Моделирование структуры и энергии биополимеров : Развитие и применение вычислительных методов Воробьев, Юрий Николаевич

Введение к работе

Актуальность темы. Понимание процессов, происходящих с участием макромолекул, ютребовало детального изучения их трехмерной структуры и динамики. Построение декватных моделей макромолекулы, . т.е. трехмерной структуры возможных :онформаций, поверхности потенциальной энергии метастабильных конформацнонных :остояний и моделирование структурно-функциональных свойств макромолекул, тановится важнейшим инструментом их исследования. Огромная статистическая ложность системы "макромолекула в водном растворе" делает не эффективной іазработку одной универсальной математической модели. Более результативна разработка іерархии моделей для исследования макромолекулы в растворе на различных уровнях щзической, структурной и статистической детализации, в которых каждый последующий розень представляет усреднённое описание мелкомасштабных явлений и приложим к истемам большего размера.

l/ель работы. Целью работы являлось систематическое развитие иерархии моделей и іетодов математического моделирования структурно-энергетических свойств шкромолекул в водном растворе в присутствии соли 1:1 на основе статистико-іеханических методов: молекулярной механики, Монте Карло и молекулярной динамики. Структурно-статистическая иерархия методов, развиваемая в работе, подразумевает писание макромолекулы на разных уровнях детализации молекулярной структуры, т.е. томный и блочный, а также описание статистической системы "макромолекула в водном астворе" сокращенным числом существенных переменных в фазовом пространстве. )сновная задача, решаемая в работе - это создание эффективной математической іетодологии и её реализация в комплексе компьютерных программ для моделирования труктуры и энергии биополимеров в задачах по комплементарно-направленной годификации нуклеиновых кислот, стабильности белков и белково-нуклеиновым заимо действиям.

[аучная новизна и практическая ценность _t

. Впервые разработана иерархическая двух-уровневая модель метода молекулярной іеханики для расчета оптимальных конформации больших фрагментов нуклеиновых ислот (НК) в водном растворе соли 1:1 и соответствующие компьютерные программы, (ервый уровень - детальное атомное описание НК с расчётом потенциальной энергии ієтодом атом-атомных потенциалов в полном конформационном фазовом пространстве, іторой уровень - укрупненное блочное представление НК, в котором каждый нуклеотид писан трехцеитровой моделью в сокращенном фазовом пространстве. Иерархическая одель на 2 порядка эффективнее одноуровневой атомной модели.

. Разработаны модели расчета влияния водной среды на макромолекулу, и подтверждены равнением с результатами детального микроскопического симулирования. Разработана ерархия моделей расчета влияния водной среды - метод потенциалов взаимодействия редней силы (ПВСС) в зависимости от глобальной конформации макромолекулы, олее точный метод, explicit solvent-implicit solvent (ES/IS) предусматривает сочетание икроскопического симулирования макромолекулы в присутствии молекул воды методом олекулярной динамики для генерации конформацнонных микросостояний, совместимых

со структурой растворителя, и расчёт энерпш дальнодеиствующих электростатическ взаимодействий с полярным растворителем с помощью физической модели. Д эффективной реализации ES/IS метода впервые разработан ряд новых эффективш вычислительных методов.

Расчёт гладкой инвариантной молекулярной поверхности (SIMS) - поверхнося заключающей объём растворителя, вытесненного макромолекулой. Быстрый многорешеточный метод граничных элементов (FAMBE) для расчё поляризации раствора зарядами макромолекулы решением интегрального вариан уравнения Пуассона. Программы SIMS и FAMBE распространяются по сети интернет. Рассмотрена обратная задача статистической механики - определение межатомш взаимодействй по совокупности структурных и термодинамических данных, и получеі потенциальные функции для моделирования НК, и молекул белков в водном растворе. 3. Развитые математические модели применены для исследования трехмерной структу] в растворе ряда низкомолекулярных биомолекул, макромолекул, структури энергетических аспектов комплементарно-адресованной модификации НК различны! реакционноспособными производными олнгонуклеотидов, и оптимизации хнмическ структуры реагента для повышения эффективности модификации НК мишени.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах конференциях НИБХ СО РАН, Симпозігуме стран СЭВ по биофизике нуклеинозі кислот и нуклеопротеидов (г. Таллин, 1981 ); на IV-Всесоюзном симпозиуме по ме: молекулярным взаимодействиям, (г. Вильнюс, 1982 ); на VII-Всесоюзном симпозиуме : межмолекулярным взаимодействиям и конформациям молекул, (г. Пушино, 1986); на Г Всесоюзном симпозиуме по гидратации биополимеров, (г. Пущино, 1989); на \ Всесоюзной конференции по спектроскопии биополимеров, (г. Харьков, 1988); международном рабочем совещании 'Perspectives in application of oligonucleoti derivatives', (г. Новосибирск, 1988); на научной сессии 'Конформация и функці биологических молекул', (г. Рига, 1989); на рабочем совещании 'Биологическ приложения метода молекулярной механики', (г. Пущино, 1989); на 4-ом рабочі совещании по химии ДНК дуплексов, (г. Киев, 1989); на рабочем совещані 'Направленное конструирование биологических препаратов с использованием метод моделирования', (г. Новосибирск, 1989); на Всесоюзной школе по ЯМР 'Многомерш ЯМР и его приложения', (Ростов-на-Дону, 1990); на Всесоюзном рабочем совещані 'Антисмысловые олигонуклеотиды', (г. Киев, 1990); на 9-ом международном круглі столе 'Nucleosides, Nucleotides & their biological application', (Uppsala, Sweden, 1990); симпозиуме 'Protein structure and folding', (Cornell Theory Center, Ithaca USA, Oct., 199: на симпозиуме 'Structural Biology', (Cornell Theory Center, Ithaca USA, Oct., 1996); рабочем совещании GCAG retreat, (New York University, New York, USA, 1996); международной конференции 'Protein folding and design', (National Institute of Heal; Bethesda, USA, Apr., 1996); на 41-м съезде 'Biophysical Society', (New Orleans, USA, Marc 1997); на 10-th Conversation on Biomolecular Stereodynamics, (Albany, NY, USA, June, 199' на 12-th Protein society meeting, (San Diego, USA, July, 1998); на 11-th Conversation Biomolecular Stereodynamics, (Albany, NY, USA, June, 1999).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 40 работ, которі представлялись на 10-ти Всесоюзных и 11-ти международных рабочих совещаниях

іимпозиумах. Две универсальные программы FAMBE и SIMS свободно

>аспространяются по сети интернет, URL: и ittp://femto.med.unc.edu/SIMS .

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 245 страницах, состоит из юсьми глав, заключения, списка литературы (458 наименований) и приложения.

