Введение к работе
Актуальность работы. Бурное развитие авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения значительно усилило интерес к исследованием в области оптимального проектирования. На основе оптимального проектирования достигается значительное снижение веса летательных аппаратов, улучшение механических характеристик конструкций. Проблемы оптимизации возникают также при проектировании строительных сооружений. Таким образом, исследования в этой области весьма актуальны и имеют несомненное прикладное значение.
Следует заметить, что наравне с прикладным значением задачи оптимального проектирования имеют и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет при оптимальном проектировании различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач.
Отметим, что приблизительно до середины 60-х годов исследования в этой, связанной с темой диссертации, области концентрировалось вокруг небольшого числа одномерных задач. В связи с развитием математических методов оптимизации (методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др.) и появлением мощной электронно-вычислительной гехники, стало возможно проведение достаточно общих исследований.
История вопроса. Не претендуя на полноту обзора работ по оп-гимизации упругих конструкций, отметим только некоторые классические исследования и результаты, непосредственно касающиеся во-тросов, рассматриваемых в данной работе.
Начало теории упругости были заложены французской школой в Ю-30-х годах XIX века главным образом в трудах А. Навье, О. Коши, I. Пуассона, Г. Ламе, Э. Клайперона, а, несколько позже, А. Сен-Зеннана. Самостоятельную область теории упругости составляют їлоские ее задачи, общие методы исследования которых с помощью іналитических функций были развиты в конце XIX - начале XX века. Іервьіе исследования изгиба и колебания пластин были предприняты :ще в XVIII веке Л. Эйлером и Я. Бернулли; более общие исследования на основе уравнений упругости Д. Пуассоном, А. Навье и О. Ко-
ши. Подробная история этих исследований изложена в книге "Историз механики (с конца XVIII до середины XX века)" под редакцией А.Т Григорьяна и Й.Б. Погребельского, 1972.
Цель работы. Целью настоящей работы является установленні классов разрешимости задач оптимизации форм тонких пластин і разработка численных методов построения оптимальных форм и чис ленные расчеты.
Методы исследования. Для теоретического исследования ис пользованы методы математической физики, качественной теориї дифференциальных уравнений, теории функций и функциональной анализа. Численные методы и соответствующие программы расче та оптимальных форм на языке C++ с использованием компилятор? Borland Turbo C++. Для графического представления полученнъЕ результатов использовался редактор Grapher.
Научная новизна. В работе получены следующие новые резуль таты.
-
Доказана теорема существования оптимальных форм для плас тин с тонким краем, основанная на априорных оценках в весовы: соболевских пространствах решений граничных задач для вы рождающихся эллиптических уравнений второго порядка и уста новлении соответствующих теорем вложения.
-
Установлен вид оптимальной матрицы в задаче Лионса оптими зации выпуклого функционала, заданного на решениях эллипти ческих уравнений второго порядка.
-
Исследована задача минимизации интегрального функционал; общего вида на решениях эллиптической системы второго по рядка диагонального вида.
-
Решена задача минимизации одного граничного функционала н; решениях эллиптического уравнения второго порядка.
-
При естественных условиях на интегральный функционал ре шена задача его минимизации на решениях бигармоническог уравнения с переменными коэффициентами и переменной облас тью задания, т.е. задача нахождения оптимальной формы тонкої пластины (распределения ее толщины и формы основания).
6. Разработаны численные методы решения задачи Лионса об оптимальной форме прогиба пластины за счет выбора ее толщины и оптимизационной задачи со свободной границей (переменным основанием) для функционала, характеризующего меру жесткости пластины. Проведены многочисленные численные расчеты, позволяющие численно подтвердить теоретические исследования и дать графическое представление оптимальных форм пластин.
Практическая ценность. Полученные результаты дают достаточно полную картину об оптимальных формах тонких пластин для различных механических воздействиях, что позволяет уменьшить вес, увеличивать жесткость и достигать других эффектов, используемых в оптимальном проектировании.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах.
-
XXI, XXII и XXVI "Гагаринские чтения" - Международные молодежные научные конференции МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 1995, 1996 и 2000 годы.
-
2-й Международный симпозиум "Интеллектуальные системы", Санкт-Петербург, 1996 (совм. с Л.А. Муравьем и И. Исмаило-вым).
-
Международная конференция "Оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде", Екатеринбург, 2000 год.
-
Семинар "Задачи устойчивости и управления в уравнениях математической физики" кафедры "Оптимального управления" факультета ВМиК МГУ, Москва, 1995-1998 годы.
-
Семинар "Качественная теория дифференциальных уравнений" кафедры "Прикладной математики" МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, Москва, 1998-2000 годы.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 92 :траницах машинописного текста, содержит введение, две главы, приложение ко второй главе, заключение, список литературы из 42 гаименований и 26 иллюстраций.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 7 работ.