллеливания.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: VIII всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (Абрау-Дюрсо, 1998 г.); IX межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 1999 г.); международная конференция "Difrractive Optics" (г. Йена, Германия, 1999 г.); VI международная конференция "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (г. Самара, 1999 г.); международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г. Саратов, 1999 г.); Байкальская молодежная научная школа по фундаментальной физике (г. Иркутск, 1999 г.); совместные научные семинары Института систем обработки изображений РАН и кафедры Технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, двух Приложений, Списка использованных источников из 102 наименований, изложенных на 121 странице. Диссертация содержит 50 рисунков и 10 таблиц.