$ первой главе «Проблемы математического моделирования макромолекул» осматривается общая постановка задачи моделирования структуры макромолекул в одном растворе, и основные проблемы методов статистико-механического юделирования. Математическое моделирование структуры и свойств конденсированного ещества и макромолекул в растворе методами статистической механики -азвнвающаяся с начала 70-х годов ветвь компьютерного моделирования. Моделирование іетодами молекулярной механики (ММ), молекулярной динамики (МД) или Мойте Карло МК) пытается воспроизвести возможные конфигурации системы и статистическое аспределение системы по энергиям и структурам. Микроскопические конфигурации истемы из N атомов определяются классическим движением атомов этой системы под ействием атом-атомных взаимодействий. Технология компьютерного моделирования, ис. 1, состоит из нескольких этапов: представление и расчет пространственной труктуры по набору переменных фазового пространства, расчет потенциальной энергии онфигурации (структуры), оптимизация потенциальной энергии по фазовым переменным іетодами локальной или глобальной оптимизации, генерация равновесных ансамблей онфигурации методами Монте Карло или молекулярной динамики, как решения равнений движения для атомов системы, прямой и обратной задач. Основная проблема -роблема большой размерности системы и её фазового пространства. Реалистичность юделирования определяется: физической корректностью математических моделей асчета энергии макромолекулы и сил, в особенности дальнодействующих гаектростатических взаимодействий, действующих на атомы макромолекулы в растворе; асчетом достаточного числа наивероятных конфигураций, аппроксимирующих еупорядоченную конденсированную систему; возможностью численной реализации этих оделей на компьютерной системе. Разработана иерархическая математическая модель гатистического моделирования нуклеиновых кислот и молекул белков в водном растворе, еализующая иерархию структурного и энергетического описания системы макромолекула растворе. Компьютерная реализация разработанных моделей выполнена в пакетах рограмм на языке фортран-77 для ЭМВ БЭСМ-б, ЕС-1061 в вычислительном центре СО Л СССР, персональных компьютерах IBM PC, а также современных суперкомпьютерах GI и IBM-SP2 в университете Северной Каролины и Корнелльском университете США.

о второй главе «Моделирование структуры и энергии биополимеров. Обзор итературы» сделан обзор современного состояния методов моделирования структуры и иергии биологических макромолекул. Показано, что методы моделирования структуры и яергии макромолекул оформились в важное направление методов моделирования гщества для решения задач молекулярной биологии, медицины и фармакологической ромышлешюсти. Методология базируется на двух составляющих - качество моделей и тгоритмов, и технические возможности вычислительной техники. Увеличение

компьютерной мощности расширяет возможности методов моделирования, однако да при условии сохранения тенденции удвоения скорости компьютеров каждые 1.5 го, симулирование методом МД процесса самоорганизации небольшого белка не бут доступным ранее 2020+ года. Длительное симулирование или переход к больш системам, макромолекулярным комплексам, предъявляет повышенные требования качеству силового поля. Сегодняшний уровень точности силовых полей (~ 10% ошиб* явно недостаточен для уверенного моделирования, необходим выход на уровень ~ 1 ошибки в гетерогенных системах, путем единой трактовки ван дер ваальсовых электростатических взаимодействий атомов в макромолекуле, на основе метол функционала электронной плотности, и явного учета электростатической поляризуемое + трех-частичных ван дер ваальсовых взаимодействий. Необходим поиск алгоритм учета далыгодействующих электростатических сил, которые бы в меньшей степени, ч метод Эвальда , основывались на «идеальной» периодичности системы, тем самі усиливая эффекты периодичности в несомненно апериодической системе - макромолеку в растворе. Дальнейшее уточнение упрощенных моделей белков и НК и расчёта свобода энергии сольватации в «неявных» моделях, согласованных с «корневым» детальні силовым полем, позволят создать рациональную иерархию моделей.

МОДЕЛИ РАСТВОРИТЕ-Л Я

Рис. 1. Статистико-механический метод моделирования.

1 третьей главе «Энергия макромолекулы в растворе» описана иерархия моделей іасчета энергии взаимодействия макромолекулы с раствором. Энергия макромолекулы в астворе рассматривается в рамках механической модели макромолекулы н молекул іастворителя. Предполагается, что потенциальная энергия системы макромолекула + 'аствор описывается суммой членов, представляющих энергию деформации валентной труктуры, т.е. длин связей и углов, энергию торсионных взаимодействий, энергию евалентных взаимодействий между валентно-несвязанными атомами, ван дер ваальсовы, парном приближении, и электростатические в монопольном приближении, как энергии заимодействия точечных зарядов в цеитрах атомов. Полагая, что макроскопическая стойчивая конформация А макромолекулы состоит из ансамбля микроскопических онформаций {х}^ , микроскопически точное выражение для свободной энерги F_A

F, = < и_и(х) >_А + < Щх) >_А - TS., (1)

де < >₄ - среднее по микросостояниям {х}₄ макромолекулы, U_m- внутренняя энергия, а _А - внутренняя энтропия макромолекулы по этим микросостояниям, которая вычисляется квазигармоническом приближении. Нами разработаны приближенные методы расчёта нергии сольватации W(x) и свободной энергии _л макромолекулы в растворе.

[риближение потенциалов взаимодействия средней силы развито в [16,19,22]. Из бщих соображений, свободная энергия сольватации, W(x), ПВСС N-атомной молекулы c=r,,r₂,. ..,r_N), аппроксимирован суммой одноцептровых и парных ПВСС

N N

Wn(ti,r2,...r.v) и ^Г т(пI х) + ^ т(п,TjI х) (2)

це w,(r/x)- свободная энергия сольватации і-го атома и W2(r_i,r₁/x) - парное заимодействие атомов, индуцированное растворителем, если молекула находится в информации х. В этой сумме опущены взаимодействия, индуцированные средой для риплетов, квартетов атомов и т.д., однако, косвенно учет влияния всех атомов на ПВСС ыражен условностью нахождения молекулы в конформации х. Условные одно- и вухцентровые ПВСС разделены нами на гидрофобную, неэлектростатическую и гсектростатическую, пропорциональную зарядам атомов части

_W,(r/x) = ^,(r/x)+_W'\(r/x) (3)

И7(г₍,г/х) = w^for/x) + w^el2(r„r/x) (4)

^электростатические взаимодействия атома с растворителем короткодействующие,

оэтому они определяются локальной плотностью растворителя. Одно- и двух-центровые

адрофобные ПВСС аппроксимированы

*Л(г/х) = р„(г/ х) у/„ + SJr",)^. ₍₅₎

н^2(г„г/х) = p_2s(r_i>r/х) и^_2іі(г„г,.) + SJr^w^jfr.rj) (6)

