Введение к работе
Актуальность темы. Решение интегральных уравнений численными методами является одним из важных прикладных разделов современной математики, которое позволяет получить эффективные математические модели задач из многих областей естественных наук.
Интегральные уравнения нашли широкие применения в области физики (теория потенциала, теория упругости, теплопроводность и т.д.), в механике (колебания конструкций), в аэродинамике (собственные колебания крыльев самолета), в газовой динамике, в электротехнике и т.д.
Среди прямых методов решения интегральных уравнений широкую область применения имеют проекционные методы (метод Галеркина и его разновидности). Однако нахождение приближенного решения практических задач как в проекционных методах, так и других прямых методах связано с решением систем уравнений большой размерности, что представляет существенные трудности при их реализации на ЭШ с повышенной точностью.
Существующие итеративные методы, основанные на принципе сжимающих отображений (метод последовательных приближений и его разновидности, комбинированные методы, к которым относятся проекцион-но-итеративные методы), легче реализуются на современных вычислительных машинах, однако их недостатки также известны (как, например, ограниченная область применения методов и медленная сходимость в ряде случаев).
Наличие итеративных методов не исключает возможности разработки новых, более эффективных методов, ускоряющих сходимость итеративных методов, расширяющих область применения и -сокращающих количество вычислений. Такими являются внутренние и внешние проек-ционно-связные методы для решения операторных уравнений (не связанные с принципом сжимающих отображений), которые имеют более широкую область сходимости, чем существующие итеративные методы, и в отличие от прямых методов связаны с решением систем произвольной
Бабаджанян А.А. Проекционно-связные методы решения систем уравнений. ДАН СССР, 1986, т.291,№5, с.1037-1040.
-4.-
раэмерности. Поэтому применение проекционно-связных методов для решения интегральных уравнений является актуальной проблемой в теоретическом и прикладном аспектах.
Цель работы состоит в разработке и реализации эффективных проекционно-связных методов решения линейных интегральных урав-нений и приложений в задачах, моделирующих процессы колебаний, а именно:
разработать разновидность проекционно-связных (внутренних и внешних) методов для решения линейных интегральных уравнений второго рода;
предложить внешний проекционно-связный метод для нахождения нормальных решений линейных операторных уравнений второго рода;
разработать алгоритм проекционной схемы предлагаемых методов;
применить одномерные проекционно-связные методы решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами;
разработать алгоритм дискретной схемы проекционно-связных методов и численно реализовать на ЭШ;
исследовать эффективность (область и быстрота сходимости) проекционно-связных методов и провести сравнительный анализ с известными итеративными методами;
апробировать предлагаемые методы в задачах, возникавших при исследовании процессов колебаний.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:
предложены алгоритмы проекционной и дискретной схем внутренних и внешних проекционно-связных методов для'решения линейных интегральных уравнений второго рода;
дается развитие внешнего проекционно-связного метода для нахождения нормальных решений линейных операторных уравнений второго рода;
разработан алгоритм проекционной схемы предлагаемых методов
применены одномерные проекционно-связные методы для решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами и-получено достаточное условие сходимости.одномерного внутреннего проекционно-связноп метода в частном случае вырожденного ядра;
- разработан алгоритм дискретной.схемы проекционно-связных
методов, описан- способ построения базисных функций, при которых численная реализация методов имеет существенные преимущества (экономия памяти ЭВМ и машинного времени);
показана эффективность проекционно-связных методов (широкая область применения и быстрая сходимость) приведенными численными примерами и результатами экспериментальных сравнений с известными итеративными методами;
дано приложение проекционно-связных методов в задаче о вынужденных поперечных колебаниях струны,, сводящейся к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с разделяющим симметричным ядром и проводится сравнительный анализ с итеративными методами.
Методика исследования. При обосновании полученных в диссертации результатов используются результаты из теории интегральных уравнений и математической физики, а также общая теория приближенных методов решения операторных уравнений.
Практическая ценность. Разработанные в работе алгоритмы и программы проекционно-связных методов могут найти применение при решении прикладных задач в механике (задачи о вынужденных поперечных колебаниях струны, продольных колебаний стержней,.поперечных колебаний мембраны, колебаний вращающегося вала), в физике (теори» потенциала, теория'упругости), в электротехнике (электрические ко-* лебания в проводах), в аэродинамике, в газовой динамике и т.д. Алгоритмы проекционно-связных методов можно построить с организацией параллельных вычислений на многопроцессорных ЭВМ.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Ш Всесоюзном совещании "Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении" (Казань, 1986г.), на Всесоюзной школе "Современные проблемы численного анализа"- (Дилижан, 1988г.), на У Всесоюзном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса, 1991г.), на научных семинарах ЕрГУ, института математики 'АН Армении и ИЛИиА* АН Армении. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (73 названий). Работа изложена на 97 страницах машинописного текста.