Введение к работе
Актуальность темы. Методы математического моделирования широко применяются при решении научных и прикладных задач. Триада А.А.Самарского "модель -алгоритм - программа" отражает суть этого метода. На каждом этапе этой триады возникают проблемы разного рода. Переход от модели к алгоритму требует максимального использования возможностей имеющихся точных аналитических методов. На основе такой предварительной аналитической проработки вырабатывается оптимальный алгоритм численной реализации модели.
Классическим примером аналитического аппарата является теория аналитических функций комплексной переменной (ТФКП), или комплексный анализ, имеющий многочисленные применения в самых разных областях математической физики. Комплексное представление общего решения уравиений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решепия основных задач плоской теории упругости (Мусхслишвили). В осесимметричпых задачах математической физики нашли применение различпые классы обобщенных аналитических функций комплексного переменного (Векуа, Соловьев, Данилюк), р- и (р,д)-аналитические функции (Положий). На основе таких подходов выработаны эффективные методы численного моделирования двумерных процессов.
При моделировании трехмерных процессов возникают особые трудности, отчасти объяснимые отсутствием трехмерного аппарата, эквивалентного ТФКП. Успехи методов комплексных функций в двумерных задачах вызвали попытки использовать комплексные функции и их обобщения при решении задач моделирования пространственных стационарных процессов. В частности, может оказаться полезной пока еще не исследованная возможность применения в пространственных задачах аппарата фупкций кватернионной переменпой. Это связано с тем, что, папример, регулярные кватерни-онные фупкций неполной кватернионной переменной связаны с решениями уравнений, используемых в моделях упругой среды и вязкой несжимаемой жидкости.
Модели, как правило, основаны на дифференциальных уравнениях. Качественные свойства решений этих уравнений, полученные аналитическими средствами, могут определить алгоритм из указанной выше триады. Примеры таких результатов дают различные теоремы о среднем для решений дифференциальных уравнений. На таких
теоремах основываются численные методы Монте-Карло для решения краевых задач (Елепов, Кронберг, Михайлов, Сабельфельд), сумматорные схемы и др.
Математическое моделирование позволяет изучать физический процесс, когда невозможно проводить непосредственные измерения величин, характеризирующих данный процесс. Это отпосится, в частности, изучению деформаций небесных тел под действием приливных волн. В ряде работ (Шемякин, Ревуженко) была выдвинута гипотеза о внутреішем переносе масс под воздействием приливных волп. Для оценки величины такого переноса масс необходима пространственная математическая модель, проведенные лабораторные эксперименты и построенные плоские математические модели дают только качественные результаты, а натурные измерения невозможны.
Результаты математического моделирования могут быть применены и для решения различных технических проблем. Примеры можно найти в проблемах электромагнитной совместимости различных электрических, электронных и др. устройств, размещенных и действующих в ограниченном пространстве, т.е. функционирующих под действием излучаемых ими переменных электромагнитных полей. Конкретным примером такого рода является проблема защиты проводных линий передач от электрических перенапряжений, возникающих при близком разряде молнии. На момент начала наших исследований разработанные математические модели грозовых электрических перенапряжений в проводных линиях передач не учитывали некоторые существенные физические обстоятельства, например, наличие слоя многолетней мерзлоты. Без учета таких обстоятельств разработка методов эффективной защиты кабелей связи от ударов молнии в зоне многолетней мерзлоты затруднительна, а такая проблема в настоящий момент чрезвычайно актуальна. Наличие адекватной математической модели грозовых перенапряжений, се аналитический анализ и исследование разных вариантов задачи позволят выработать методы защиты линий передач от грозовых воздействий.
Отмеченное выше широкое применение математического моделирования для решения задач науки и техники вызывает необходимость разработки новых методов исследования возникающих при этом задач и построения математических моделей конкретных физических процессов для детального анализа ситуации и численных оценок физических величин, характеризирующих данные процессы. Этим объясняется актуальность темы диссертации.
Цель работы. Диссертационная работа посвящается развитию новых аналитических методов моделирования упругих и вязких деформаций трехмерных тел, построению новых математических моделей некоторых физических процессов и их численной реализации. В соответствии с этим в работе были поставлены следующие основные задачи:
разработка математического аппарата регулярных кватернионных функций;
исследование аналитических свойств уравнений, моделирующих упругую среду;
исследование возможностей использования кватернионного аппарата для решения задач моделирования упругой среды и вязкой несжимаемой жидкости;
построение пространственной модели приливных деформаций;
построение математических моделей для описания грозовых электрических перепа-пряжений в линиях передач в условиях многолетней мерзлоты;
численная реализация построенных моделей;
решение некоторых конкретных задач моделирования упругих и вязких деформаций трехмерных тел.
Научная новизна. Новыми в диссертации являются:
1. Результаты по теории регулярных кватернионных функций неполной кватернионной
переменной (решений системы Моисила- Теодореску) - аналоги теорем Коши о гомоте
тій, Коши-Гаусса, интегральной формулы для производных, теорем Абеля и Лорана,
аппроксимационной теоремы Рунге, свойства регулярных кватернионных полиномов,
теорема о представлении первообразной, метод граничных элемсптов для моделирова
ния регулярных функций с примером численной реализации.