іе р,,-одно- и р 2J- двухцентровая локальные плотности растворителя вокруг атома і и ары ij зависят от конформации макромолекулы и определены на Рис.2. Вторые члены в сражениях (5), (6) описывают энергию образования специфических водородных связей томов доноров или акцепторов водородной связи с молекулой воды. дноцетровый ПВСС v/,;, равен свободной энергии гидратации изолированного атома эрта і, и является эмпирическим параметром, определяемым по экспериментальным іергиям гидратации малых молекул. Атомы, способные к образованию Н-связи с

молекулой воды, имеют дополнительно энергию специфической гидратации, равнуї S_w(r^w_i)w^bb₁, , где S_w(r") - коэффициент стерической доступности позиции г специфической гидратации для молекулы воды, и¹*⁴,, - эмпирический парамет специфической гидратации - энергия водородной связи с растворителем. Парный ПВСС между гидрофобными, метиленовими и метальными группамі аппроксимирован формой, натянутой на численные расчёты парного потенциал гидрофобного взаимодействия твёрдых сфер в водном растворе

w^foi-j) = - kT 1п[ 1 + A,exp(-a,5)cos(2n5) + A₂exp(-a₂5)] (7)

где 5=(х - d,j)/d_s, djj - средішй вал дер ваальсов диаметр атомов i,j, A, = 0.42d,j/d_s, А₂ = 1.1 , 0:,=0.8 , а₂=5.0 . Максимальная контактная величина ПВСС и>^р,(г₍,г_;) для двух метильны групп ~ -1 kcal/mol. Параметры и осциллирующая природа этого ПВСС согласуется описанием более точной моделью [38,39].

Рис.2, (а) - Одно- и двух-центровая локальные плотности растворителя. Локальна плотность p_ls(r/ х) вокруг атома і равна относительному объёму первой гидратної оболочки атома і, доступной для молекул растворителя. Локальная плотность р_2і(г„г/х вокруг пары атомов ij равна объёму общего растворителя для пары атомов ij, внутрі сферы радиуса, (г^2 + d. + К, ), с центром в точке (r_{( +} ^)/2, где R, - средний ван де] ваальсов диаметр атомов, d,- диаметр молекул растворителя, (б) - Водная скрепка (мостик между атомами 1Д ; у - двугранный угол между векторами v",, v^w₂.

Парный ПВСС w^w^2(^r»^rjX индуцированный растворителем между гидрофильным! атомами донорами и акцепторами водородной связи, описан потенциалом образовали водного мостика из двух водородных связей, Рис.2. Гидрофильный атом характеризуете, позицией г_; и вектором v* , указывающим направление специфической водородной связі с молекулой воды растворителя. Энергия водного мостика описана

w^H*2(r„r₂,v"_l,v"'_:,) = є^ S_w(r^w₁₂) cos(jrx/2Acos(0,-0_!O) cos(0₂-_2o)cosv(.'

= 0 , если, |x!> Л, |ч)1> /2, Эгвю¹^ л/2, ;0₂-0_2О]> я/2 (8)

где є^- максимальная энергия скрепки, S_w - фактор стерической доступности позиции г"₁₂ мостиковой молекулы воды, х = г₁₂- г₀, 0,, 0₂ - углы между межатомным вектором r,j и векторами v" , v" , соответственно. Параметры г₀, 0_1О, 0,_о определяют геометрию идеальной скрепки для пар атомов H,N,0. Параметры Д к r„/3, s_wb = -2,5 kcal/raol оценены эмпирически. Параметр s_wb = -2,7 kcal/mol, найденный позднее (Вен-Наим, 1994) методом молекулярной динамики находится в хорошем соответствии с нашей оценкой. Полярный растворитель поляризуется зарядами атомов макромолекулы. Описание раствора диэлектрической средой с позиционно зависимой диэлектрической проницаемостью е(г) , позволяет применить классическую электростатику для расчёта свободной энергии поляризации среды, как изменения энергии электростатического поля в среде относительно вакуума.

Диэлектрическая проницаемость є(г) в объёме растворителя вдали от макромолекулы равна e_s- макроскопической диэлектрической константе растворителя. Вігутренннй объём макромолекулы, с вытесненным полярным растворителем, имеет низкую дизлеісгрическую постоянную, s_M -1-4. Обобщение уравнения Кирквуда-Фрёлиха для диэлектрической проницаемости полярной жидкости приводит к аппроксимации величины е(г) линейной функцией от локальной плотности полярного растворителя

E(r) = s_M + p_ls(r)(s_s-s_M) (9)

Величина p_ls(r) равна относительной плотности растворителя в точке г. Результирующий одноцентровый ПВСС w"\(r/x), определяет борцовскую энергию поля заряда і-го атома

el, , \ Чі cdV

^{Wi (Гі/х)=}_-Щ^

'М

(г)

Чї 2R

J_

(10)

где интегрирование выполняется по объёму вне сферы радиуса (R^ + d_s 12), R^ - ван дер ваальсов радігус атома і, R_Bi - эффективный борновский радиус атома і макромолекулы в конформации х. Расчёт ПВСС w^e\(r/x), существенен только для заряженных групп молекулы, например, фосфатной группы НК. Парный ПВСС ^с12(г₍,г/ х) взаимодействия зарядов i,j в среде равен

(г-ъХг-Tj)dV 4i4j

4л- к|г-г,| |r-

^S*i ^ґі)

Є(Х)

el, I % ЧіЧ}

w₂(r_i,r_j/x)-

(И)

где є_(] - эффективная диэлектрическая постоянная для пары атомов i,j, аппроксимирована уравнением (9) для плотности растворителя p_li(r_i,r_j/\), общего для пары атомов і j. Расчет электростатических ПВСС основан на оценке локальной плотности растворителя, р,,(г/х) и р_2і(г_і,г_і/х) и является интерполяционным, т.е. корректным для предельных ситуаций, поверхностных атомов, экспонированных в растворитель, и внутренних атомов, недоступных растворителю, и вычислительно эффективен.

Мобильные ионы соли 1:1 создают вокруг макромолекулы компенсируюи распределение заряда. Взаимодействие заряда q, с собственным ионным облак определяет собственную энергию заряда %в электролите, равную

2,

2(l + k_DR_Bi)e_s

где k_D - параметр дебаевского экранирования. Перекрестное взаимодействие заряда q

ионным облаком заряда q_} создает дебаевское экранирование кулоновскс

взаимодействия зарядов q„qj на фактор ~ ехр(-к₀г_ц) в парном ПВСС (12). Эффекты ионн

подсистемы на энергию макромолекулы в растворе рассмотрены в [11-15]. К

показывают оценки, влияние соли 1:1 на свободную энергию макромолекулы в вода

растворе незначительно для концентрации соли < 0.5М. В итоге, разработанный мет

ПВСС расчета энергии сольватации учитывает основные эффекты растворите.

