Введение к работе
Актуальность темы.В настоящее время математическое моделирование получило очень широкое распространение в самых разных областях науки. Огромная сложность наблюдаемых в природе явлений делает невозможным их непосредственное изучение, поэтому, вместо интересующего нас явления приходится изучать его модель, в которой отражены все существенные черты данного явления. При описании различных физических явлений часто используются гидродинамические модели; их общность с хорошо изученной моделью газовой динамики позволяет применить разработанные для нее методы к исследованию различных моделей гидродинамики.
При исследовании гидродинамических моделей важное значение имеет исследование вопроса о структурной устойчивости ударных волн, которые встречаются во многих течениях и изучаются в механике сплошных сред. Это вызвано тем, что реально существующая ударная волна устойчива к малому возмущению ее фронта. Изучение этого вопроса становится особенно актуальным начиная с 50-х годов в связи с появлением ЭВМ и возможностью численного расчета сложных гидродинамических течений, содержащих ударные волны.
В газовой динамике первое теоретическое исследование устойчивости плоской ударной волны произвольной интенсивности, распространяющейся в неограниченной среде, было осуществлено в 1954 году С. П. Дьяковым, который установил области устойчивых и неустойчивых состояний. В дальнейшем С. В. Иорданский и В. М. Конторович уточнили и дополнили результаты Дьякова. Несколько позже А. М. Блохин для исследования устойчивости ударных волн развил метод диссипа-тивных интегралов энергии. Отметим, что в газовой динамике этот метод позволил перенести результаты, полученные для линеаризованной задачи, на квазилинейные уравнения, описывающие гладкие течения в окрестности гладкой ударной волны. Для таких течений с помощью построенных диссипативных интегралов энергии удалось доказать теоремы существования и единственности в малом по времени. Также необходимо отметить, что с помощью техники диссипативных интегралов энергии удалось получить ряд важных результатов, касающихся устойчивости ударных волн в релятивистской гидродинамике, гидродинамике сверхтекучей жидкости, в радиационной гидродинамике, в магнитной гидродинамике.
Исследование математической модели теоретическими методами позволяет получить важные предварительные знания об исследуемом объекте. Создание высокопроизводительных ЭВМ и разработка экономичных численных алгоритмов дали возможность проводить всестороннее численное исследование математической модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, анализируя ее в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию о ней. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также изучение основных их качественных свойств. При этом приведение рассматриваемой системы уравнений к хорошо изученному виду намного упрощает вычислитель-ный алгоритм.
Цель работы. Теоретическое исследование математической модели, возникающей в электрогидродинамике, а также численное исследование модели, описывающей явление переноса зарядов в полупроводниках.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:
-
Сформулированы линейные смешанные задачи об устойчивости ударных волн с малым скачком напряженности электрического поля в случае трех пространственных переменных. Получены априорные оценки решения этих задач, доказывающие устойчивость соответству-юших-ударных волн.
-
Газодинамическая модель переноса зарядов в полупроводниках записана в гиперболическом виде.
-
Получены численные решения газодинамической модели переноса зарядов в полупроводниках в рамках задачи о п+ — п — п+ баллистическом диоде.
Методика исследования. Для доказательства корректности линейных смешанных задач об устойчивости электрогидродинамических ударных волн применяется техника диссипативных интегралов энергии и метод преобразования Фурье.
Для проведения численного анализа газодинамической модели переноса зарядов в полупроводниках используется метод установления. За основу вычислительной модели взята конечно-разностная схема, основанная на расщеплении стабилизирующего оператора с использованием монотонизирующей коррекции.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в дис-
сертации результаты могут быть использованы при численном моделировании задач механики сплошных сред с объемным зарядом и движения зарядов в полупроводниках.
Апробация работы. Результаты, входящие в диссертацию, докладывались на международной научной студенческой конференции НГУ (Новосибирск, 1996 г.), на конференции "Математические проблемы механики сплошных сред" (Сибирская школа - семинар, посвященная 40 - летию института гидродинамики, Новосибирск, 1997 г.), на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 1998), на семинарах по дифференциальным уравнениям в экологии под рук. д.ф.-м.н. Кажихова А.В.(НГУ), по обратным задачам для уравнений математической физики под рук. д.ф.-м.н. Яхно В.Г. (ИМ СО РАН), по волнам в неоднородных средах под рук. д.ф.-м.н. Тешукова В.М. (ИГиЛ СО РАН), по прикладной гидродинамике под рук. д.ф.-м.н. Воеводина А.Ф. (ИГиЛ СО РАН), по численному анализу и моделированию под рук. д.ф.-м.н. Хисамутдинова А.И. (ИМ СО РАН), по методам вычислительной математики под рук. д.ф.-м.н. Ильина В.П.(ИВМпМГ СО РАН).
Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 36 наименований. Материал диссертации изложен на 125 страницах.