Введение к работе
Актуальность темы. Каждый объект управления требует решения двуединой задачи: идентификации, математического моделирования в задачах оптимизации и обеспечения наилучшего режима работы объекта управления. Данная работа посвящена решению этих задач. В настоящее время получены значительные результаты в решении проблем математического моделирования в задачах идентификации и оптимального управления сложными технологическими процессами. Прежде всего, это касается задач параметрической идентификации объектов высокой размерности и оптимизации процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных. Здесь отметим работы Л. С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана, А.Г. Бутков-ского, А.И. Егорова, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, М.М. Хрусталева, П. Эйк-хоффа, ЯЗ. Цыпкина, P.M. Юсупова, Н.С. Райбмана, В.А. Потоцкого и др.
Используемые на практике, методы идентификации, несмотря на всю их разнообразность, можно свести к следующей схеме: на основании априорной информации об объекте выбирается структура модели с точностью до некоторого числа неизвестных параметров; затем эти параметры с помощью соответствующих методов математической статистики оцениваются на основании имеющихся экспериментальных наблюдений за функционированием объекта.
К таким методам можно отнести методы множественной регрессии, корреляционного анализа, наименьших квадратов, максимума правдоподобия, максимума апостериорной вероятности и т.п.
При применении этих методов обычно считается, что помеха, имеющаяся на выходе объекта, является случайной, стационарной, и имеется достаточная априорная информация об ее специфических свойствах.
Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод используется в тех случаях, когда нет никаких априорных сведений о свойствах оцениваемых параметров и ошибках измерений. С вы-
числительной точки зрения при реализации МНК обычно принимается, что требуемый объем оперативной памяти и количество вычислений пропорционален квадрату размерности объекта. На практике при идентификации объектов большой размерности использование МНК приводит к значительным затратам объема памяти машины, громоздким вычислениям и ошибкам оценивания. Следовательно, как метод идентификации нестационарных объектов большой размерности МНК является практически нереализуемым. Количество вычислений и требуемый объем памяти при применении метода максимума правдоподобия на порядок выше по сравнению с МНК.
В реальных условиях при наличии корреляции входных сигналов, ненулевых математических ожиданиях, помехах измерения, скорость сходимости одношаговых алгоритмов существенно снижается, оценки получаются смещенными, и вычислительные затраты и объем памяти, пропорциональные размерности решаемой задачи идентификации, являются неоправданными.
В связи с этим для оценки параметров объектов большой размерности нашли применение приближенные методы оценки параметров, обладающие простотой реализации и получившие название: метод общего параметра.
Одним из возможных путей к улучшению процесса идентификации служить подход, основанный на разбиении неизвестных параметров по тому или иному признаку, с сохранением достоинств метода общего параметра этот подход может обеспечить минимум выходной ошибки между объектом и моделью. Этот подход, разрабатываемый в данной работе, назван: методом группового общего параметра.
Важнейшую роль при математическом моделировании оптимальных процессов управления играют вопросы унификации получения и исследования необходимых условий оптимальности (условие Вейерштрасса, вариационное неравенство, принцип максимума и метод динамического программирования), а также проблема существования и единственности оптимального управления. Кроме того в работах А.Г. Бутковского развиты специальные подходы: метод
5 моментов и концепция финитного управления. Однако ряд скрытых особенностей практических задач, таких как отсутствие искомого элемента (решения) в числе сравниваемых, не единственность решений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, наличие особого управления, "вырожденность " задач управления, более того не всегда удается получить соотношения для определения сопряженных переменных в методе принципа максимума и т.п., вызывают значительные трудности и требуют разработки специальных подходов. Определенные перспективы для решения таких задач открывает предложенная в начале 60 - годов В.Ф. Кротовым теория достаточных условий оптимальности. Особо следует отметить на возможность создания новых вычислительных алгоритмов для математического моделирования приближенного решения задач оптимального управления, основанных на достаточных условиях оптимальности. Исследования В. Ф. Кротова и его последователей подтвердили плодотворность методов, основанных на достаточных условиях оптимальности, при решении ряда задач из техники, динамики полета, экономики, экологии и др., описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных. Данная работа посвящена развитию подхода В. Ф. Кротова к проблемам математического моделирования в задачах оптимизации с параметрами в банаховых пространствах, включающим в себя объекты управления описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями частными производными и т.д. Особенностью предлагаемого подхода является то, что нет необходимости приведения исходной системы уравнений к нормальной форме (что не всегда практически осуществимо). Следует также отметить, что приведение исходных уравнений к нормальной форме требует введения дополнительных управляющих функций, при котором задача управления, полученная в результате такого преобразования, вообще говоря, может оказаться неэквивалентной исходной задаче (до преобразования), если не учитывать того , что полученная совокупность управляющих функций не совсем "свободна". Эти управления связаны условиями интегрируемости
(совместности) системы уравнений в нормальной форме. Как правило, это порождает дополнительные трудности при исследовании таких задач. Отметим также, что многие практические задачи оптимального управления распределенными системами неизбежно приводят к необходимости рассматривать разрешимость краевых задач процессов управления в обобщенном смысле.
Поэтому разработка процедур математического моделирования в задачах идентификации и оптимизации процессов с распределенными параметрами определило цель и содержание данной диссертационной работы.
Цель работы и методика ее исследования. Целью настоящей работы является:
-
Разработка методов и алгоритмов группового общего параметра идентификации объектов высокой размерности в темпе реального времени, определение условий их эффективного использования и практического применения.