гидрофобный, специфические водородные связи, поляризацию растворите.

взаимодействие с ионами, основан на простой концепции локальной плотное

растворителя, и является вычислительно эффективным. Однако, метод ПВСС основан

грубой аппроксимации электростатической поляризации раствора, содержит значительн

количество эмпирических параметров, что затрудняет его трансферабельпость.

Более точный метод - explicit solvent-implicit solvent (ES/IS) [35,36,38], рассматривг раствор на микроскопическом, молекулярном уровне, при трактовке существен молекулярных эффектов растворителя, например, совместимости конформац поверхностных групп макромолекулы со структурой растворителя и описан статистических эффектов с помощью физической модели. Транспорт макромолекулы вакуума в раствор состоит из трех стадий: а) возникновение и рост пустой полосп поверхность которой заключает объём растворителя, вытесненного макромолекулой; возникновение электрически нейтральных атомов, взаимодействующих с раствор-только ван дер ваалъсовыми силами; в) заряжение атомов макромолекулы до конечне состояния. Этим стадиям, Рис.3, соответствуют свободные энергии создания полосп Gcv(^x)> ^ван дер ваальсовых взаимодействий с раствором, G_vdw(x), и поляризац растворителя, G^x), сумма которых равна полной свободной энергии сольватац макромолекулы в конформации х

W(x) = G_cav(x) + G_vdw (х) + Gjix) (13)

Создание полости в растворе - равновесное вытеснение молекул растворителя, пло поддается микроскопическому симулированию. Времена релаксации такого процес велики ~ nsec и пропорциональны размерам симулируемой системы. Этот проце приводит к появлению поверхности раздела растворитель-вакуум, поэтому энерг пропорциональна величине микроскопической поверхности S„_ymic полости

GcavW = Ушс Scv^fc (14)

где у^ - свободная энергия образования единицы микроскопической поверхности

Ушіс~" Уггас ^^cav.nur ^cav,niic \^}

где среднее отношение cavmai/ S_ayMc> = 0.69, получено нами для плоской

Рис.3. Перенос молекулы из вакуума в раствор, основные термодинамические стадии процесса сольватации и соответствующие свободные энергии - создания полости, G_cav(x), ван дер ваалъсовых взаимодействий с молекулами растворителя, G^x), поляризации растворителя, Gpjx), сумма которых равна полной свободной энергии сольватации макромолекулы в конформации х ; свободная энергия ионизации F_irJx) равновесного связывания-освобождения протонов ионизируемыми группами молекулы при данной концентрации протонов в растворе, рН.

макроскопической и криволинейной молекулярной поверхности из молекул воды, а соответствующее г_тс=70 cal/ mol/A².

Свободная энергия ван дер ваальсовых G_vdw(x) взаимодействий макромолекулы с
растворителем, корректно аппроксимируется средней величиной этих взаимодействий,
поскольку включение мягких короткодействующих взаимодействий макромолекула -
растворитель не ведет к какой-либо заметной реорганизации структуры растворителя,
G_vdw(x) = vdwms(x)>_s (16)

где среднее значение потенциальной энергии vdW взаимодействий может быть получено усреднением вдоль короткой, ~ 3-5 ps, симуляции конфигураций растворителя методом МД. Расчёты энергии < G_vdw > для углеводородов позволили оценить величину < G^, > = W"^p - < G_vdw > и у_тс ~ 73 cal/ mol/A² по экспериментальным энергиям гидратации W^ei4>. Свободная энергия поляризации растворителя G^x) имеет дальнодействующую природу, зависит от ориентационной релаксации молекул полярного раствора, поэтому её

микроскопическая симуляция требует большой выборки ориентационных состояний времён МД симуляции ~ 500 ps, Рис.4. Энергия электростатической поляризации G_pol( определяется процессом медленного заряжения макромолекулы

_{e*w-iixzJf "*<'*:**] от)}

О і { I^і" ^ГіІ J

где выражение в фигурных скобках представляет средний потенциал реакщ поляризованного раствора в поле частично ^.-заряженной макромолекулы. Как показа результаты микроскопической симуляции молекулярного водного раствора, с поляризационный отклик является линейным, т.е. средний заряд ^<p_qs0|_V(r)>x ~ X, a G^x', X² с удовлетворительной точностью для типичных заряженных и полярных групп водном растворе [38,39], Рис.5. Следовательно, энергия поляризации линей: поляризующегося растворителя определяется распределением среднего заряда qsolv(r)> электростатическом поле макромолекулы

Gpol (х) = J 2 9t J , (13)

Микроскопические расчеты показывают, что симуляция среднего qsoi_v(r)> удовлетворительной точностью требует длинных МД траекторий, не меньших, чем прям симуляция процесса медленного заряжения, выражением (17). Однако, расчет средне заряда qS0|_V(r)> возможен в 10³ раз быстрее аппроксимацией водного растворите вокруг макромолекулы непрерывной диэлектрической средой и решением уравнен: Пуассона для потенциала поля реакции. Необходимым условием для этого являет линейность поляризационного отклика среды, которая, как показано микроскопическі симулированием, с достаточной точностью наблюдается для водного раствора.

Макроскопическая электростатика с позиционно-зависимой диэлектричесю
константой описывает электростатический потенциал в среде уравнением Пуассона
Ve(r) УФ (г) =-4я2 яДг-г-) (19)

Плотность поляризационного заряда в среде qso!v(r)> определяется

4u<_Pqsolv(r)> = div (E(r) - 1)УФ (г) = 4к o(s) (20)

Таким образом, определяя позициоішо-зависимую диэлектрическую константу е(г) д системы макромолекула+среда уравнением (9) и решая уравнение Пуассона (1! неизвестное распределение <р,5оі»(г)> может быть найдено. Поверхность, разделяющ две диэлектрические области, является молекулярной поверхностью, заключающей объ< растворителя, вытесненного макромолекулой. Объёмное распределение поляризационно заряда <р_чш|„(г)>, в диэлектрической модели аппроксимируется распределением at связанных зарядов на молекулярной поверхности, а свободная энергия сольватащ вычисляется выражением (18). Борновские радиусы атомов R_Bi, определяют: диэлектрическую поверхность, являются эмпирическими параметрами. Оптимальні значения борцовских радиусов R_Bi определены нами решением обратной задачи согласованием расчетов энергии поляризации раствора решением уравнения Пуассона

