Введение к работе
Актуальность темы. Многие физические процессы описываются линейными и нелинейными дифференциальными, интегральными и интег-ро-дифференциальными уравнениями. Точное решение^^кйх уравнений удаётся получить в крайне редких случаях, поэтому возникает необходимость построения приближённых методов их решения.
В первых двух главах работы построены итерационные процессы для решения первой и третьей начально-краевых задач для нелинейного параболического уравнения второго порядка с операторными коэффициентами. Нелинейность может входить также и в краевые условия.
В третьей главе проводятся исследования по вопросам аппроксимации собственными, функциями. Данные исследования начаты автором под влиянием задач теории распространения радиоволн и квантовой теории потенциального рассеяния, которые рассматривались в работе [4J , опубликованной в 1972 году. В этой работе предполагалось, что коэффициенты уравнений, определенные характеристиками среды, полностью известны. Однако на практике характеристики среды известны лишь приближённо, не всюду и, кроме того, могут меняться, например, под влиянием вспышек на Солнце. Зато можно получить дополнительную информацию об искомом решении. Полученная таким образом нестандартная задача сводится к экстремальной задаче.
Экстремальные задачи, а также другие задачи, которые сводятся к, экстремальным, в частности, и задача теории распространения радиоволн, рассматриваются в четвертой и пятой главах. В четвертой главе разрабатываются методы: решения экстремальных задач, основанные на построении итерационных процедур для решения систем оптимальности. Такие системы' часто оказываются нелинейными; даже если процесс описьшался линейными уравнениями. Последнее обстоятельство послужило дополнительным стимулом для исследования итерационных процессов при решении нелинейных задач.
Методы, развитые в, настоящей работе; применялись для расчета оптимального варианта покрытия резца, для исследования процессов, в жидких кристаллах для определения начального распределения и мощности источников загрязнений по данным измерений в промежуточной, точне. Получены новые быстро сходящиеся итерационные процедуры для решения классических задач, например, задачи для уравнений Бюргер-са, Навье-Стокса, задачи Майера, задачи Коши для эллиптических уравнений .
Итерационные методы применялись во многих работах, посвященных исследованию и построению приближённых решений задач математической физики. Наиболее часто используется метод Ньютона и его модификации. Существенным недостатком этого метода является то , что он, как правило, сходится лишь при условии достаточной близости начального приближения к искомому решению. Другим недостатком метода Ньютона является необходимость решать на каждом таге хотя и линейное, но достаточно сложное уравнение (с переменными коэффициентами), которое само во многих случаях решается методом последовательных приближений. Другой подход к построению итерационных процессов основан на теории возмущений. Суть этого подхода схематически можно пояснить следующим образом.
Пусть требуется решить уравнение А и = О со сложным операто
ром А ; тогда оператор А представляется как возмущение просто
го оператора и решение исходного урав
нения строится как предел решений уравнений ок+ — — R-U^
(ic— T,Z,... ) . Такой метод решения будем называть далее
методом простых итераций.
Метод простых итераций используется давно, но его систематическое изучение для неограниченных (в частности дифференциальных) операторов началось, по-видимому, с работ Л.В.Канторовича, где показано, как решение линейного самосопряжённого эллиптического уравнения второго порядка сводится к решению последовательности задач для уравнения Пуассона. Для нелинейных эллиптических уравнений и систем аналогичные итерационные процессы изучались в работах Воровича И.И., Красовского СП., Кошелева А.И., Сапаговас М.П. и ряда других авторов.
