Введение к работе
Актуальность темы. Быстрое развитие науки и техники постоянно выдвигает ряд новых задач, требующих глубокого и всестороннего теоретического изучения, к таким задачам относится проблема создания управляемых термоядерных реакторов, задачи физики взрыва, и т.д. Особенности математического описания этих задач, такие как нелинейность и связанное с ней появление разрывов в решении, необходимость рассмотрения задач в многомерной постановке, наличие сильных деформаций делает вычислительный эксперимент по существу единственным методом их решения и. одновременно, предъявляют ряд требований к используемым методам построения дискретных моделей , алгоритмам и программам. -
Наиболее развитыми в настоящее время являются методы и алгоритмы решения задач гидро- и газодинамики. Многие идеи, принципы и приемы, предназначенные первоначально для численного моделирования задач гидродинамики, впоследствии были распространены и на другие области математической физики и вошли в арсенал общей теории разностных схем.
Большое количество оригинальных алгоритмов было предложено и разработано в связи с численным решением задач аэродинамики. Здесь следует выделить работы К.И.Бабенко,0.М.Белоцерковского, Г.П.Воскресенского, С.К.Годунова, А.А.Дородницына, А.В.Забродина, Г.П.Про-копова, В.В.Русанова, П.И.Пушкина, Ю.Д.Шмыглевского, Н.Н.Яненко, а также ряда других советских и зарубежных авторов. Целесообразным и удобным оказалось здесь использование эйлерова описания движения среды. Во многих случаях, связанных главным образом, с процессом установления стационарных или периодических режимов, эйлеровы
переменные успешно использовались и для расчета нестационарных течений .
В настоящее время существует весьма широкий класс задач, в котором лагранжево описание среды является более предпочтительным. Это задачи в которых происходит быстрое изменение характерных размеров объемов среды, состоящих из одних и тех же жидких частиц, многообластные нестационарные течения при наличии большого числа различных веществ, свободными границами и т. д. Типичными примерами могут служить задачи связанные с проблемой управляемого термоядерного синтеза, исследование взрывных процессов электродинамического ускорения и торможения плазмы.
К настоящему времени создано значительное количество алгоритмов для численного моделирования движения среды в лагранжевых переменных. Среди работ, посвященных разработке лагранжевых методик, следует выделить работы С. М. Бахраха, В.М. Головизнина, В. Я. Гольдина, Н. А. Дмитриева, В. Ф. Дьяченко, В. Л. Загускина, В. Ф. Куропатенко, Ю.П.Попова, А. А. Самарского, И. Д. Софронова, В.Ф. Тишкина, А.П.Фаворского, Р.ШФедоренко, У. Шульца, С. Херта.
Существует широкий класс практически важных задач, для решения которых неприменимы классические схемы использующие лагранжево описание среды. Эти задачи характеризуются наличием сильных сдвиговых деформаций, большим числом различных веществ с существенно различными физическими свойствами, сильным изменением формы контактных и свободных границ. К таким задачам относятся, например, задачи высокоскоростного соударения, расчет процессов, использующих детонацию взрывчатых веществ и т. д.
Применение эйлеровых методик для решения таких задач может приводить к качественно неверным результатам. Это связано с тем,
что эйлеровы методы плохо передают форму свободных и контактных границ, сильно размазывают тангенциальные разрывы и т. д.
Одним из возможных подходов к решению такого класса задач является подход, основанный на использовании лагранжевых методик, в которых узлы расчетной сетки движутся вместе со средой, а связи между которыми меняются со временем в соответствии со структурой течения.
Такие методы получили название "свободно-лагранжевых" CFree-Lagrange) Впервые основные идеи используемые во всех свободно-лагранжевых методах были изложены в работах Паста и Улама. В Советском Союзе впервые метод такого типа - метод свободных точек был предложен в работах В.Ф.Дьяченко . В это же время коллективом авторов во главе с И. Д. Софроновым была создана методика "Медуза" , при помощи которой был решен ряд практически важных задач. В дальнейшем разработкой таких методик занимались А.П.Фаворский, У. Кроули, Н. В. Арделян, В. В. Рассказова .
Идеологически к методам, использующим нерегулярную сетку, примыкают различные модификации метода частиц в ячейках, предложенного в работах Ф. Харлоу . Здесь следует отметить работы Н.Н.Анучиной, В.Л.Загускина, Б.П.Крюкова, А.П.Фаворского .
Необходимость решения новых актуальных задач постоянно стимулирует развитие вычислительной математики, так как несмотря на рост парка ЭВМ и увеличение их производительности,, сложность и объем задач выдвигаемых практикой, опережает прогресс в развитии вычислительной техники.
Одна из возникающих проблем состоит в том, что объем вычислений необходимых для решения многомерных нестационарных задач, настолько велик, что возможности современных ЭВМ не позволяют использовать достаточно подробные расчетные сетки, чтобы
можно было с успехом применять оценки точности имеющиеся в теории разностных схем, кроме того для многомерных, нестационарных уравнений газовой динамики эти оценки в большинстве случаев отсутствуют.
Ситуация осложняется тем, что решение ряда практических задач ищется в области сложной формы, меняющейся со временем, что требует использования неортогональньгх криволинейных сеток, кроме того, наличие сильных деформаций делает в ряде случаев необходимым использование нерегулярных сеток, структура которых меняется со временем.
Отмеченные факты выдвигают на первый план задачу построения разностных схем, правильно передающих характерные особенности решения даже на грубых нерегулярных сетках произвольной структуры. Практика вычислений показывает, что этого можно достичь, если потребовать, чтобы используемая дискретная модель воспроизводила законы сохранения основных физических величин, выполнение этого требования привело к формулировке и развитию таких важных понятий как консервативность и полная консервативность разностных схем. Использование полностью консервативных схем для решения ряда задач механики сплошной среды и физики плазмы показало их высокую точность при разумных ограничениях на шаг сетки.