базой данных, полученной микроскопическими расчётами этой энергии методом медленного заряжения (17) для молекул (дипептидов), содержащих заряженные и полярные группы, характерные для макромолекул [39]. Решение уравнения Пуассона (19) для сложной диэлектрической, молекулярной поверхности представляет серьёзную проблему, поэтому надежная реализация макроскопической диэлектрической модели потребовала разработки эффективных алгоритмов расчёта гладкой молекулярной поверхности и распределения поляризационного заряда решением уравнения Пуассона. В четвертой главе «Метод SIMS. Расчет гладкой инвариантной молекулярной поверхности» рассмотрены методы и алгоритмы расчета гладкой молекулярной поверхности (МП) как множества ^„n^ASj), где s^n^As; - координата элемента МП, вектор нормали и его площадь, соответственно. Геометрически, МП представляет поверхность, очерченную в пространстве точками, дугами и сферическими треугольниками поверхности пробной сферы, имитирующей молекулу раствора, когда пробная сфера прокатывается по доступным атомным сферам атомов макромолекулы,

Рис.4. Образование гладкой молекулярной поверхности прокатыванием пробной сферы молекулы растворителя по ваа дер ваальсовой поверхности макромолекулы. Точки касания vj, vj, vfc между пробной сферой в позиции р с ван дер ваальсовами сферами атомов ij.k. Качение пробной :феры из позиции р в позицию р' производит седловой реэнтрент элемент поверхности (vj, v;, v'i, v'j). Точка O_c -центр, r_c - контактного круга между сферой я тором; угол развертки тора равен углу [у/,О_с ,v;); г,- радиус седлового цилиндра; "i- ^vh ^vk * сферический треугольник пробной :феры является вогнутым реэнтрент элементом гладкой поверхности.

Рис.5. Плоская проекция молекулярной поверхности. (RC) - вставленный вогнутый элемент пробной сферы; (S) - saddle, (С)- contact грани МП; і j Jc,l - центры атомов,р,р'- позиции пробной сферы, в которых пробная сфера одновременно касается трех атомов (ij,k) или (i j,l); PLy - плоскость проходит через контактный круг атома і с пробной сферой, при её вращении между позициями р,р', касаясь атомов і j и образуя S седловой фрагмент МП; С - это поверхность С — это поверхность атомной сферы і, образованная всеми возможными точками касания с пробной сферой.

максимально касаясь одного, двух или трех, атомов макромолекулы, соответственн Рис.4, 5. МП 5'(s₁,n_i,As_i), рассчитанная методом Коннолли (Connolly М., 1984) содеряа множество сингулярных областей (10-ки, для белков среднего размера), в которых вектс нормали п теряет непрерывность, Рис. 6. Сингулярность МП, т.е. граничной поверхност разделяющей полярный растворитель с высокой диэлектрической константой от объё:\ вытесненного растворителя, ведет к нестабильности решения уравнения Пуассона щ малых конформационных изменениях в макромолекуле. Гладкая МП, со сглаженнь» сингулярностями, является лучшей аппроксимацией для диэлектрической поверхност между макромолекулой и растворителем.

Рис.6. Формирование сингулярного фрагмента МП вогнутый гребень; Оч,У₃,у_к), (v'j.v'j.v, - сферические треугольники, соответствующие позициям р,р' пробной сферы. О_с - цент контактного круга радиуса г_с между пробными сферами р,р' ; w₍, Wj - крайние точк сингулярного гребня; заштрихован фрагмент треугольника (у„у^ ), отсекаемь: пересечением с треугольником (v'j.v'^v,) и лежащий внутри сферы р'.

Рис.7. Сглаживание сингулярных элементов прокатыванием сглаживающей сферы р_от і внутренней стороне молекулярной поверхности. ВСВ' - сингулярный элемент; (t.C.t¹) част молекулярной поверхности в окрестности сингулярного гребня С, которая замещаете гладкой поверхностью (t,f) сглаживающей пробной сферы.

'ис. 8. Молекулярная поверхность белка трипсин, расчитаяная методом SIMS.

Метод SIMS [34], представляет алгоритм расчёта МП методом двух пробных сфер, пробной молекулы растворителя и пробной сглаживающей сферы. Сглаживающая іробная сфера скользит по внутренней стороне сингулярной МП и отсекает сингулярные участки, недостижимые для этой сферы, замещая их сегментами своей ближайшей юверхности, Рис. 7. Минимальная кривизна сглаженной МП равна радиусу :глаживающей сферы. МП метода SIMS удовлетворяет 5-ти критериям аккуратного тисленного представления МП макромолекулы: 1) отсутствие сингулярных областей; 2) максимальная гомогенность распределения поверхностных элементов (ПЭ); 3) пгабилыгость распределения ПЭ при вариации их плотности; 4) стабильность к малым вменениям в конформации макромолекулы; 5) независимость к вращению макромолекулы. Гомогенность распределения точек по поверхности достигнута зптимизацией алгоритмов размещения точек на сферах разного диаметра и горообразных ;едловьгх фрагментах, Рис.8. Метод постоянной длины дуг генерирует прямоугольный юверхностный элемент на сфере или -горообразной поверхности с примерно постоянной шинной дуг по широте и долготе, l~lNd_s , где d_s - плотность точек. Число точек на :фере, гранулярность, описывается рядом N_p = б, 12, 14, 20, 23, 30, 34, 44, 49, 60, 64, 80, 15, 100, 106, 126, 129, 137, 149, 162, ..., и оказывается более равномерна, чем у псевдо-іравильньгх распределений, получаемых последовательным делением пополам граней іравильньгх, вписанных многогранников. Метод SIMS существенно уточняет метод Сопнолли и имеет стабильность расчета МП в пределах 0.1% при вариации плотности ілементов от 2 - 25 на 1 А², Рис.9, тогда как метод Коннолли дает флуктуации ~ 3 % . уієтод SIMS выполняет быстрый расчёт гладкой молекулярной поверхности, стабильный с малым изменениям координат атомов во времени, вдоль МД траектории атомов «злекулы белка, Рис. 10. Время расчёта МП линейно по числу атомов макромолекулы, >ис. 12. Метод реализован в универсальной программе SIMS, которая свободно доступна ю сети интернет и используется в ряде групп США, Германии и Канады.

^e 340ОД

Рис.9. Плошадь молекулярной Рис.10. Площадь молекулярной поверхности

поверхности белка eglin как функция среднего размера почти квадратных поверхностных элементов; - SIMS, о - метод Коннолли.

белка eglin вдоль молекулярно-динамической траектории. Временной шаг между мгновенными структурами равен 2 фемто сек.

