Введение к работе
Актуальность проблемы. Оптимизационные задачи возникают при рормализации задач проектирования, анализе сложных экономических і технических систем, решении проблем управления, планирования про-ізводствешшх процессов. При этом может иметь место влияние на негодные данные неконтролируемых возмущающих факторов, ошибок, по-эождаемых идеализировашюстью математической модели, округлений, іроизводимьіх при численной реализации метода решения и т. д. В этих условиях оказывается важным выделение классов оптимизационных за-їач, на решения которых подобные факторы не оказывают существенного влияния. Такие задачи называются устойчивыми. Вопросы устойчивости применительно к классическим постановкам задач принятия решений исследовались в фундаментальных трудах А.Н. Тихонова, получили развитие в работах Ф.П. Васильева, В.Г. Карманова, В.В. Федорова и других авторов. В этих работах сформировались математический аппарат и методологические подходы к исследованию устойчивости.
Проблема устойчивости является актуальной и при моделировании задач принятия решений в рамках возможностной оптимизации. Параметры этих задач изначально несут в себе элемент неопределенности, размытости. Реальные экспертные данные аппроксимируются получаемыми на практике возможностными распределениями значений нечетких параметров, и в случае неустойчивости исходной задачи аппроксимирующая модель оказывается неадекватной.
Тем не менее, вопросы устойчивости задач возможностной оптимизации изучены явно недостаточно. Наиболее значительными в этом направлении являются работы Р. Фуллера и М. Ковач. В них исследована устойчивость некоторых классов оптимизационных задач и систем линейных уравнений с нечеткими параметрами. Однако, во всех этих работах исследуется фактически один критерий принятия решений — критерий Беллмана-Заде, и, вместе с тем, отсутствует единообразный подход к исследованию — определение устойчивости уточняется в контексте конкретной рассматриваемой задачи. Также следует отметить, что в подавляющем большинстве случаев остается открытым вопрос об условиях сильной устойчивости.
Таким образом, можно говорить о том, что различные модели критериев и ограничений, представляющие несомненный практический интерес при построении задач принятия решений в условиях неопределенности, образуют достаточно широкое поле исследования в контексте рассматриваемой проблемы.
Цель предлагаемой диссертационной работы состоит в исследовании устойчивости ряда моделей возможностной оптимизации, называемых базовыми, поведение которых относительно некорректности задания нечетких параметров не изучено до настоящего времени. При возможностной интерпретации нечеткости, которой мы придерживаемся в данной работе, под некорректностью задания параметров понимается наличие погрешностей в задании функций распределения их возможных значений. Устойчивость задачи в данном случае, в соответствии со сложившейся классической методологией1, предлагается определять выполнением следующих условий:
а) задача разрешима на множествах точных и приближенных параметров;
б') оптимальные значения нечеткого целевого функционала, вычисленные по приближенным данным, при уменьшении погрешности приближения сходятся к его точному оптимальному значению;
б") множество решений (оптимальных альтернатив) задачи с приближенными параметрами при уменьшении погрешности стягивается к множеству решений задачи с точными параметрами.
В случае а, б' назовем задачу устойчивой по результату (или слабо устойчивой), в случае а, б" — устойчивой по решению (сильно устойчивой).
Основными задачами диссертационного исследования являются следующие:
анализ специфики исследования устойчивости задач оптимизации в услових нечеткой или неполной информации при возможностной интерпретации неопределенности;
развитие и систематизация математического аппарата теории возможностей, необходимого для проведения данного исследования;
выявление классов возможностных распределений нечетких параметров, гарантирующих устойчивое поведение критериев оптимальности;
определение условий слабой и сильной устойчивости задач возможностной оптимизации, построенных на основе базовых моделей критериев и ограничений;
Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования // ЖВМиМФ, 1966, т. 6,№ 1,с. 81-89.
установление взаимосвязей между слабо и сильно устойчивыми задачами;
обоснование методов регуляризации неустойчивых задач;
выработка алгоритмов и рекомендаций по аспектам устойчивости для реализации рассматриваемых задач в системах поддержки принятия решений.
Общая методика исследования. Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей, при доказательстве теорем используются і методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют результаты классической теории устойчивости и корректности задач оптимизации.
Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие новые результаты:
-
единообразный подход к исследованию устойчивости задач оптимизации с нечеткими параметрами на базе теории возможностей;
-
теоремы устойчивости базовых моделей возможностной оптимизации в различных классах распределений нечетких параметров;
-
условия эквивалентности сильной и слабой устойчивости;
-
метод регуляризации неустойчивых моделей нечеткой оптимизации, основанный на понижении возможности выполнения ограничений.
Практическая значимость работы. Полученные результаты позволят обосновывать корректность применения рассмотренных моделей в задачах оптимизации технико-экономических систем различного назначения, решать вопросы применимости для этих моделей конкретных семейств нечетких величин. Предложенные алгоритмы и рекомендации могут быть использованы при разработке систем поддержки принятия решений.
Достоверность результатов и выводов обеспечивается математической строгостью и обоснованностью проводимых рассуждений.
Внедрение результатов работы. Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ, проект № 98-01-00212 «Разработка и исследование моделей и методов возможностной оптимизации», исполнителем которого диссертант являлся в 1998 - 2000 гг. Результаты диссертации используются также в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета.
Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на 6-м и 7-м Европейских конгрессах по интеллектуальным технологиям и мягким вычислениям (EUFIT '98, EUFIT '99, Ахен, Германия), на научной конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академикаВ.А. Мельникова (Москва, 1999 год), на I конференции-семинаре «Математические модели сложных систем» (Тверь, 1999 год), на семинарах в ТвГУ и ВЦ РАН.
Публикации. Результаты исследований опубликованы в семи работах, четыре из них написаны в соавторстве. В совместных публикациях диссертанту принадлежат доказательства основных теорем.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 5 рисунков, 1 таблицу, список литературы, включающий 96 наименований. Общий объем работы составляет 101 страницу.