-
Описать и обосновать математическую модель задачи нелинейного программирования с управляющими параметрами и с операторными ограничениями в банаховом пространстве, которая включала бы в себя как стационарные, так и нестационарные задачи оптимизации, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и (или) неравенствами, а также уравнениями и (или) неравенствами в частных производных; .
-
математическое моделирование абсолютного минимума для поставленной задачи оптимизации;
-
математическое моделирование относительного минимума, в частности, разработать метод Лагранжа -Понтрягина;
-
применить полученные результаты по математическому моделированию к задачам оптимизации процессов в эллиптических и параболических системах;
-
установить связь полученных результатов с известными результатами;
-
разработать математические модели по проведению вычислительных экспериментов, основанные на достаточных условиях оптимальности;
7 8) провести практическую проверку эффективности предложенных алгоритмов при решении ряда задач, в том числе задачи по выбору наилучшего температурного режима в химическом реакторе (вычислительный эксперимент).
Теоретические исследования проводились на основе методов математического моделирования, идентификации (метода общего параметра), теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, функционального анализа, математической теории оптимального управления и, в частности, теории достаточных условий оптимальности В. Ф. Кротова.
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов работы. Разработан метод группового общего параметра идентификации объектов высокой размерности, отличающийся от известных тем, что перестраиваемые общие параметры определяются по выделенным группам параметров, в результате чего уменьшается размерность решаемой задачи идентификации. Это обеспечивает более высокую скорость сходимости по сравнению с методами оценки параметров при одновременной перестройке всех параметров по результатам эксперимента и более высокую точность практических оценок относительно метода общего параметра, где перестраивается всего один общий параметр, что является существенным и новым в задачах высокой размерности.
Для метода группового общего параметра получены условия и скорость сходимости, а также комбинированные методы оценки параметров объектов управления.
Разработан метод математического моделирования абсолютного и локального минимумов для задач оптимизации с параметром в банаховом пространстве, основанный на достаточных условиях оптимальности, установлена их взаимосвязь с методом принципа максимума. Эти обобщения соответствующих результатов В.Ф. Кротова являются нетривиальными, новыми; они эффективны и в том случае, когда известный подход не применим (приведены примеры).
На основе полученных результатов разработаны новые вычислительные алгоритмы решения задач оптимального управления, которые позволяют получить не только приближенную оптимальную программу, но и приближенный синтез обратной связи. Эти алгоритмы бьши апробированы при решении ряда задач, в том числе и нелинейной задачи оптимального управления температурным режимом в трубчатом химическом реакторе. Результаты численных экспериментов подтверждают достаточную эффективность предложенных алгоритмов.
Полученные в работе достаточные условия оптимальности динамических систем не требуют приведения исходной математической модели объекта к нормальной форме, что является существенным и новым, так как не всегда дифференциальные уравнения можно записать в нормальной форме.
Новыми являются вычислительные алгоритмы, основанные на нетривиальном обобщении конструкций достаточных условий оптимальности и принципа оптимальности В.Ф. Кротова.
Разработанный в диссертации метод и полученные на их основе алгоритмы идентификации доведены до программной реализации и применяются для решения задач адаптивного управления технологическими процессами, имеющими народнохозяйственное значения.
Модели, алгоритмы и программы методов группового общего параметра математического моделирования оптимальных процессов бьши включены в подсистемы идентификации адаптивных систем управления: температурно -скоростным режимом горячей прокатки полос на стане 1700 Карметкомбинат; были использованы в процессе проведения работ по созданию математического и программного обеспечения для автоматизации технологических процессов флотационного обогащения полиметаллических руд для обогатительной фабрики ОФ - 2 ЖЦМ (г. Жезказган).
Основные результаты работы использованы при подготовке и чтении спец. курсов " Моделирование и идентификации объектов управления "," Опта-
мапьные и адаптивные системы " и применяются в курсовом и дипломном проектировании, а также НИРС (для студентов спец. 36.01).
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII межвузовской конференции по математике и механике (г. Караганда, 1981 г.), I, II республиканских конференциях по автоматизации в черной металлургии (г. Караганда, 1978-79 г.г.), на I, II, III конференциях преподавателей и сотрудников КазПТИ (г. Алма-Ата, 1978 - 80 г.г.), на международной конференции, посвященной 50 - летию развития математики в Академии наук Казахстана (г. Алмати, 1996 г.), на международной научно-практической конференции - ИНФО - 97 (г. Алмати, 1997г.), Международная конференция по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (интервал - 92) (Москва, Россия. 1992г.)
На научных семинарах по теории управления (рук. д.т.н., проф. Айсага-лиев С. А., Алматы, КазГУ им. Аль - Фараби); по теории управления (рук. д.т.н., проф. Ахметгалиев И.И., С - Петербург ЛИАП); по приложениям дифференциальных уравнений (рук. д. ф-м.н., проф. Дженалиев М.Т. ИТПМ МН - АН РК), по идентификации (рук. д.т.н. проф. Потоцкий В.А., Москва, ИПУ РАН); по теории идентификации (рук. д. т. н., проф. Сыздыков Д. Ж. , Алматы, Каз-НТУ); по вычислительной и прикладной математике (рук. д. ф - м.н, проф. Сма-гулов Ш.С.), по системам автоматического управления и оптимизации (рук. д.т.н., проф. Шаршеналиев Ж.Ш., Бишкек, ИА HAH КР) и др.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано тридцать одна работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Основное содержание диссертации изложено на 241 страницах машинописного текста.