В пятой главе «Метод FAMBE: эффективный метод решения уравнения Пуассона рассмотрен эффективный, т.е. достаточно точный, стабильный и быстрый метод решени уравнения Пуассона для макромолекулы, и расчет энергии электростатическо поляризации среды. Решение дифференциального уравнения Пуассона методом конечны разностей (КР), использует дискретизацию ЗО-пространтства, охватывающег макромолекулу кубической ЗО-сеткой, дает алгоритмы ограниченной оффективносп Основная проблема метода КР, это приближенность граничных условий, поскольку точне они известны только на бесконечности, зависимость результата от положения 3D-ceTK относительно макромолекулы, т.е. от трансляции и ориентации, и ограничения на разме макромолекулы -100 А, размером RAM ~ 1 Gb. Подход, основанный на решени интегральной формы уравнения Пуассона - метод интегрального пограничного уравнени (ИПУ) является более естественным для макромолекулы в растворе, поскольку он прям оперирует с плотностью заряда поляризации на молекулярной поверхності трансляционно и ориентационно инвариантен, и соответствует точным (встроенный граничным условиям. Дифференциальное уравнение Пуассона (19) аналитическ конвертируется в ИПУ для плотности связанпых поляризационных зарядов c(s) . . , |-cr(t)(s-t)ii(s)

- ⁽²¹⁾

s |s-t| _м .

на поверхности S раздела диэлектрических сред, где n(s)- вектор нормали к поверхносп

Ej(s)- электростатическое поле і-ой заряженной группы (атома) макромолекуль

/=(1/2я)(е_м-б$)/(е_м+з). В [30,35,38] разработан быстрый адаптивный многорешеточны

метод FAMBE для решения уравнения (21) и расчета свободной энергии поляризаци

растворителя выражением (18).

Метод FAMBE представляет уравнение (21) в виде суммы парциальных уравнений для каждой і-ой заряженной группы

-,(_S) = /I^4ⁿ-^^n(s)E,(s) (22)

І ]s-t| s_M

полный поляризационный заряд a(s) равен сумме зарядов a,(s). Решение набора парциальных уравнений значительно эффективнее, чем одного полного уравнения (21). Поскольку распределение a,(s) локализовано в окрестности і-ой группы, дискретизация уравнений (22) может быть выполнена представлением поверхности S многоуровневым набором разноразмерных поверхностных элементов с плотностью поляризационного заряда с_; =(<т,, a₂,..., a_Nrabe),

a^M.o.+ Ei (23)

где матрица Mj имеет низкую размерность, много меньшую, чем размерность матрицы при дискретизации полного уравнения (21), поскольку размер многоуровневых ПЭ постоянно возрастает по мере удаления от источника молекулярного электростатического поля Е„ Рис.11. Среднее число N_MBE многоуровневых ПЭ на поверхности S

NMBE-nfcJl+btfAs/Ata)] (²⁴)

где п,_ос и А_1ос- среднее число ПЭ наименьшего размера и площадь, которую они

покрызают, A_s -полная площадь поверхности S. Матричные элементы матрицы М,

удовлетворяют правилу сумм, поскольку

_f(s-t)n(s)^s

_{І м}³

= 2л- (25)

если поверхность S гладкая. Поэтому расчёт гладкой молекулярной поверхности методом SIMS и контроль матрицы M_t с помощью правил сумм, позволяют существенно повысить точность и стабильность решения линейных уравнений (23) итерационным методом сопряженных градиентов, который всегда абсолютно сходится. Полное число операций N_op^FAM3, необходимых для решения ИЛУ (21) пропорционально

j^famde „ щ_{Пік (1 +} i^a^a^jw (26)

числу заряженных групп N; макромолекулы. Из оценки (26), которая подтверждается реальными расчётами для макромолекул, Рис.12, видно, что метод FAMBE может быть приложен к большим системам. Отношение числа N_op^FAMBE к числу операций N^⁰"⁰, необходимых для решения полного уравнения (21) с моно-дискретизашей поверхности показывает преимущество метода FAMBE

N,/*" /N₄,^MCW0 ~ N, /A,¹** ~ 1 I A_s⁰⁵"⁵ (27)

возрастает для макромолекул с большой поверхностью, величина 0 < 8 < 1. Линейная система (23) решается итерациями предусловленным методом сопряженных градиентов, который, найдено в этой задаче, имеет экспоненциальную скорость сходимости.

Рис.11. Многоуровневые поверхностные элементы метода FAMBE в зависимости о расстояния от источника молекулярного электростатического поля Е^^ ; Loc(al) -пределах 4 A; Int(ermediate) - 4 - 8 А ; Dist(ant)₀ - 8-12 А ; Distant), - постоянн возрастающих по определенному закону.

800.0 -

& «0.0 -

о zoco «oca eooo sooa laaoo

pumbnr at atoms

Рис. 12. Время центрального процессора, необходимое для расчёта молекулярно поверхности программой SIMS (Д) и решения уравнения Пуассона многоуровневы; методом поверхностных элементов, программа FAMBE () для молекул белков. Данны для Silicon Graphics R10000.

Точность ~10'⁵ отношения ошибки решения к модуля свободного члена достигается среднем за 15 итераций.

Алгоритм мяогоразмерного покрытия для молекулярной поверхности основан н генерации 2-ух детальных распределений поверхностных элементов S^a(s^a_i,As^a_1>n\ методом SIMS, которые определяют покрытия уровней lev =1,2 высокой, d_s и низко

їлотности, d_L ~ d_s /4, соответственно. Третье покрытие lev = 3, определено как коллекция фрагментов молекулярной поверхности, принадлежащих одному и томуже атому молекулы. Типичные размеры поверхностных элементов уровней lev =1,2,3 равны ~ 0.5, 1.0, 2.0 А, соответственно. Многорешеточное покрытие молекулярной поверхности более высоких уровней строится частично по аналогии с многоразмерной ЗО-решеткой. Семейство многоразмерных ЗБ-решеток, с размером ячейки убывающей в два раза, покрывает минимальную кубическую область. Поверхностные элементы уровня lev =4 представляют собой ячейки ЗО-решетки, которые содержат вложенные в них поверхностные элементы уровня lev =3, а поверхностные элементы уровня lev -5, это ячейки , содержащие вложенные ячейки уровня lev =4 и т.д. . Взаимная вложенность описана последовательным линкед-листом, что позволяет легко экстрагировать коллекции элементов низких уровней из элемента высокого уровня. Базовыми поверхностными элементами, являются элементы уровня lev =1 , координаты, вектора номалей и плотности поляризации для элементов более высоких уровней lev =2,3,... определяются как соответствующие величины, средневзвешенные по площадям, от коллекции элементов lev = lev-1, а площади как сумма площадей, соответственно. Такой закон определения характеристик многоразмерных поверхностных элементов следует из условия минимизации ошибки 8М при расчете матричных элементов матрицы М^ уравнения (23). Таким образом, произвольная молекулярная поверхность может быть аппроксимирована серией псевдоравномерных покрытий уровней lev =1,2,3,4,5,... поверхностными элементами разного масштаба. Используя всю гамму поверхностных элементов разного масштаба как элементы мозаики, можно конструировать покрытия поверхности коллекцией многоразмериых элементов разных уровней в соответствии с некоторым правилом, например обеспечивая заданную детализацию (густоту) покрытия по мере удаления от центра покрытия r_ct , Рис.11. Иерархическое покрытие центрированное в точке г_с, характеризутся несколькими параметрами: d; - плотность элементов lev =1 , ( плотность элементов d_L, уровня lev =2 , d_L = drmgl, rmg2, rmg3 покрытий lev =1,2,3 , (могут быть произвольны), грубый размер ячейки уровня lev =4, равен 4 А в приложениях к моделированию типичных макромолекул, поскольку типичный масштаб уровня lev =3 определяется вал дер ваальсовым размером атомов ~ 2 А. Построение центрального иерархического покрытия уровней lev =1,2,3 выполнено методом включеїшя цельных поверхностных элементов lev =3 (атомов). Все атомы внутри сферы радиуса rmgl покрываются элементами lev -1; атомы, находящиеся в сферических слоях (rmg2-rmgl) и (rmg3-rmg2) покрываются соответственно элементами lev = 2,3 . Для уровней lev =4,5,... рекурсивное покрытие осуществляется алгоритмом :