Построение консервативных и полностью консервативных схем представляет из себя сложную задачу. Особенно трудной становится эта задача при использовании криволинейных четырехугольных сеток и нерегулярных сеток произвольной структуры, состоящих из многоугольников. Важным вопросом, с точки зрения теории численных методов и проведения практических расчетов, является вопрос о точности получаемых разностных схем, исследование вопросов аппроксимации и сходимости разностных схем на нерегулярных сетках
произвольной структуры является весьма актуальной задачей.
Построение разностных схем на нерегулярных сетках для многомерных уравнений математической физики связано с обработкой большого объема символьной информации. Проведение этих выкладок вручную на бумаге и програмирование полученных формул сопряжено с появлением ошибок. Поэтому актуальным является вопрос о формализации процесса построения разностной схемы и использование ЭВМ для проведения соответствующих выкладок и получение программы.
Таким образом, разработка общих подходов к построению полностью консервативных разностных схем для решения многомерных задач механики сплошной среды при наличии сильных деформаций, исследование точности построенных схем, создание алгоритмов получения разностных схем на„ЭВМ представляет собой актуальную научную проблему.
Цель работы. Целью диссертации является:
разработка общих подходов к построению полностью консервативных разностных схем для решения многомерных задач механики сплошной среды.
теоретическое исследование точности некоторых построенных разностных схем.
разработка алгоритмов и специального языка для построения разностных схем на ЭВМ в символьной форме
разработка нового подхода к моделированию гидродинамических течений с сильными деформациями на лагранжевой сетке переменной структуры.
Научная новизна. В диссертации дано всестороннее описание метода опорных операторов и построены разностные схемы для широкого класса уравнений математической физики. Метод опорных операторов позволяет получать консервативные и полностью
консервативные разностные схемы. Сущность этого метода состоит в том, что разностные аналоги инвариантных дифференциальных операторов первого порядка, входящие в уравнения математической физики, такие как div, rot, grad и т.д. строятся исходя из требования выполнения разностных аналогов основных интегральных тождеств, обеспечивающих выполнение законов сохранения. Метод опорных операторов можно использовать в любой системе координат, для сеток произвольной структуры и при любой дискретизации скалярных и векторных величин.
В диссертации проведено изучение свойств аппроксимации и сходимости некоторых разностных схем, полученных методом опорных операторов, рассмотрены как случай квазиравномерной сетки, так и случай сетки с существенной неравномерностью.
Проведена формализация процесса построения разностной схемы методом опорных операторов. Такая формализация служит основой для создания алгоритмов, позволяющих строить разностные схемы на ЭВМ в символьной форме, предложен специальный язык, удобный для построения и исседования разностных схем в символьной форме на произвольных четырехугольных сетках.
Предложен новый метод расчета двумерных газодинамических течений с сильными деформациями на сетке переменной структуры -метод "частиц Дирихле". Использование метода опорных операторов позволяет получить полностью консервативные разностные схемы в декартовой и цилиндрической системе координат. При этом разностная схема в цилиндрической системе координат сохраняет плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию газодинамических течений. Использование сетки из ячеек Дирихле обеспечивает непрерывное изменение газодинамических величин при изменении структуры сетки. Методика является чисто лагранжевой: перетоков массы, энергии и
импульса между ячейками не происходит, отсутствует также переинтерполяция сеточных величин. Показан первый порядок аппроксимации операторов разностной схемы при естественных предположениях о расположении узлов.
Научная и практическая ценность. Метод опорных операторов, описанный в диссертации, может быть использован и используется для построения полностью консервативных разностных схем для широкого класса уравнений математической физики.
Использование разработанного алгоритма для построения разностных схем на ЭВМ в символьной форме позволяет избежать ошибок при получении и программировании разностных схем.
Метод "частиц Дирихле", предложенный в диссертации, позволяет производить численное моделирование широкого класса практических задач гидродинамики с сильными деформациями произвольного вида.
Апробация. Основные результаты докладывались и обсуждались на ряде Всесоюзных и Международных конференций и совещаний, в том числе:
Всесоюзная конференция "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики" - Москва, МГУ, 1979,1981,1989г.
Международная школа-семинар "Математическое моделирование, аналитические и численные методы в теории переноса", Минск, 1982. Всесоюзная школа молодых ученых "Теоретические и прикладные программы вычислительной математики и математической физики" -Рига,1982.
Семинар по численному моделированию физических процессов-Ленинград, ЛФТИ, 1983.
Международное совещание по системам и методам аналитических
вычислений на ЭВМ и их применение в теоретической физики.- Дубна,
ОИЯИ, 1982г.
Всесоюзная конференция "Системы для аналитических преобразований в механике" - Горький, 1984г.
Научная конференция "Ломоносовские чтения" - Москва, МГУ, 1985г.
Всесоюзная школа молодых ученых и специалистов "Вычислительные методы и математическое моделирование" - Шушенское, 1986г.
Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике" - Пермь, 1986г.
VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. - Ташкент, 1986г.
Рабочее совещание по методам построения сеток и их приложениям. Свердловск, 1987г.
Результаты диссертации также докладывались на научно-исследовательских семинарах Института прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР, кафедры вычислительной математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, научных семинарах в ВЦ АН СССР, ФИАН, ИАЭ, ВНИИП, ВНИИЭФ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 работ.
Структура диссетрации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 239 наименований. ,Полный объем диссертации 396 с.