Итерационные процессы, построенные в настоящей работе, за исключением результатов 12, базируются на методе простых итераций'. Для рассматриваемых в первых двух главах задач таким простым (не-воэмущённым) оператором о. можно взять оператор теплопроводности
бо. = <-""— <=<- А-М- . Однако во многих случаях выбор невозмущен
ного оператора определяется"решаемой задачей и может быть выбран
ближе к невозмущённому, чем оператор теплопроводности. В связи с
этим в работе рассматривается случай, когда невозмущённый опера
тор является произвольным линейным равномерно параболическим опе
ратором. .-.-,-
Поскольку в работе изучаются уравнения с операторными коэффициентами и операторными краевыми условиями, то ряд задач для ин-тегродифференциальных уравнений, уравнений с запаздыванием и с не-
локальными краевыми условиями включаются в рассматриваемый круг задач. Однако необходимость изучения уравнений с операторными коэффициентами вызвана другим обстоятельством. Дело в том, что сходимость простых итераций, которые рассматриваются в первой главе настоящей работы, можно доказать лишь для узкого класса нелинейных уравнений. Как показано в 5 6 и 7, используя различные априорные оценки, можно существенно расширить круг задач, решаемых модифицированными методами простых итераций. При этом, если даже в исходной задаче нелинейности задавались скалярными функциями, то после применения соответствующих срезок мы приходим к случаю с операторными коэффициентами.
Построению монотонных итерационных процессов,- сводящих решение нелинейного уравнения эллиптического и параболического типов к решению последовательности линейных уравнений того же типа, посвящены исследованиям Аманна X., Саттингера Д., Чвндры Ж., Пачпат-та Б. и др. При этом предполагается существование верхнего и нижнего решения рассматриваемой задачи, которые принимаются за начальные приближения. Кроме того, предполагается, что нелинейность входит лишь в младший член уравнения и имеет вид: -fC^i &), f-Cж ^, и-).
Среди других подходов к решению линейных и нелинейных уравнений, не использующих конечномерных аппроксимаций, можно указать вариационные методы, метод продолжения по параметру и метод эквивалентных уравнений.
Имеется обширная литература по применению итерационных процессов к разностным и галеркинским приближениям краевых и начально-краевых задач. Наиболее полно этот вопрос освещёе в работах Самарского А.А., Николаева Е.С., Марчука Г.И., Хейгемана Л., Янга Д., Митчела Э., Уойта Р.
Недостатком итерационных методов, основанных на конечномерных аппроксимациях является то, что при увеличении точности аппрокси-мации, (это приводит к увеличению размерности аппроксимированной задачи), скорость сходимости большинства таких итерационных процессов быстро замедляется."
В третьей главе получено разложение функции от оператора^') в обобщённый ряд тейлора в окрестности оператора /л . Для эволюционного уравнения
щённого оператора и получена оценка скорости сходимости аппроксимаций.
В большинстве работ определение функции от неограниченного несамосопряжённого оператора в случае, когда функция не является аналитической на бесконечности и разложение в ряд Тейлора даётся через полугруппы операторов. 3 данной работе п. -ый член ряда Тейлора находится явно через к— I ~~ Ь , что позволяет получить аппроксимацию элемента <-Р (і) по собственным векторам оператора 2j Разложение LP / rr()) по степеням малого параметра . ,
когда оператор А () - есть оператор Гильберта-Шмидта, получено в работе Далецкого Ю.Л., Крейна С.Г. В работе Койфмана изучался вопрос о том, когда функция if (>) от эллиптического оператора аналитически зависит от коэффициентов. Метод функции от оператора при исследовании краевых и начально-краевых задач развивался в работах Хилле Э. и Филлипса Р., Иосида К., Маслова В.П., Като Т, Дезина А.А., Дубинского Ю.М.
В четвёртой главе рассматриваются некоторые задачи минимизации квадратичного функционала при условии, когда состояние системы описывается эллиптическими или параболическими уравнениями.
Часть рассматриваемых здесь задач изучались с точки зрения условий существования оптимального управления, необходимых, необходимых и достаточных условий оптимальности, а также различных методов приближённого решения.