1. если rmg(lev) > |г₍'"-г_а | > rmgflev)'* , то ячейка г₍^|еуне может перекрывается с ни одной предыдущей, уже включенной, и потому включается как полная на уровне lev;

2. если rmgflev)⁰**¹"¹ > |ri'^ev-r_cl | > rmg(lev)^sbon , то ячейка г *" может перекрываться с предыдущими ячейками уровня (Jev-1), поэтому это не полная ячейка, из неё экстрагируются не включенные элементы уровня {1е\'-1) и включаются в соответствующий список элементов ; где, rmgflev) — rmg(lev-l) + cellsizeflev);

rmgflev)* = rmgflev-1) - (^3/2)celhizeflev) ; rmgflev)''- = rmgflev-1) + (^3/2)cellsize(lev) ;

3) повысить lev на 1 и перейти к 1) до исчерпания всех уровней lev=levmax.

Тесты метода FAMBE показали, что имеется область оптимальных внугренни) параметров метода, именно, плотность d_s = 4 - 6 А"² , величины задающих радиусої покрытий, rmgl =3.5-5 A, rmg2 - 7 - 10 A, rmgi = 10 - 15 А. В оптимальной області значений параметров, среднее число поверхностных элементов в покрытиях находится і пределах 700 - 1200, а флуктуации величины энергии поляризации не превышают 2* 10" ее абсолютной величины, и аналогичны точности теста для сферы с зарядом смещенным от центра, в растворе, имеющего аналитическое решение.

Таблица 1. Типичные величины размеров ячеек cellsize(lev) и радиусов rmg(Iev). Молекул;
трипсина, размер ~ 50 А, состоит из 3240 атомов и 223 пептидных групп.

-32.0

J -84.0

о ;

-88.0 -

-90.0 С-і—J—I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I 1 і I

6Є size. A

Рис. 13. Свободная энергия поляризации G^, в зависимости от минимального размера ПЭ или ячеек 3-D сетки, вычисленная решением уравнения Пуассона методом FAMBE (о) и методом конечных разностей на 3-D кубической сетке (Д, штрих линия), минимальное и максимальное значения для разных вращений и трансляций, (программа DELPHI), для дипептида ace-LYS⁺-nma.

Важным достоинством метода FAMBE является накопление всех парциальны плотностей поляризации ст_; , индуцированных отдельными заряженными группами поскольку парциальные плотности с?; необходимы для расчета эффективны; электростатических парных ПВСС между заряженными группами при рассмотренні равновесной ионизации макромолекул в зависимости от рН среды. Таким образом, мето, FAMBE позволяет аккуратно рассчитать свободную энергию сольватации и имеет ря, ключевых преимуществ перед методом конечных разностей в точности, стабильности і вариации параметров и координат атомов молекулы, и эффективности для приложений

Рис.13. Метод FAMBE реализован в универсальной программе FAMBE, которая свободно поступна по сети интернет и используется в ряде групп США, Германии и Канады.

В шестой главе «Двух-уровневый метод молекулярной механики для нуклеиновых кислот» эписан иерархический подход к структурно-энергетическому моделированию макромолекул, который позволяет внести экспоненциальный по числу уровней фактор ускорения в поиск оптимальной структуры среди множества состояний, если каждый эолее высокий уровень иерархии описывает систему в сокращенном фазовом пространстве с ускоренным в т раз расчётом энергии. Основным требованием, достаточным для работоспособности такой иерархической системы, является выполнение условия вложенности, т.е. оптимальные состояния в фазовом пространстве низших 'детальных) ступеней содержатся в оптимальных состоящих в сокращенном фазовом пространстве высших ступеней иерархии, с огрубленным расчетом энергии. Впервые разработана двухуровневая методика моделирования больших фрагментов нуклеиновых шслот в водном растворе соли 1:1, реализующая детальное атомное и быстрое блочное описание НК.

\томная модель НК, описанная в [3,7,18,19,22], использует внутренние молекулярные координаты, т.е. длины валентных связей, величины валентных и торсионных углов (%, у, р, со, со', Qj для описания конформадии і-го нуклеотида, Рис.14, в цепи НК. Стандартные ширальные параметры (СП) используются для описания взаимного положения оснований туклеотидов. Величины валентных связей и валентных углов рибозо-фосфатной цепп предполагаются жесткими, поскольку они являются несущественными параметрами для ~ибких макромолекул с большим числом углов внутреннего вращения. Для сокращения тела конформационных параметров, с четырех до одного, разработана одно-параметрическая модель описания существенных конформаций рибозного кольца[3] параметром псевдовращения Р. Программа моделирования НК состоит из трех сегментов: 1) вычисляет декартовы координаты атомов по списку независимых конформационных параметров; 2) выполняет расчёт энергии и сил; 3)оптимизирует энергию по независимым параметрам методом сопряженных градиентов. Список независимых параметров может :остоять из любой комбинации торсионных углов и спиральных параметров. Конформационная энергия вычисляется для молекулы в вакууме или в водном растворе :оли 1:1 низкой концентрации. Энергия сольватации оценивается в приближении потенциалов средней силы, описанном в главе 3. Параметры потенциалов ван дер заальсовых взаимодействий в форме Ы(6-12) выбраны на основе критического анализа параметров потенциалов в методах AMBER (Weiner, 1984), OPLS (Jorgensen, 1988), Куркина и Полтева, 1980. Заряды на атомах, воспроизводящие экспериментальные щпольные моменты оснований НК и торсионные потенциалы аналогичны эекомендованным в работе Журкина и Полтева, 1980. Параметры потенциалов іевалеіггньгх взаимодействий согласованы с параметрами, определяющими энергию :ольватации так, что результирующее силовое поле, таблица 2., воспроизводит жепериментальные структурные параметры ДНК и экспериментальные энтальпии заскрытия пар оснований для 10-ти типов дуплексов ДНК[19] с ошибкой - 1 kcal/mol , ?ис.15. Разработаны модели ПВСС между ионами Na⁺, Mg^², Мп⁺² и заряженными фосфатными группами (ФГ) в водном растворителе[11-14,20].