2. Кватернионное представление общего решепия уравнения Ламе в виде простран
ственного аналога формул Колосова-Мусхелишвили в звездной области, анализ кватер
нионных представлений в двумерных случаях, представление общего решения уравне
ния Ламе через три гармонические функции, представления типа Уиттекера-Бергмана
для решений полигармонического уравнения и уравнения Ламе.
3. Метод решения основных задач о равповесии упругого шара, состоящий в их сведе
нии к гармоническим задачам, и решение этих задач в квадратурах. Полиномиальные
решения уравнения Ламе, базиспая система гармонических полиномов.
4. Корректно разрешимое кватернионное интегральное уравнение 1-го рода относи-
тельпо граничного значения кватернионного потенциала, через которое выражается решение первой основной задачи теории упругости в произвольной области.
-
Кватернионные представления общего решения системы Стокса, анализ этих представлений в двумерных случаях, представление общего решения системы Стокса через три гармонические функции, метод решения основных задач о течениях Стокса внутри сферы, состоящий в их сведении к гармоническим задачам.
-
Прямые и обратные теоремы о среднем для неоднородных уравнений Гельмгольца и Ламе, обратная теорема о среднем для уравнения Гельмітхльца.
-
Пространственная кинематическая модель приливных деформаций небесных тел, чи-слеппые реализации модели, позволившие оценить эффект внутреннего переноса масс для приливных волн реальных размеров.
8. Математические модели грозовых электрических перенапряжений в многопровод-
ных линиях передач в условиях многолетней мерзлоты, учитывающие зависимость тока
молнии от времени, численные реализации этих моделей. Понятие о многопроводных
неискажающих линиях передач.
Достоверность полученных в работе результатов. Выводы и положения, сфор-мулированпые в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах и в частных случаях из них следуют известпые результаты. Математические модели, предложенные в работе, основаны на разумных физических гипотезах и являются дальнейшими развитиями апробированных известных моделей. Результаты численных расчетов достаточно хорошо описывают экспериментальные результаты и в частных случаях совпадают с известными.
Практическая ценность. Изученная базисная система трехмерных гармонических полиномов, являющихся компонентами регулярных кватернионных полиномов, обладают простыми и полезными для численных расчетов свойствами. Предложенный метод решепия краевых задач для шара обладает определенными преимуществами по сравнению с известпыми и позволяет сравнительно просто получать решения в квадратурах. Предложенная кинематическая модель приливных деформаций может оказаться полезной в теории приливов Земли и других планет. На основе математических моделей грозовых перенапряжений можно разработать защитные мероприятия для кабелей связи в условиях многолетней мерзлоты.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на V Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применения ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1985), IX Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 1985), семинаре по механике твердого тела (рук. член.-корр. АН Каз.ССР Ш.М.Айталиев) Института сейсмологии АН КазССР (Алма-Ата, 1985), На VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкепт, 1986), научно-практической конференции молодых ученых (Якутск, 1992, 1993), научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1993), международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 1994, 1997), международных конференциях ИНПРИМ-96, 98 (Новосибирск, 1996, 1998), международной конференции "Всссибирские чтепия по математике и механике (Томск, 1997), I—III Сибирских школах-семинарах по математическим проблемам механики сплошных сред (Новосибирск, 1997, 1998, 1999), международной конференции "Математические модели и методы их исследопания" (Красноярск, 1999), международных симпозиумах по ЭМС (Вроцлав, 1990, 1992, 1994; Сендай, 1994), а также на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (рук. академик РАН Е.И.Шемякин, проф. В.Д.Ашшн), семинарах лаборатории динамической прочности ИГиЛ СО РАН (рук. проф. Б.Д.Аншш), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела (рук. проф. О.В.Соснин) ИГиЛ СО РАН, на объединенном семинаре кафедр теоретической механики (зав. член-корр. РАН В.Н.Монахов) и механики твердого тела (зав. проф. Б.Д.Аннин) НГУ, па объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ (рук. члеп-корр. РАН А.Н.Коновалов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-37].
Работа частично поддержана: Программой "Университеты России" (проект УР-25 ЦПИ при ММФ МГУ, 1992-93 гг.); Госкомитетом по науке, высшей школе и технической политике при Правительстве РС(Я) (1992-95 гг.); госбюджетной темой по ЕЗН (ЯГУ, 1993-98 гг.); Федеральной целевой программой "Интеїрация" (грапт №17.7, 1997 г.); грантом РФФИ 98-01-03699; копкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ (ірант Л"» 28 Грантового центра
НГУ, 1998-99 гг.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, б глав, заключения, списка литературы, списка обозначений и сокращений, изложенных ва 284 страницах, включает 32 рисунка. Список цитируемой литературы на 24 страницах содержит 271 наименований.