Среди обширного круга работ в этом направлении отметим, прежде всего, книги Понтрягина Л.С, Болтянского В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В., Беллмана Р., Красовского Н.Н., а также работы Армана Ж., Балакришнана А., Бутковский А.Г., Варга Дж., Васильев Ф.П., Крылов Н.В., Лионе Ж., Моисеев Н.Н., Осипов D.C., Плотников В.И., Сумкн В.И.,.Пшеничный Б.Н., Федоренко Р.П., Хромов А.П.
В настоящей работе исследуются системы условий оптимальности
(СУО). Доказываются теоремы существования, уточняется"расположение
спектра системы, получаются различные итерационные процессы для
её решения. Исследование таких систем проводилось в основном для
случая, когда состояние системы описывается параболическим уравне
нием и без ограничений на управление. Тогда система большинством
авторов сводится к оперативному уравнению типа Риккати. Прямому
исследованию систем, образующих условие оптимальности, посвящено
немного работ. Лионсом и Купером изучен вопрос о разрешимости та
кой системы при очень жестких ограничениях. . .
В пятой главе рассматриваются применения итерационных мето-
дов и метода функции от оператора к решению задач теории распро-" странения волн, некорректных граничных задач, задач оптимального управления с финальным наблюдением (в-частности задачи Майера) и некоторых обратных задач. По каждой из названных задач имеется достаточно много публикаций. Краткий обзор имеющихся результатов и их сравнение с полученными в данной работе даны в начале и конце каждого из параграфов пятой главы.
Отметим, что задачи, рассматриваемые в пятой главе, изучались, в основном, с точки зрения выявления условий существования" -и единственности решения. Основной целью данной работы было построение итерационных процедур для практического решения данных задач. Работы, посвященные изучению задачи с граничным управлением, рассматриваемой в 22, автору не известны. Эта задача возникла под влиянием задачи теории распространения волн. Более того, в конце 22 дается алгоритм решения задачи теории распространения волн в условиях, когда неполностью известны характеристики среды. С помощью итерационных процедур, построенных в 22, можно также решать задачи Кош для эллиптических уравнений, обратные задачи по восстановлению граничных условий, а также задачи с нелокальными граничными условиями.
Цель работы - получить итерационные процедуры для решения широкого крута линейных и нелинейных задач сходящихся с любого начального приближения.
Получить аппроксимацию решения дифференциальных и операторных уравнений по собственным функциям невоэмущенного оператора.
Разработать быстросходящиеся итерационные процедуры для решения некоторых задач оптимального управления на основе итерационного метода решения систем условий оптимальности.
Использовать полученные методы для решения конкретных прикладных задач.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Кроме того, является новым и сам подход к построению универсальных итерационных процедур.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы состоит в том, что устанавливается возможность рассматривать широкий круг линейных и нелинейных задач для параболического уравнения как возмущение простейшего уравнения, теплопроводности. В задачах оптимального управления изучена система, образующая условие оптимальности и выявлены причины того, почему стандартные итерационные методы непригодны для её решения.
Практическая ценность работы .состоит в том, что построены эффективные методы приближённого решения параболических уравнений, некоторых задач оптимизации, а также ряда некорректных задач. Сочетание приближённых и аналитических методов в предлагаемых процедурах существенно ускоряет решение рассматриваемых задач.
Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ГЗ - |_35,]и излагались в докладах автора на Всесоюзных симпозиумах в Уфе (1976, 1980, І9Є7 годы). Результаты диссертации докладывались и обсуждались в МГУ на семинарах под руководством А.А.Самарского, Ф.П.Васильева, А.Г.Костючен-ко, Б.М.Левитана, в Математическом институте РАН на семинарах С.М.Никольского, В.П.Михайлова, в Вычислительном центре РАН, в Институте математики и механики Уральского Отделения РАН, в Московском энергетическом институте, в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, в Башгосуниверситете и в Уфимском авиа-ционно-технологическом университете.
Объем работы. Диссертация изложена на 482 страницах, содержит 5 глав и одно приложение. Библиография включает 174 наименования.