---Оґі.-Аь'-'^Чі

_{'' V}

_Л*Ч

Рис.14. Фрагмент нуклеотида-дифосфата рХр. Углы внутреннего вращения и разбиение н блоки атомов, 1- рибоза, 2- фосфатная группа, 3- нуклеиновое основание, в блочно модели нуклеиновых кислот.

Модели этих ПВСС уточнены моделированием методом Монте Карло и корректн воспроизводят мостиковые и контактные структуры вероятных комплексов ФГ с окта пента- и тетрагидратированными катионами и их константы ассоциации с ФІ Парциальные ПВСС W*,, w^ атомов определены по энергиям гидратации просты молекул. Парные ПВСС (6) аппроксимируют гидрофобные и специфически взаимодействия посредством образования водных мостиков.

Расчёты относительной стабильности А и В форм ДІЖ показали[22], что силовое по; воспроизводит стабильность В формы на -1.5 kcal/(mol пару), для поли-сіА:ііоли-аУГ и \ -0.5 kcal/(mol пару) для поли-<Ю:поли-{іС. Причем, взаимодействие с водным растворе является фактором большей стабилизации В формы поли-&А.:поли-<ІТ, в соответствии тенденцией, наблюдаемой экспериментально. Расчёты [23] оптимальных стереоизомерс неионных аналогов НК метил-фосфонатных и триэфирных производных фосфатне группы, в соответствии с экспериментальными данными, показали болыпу стабильность out стереоизомеров. Дестабилизация in изомера обусловлена локальньа напряжениями рибозофосфатного остова при замещении атома фосфорильного кислора на атом (группу) большего размера. Атомная модель применена для исследован] конформаций ряда гибких молекул в водном растворе [4,21,25,26].

Блочная модель НК, разработанная в [3-7,17,18] аппроксимирует детальную поверхнос потенциальной энергии (ППЭ) атомного метода в статистически важні низкоэнергетических областях в сокращенном фазовом пространстве существенш конформационных переменных. Блочная модель описывает нуклеотид трех-центрові моделью, Рис.14, рибоза (дезокси-рибоза) (R), фосфатная группа (Р) и основание (В).

Габлица 2. Параметры г_тш, R_min потеїщиалов (6-12), неспецифической w*, и специфической

v | гидратации.

ис.15. Расчет энтальпий AH^ca'_P раскрытия концевой пары оснований для 10-ти типов идуплексов (); ДН_Р- оценка только по энергии ван дер ваальсовых взаимодействий (Д); - расчёты методом AMBER в параметризации (Weiner, 1984); абсциссы точек 1-Ю эответствуют экспериментальным значениям энтальпий раскрытия ДН"⁴",,; ; - расчётные значения энтальпии диссоциации дидуплексов, абсциссы точек равны сспериментальным значениям энтальпии диссоциации.

Сокращение числа центров в ~10 раз, по сравнению с атомной моделью, позволя ускорить расчёт конформационной энергии в -100 раз, по сравнению с атомной моделы не нарушая принцип вложенности оптимальных конформаций, сформулированый выи Полная энергия НК из N нуклеотидов является суммой

где E_sj - внутренняя энергия і-го нуклеогида, Е_пу - энергия взаимодействия соседних і цепи нуклеотидов, Efij - энергия взаимодействия нуклеотидов ij разделенных в цеп по крайней мере, одним нуклеотидом. Энергии E_si , Е_п у представлены парны*, энергиями взаимодействий соседних по цепи блоков - ближние взаимодействия , энергия Efij взаимодействиями удаленных по цепи блоков - дальние взаимодействия. Внутренняя энергия і-го нуклеотида E_sj описывает конформационную энергию 5', 3 динуклеотидамонофосфата рХр, которая определяется шестью торсионными углами %, q>, со, со', и двумя информационными параметрами Р, г дезоксирибозы

^=д+ад+ад+^._л (29.

где Елі — энергия і-ой рибозы, Е^_в ,E_RP,E_p^_Ri - энергии ближних взаимодействг различных соседних блоков мономеров і и і +/. ППЭ в правой части соотношения (2 зависят от двух или трех информационных параметров, рассчитаны в атомной модели полной области определения аргументов и аппроксимированы комбинации аналитических и табличных функций. Для выполнения принципа вложенност достаточно аккуратно аппроксимировать ППЭ в окрестности областей низкой энергии вдоль оврагов. Значения информационных параметров вдоль линии дна, cpQ^t), энергия Eq(1) вдоль неё описана параметрической численной зависимостью от длины вдоль этой линии. Потенциальная энергия в окрестности дна оврага аппроксимироваї формой

E( = E₀(tm)+ K₂(tm)AL2 + КзАт)*-³ (30)

где t_m - ближайшая к точке ( } точка линии дна оврага - минимальная дистанция от точки (pfc до линии дна оврага

Ml = Z_t minKfflfc - (31)

K2(t)~ крутизна, Kj(t) - асимметрия склонов оврага. Описшшый подход являете универсальным и позволил получить аккуратные и вычислительно-экономичные модел ППЭ внутренней конверсии рибозного цикла, взаимодействие рибозы (дезоксирибозы) фосфатными группами 5', 3'- концов и основаниями разных типов [3,4,17]. Дальние взаимодействия аппроксимированы средними взаимодействиями. Усреднении ван дер ваальсовы взаимодействия между удаленными фосфатными группами и рибозо аппроксимированы сферически симметричным потенциалом Кихары

27 V{x) =—є 4

1-а \ ( 1-а

х-а) \х-а

а = 1-2.76/о- (32)

где x=R/a, а - диаметр (положение нуля), є - глубина минимума. Этот потенциа описывает взаимодействие между сферическими оболочками диаметра = аст, равномерн

заполненными атомами. Параметры потенциалов Кихары определены аппроксимацией расчётов ван дер ваальсовых взаимодействий атомным методом [6,17], Рис.16.

ФіЮ,кхап/мааь Г